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2024浙江省浙南名校联盟高一下学期开学考试数学试题含解析
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这是一份2024浙江省浙南名校联盟高一下学期开学考试数学试题含解析，文件包含浙江省温州市浙南名校联盟2023-2024学年高一下学期寒假返校联考数学试题含解析docx、浙江省温州市浙南名校联盟2023-2024学年高一下学期寒假返校联考数学试题无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据并集的知识求得正确答案.
【详解】依题意，.
故选：A
2. 已知是定义在R上的偶函数，且当时，，则当时，（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数的奇偶性得到，结合时函数解析式，得到答案.
【详解】时，，
则，
又为偶函数，故，
故.
故选：B
3. “”是“是第一象限角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据象限角、充分和必要条件等知识确定正确答案.
【详解】，
是第一象限角，
所以“”是“是第一象限角”的必要不充分条件.
故选：B
4. 设是第二象限角，为其终边上一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】按三角函数的定义计算即可
【详解】依题意有且
故，
故选：C
5. 在同一直角坐标系中，函数与的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分和两种情况，利用函数的单调性进行判断即可．
【详解】对于A，B，当时，函数在R上为单调递减函数；
又，所以在区间和区间上单调递减，
且当时，，故A和B均错误；
对于C，当时，函数在R上为单调递增函数，
又，所以在区间和区间上单调递增，故C错误，D正确．
故选：D．
6. 宇宙之大，粒子之微，无处不用到数学．2023年诺贝尔物理学奖颁给了“阿秒光脉冲”，光速约为阿秒等于．一尺之棰，日取其半，万世不竭，一根米长的木棰，第一次截去总长的一半，以后每次截去剩余长度的一半，至少需要截（ ）次才能使其长度小于光在阿秒内走的距离．（参考数据：）
A. 30B. 31C. 32D. 33
【答案】C
【解析】
【分析】先求得光在阿秒内走的距离，由此列不等式，结合对数运算求得正确答案.
【详解】光在阿秒内走的距离为，
设需要截次，则，两边取以为底的对数得：，，所以，
所以至少要截次.
故选：C
7. 已知函数是定义在上的奇函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用构造函数法，根据函数的单调性、奇偶性来对不等式进行求解，从而确定正确答案.
【详解】设，由于函数是定义在上的奇函数，
所以，所以是偶函数，
由于，且，都有成立，
所以在上单调递减，则在上单调递增，
由 可知，
①当时，有，，
即，而，
所以，解得.
②当时，有，，
即，所以，
即或，
不等式组的解集为空集，
不等式组的解集为.
综上所述，的取值范围是.
故选：B
8. 已知，则大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出在区间的图象，根据图象确定正确答案.
【详解】依题意，
画出在区间的图象如下图所示，
由图可知.
故选：D
【点睛】关键点点睛：主要是根据函数的增长快慢来进行求解，其中是匀速增长，相对是先慢后快，相对是先快后慢，解题过程中可先画出函数在区间上的图象，根据图象来确定大小关系.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分．
9. 已知，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】利用特殊值、差比较法、不等式的性质等知识确定正确答案.
【详解】A选项，若，则，
所以，所以A选项正确.
B选项，若，当时，，所以B选项错误.
C选项，若，如，则，所以C选项错误.
D选项，若，则
，所以，所以D选项正确.
故选：AD
10. 设函数，已知在有且仅有3个零点，下述结论中，正确的是（ ）
A. 在有且仅有1个解
B. 的取值范围是
C. 在单调递减
D. 若是直线与曲线的两个交点，且，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据在区间上零点的个数求得的取值范围，根据三角方程、三角函数的单调性、三角函数值等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】当时，，
依题意在有且仅有3个零点，所以，
解得，所以B选项正确.
对于A选项，若，即时，
由或可得或是的解，所以A选项错误.
对于C选项，由，得，所以，
所以在单调递减，C选项正确.
对于D选项，由于，所以，
即，，所以，不妨设，
所以由可得，
两式相减得，则，
所以，D选项正确.
故选：BCD
11. 已知定义在上的函数满足，当时，，且，则（ ）
A.
B. 为偶函数
C. 在上单调递减
D. 任意，存在，使得
【答案】ACD
【解析】
分析】运用赋值法，结合函数定义逐项判断即可得.
【详解】对A：令，，则有，又，
故，即，故A正确；
对B：由，则有，
即，即有，
又定义域为，故为奇函数，故B错误；
对C：令，则有，，，由当时，，
故，，则，
即时，有，故在上单调递减，
即C正确；
对D：等价于，
由为奇函数，设函数，
则对任意，
都有，
故函数为奇函数，
故对任意，存在，使，
即任意，存在，使得，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题关键在于运用赋值法，结合函数性质的定义解决函数的性质问题.
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，，，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】观察所求问题的形式，对所给已知条件进行配凑，然后再利用基本不等式中‘1的灵活用法’，即可求解.
【详解】由条件可得，，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立．
故答案为：.
13. 已知且为第四象限角，若，则值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件求得，进而求得.
【详解】依题意，且为第四象限角，
所以，.
，，
，
所以.
故答案为：
14. 已知函数对任意的满足，且当时，．若函数有4个零点，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】将因式分解，可将函数函数的零点问题转化为方程及的解的个数问题，结合函数性质计算即可得.
【详解】，
令，则有或，
当时，当时，令，解得，
由，则关于对称，故当时，有，
即有，即函数有零点即，
故当时，需有两个不同于、的解，
当时，，当时，，
当时，，
则当时，有，有，
又当时，，故有，
即.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题关键在于将因式分解，从而将函数函数的零点问题转化为方程及的解的个数问题.
四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，．
（1）求；
（2）记关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）先解不等式求得集合，然后根据补集、交集的知识求得正确答案.
（2）根据集合的包含关系列不等式，由此求得的取值范围.
【小问1详解】
由解得，所以.
由得或，解得或，
所以，，
所以.
【小问2详解】
由，解得，
所以，要使，
则需或，解得或.
16. 已知函数（其中）的图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）若将函数的图象上的所有点向右平移，再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若函数在有零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数图象，依次求得的值，从而求得的解析式.
（2）根据三角函数图象变换的知识求得，根据在区间上的值域求得正确答案.
【小问1详解】
由图可知，，，
，由于，
所以，所以.
【小问2详解】
将函数的图象上的所有点向右平移，得到，
再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数，
由得，此时，
所以要使函数有零点，则.
17. 某厂生产某种产品的年固定成本为万元，每生产千件，需另投入成本为.当年产量不足千件时，（万元）；当年产量不小于千件时，（万元）.通过市场分析，若每件售价为元时，该厂年内生产的商品能全部售完.（利润销售收入总成本）
（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【答案】17.
18. 千件
【解析】
【分析】（1）由题意，分别写出与对应的函数解析式，即可得分段函数解析式；
（2）当时，利用二次函数的性质求解最大值，当时，利用基本不等式求解最大值，比较之后得整个范围的最大值.
【小问1详解】
解：当，时，
当，时，
∴
【小问2详解】
解：当，时，，
∴当时，取得最大值（万元）
当，时，
当且仅当，即时等号成立.
即时，取得最大值万元
综上，所以生产量为千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为万元
18. 已知函数
（1）若，求的值域；
（2）若，都有恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）使用换元法结合三角函数性质计算即可得；
（2）使用换元法分类讨论计算即可得.
【小问1详解】
当时，，
令，
则，
由，则，故，又，故，
即的值域为；
【小问2详解】
令，则，
当时，，，
则，
由，即，化简得，
令，，
由，故，故在上单调递增，
故，解得；
当时，，，
故，
则有，即，
由，故有，，
解得，
综上所述，.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用换元法，将复杂的三角函数转化为熟悉的二次函数问题，再结合分类讨论的思想即可.
19. 已知函数为奇函数．
（1）求a的值；
（2）设函数，
i．证明：有且只有一个零点；
ii．记函数的零点为，证明：．
【答案】（1）
（2）i．证明见解析；ii．证明见解析
【解析】
【分析】（1）借助函数的奇偶性计算即可得；
（2）结合零点的存在性定理分类讨论可证有且只有一个零点；结合零点性质与单调性放缩可得.
【小问1详解】
，
即有，即恒成立，
故；
【小问2详解】
i．当时，函数与函数均在定义域上单调递增，
故在上单调递增，
又，，
故存在唯一零点，
当时，，，故，
当时，，，故，
故当时，无零点，
综上所述，有且只有一个零点，且该零点；
ii．由上可知，且有，
则，
即，
由函数在区间上单调递增，
故
【点睛】关键点睛：本题i．问关键在于借助零点的存在性定理判定有且只有一个零点，ii．问关键在于借助零点，将转化为，结合函数单调性，得到.
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据并集的知识求得正确答案.
【详解】依题意，.
故选：A
2. 已知是定义在R上的偶函数，且当时，，则当时，（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数的奇偶性得到，结合时函数解析式，得到答案.
【详解】时，，
则，
又为偶函数，故，
故.
故选：B
3. “”是“是第一象限角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据象限角、充分和必要条件等知识确定正确答案.
【详解】，
是第一象限角，
所以“”是“是第一象限角”的必要不充分条件.
故选：B
4. 设是第二象限角，为其终边上一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】按三角函数的定义计算即可
【详解】依题意有且
故，
故选：C
5. 在同一直角坐标系中，函数与的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分和两种情况，利用函数的单调性进行判断即可．
【详解】对于A，B，当时，函数在R上为单调递减函数；
又，所以在区间和区间上单调递减，
且当时，，故A和B均错误；
对于C，当时，函数在R上为单调递增函数，
又，所以在区间和区间上单调递增，故C错误，D正确．
故选：D．
6. 宇宙之大，粒子之微，无处不用到数学．2023年诺贝尔物理学奖颁给了“阿秒光脉冲”，光速约为阿秒等于．一尺之棰，日取其半，万世不竭，一根米长的木棰，第一次截去总长的一半，以后每次截去剩余长度的一半，至少需要截（ ）次才能使其长度小于光在阿秒内走的距离．（参考数据：）
A. 30B. 31C. 32D. 33
【答案】C
【解析】
【分析】先求得光在阿秒内走的距离，由此列不等式，结合对数运算求得正确答案.
【详解】光在阿秒内走的距离为，
设需要截次，则，两边取以为底的对数得：，，所以，
所以至少要截次.
故选：C
7. 已知函数是定义在上的奇函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用构造函数法，根据函数的单调性、奇偶性来对不等式进行求解，从而确定正确答案.
【详解】设，由于函数是定义在上的奇函数，
所以，所以是偶函数，
由于，且，都有成立，
所以在上单调递减，则在上单调递增，
由 可知，
①当时，有，，
即，而，
所以，解得.
②当时，有，，
即，所以，
即或，
不等式组的解集为空集，
不等式组的解集为.
综上所述，的取值范围是.
故选：B
8. 已知，则大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出在区间的图象，根据图象确定正确答案.
【详解】依题意，
画出在区间的图象如下图所示，
由图可知.
故选：D
【点睛】关键点点睛：主要是根据函数的增长快慢来进行求解，其中是匀速增长，相对是先慢后快，相对是先快后慢，解题过程中可先画出函数在区间上的图象，根据图象来确定大小关系.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分．
9. 已知，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】利用特殊值、差比较法、不等式的性质等知识确定正确答案.
【详解】A选项，若，则，
所以，所以A选项正确.
B选项，若，当时，，所以B选项错误.
C选项，若，如，则，所以C选项错误.
D选项，若，则
，所以，所以D选项正确.
故选：AD
10. 设函数，已知在有且仅有3个零点，下述结论中，正确的是（ ）
A. 在有且仅有1个解
B. 的取值范围是
C. 在单调递减
D. 若是直线与曲线的两个交点，且，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据在区间上零点的个数求得的取值范围，根据三角方程、三角函数的单调性、三角函数值等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】当时，，
依题意在有且仅有3个零点，所以，
解得，所以B选项正确.
对于A选项，若，即时，
由或可得或是的解，所以A选项错误.
对于C选项，由，得，所以，
所以在单调递减，C选项正确.
对于D选项，由于，所以，
即，，所以，不妨设，
所以由可得，
两式相减得，则，
所以，D选项正确.
故选：BCD
11. 已知定义在上的函数满足，当时，，且，则（ ）
A.
B. 为偶函数
C. 在上单调递减
D. 任意，存在，使得
【答案】ACD
【解析】
分析】运用赋值法，结合函数定义逐项判断即可得.
【详解】对A：令，，则有，又，
故，即，故A正确；
对B：由，则有，
即，即有，
又定义域为，故为奇函数，故B错误；
对C：令，则有，，，由当时，，
故，，则，
即时，有，故在上单调递减，
即C正确；
对D：等价于，
由为奇函数，设函数，
则对任意，
都有，
故函数为奇函数，
故对任意，存在，使，
即任意，存在，使得，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题关键在于运用赋值法，结合函数性质的定义解决函数的性质问题.
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，，，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】观察所求问题的形式，对所给已知条件进行配凑，然后再利用基本不等式中‘1的灵活用法’，即可求解.
【详解】由条件可得，，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立．
故答案为：.
13. 已知且为第四象限角，若，则值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件求得，进而求得.
【详解】依题意，且为第四象限角，
所以，.
，，
，
所以.
故答案为：
14. 已知函数对任意的满足，且当时，．若函数有4个零点，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】将因式分解，可将函数函数的零点问题转化为方程及的解的个数问题，结合函数性质计算即可得.
【详解】，
令，则有或，
当时，当时，令，解得，
由，则关于对称，故当时，有，
即有，即函数有零点即，
故当时，需有两个不同于、的解，
当时，，当时，，
当时，，
则当时，有，有，
又当时，，故有，
即.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题关键在于将因式分解，从而将函数函数的零点问题转化为方程及的解的个数问题.
四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，．
（1）求；
（2）记关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）先解不等式求得集合，然后根据补集、交集的知识求得正确答案.
（2）根据集合的包含关系列不等式，由此求得的取值范围.
【小问1详解】
由解得，所以.
由得或，解得或，
所以，，
所以.
【小问2详解】
由，解得，
所以，要使，
则需或，解得或.
16. 已知函数（其中）的图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）若将函数的图象上的所有点向右平移，再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若函数在有零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数图象，依次求得的值，从而求得的解析式.
（2）根据三角函数图象变换的知识求得，根据在区间上的值域求得正确答案.
【小问1详解】
由图可知，，，
，由于，
所以，所以.
【小问2详解】
将函数的图象上的所有点向右平移，得到，
再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数，
由得，此时，
所以要使函数有零点，则.
17. 某厂生产某种产品的年固定成本为万元，每生产千件，需另投入成本为.当年产量不足千件时，（万元）；当年产量不小于千件时，（万元）.通过市场分析，若每件售价为元时，该厂年内生产的商品能全部售完.（利润销售收入总成本）
（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【答案】17.
18. 千件
【解析】
【分析】（1）由题意，分别写出与对应的函数解析式，即可得分段函数解析式；
（2）当时，利用二次函数的性质求解最大值，当时，利用基本不等式求解最大值，比较之后得整个范围的最大值.
【小问1详解】
解：当，时，
当，时，
∴
【小问2详解】
解：当，时，，
∴当时，取得最大值（万元）
当，时，
当且仅当，即时等号成立.
即时，取得最大值万元
综上，所以生产量为千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为万元
18. 已知函数
（1）若，求的值域；
（2）若，都有恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）使用换元法结合三角函数性质计算即可得；
（2）使用换元法分类讨论计算即可得.
【小问1详解】
当时，，
令，
则，
由，则，故，又，故，
即的值域为；
【小问2详解】
令，则，
当时，，，
则，
由，即，化简得，
令，，
由，故，故在上单调递增，
故，解得；
当时，，，
故，
则有，即，
由，故有，，
解得，
综上所述，.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用换元法，将复杂的三角函数转化为熟悉的二次函数问题，再结合分类讨论的思想即可.
19. 已知函数为奇函数．
（1）求a的值；
（2）设函数，
i．证明：有且只有一个零点；
ii．记函数的零点为，证明：．
【答案】（1）
（2）i．证明见解析；ii．证明见解析
【解析】
【分析】（1）借助函数的奇偶性计算即可得；
（2）结合零点的存在性定理分类讨论可证有且只有一个零点；结合零点性质与单调性放缩可得.
【小问1详解】
，
即有，即恒成立，
故；
【小问2详解】
i．当时，函数与函数均在定义域上单调递增，
故在上单调递增，
又，，
故存在唯一零点，
当时，，，故，
当时，，，故，
故当时，无零点，
综上所述，有且只有一个零点，且该零点；
ii．由上可知，且有，
则，
即，
由函数在区间上单调递增，
故
【点睛】关键点睛：本题i．问关键在于借助零点的存在性定理判定有且只有一个零点，ii．问关键在于借助零点，将转化为，结合函数单调性，得到.
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