高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第2课时练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第2课时练习题，共6页。试卷主要包含了故选C等内容，欢迎下载使用。
A级——基础过关练
1．在△ABC中，A＝60°，a＝4 eq \r(3)，b＝4 eq \r(2)，则B等于( )
A．45°或135°B．135°
C．45°D．以上答案都不对
【答案】C
【解析】∵sin B＝ eq \f(b sin A,a)＝ eq \f(4\r(2)×\f(\r(3),2),4\r(3))＝ eq \f(\r(2),2)，∴B＝45°或135°．但当B＝135°时，不符合题意，∴B＝45°．故选C．
2．(2023年商洛二模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a sin B tan C＝ eq \r(3)b sin A，则C＝( )
A． eq \f(π,8)B． eq \f(π,4)
C． eq \f(π,3)D． eq \f(π,6)
【答案】C
【解析】由a sin B tan C＝ eq \r(3)b sin A，所以根据正弦定理，得ab tan C＝ eq \r(3)ab，即tan C＝ eq \r(3)，解得C＝ eq \f(π,3)．故选C．
3．(2023年河南二模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C＝ eq \f(π,6)，a＝3，c＝4，则sin A＝( )
A． eq \f(3,8)B． eq \f(5,8)
C． eq \f(3,4)D． eq \f(1,2)
【答案】A
【解析】由 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(c,sin C)，得 eq \f(3,sin A)＝8，所以sin A＝ eq \f(3,8)．故选A．
4．在△ABC中，已知sin A＝2sin B cs C，则该三角形的形状是( )
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】因为sin A＝2sin B cs C，所以sin (B＋C)＝2sin Bcs C，所以sin B cs C－cs B sin C＝0，即sin (B－C)＝0．因为A，B，C是三角形内角，所以B＝C．所以三角形是等腰三角形．故选C．
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝ eq \r(3)，b cs A＝sin B，则A＝( )
A． eq \f(π,12)B． eq \f(π,6)
C． eq \f(π,4)D． eq \f(π,3)
【答案】D
【解析】∵a＝ eq \r(3)，b cs A＝sin B，∴ eq \r(3)b cs A＝a sin B．∴由正弦定理可得sin A sin B＝ eq \r(3)sin B cs A．∵B是三角形的内角，sin B≠0，∴tan A＝ eq \r(3)．由A是三角形的内角，可得A＝ eq \f(π,3)．故选D．
6．在△ABC中，若3b＝2 eq \r(3)a sin B，cs A＝cs C，则△ABC形状为( )
A．直角三角形B．等腰非等边三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】由正弦定理知b＝2R sin B，a＝2R sin A，则3b＝2 eq \r(3)a sin B可化为3×2R sin B＝2 eq \r(3)×2R sin A sin B．因为0°＜B＜180°，所以sin B≠0，所以sin A＝ eq \f(\r(3),2)，可得A＝60°或120°．又因为cs A＝cs C，所以A＝C，所以A＝60°，C＝60°，∠B＝180°－60°－60°＝60°，所以△ABC为等边三角形．故选C．
7．(多选)在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A．b＝10，A＝45°，C＝70°B．b＝45，c＝48，B＝60°
C．a＝14，b＝16，A＝45°D．a＝7，b＝5，A＝80°
【答案】BC
【解析】B满足c sin 60°＜b＜c，C满足b sin 45°＜a＜b，所以B，C有两解．对于A，可求B＝180°－A－C＝65°，三角形有一解．对于D，由sin B＝ eq \f(b·sin A,a)，且b＜a，可得B为锐角，只有一解，故三角形只有一解．故选BC．
8．(2023年上海二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别记为a，b，c，若5a cs A＝b cs C＋c cs B，则sin 2A＝__________．
【答案】 eq \f(4\r(6),25)
【解析】由于5a cs A＝b cs C＋c cs B，利用正弦定理，5sin A cs A＝sin B cs C＋sin C cs B＝sin (B＋C)＝sin A，由于A∈(0，π)，故cs A＝ eq \f(1,5)，所以A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，故sin A＝ eq \f(2\r(6),5)，所以sin 2A＝2sin A cs A＝2× eq \f(2\r(6),5)× eq \f(1,5)＝ eq \f(4\r(6),25)．
9．在△ABC中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin2C，则△ABC的形状是__________．
【答案】直角三角形
【解析】由已知得sin2A－sin2B＝sin2C，根据正弦定理知sinA＝ eq \f(a,2R)，sin B＝ eq \f(b,2R)，sin C＝ eq \f(c,2R)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2R))) eq \s\up12(2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2R))) eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2R))) eq \s\up12(2)，即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2．所以△ABC是直角三角形．
10．(2023年滨州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin C＝ eq \r(3)c cs A．
(1)求角A的大小；
(2)若b＝2，且 eq \f(π,4)≤B≤ eq \f(π,3)，求边c的取值范围．
解：(1)由题得， eq \f(a,\r(3)cs A)＝ eq \f(c,sin C)，
故 eq \f(sin A,\r(3)cs A)＝ eq \f(sin C,sin C)＝1，
∴tan A＝ eq \r(3)．∴A＝ eq \f(π,3)．
(2)∵b＝2，A＝ eq \f(π,3)，
在△ABC中，由正弦定理，得 eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C)，
∴c＝ eq \f(2sin C,sin B)＝ eq \f(2sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－B)),sin B)＝ eq \f(\r(3)cs B,sin B)＋1＝ eq \f(\r(3),tan B)＋1．
∵ eq \f(π,4)≤B≤ eq \f(π,3)，
∴1≤tan B≤ eq \r(3)，∴2≤c≤ eq \r(3)＋1．
故c的取值范围为[2， eq \r(3)＋1]．
B级——能力提升练
11．(多选)在△ABC中，A＞B，则下列不等式中一定正确的有( )
A．sin A＞sin BB．cs A＜cs B
C．sin 2A＞sin 2BD．cs 2A＜cs 2B
【答案】ABD
【解析】A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B，A正确．由于在(0，π)上，y＝cs x单调递减，∴cs A＜cs B，B正确．若A＝ eq \f(π,3)，B＝ eq \f(π,6)，满足A＞B，但sin 2A＝sin 2B，C错误．cs 2A＝1－2sin2A，∵sinA＞sin B＞0，∴sin2A＞sin2B，∴cs2A＜cs 2B，D正确．
12．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至点E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin ∠CED＝( )
A． eq \f(3\r(10),10)B． eq \f(\r(10),10)
C． eq \f(\r(5),10)D． eq \f(\r(5),15)
【答案】B
【解析】由题意得EB＝EA＋AB＝2，则在Rt△EBC中，EC＝ eq \r(EB2＋BC2)＝ eq \r(4＋1)＝ eq \r(5)．在△EDC中，∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝ eq \f(π,4)＋ eq \f(π,2)＝ eq \f(3π,4)．由正弦定理，得 eq \f(sin ∠CED,sin ∠EDC)＝ eq \f(DC,EC)＝ eq \f(\r(5),5)，所以sin ∠CED＝ eq \f(\r(5),5)·sin ∠EDC＝ eq \f(\r(5),5)·sin eq \f(3π,4)＝ eq \f(\r(10),10)．
13．(2023年北京一模)在△ABC中，sin A＝sin 2A，2a＝ eq \r(3)b，则A＝__________； eq \f(b,c)的值为__________．
【答案】 eq \f(π,3) 2
【解析】sin A＝sin 2A＝2sin A cs A，因为A∈(0，π)，所以sin A≠0．所以cs A＝ eq \f(1,2)，A＝ eq \f(π,3)．因为2a＝ eq \r(3)b，则2sin A＝ eq \r(3)sin B，即2× eq \f(\r(3),2)＝ eq \r(3)sin B，所以sin B＝1．又因为B∈(0，π)，则B＝ eq \f(π,2)，所以C＝π－A－B＝ eq \f(π,6)．所以 eq \f(b,c)＝ eq \f(sin B,sin C)＝ eq \f(1,\f(1,2))＝2．
14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A sin B cs C＝sin2C，则 eq \f(a2＋b2,c2)＝__________，sinC的最大值为__________．
【答案】3 eq \f(\r(5),3)
【解析】∵sin A·sin B·cs C＝sin2C，∴由正弦定理，得ab csC＝c2，可得cs C＝ eq \f(c2,ab)．又∵cs C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，∴ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝ eq \f(c2,ab)，整理可得 eq \f(a2＋b2,c2)的值为3．∵cs C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝ eq \f(a2＋b2－\f(a2＋b2,3),2ab)＝ eq \f(a2＋b2,3ab)≥ eq \f(2ab,3ab)＝ eq \f(2,3)，当且仅当a＝b时等号成立，∴(sin C)max＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))\s\up12(2))＝ eq \f(\r(5),3)．
15．(2023年福州模拟)在① eq \f(b,a)＝ eq \f(cs B＋1,\r(3)sin A)，②2b sin A＝a tan B，③(a－c)sin A＋c sin (A＋B)＝b sin B这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________．
(1)求角B；
(2)若a＋c＝4，求△ABC周长的最小值．
解：选① eq \f(b,a)＝ eq \f(cs B＋1,\r(3)sin A)，
(1)由正弦定理可得 eq \f(sin B,sin A)＝ eq \f(1＋cs B,\r(3)sin A)，
即为 eq \r(3)sin B＝1＋cs B，
即有sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))＝ eq \f(1,2)．
由于0＜B＜π，可得B－ eq \f(π,6)＝ eq \f(π,6)，即B＝ eq \f(π,3)．
(2)由余弦定理可得a2＋c2－b2＝2ac cs B＝ac，
即为(a＋c)2－b2＝3ac，即b2＝16－3ac．
若a＋c＝4，则4≥2 eq \r(ac)，可得ac≤4(当且仅当a＝c＝2时取得等号)，
则b≥ eq \r(16－3×4)＝2，
所以△ABC周长的最小值为6．
选②2b sin A＝a tan B，
(1)由正弦定理可得2sin B sin A＝sin A tan B，因为sin A＞0，sin B＞0，
所以2sin B＝ eq \f(sin B,cs B)，即cs B＝ eq \f(1,2)．
由于0＜B＜π，可得B＝ eq \f(π,3)．
(2)由余弦定理可得a2＋c2－b2＝2ac cs B＝ac，
即为(a＋c)2－b2＝3ac，即b2＝16－3ac．
若a＋c＝4，则4≥2 eq \r(ac)，可得ac≤4(当且仅当a＝c＝2时取得等号)，
则b≥ eq \r(16－3×4)＝2，
所以△ABC周长的最小值为6．
选③(a－c)sin A＋c sin (A＋B)＝b sin B，
(1)由正弦定理和诱导公式可得(a－c)a＋c2＝b2，即为a2＋c2－b2＝ac，
由余弦定理可得cs B＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝ eq \f(1,2)．
由于0＜B＜π，可得B＝ eq \f(π,3)．
(2)由余弦定理可得a2＋c2－b2＝2ac cs B＝ac，
即为(a＋c)2－b2＝3ac，即b2＝16－3ac．
若a＋c＝4，则4≥2 eq \r(ac)，可得ac≤4(当且仅当a＝c＝2时取得等号)，则b≥ eq \r(16－3×4)＝2，所以△ABC周长的最小值为6．