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    2024春高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.3平面与平面垂直第2课时平面与平面垂直的性质定理课后提能训练(人教A版必修第二册)

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    数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第2课时练习题

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    这是一份数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第2课时练习题,共6页。试卷主要包含了故选A等内容,欢迎下载使用。
    A级——基础过关练
    1.已知平面α⊥平面β,直线l⊥平面α,则l与β的位置关系是( )
    A.垂直B.平行
    C.l⊂βD.平行或l⊂β
    【答案】D
    【解析】如图,l∥β或l⊂β.故选D.
    2.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则( )
    A.α∥γ B.α⊥γ
    C.α与γ相交但不垂直 D.以上都有可能
    【答案】D
    【解析】α与γ可能平行、相交但不垂直、垂直.故选D.
    3.(多选)如图,P为四边形ABCD外一点,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,E为AD的中点,则下列结论成立的有( )
    A.PE⊥ACB.PE⊥BC
    C.平面PBE⊥平面ABCDD.平面PBE⊥平面PAD
    【答案】ABC
    【解析】因为PA=PD,E为AD的中点,所以PE⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PE⊥平面ABCD,所以PE⊥AC,PE⊥BC,所以A,B成立.又因为PE⊂平面PBE,所以平面PBE⊥平面ABCD,所以C成立.若平面PBE⊥平面PAD,则AD⊥平面PBE,必有AD⊥BE,此关系不一定成立.故选ABC.
    4.平面α⊥平面β,直线a∥平面α,则( )
    A.a⊥β B.a∥β
    C.a与β相交 D.以上都有可能
    【答案】D
    【解析】因为a∥α,平面α⊥平面β,所以直线a与β垂直、相交、平行都有可能.
    5.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,若平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC,AD=CD,则BD与CC1( )
    A.平行 B.共面
    C.垂直 D.不垂直
    【答案】C
    【解析】如图所示,在四边形ABCD中,因为AB=BC,AD=CD,所以BD⊥AC.因为平面AA1C1C⊥平面ABCD,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面AA1C1C.又因为CC1⊂平面AA1C1C,所以BD⊥CC1.故选C.
    6.已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题正确的是( )
    A.若m∥α,n∥α,则m∥n
    B.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
    C.若m∥α,n∥α,且m⊂β,n⊂β,则α∥β
    D.若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n
    【答案】D
    【解析】A中,m与n可能相交、平行或异面,故A错误;B中,α与β相交或平行,故B错误;C中,α与β相交或平行,故C错误;D中,由线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n,故D正确.故选D.
    7.(2023年长治期末)在四面体ABCD中,平面ABC⊥平面BCD,AB=AC=4,BC=CD=BD=2,则AD=( )
    A.3 eq \r(2)B.2 eq \r(3)
    C.4D.2 eq \r(5)
    【答案】A
    【解析】如图,设BC的中点为O,连接AO,DO.因为AB=AC=4,BC=CD=BD=2,故AO⊥BC,DO⊥BC,即∠AOD为二面角A-BC-D的平面角.因为平面ABC⊥平面BCD,故∠AOD=90°.因为AO= eq \r(AB2-BO2)= eq \r(16-1)= eq \r(15),OD=2× eq \f(\r(3),2)= eq \r(3),故AD= eq \r(AO2+OD2)= eq \r(15+3)=3 eq \r(2).故选A.
    8.平面α⊥平面β,α∩β=l,n⊂β,n⊥l,直线m⊥α,则直线m与n的位置关系是 W.
    【答案】平行
    【解析】由题意知n⊥α,又因为m⊥α,所以m∥n.
    9.如图,在三棱锥P-ABC中,侧面PAB⊥底面ABC,且PA=PB=PC,则△ABC是 三角形.
    【答案】直角
    【解析】设点P在平面ABC上的射影为点O,∵平面PAB⊥底面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,∴O∈AB.∵PA=PB=PC,∴OA=OB=OC,∴O是△ABC的外心,且是AB的中点,∴△ABC是直角三角形.
    10.(2023年吉安模拟)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面PBC⊥底面ABCD,E为PB的中点.求证:
    (1)CE∥平面ADP;
    (2)平面PAD⊥平面PAB.
    证明:(1)如图,取棱AP中点F,连接DF,EF.∵EF为△PAB的中位线,∴EF∥AB,且EF= eq \f(1,2)AB.∵CD∥AB,且CD= eq \f(1,2)AB,∴EF∥CD,且EF=CD.∴四边形EFDC为平行四边形.∴CE∥DF.
    ∵DF⊂平面ADP,CE⊄平面ADP,
    ∴CE∥平面ADP.
    (2)∵PC=BC,E为PB的中点,
    ∴CE⊥PB.
    ∵AB⊥BC,平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,AB⊂平面ABCD,∴AB⊥平面PBC.
    又∵CE⊂平面PBC,∴AB⊥CE.
    又∵AB∩PB=B,AB,PB⊂平面PAB,
    ∴CE⊥平面PAB.
    由(1)知CE∥DF,∴DF⊥平面PAB.
    又∵DF⊂平面PAD,
    ∴平面PAD⊥平面PAB.
    B级——能力提升练
    11.(多选)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,下列命题正确的有( )
    A.若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则n⊥β
    B.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
    C.若α⊥β,m⊥β,m⊄α,则m∥α
    D.若α⊥β,m∥α,则m⊥β
    【答案】AC
    【解析】根据平面与平面垂直的性质知A正确;B中,α,β可能平行,也可能相交,不正确;C中,α⊥β,m⊥β,m⊄α时,只可能有m∥α,正确;D中,m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交,不正确.故选AC.
    12.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A∉l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( )
    A.AB∥m B.AC⊥m
    C.AB∥β D.AC⊥β
    【答案】D
    【解析】如图,AB∥l∥m,AC⊥l,m∥l⇒AC⊥m,AB∥l⇒AB∥β.故选D.
    13.空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是__________.
    【答案】45°
    【解析】如图,过点A作AO⊥BD于O点.∵平面ABD⊥平面BCD,∴AO⊥平面BCD,则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.∵∠BAD=90°,AB=AD,
    ∴∠ADO=45°.
    14.如图,平行四边形ABCD中,AB⊥BD,沿BD将△ABD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面中,互相垂直的平面的对数为__________,分别为______________________.
    【答案】3 平面ABD和平面BCD,平面ABC和平面BCD,平面ACD和平面ABD
    【解析】因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊥BD,所以AB⊥平面BCD,所以平面ABC⊥平面BCD.因为AB⊥BD,AB∥CD,所以CD⊥BD,又因为平面ABD⊥平面BCD,所以CD⊥平面ABD,所以平面ACD⊥平面ABD,共3对.
    15.(2023年北京房山区期中)如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在线段BC和AD上,EF∥AB,将矩形ABEF沿EF折起.记折起后的矩形为MNEF,且平面MNEF⊥平面ECDF.
    (1)求证:CD⊥MD;
    (2)若EF=EC,求证:平面NFC⊥平面NED.
    证明:(1)∵四边形ABCD为矩形,EF∥AB,∴EF⊥FM,EF⊥FD.又∵FM∩FD=F,∴EF⊥平面MFD.
    又∵MD⊂平面MFD,∴EF⊥MD.
    又∵EF∥CD,∴CD⊥MD.
    (2)∵EF=EC,四边形EFDC为矩形,
    ∴四边形EFDC为正方形.∴FC⊥ED.
    ∵平面MNEF⊥平面ECDF,NE⊥EF,NE⊂平面MNEF,平面MNEF∩平面ECDF=EF,∴NE⊥平面ECDF.
    ∵FC⊂平面ECDF,∴FC⊥NE.
    ∵NE∩ED=E,∴FC⊥平面NED.
    又∵FC⊂平面NFC,
    ∴平面NFC⊥平面NED.

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