2024春高中数学第九章统计章末检测（人教A版必修第二册）

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第九章章末检测 (时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2023年银川二模)某单位职工老年人有60人，中年人有100人，青年人有40人，为了解职工的健康状况，用分层随机抽样的方法从中抽取10人进行体检，则应抽查的老年人的人数为(　　)A．3 B．4C．5 D．6【答案】A【解析】用分层随机抽样的方法从中抽取10人进行体检，则应抽查的老年人的人数为10× eq \f(60,60＋100＋40)＝3．故选A．2．艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是(　　)A．中位数　　 B．平均数 C．方差　　 D．极差【答案】A【解析】根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分，与7个原始评分相比，不变的是中位数．故选A．3．(2023年乐山期末)关于简单随机抽样，下列说法错误的是(　　)A．它是从总体中逐个随机抽取 B．被抽取样本的总体可以是无限的C．它是等可能抽取的 D．可以是放回抽样也可以是不放回抽样【答案】B【解析】简单随机抽样中被抽取样本的总体的个数有限，它是从总体中逐个随机抽取，样本抽取可以是放回抽样也可以是不放回抽样，简单随机抽样是一种等可能抽样，即每个个体被抽取的可能性相等，故A，C，D正确，B错误．故选B．4．(2023年江西模拟)已知一组数据3x1－1，3x2－1，…，3xn－1的方差为1，则数据x1，x2，…，xn的方差为(　　)A．3 B．1C． eq \f(1,3) D． eq \f(1,9)【答案】D【解析】设数据x1，x2，…，xn的方差为a，∵数据3x1－1，3x2－1，…，3xn－1的方差为1，∴9a＝1，解得a＝ eq \f(1,9)，∴数据x1，x2，…，xn的方差为 eq \f(1,9)．故选D．5．某地区连续六天的最低气温(单位：℃)为9，8，7，6，5，7，则该六天最低气温的平均数和方差分别为(　　)A．7和 eq \f(5,3)　　 B．8和 eq \f(8,3) C．7和1　　 D．8和 eq \f(2,3)【答案】A【解析】由题意，六天最低气温的平均数 eq \x\to(x)＝ eq \f(1,6)×(9＋8＋7＋6＋5＋7)＝7，方差s2＝ eq \f(1,6)×[(9－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2]＝ eq \f(5,3)．故选A．6．假设从高一年级全体同学(500人)中随机抽出60人参加一项活动，利用随机数法抽取样本时，先将500名同学按000，001，…，499进行编号，如果从随机数表第8行第11列的数开始，按三位数连续向右读取，最先抽出的4名同学的号码是(下面摘取了此随机数表第7行和第8行)(　　)84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763 35025 63016 37859 16955 56719 98105 07175 12867 35807A．455　068　047　447 B．169　105　071　286C．050　358　074　439 D．447　176　335　025【答案】B【解析】由随机数表法的随机抽样的过程可知最先抽出的4名同学的号码为169，105，071，286．7．(2023年商丘模拟)在某次演讲比赛中，由两个评委小组[分别为专业人士(记为小组A)和观众代表(记为小组B)]给参赛选手打分，根据两个评委小组给同一名选手打分的分值绘制成如图所示的折线图，则下列结论错误的是(　　)A．小组A打分的分值的平均数为48B．小组B打分的分值的中位数为66C．小组A打分的分值的极差大于小组B打分的分值的极差D．小组A打分的分值的方差小于小组B打分的分值的方差【答案】C【解析】由图可知，小组A打分的平均数为 eq \f(1,9)×(43＋47＋46＋48＋50＋47＋54＋50＋47)＝48，故A正确；将小组B打分从小到大排列为36，55，58，62，66，68，68，70，75，所以中位数为66，故B正确；小组A打分的分值的极差为54－43＝11，小组B打分的分值的极差为75－36＝39，故C错误；小组A打分的分值相对更集中，所以小组A打分的分值的方差小于小组B打分的分值的方差，故D正确．故选C．8．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是(　　)A．甲地：总体均值为3，中位数为4 B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C．丙地：中位数为2，众数为3 D．丁地：总体均值为2，总体方差为3【答案】D【解析】A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在C中也有可能；B中的总体方差大于0，叙述不明确，如果方差太大，也有可能存在大于7的数；D中，因为平均数为2，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不可能为3．故选D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．(2023年张家口二模)中央广播电视总台《2023年春节联欢晚会》以温暖人心的精品节目、亮点满满的技术创新、美轮美奂的舞美效果为全球华人送上了一道红红火火的文化大餐．某机构随机调查了18位观众对2023年春晚节目的满意度评分情况，得到如下数据：a，60，70，70，72，73，74，74，75，76，77，79，80，83，85，87，93，100．若a恰好是这组数据的上四分位数，则a的值可能为(　　)A．83 B．84C．85 D．87【答案】ABC【解析】由于上四分位数即第75百分位数，于是18×75%＝13.5，将这些数据按照从小到大排列后，第14个数为上四分位数，所以a应该是18个数据从小到大排列后的第14个数，显然a不是最小的数．而除去a后，从小到大排列得到的第13个数为83，第14个数为85，所以83≤a≤85．故选ABC．10．某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个样本量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)元的学生有60人，则下列说法正确的有(　　)A．样本中支出在[50，60)元的频率为0.03B．样本中支出不少于40元的人数有132C．n的值为200D．若该校有2 000名学生，则一定有600人支出在[50，60)元【答案】BC【解析】A中，样本中支出在[50，60)元的频率为1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3，故A错误；B中，样本中支出不少于40元的人数有 eq \f(0.036,0.03)×60＋60＝132，故B正确；C中，n＝ eq \f(60,0.3)＝200，故C正确；D中，若该校有2 000名学生，则可能有600人支出在[50，60)元，故D错误．故选BC．11．空气质量指数AQI是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差．某地环保部门统计了该地区12月1日至12月24日连续24天的空气质量指数AQI，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图，则下列说法正确的有(　　)A．该地区在12月2日空气质量最好B．该地区在12月24日空气质量最差C．该地区从12月7日到12月12日AQI持续增大D．该地区统计的这段时间内的空气质量随着日期有变差的趋势【答案】ABCD【解析】12月2日空气质量指数最低，所以空气质量最好，A正确；12月24日空气质量指数最高，所以空气质量最差，B正确；12月7日到12月12日AQI在持续增大，所以C正确；在该地区统计这段时间内，空气质量指数AQI整体呈上升趋势，所以空气质量随着日期有变差的趋势，D正确．12．(2023年茂名二模)小爱同学在一周内自测体温(单位：℃)依次为36.1，36.2，36.1，36.5，36.3，36.6，36.3，则该组数据的(　　)A．平均数为36.3 B．方差为0.04C．中位数为36.3 D．第80百分位数为36.55【答案】AC【解析】根据题意，将7个数据从小到大排列：36.1，36.1，36.2，36.3，36.3，36.5，36.6．对于A，其平均数 eq \x\to(x)＝ eq \f(1,7)(36.1＋36.1＋36.2＋36.3＋36.3＋36.5＋36.6)＝36.3，A正确；对于B，其方差s2＝ eq \f(1,7)(0.04＋0.04＋0.01＋0＋0＋0.04＋0.09)＝ eq \f(22,700)，B错误；对于C，其中位数为第4个数据，即36.3，C正确；对于D，7×80%＝5.6，则该组数据的第80百分位数为36.5，D错误．故选AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球的投篮命中率：小李这5天的平均投篮命中率为__________．【答案】0.5【解析】小李这5天的平均投篮命中率 eq \x\to(y)＝ eq \f(1,5)(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5．14．将样本量为100的某个样本数据拆分为10组，若前七组的频率之和为0.79，而剩下的三组的频率依次相差0.05，则剩下的三组中频率最高的一组的频率为__________．【答案】0.12【解析】设剩下的三组中频率最高的一组的频率为x，则另两组的频率分别为x－0.05，x－0.1．因为频率总和为1，所以0.79＋(x－0.05)＋(x－0.1)＋x＝1，解得x＝0.12．15．(2023年重庆模拟)棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标，在一批棉花中随机抽到50根棉花的纤维长度(单位：mm)，按从小到大排序结果如下：请你估算这批棉花的第90百分位数是________．【答案】357.5【解析】50×0.9＝45，第90百分位数为第45个数和第46个数的平均数，即为 eq \f(357＋358,2)＝357.5，故这批棉花的第90百分位数是357.5．16．从甲、乙两个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)跟踪调查结果如下：甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：3，3，4，7，9，10，11，12．两个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲：__________，乙：__________．【答案】众数　中位数【解析】甲、乙两个厂家从不同角度描述了一组数据的特征．对甲分析，该组数据8出现的次数最多，故运用了众数；对乙分析，该组数据最中间的是7与9，故中位数是 eq \f(7＋9,2)＝8，故运用了中位数．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)求下列数据的四分位数．13，15，12，27，22，24，28，30，31，18，19，20．解：把12个数据按从小到大的顺序排列如下：12，13，15，18，19，20，22，24，27，28，30，31．计算12×25%＝3，12×50%＝6，12×75%＝9，所以数据的第25百分位数为 eq \f(15＋18,2)＝16.5，第50百分位数为 eq \f(20＋22,2)＝21，第75百分位数为 eq \f(27＋28,2)＝27.5．18．(12分)某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)．已知上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．(1)求直方图中x的值；(2)如果上学所需时间在[60，100]的学生可申请在学校住宿，请估计该校800名新生中有多少名学生可以申请住宿．解：(1)由直方图可得到20x＋0.025×20＋0.006 5×20＋0.003×2×20＝1，解得x＝0.012 5．(2)由直方图可知，新生上学所需时间在[60，100]的频率为0.003×2×20＝0.12，所以800×0.12＝96(名)．所以800名新生中估计有96名学生可以申请住宿．19．(12分)某汽车制造厂分别从A，B两种轮胎中各随机抽取了8个进行测试，A，B两种轮胎行驶的最远里程数如下表所示：单位：1 000 km　　(1)分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程的平均数、中位数；(2)分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程的极差、方差；(3)根据以上数据，你认为哪种型号轮胎的性能更加稳定？解：(1)A轮胎行驶的最远里程的平均数为 eq \f(1,8)×(96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋98)＝100，中位数为 eq \f(1,2)×(100＋98)＝99．B轮胎行驶的最远里程的平均数为 eq \f(1,8)×(108＋101＋94＋105＋96＋93＋97＋106)＝100，中位数为 eq \f(1,2)×(101＋97)＝99．(2)A轮胎行驶的最远里程的极差为112－86＝26，方差为 eq \f(1,8)×[(－4)2＋122＋(－3)2＋82＋02＋32＋(－14)2＋(－2)2]＝55.25，B轮胎行驶的最远里程的极差为108－93＝15，方差为 eq \f(1,8)×[82＋12＋(－6)2＋52＋(－4)2＋(－7)2＋(－3)2＋62]＝29.5，(3)根据以上数据，A轮胎和B轮胎的最远行驶里程的平均数相同，但B轮胎行驶的最远里程的极差和方差相对于A轮胎较小，所以B轮胎性能更加稳定．20．(12分)某电视台为宣传本省，随机对本省内15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“本省内著名旅游景点有哪些”，统计结果如图表所示．(1)分别求出a，b，x，y的值；(2)从第2，3，4组回答正确的人中用分层随机抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取的人数．解：(1)由频率表中第4组数据可知第4组总人数为 eq \f(9,0.36)＝25，再结合频率分布直方图可知n＝ eq \f(25,0.025×10)＝100，∴a＝100×0.01×10×0.5＝5，b＝100×0.03×10×0.9＝27，x＝ eq \f(18,100×0.02×10)＝0.9，y＝ eq \f(3,100×0.015×10)＝0.2．(2)第2，3，4组回答正确的共有54人，∴利用分层随机抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为第2组： eq \f(18,54)×6＝2，第3组： eq \f(27,54)×6＝3，第4组： eq \f(9,54)×6＝1．21．(12分)某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350)，[350，400](单位：克)中，经统计得频率分布直方图如图所示．(1)经计算估计这组数据的中位数；(2)某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10 000个，经销商提出如下两种收购方案：A方案是所有芒果以10元/千克收购；B方案是对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的芒果以3元/个收购．通过计算确定该种植园选择哪种方案获利更多．解：(1)这组数据的中位数是250＋ eq \f(0.5－(0.002×2＋0.003)×50,0.008)＝268.75．(2)A方案可获利(125×0.002＋175×0.002＋225×0.003＋275×0.008＋325×0.004＋375×0.001)×50×10 000×10×0.001＝25 750(元)．B方案可获利(0.002＋0.002＋0.003)×50×10 000×2＋(0.008＋0.004＋0.001)×50×10 000×3＝26 500(元)．由于25 750＜26 500，因此该种植园选择B方案获利更多．22．(12分)(2023年黄山模拟)为了深入学习领会党的二十大精神，某高级中学全体学生参加了《二十大知识竞赛》，试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间[40，100]分内，已知该校高一、高二、高三年级的学生人数分别为800，1 000，1 200，现用分层随机抽样的方法抽取了300名学生的答题成绩，按[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]进行分组，绘制了如下样本频率分布直方图．(1)根据样本频率分布直方图估计该校全体学生成绩的众数、平均数、第71百分位数；(2)已知所抽取各年级答题成绩的平均数、方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出总成绩的方差为140，求高三年级学生成绩的平均数 eq \x\to(x3)和高二年级学生成绩的方差s eq \o\al(2,2) ．解：(1)由频率分布直方图知，学生成绩在[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]内的频率分别为0.06，0.12，0.4，0.26，0.10，0.06，学生成绩在[60，70)内的频率最大，∴估计该校全体学生成绩的众数为65，平均数 eq \x\to(x)＝0.06×45＋0.12×55＋0.4×65＋0.26×75＋0.10×85＋0.06×95＝69，第71百分位数m∈[70，80)，由0.06＋0.12＋0.4＋(m－70)×0.026＝0.71，解得m＝75，∴第71百分位数为75．(2)由题意高一、高二、高三年级分别抽取了80人、100人、120人，记样本中高一学生的成绩为ai(1≤i≤80，i∈N*)，高二学生的成绩为bi(1≤i≤100，i∈N*)，高三学生的成绩为ci(1≤i≤120，i∈N*)，∴ eq \i\su(i＝1,80,a)i＝80×60， eq \i\su(i＝1,100,b)i＝100×63， eq \i\su(i＝1,120,c)i＝120 eq \x\to(x3)，∴ eq \x\to(x)＝ eq \f(1,300) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,80,a)i＋\i\su(i＝1,100,b)i＋\i\su(i＝1,120,c)i))＝ eq \f(1,300)(80×60＋100×63＋120 eq \x\to(x3))＝ eq \f(80,300)×60＋ eq \f(100,300)×63＋ eq \f(120,300) eq \x\to(x3)＝69，解得 eq \x\to(x3)＝80，样本中三个年级成绩的方差s2＝ eq \f(1,300) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,80, )(ai－\x\to(x))2＋\i\su(i＝1,100, )(bi－\x\to(x))2＋\i\su(i＝1,120, )(ci－\x\to(x))2))，高一、高二、高三年级学生成绩的平均数分别为 eq \x\to(x1)， eq \x\to(x2)， eq \x\to(x3)，方差分别为s eq \o\al(2,1) ，s eq \o\al(2,2) ，s eq \o\al(2,3) ，则 eq \i\su(i＝1,80, )(ai－ eq \x\to(x))2＝80s eq \o\al(2,1) ， eq \i\su(i＝1,80, )(ai－ eq \x\to(x1))＝ eq \i\su(i＝1,80,a)i－80 eq \x\to(x1)＝80 eq \x\to(x1)－80 eq \x\to(x1)＝0， eq \i\su(i＝1,80, )(ai－ eq \x\to(x))2＝ eq \i\su(i＝1,80,[)(ai－ eq \x\to(x1))＋( eq \x\to(x1)－ eq \x\to(x))]2＝ eq \i\su(i＝1,80,[)(ai－ eq \x\to(x1))2＋2(ai－ eq \x\to(x1))( eq \x\to(x1)－ eq \x\to(x))＋( eq \x\to(x1)－ eq \x\to(x))2]＝ eq \i\su(i＝1,80, )(ai－ eq \x\to(x1))2＋2( eq \x\to(x1)－ eq \x\to(x)) eq \i\su(i＝1,80, )(ai－ eq \x\to(x1))＋80( eq \x\to(x1)－ eq \x\to(x))2＝80[( eq \x\to(x1)－ eq \x\to(x))2＋s eq \o\al(2,1) ]，同理， eq \i\su(i＝1,100, )(bi－ eq \x\to(x))2＝100[( eq \x\to(x2)－ eq \x\to(x))2＋s eq \o\al(2,2) ]， eq \i\su(i＝1,120, )(ci－ eq \x\to(x))2＝120[( eq \x\to(x3)－ eq \x\to(x))2＋s eq \o\al(2,3) ]，∴s2＝eq \f(1,300){80[(eq \x\to(x1)－eq \x\to(x))2＋seq \o\al(2,1) ]＋100[(eq \x\to(x2)－eq \x\to(x))2＋seq \o\al(2,2) ]＋120[(eq \x\to(x3)－eq \x\to(x))2＋seq \o\al(2,3) ]}＝eq \f(80,300)[(eq \x\to(x1)－eq \x\to(x))2＋seq \o\al(2,1) ]＋eq \f(100,300)[(eq \x\to(x2)－eq \x\to(x))2＋seq \o\al(2,2) ]＋eq \f(120,300)[(eq \x\to(x3)－eq \x\to(x))2＋seq \o\al(2,3) ]＝eq \f(80,300)[(60－69)2＋75]＋eq \f(100,300)[(63－69)2＋seq \o\al(2,2) ]＋eq \f(120,300)[(80－69)2＋55]＝eq \f(208,5)＋12＋eq \f(1,3)seq \o\al(2,2) ＋eq \f(352,5)＝124＋eq \f(1,3)seq \o\al(2,2) ＝140，解得seq \o\al(2,2) ＝48，∴高三年级学生成绩的平均数eq \x\to(x3)＝80，和高二年级学生成绩的方差seq \o\al(2,2) ＝48．日期12345命中率0.40.50.60.60.428335052586061628286113140143146170175202206233236238260263264265293294296301302303305306321323325328340343346348352355357357358370380383385轮胎A96　112　97　108　100　103　86　98轮胎B108　101　94　105　96　93　97　106组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组[15，25)a0.5第2组[25，35)18x第3组[35，45)b0.9第4组[45，55)90.36第5组[55，65]3y年级样本平均数样本方差高一6075高二63s eq \o\al(2,2) 高三 eq \x\to(x3)55