初中数学人教版八年级下册17.2 勾股定理的逆定理课后复习题

这是一份初中数学人教版八年级下册17.2 勾股定理的逆定理课后复习题，共16页。试卷主要包含了2　勾股定理的逆定理，已知下列命题，【易错题】阅读以下解题过程等内容，欢迎下载使用。
基础过关全练
知识点1 互逆命题与互逆定理
1.已知下列命题:①若a>b,则ac>bc;②若a=1,则a=a;③若a>0,b>0,则a+b>0;④直角三角形的两锐角互余.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(2023浙江杭州期末)命题“如果∠α+∠β=180°,那么∠α与∠β互为补角”的逆命题为 .
3.定理“两直线平行,同位角相等”的逆定理是 .
4.写出下列命题的逆命题,并判断真假.
(1)对顶角相等;
(2)如果a=b,那么ac=bc;
(3)如果一个三角形的两个内角相等,那么这两个内角所对的边相等.
知识点2 勾股定理的逆定理
5.【教材变式·P34T1】下列各组数中,以a、b、c为边长的三角形不是直角三角形的是( )
A.a=1,b=2,c=3 B.a=7,b=24,c=25
C.a=5,b=12,c=13 D.a=3,b=4,c=5
6.(2023重庆江津期末)在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.下列条件中,不能说明△ABC是直角三角形的是( )
A.a∶b∶c=1∶2∶3
B.a2=b2+c2
C.∠B+∠C=∠A
D.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
7.【新素材】“淄博烧烤”火了,许多游客纷纷从外地来到淄博吃烧烤.如图,南昌的小邦乘坐高铁从南昌到淄博吃烧烤,在距离铁轨200米的O处,观察他所乘坐的由南昌经过淄博开往青岛的“和谐号”动车.当“和谐号”动车车头在A处时,恰好位于O处的北偏东30°方向,测得OA=300米,10秒钟后(这时段动车的平均速度是50米/秒),动车车头到达C处,测得OC=400米.根据所学知识求得此时点C位于点O的( )
A.北偏西45°方向 B.北偏西30°方向
C.北偏西60°方向 D.南偏东60°方向
8.已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足关系式c2+a2-b2+|c-a|=0,则△ABC的形状为 .
9.【教材变式·P34T5】如图,有一块铁皮(图中阴影部分),测得AB=6,BC=8,CD=24,AD=26,∠B=90°,则阴影部分的面积为 .
10.【易错题】阅读以下解题过程:
已知a,b,c为△ABC的三边长,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.
解:∵a2c2-b2c2=a4-b4,①
∴c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2),②
∴c2=a2+b2,③
∴△ABC为直角三角形.④
(1)上述解题过程从哪一步开始出现错误?该步的序号为 .
(2)错误的原因是 .
(3)本题正确的结论是 .
11.(2023广西贺州期中)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,四边形ABCD的四个顶点均在格点上,请按要求完成下列各题:
(1)线段AC的长为 ,CD的长为 ,AD的长为 ;
(2)通过计算说明△ACD是什么特殊三角形.
知识点3 勾股数
12.(2022浙江宁波外国语学校期末)勾股数,又名毕氏三元数,则下列各组数构成勾股数的是( )
A.13,14,512 B.3,4,5
C.5,15,20 D.9,40,41
能力提升全练
13.(2023河南郑州八中月考,7,★☆☆)已知下列命题:①若|x|=3,则x=3;②全等三角形的三组对应角相等;③直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半;④有理数与数轴上的点一一对应.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
14.【数学文化】(2023四川泸州中考,9,★★☆)《九章算术》是中国古代重要的数学著作,该著作中给出了勾股数a,b,c的计算公式:a=12(m2-n2),b=mn,c=12(m2+n2),其中m>n>0,m,n是互质的奇数.下列四组勾股数中,不能由该勾股数计算公式直接得出的是( )
A.3,4,5 B.5,12,13 C.6,8,10 D.7,24,25
15.(2020河北中考,16,★★☆)下图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取),按图中的方式组成图案,使所围成的三角形是面积最大的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是( )
A.1,4,5 B.2,3,5 C.3,4,5 D.2,2,4
16.【数学文化】(2022湖北黄冈中考,15,★★☆)勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》中:“勾广三,股修四,经隅五.”观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;……,这类勾股数的特点:勾为奇数,弦与股相差1.柏拉图研究了勾为偶数,弦与股相差2的一类勾股数,如:6,8,10;8,15,17;……,若此类勾股数的勾是2m(m≥3,m为正整数),则其弦是 (结果用含m的式子表示).
17.(2021广西玉林中考,16,★★☆)如图,某港口P在东西方向的海岸线上,甲、乙两轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,甲、乙两轮船每小时分别航行12海里和16海里,1小时后两船分别位于点A、B处,且相距20海里,如果知道甲船沿北偏西40°方向航行,那么乙船沿
方向航行.
18.(2022广东深圳实验学校期中改编,16,★★☆)如图,点B为x轴上的一个动点,点A的坐标为(0,4),点C的坐标为(4,1),当点B的坐标为
时,△ABC为直角三角形.
19.(2019河北中考,21,★★☆)已知整式A=(n2-1)2+(2n)2,整式B>0.
尝试 化简整式A;
发现 A=B2,求整式B;
联想 由上述可知,B2=(n2-1)2+(2n)2,当n>1时,n2-1,2n,B为直角三角形的三边长,如图.
填写下表中B的值:
20.(2023安徽合肥寿春中学期中,18,)如图,正方形网格中的每个小正方形边长都为1,每个小格的顶点叫做格点,其中格点A已在网格中标出,以格点为顶点按下列要求画图(不需要写画法).
(1)在图中画一个△ABC,使其三边长分别为AB=2,AC=22,BC=10;
(2)在(1)的条件下,求BC边上的高.
素养探究全练
21.【运算能力】阅读下列材料,然后回答问题.
已知平面内两点M(x1,y1)、N(x2,y2),则这两点间的距离可用下列公式计算:MN=(x1-x2)2+(y1-y2)2.例如:已知P(5,1)、Q(3,-2),则这两点间的距离为PQ=(5-3)2+(1+2)2=13.特别地,如果M(x1,y1)、N(x2,y2)两点所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴,那么这两点间的距离公式可简化为MN=|x1-x2|或MN=|y1-y2|.
(1)已知A(1,4)、B(-2,3),求A、B两点间的距离.
(2)已知A、B两点在平行于y轴的同一条直线上,点A的纵坐标为6,点B的纵坐标为-1,求A、B两点间的距离.
(3)已知△ABC的顶点坐标分别为A(0,4)、B(-1,2)、C(4,2),你能判断△ABC的形状吗?请说明理由.
22.【推理能力】在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,设c为最长边的长,当a2+b2=c2时,△ABC是直角三角形;当a2+b2≠c2时,利用代数式比较a2+b2和c2的大小关系,可以判断△ABC的形状(按角分类).
(1)请你通过画图探究并判断:当△ABC的三边长分别为6、8、9时,△ABC是 三角形,当△ABC的三边长分别为6、8、11时,△ABC是 三角形.
(2)小明同学根据上述探究进行猜想:“当a2+b2>c2时,△ABC为锐角三角形;当a2+b2b,则ac>bc,是假命题,它的逆命题是若ac>bc,则a>b,是假命题;②若a=1,则a=a,是真命题,它的逆命题是若a=a,则a=1,是假命题;③若a>0,b>0,则a+b>0,是真命题,它的逆命题是若a+b>0,则a>0,b>0,是假命题;④直角三角形的两锐角互余,是真命题,它的逆命题是有两角互余的三角形是直角三角形,是真命题,故选A.
2.答案 如果∠α与∠β互为补角,那么∠α+∠β=180°
3.答案 同位角相等,两直线平行
4.解析 (1)相等的角是对顶角,是假命题.
(2)如果ac=bc,那么a=b,是假命题.
(3)如果一个三角形的两条边相等,那么这两条边所对的内角相等,是真命题.
5.D A.12+(2)2=(3)2,符合勾股定理的逆定理,是直角三角形;B.72+242=252,符合勾股定理的逆定理,是直角三角形;C.52+122=132,符合勾股定理的逆定理,是直角三角形;D.(3)2+42≠52,不符合勾股定理的逆定理,不是直角三角形.故选D.
6.A ∵a∶b∶c=1∶2∶3,∴设a=x,b=2x,c=3x,x>0,
∵x2+(2x)2≠(3x)2,∴△ABC不是直角三角形,故选项A符合题意;
∵a2=b2+c2,
∴△ABC为直角三角形,故选项B不合题意;
∵∠B+∠C=∠A,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=90°,∴△ABC为直角三角形,故选项C不合题意;
∵∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠C=180°×31+2+3=90°,
∴△ABC为直角三角形,故选项D不合题意.
故选A.
7.C ∵AC=50×10=500米,OA=300米,OC=400米,
∴OC2+OA2=4002+3002=5002=AC2,即OA2+OC2=AC2,∴△AOC是直角三角形,且∠AOC=90°.∵∠AON=30°,∴∠CON=60°,即点C位于点O的北偏西60°方向.
8.答案 等腰直角三角形
解析 ∵c2+a2-b2+|c-a|=0,∴c-a=0,c2+a2-b2=0,∴a=c,c2+a2=b2,∴△ABC是等腰直角三角形.
9.答案 96
解析 如图,连接AC.
在△ABC中,∠B=90°,AB=6,BC=8,∴AC=62+82=10.
∵CD=24,AD=26,∴AC2+CD2=AD2,∴△ACD是直角三角形,
∴S阴影=S△ACD-S△ABC=12×10×24-12×6×8=96.
10.答案 (1)③
(2)不能确定a2-b2是不是等于0
(3)△ABC是等腰三角形或直角三角形
解析 ∵a2c2-b2c2=a4-b4,
∴c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2),
∴(a2-b2)[c2-(a2+b2)]=0,
∴a2-b2=0或c2-(a2+b2)=0,∴a=b或c2=a2+b2,
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故从第③步开始出现错误,其原因是不能确定a2-b2是不是等于0,正确的结论是△ABC是等腰三角形或直角三角形.
11.解析 (1)AC=22+42=25;CD=12+22=5;AD=32+42=5.
(2)由(1)知AC2=20,CD2=5,AD2=25,
∴AC2+CD2=AD2,∴△ACD是直角三角形.
12.D A.不是正整数,不是勾股数;B.3,5不是正整数,不是勾股数;C.5+15=20,不能构成三角形,不是勾股数;D.92+402=412,且各数均为正整数,是勾股数,故选D.
能力提升全练
13.A ①若|x|=3,则x=3,是假命题;
②全等三角形的三组对应角相等,是真命题,逆命题:三组角对应相等的三角形是全等三角形,逆命题是假命题;
③直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半,是真命题,逆命题:直角三角形中,直角边等于斜边的一半,则这条直角边所对的角等于30°,逆命题也是真命题;
④有理数与数轴上的点一一对应,是假命题.
∴原命题与逆命题均为真命题是③,只有一个,
故选A.
14.C 当m=3,n=1时,a=12(m2-n2)=12×(32-12)=4,b=mn=3×1=3,c=12(m2+n2)=12×(32+12)=5,∴选项A不符合题意;
当m=5,n=1时,a=12(m2-n2)=12×(52-12)=12,b=mn=5×1=5,c=12(m2+n2)=12×(52+12)=13,∴选项B不符合题意;
当m=7,n=1时,a=12(m2-n2)=12×(72-12)=24,b=mn=7×1=7,c=12(m2+n2)=12×(72+12)=25,∴选项D不符合题意;
∵m,n是互质的奇数,
∴6,8,10不能由该勾股数计算公式直接得出,
∴选项C符合题意,故选C.
15.B 根据勾股定理可知选取的三块纸片的面积的关系为两个较小的正方形纸片的面积和等于最大的正方形纸片的面积,所以选项C不符合题意.A选项中,直角三角形的面积为1×42=1;B选项中,直角三角形的面积为2×32=62;D选项中,直角三角形的面积为2×22=1,因为62>1,所以选取的三块纸片的面积分别是2,3,5时,所围成的直角三角形面积最大,故选B.
16.答案 m2+1
解析 ∵m为正整数,∴2m为偶数,
设勾股数的股是a,则其弦为a+2,
根据勾股定理得(2m)2+a2=(a+2)2,
解得a=m2-1,则a+2=m2+1.故其弦是m2+1.
17.答案 北偏东50°
解析 由题意可知AP=12海里,BP=16海里,AB=20海里,∵122+162=202,∴AP2+BP2=AB2,
∴△APB是直角三角形,且∠APB=90°,
由题意知∠APN=40°,
∴∠BPN=∠APB-∠APN=90°-40°=50°,
即乙船沿北偏东50°方向航行.
18.答案 134,0或(2,0)或(-3,0)
解析 如图,过点C作CE⊥x轴于E,CF⊥y轴于F,设点B的坐标为(x,0),则AB2=x2+42,AC2=(4-1)2+42=25,BC2=(4-x)2+12,分三种情况:
①AB为斜边,
∴25+(4-x)2+12=x2+42,解得x=134;
②AC为斜边,
∴(4-x)2+12+x2+42=25,∴x=2;
③BC为斜边,
∴(4-x)2+12=x2+42+25,解得x=-3.
故当点B的坐标为134,0或(2,0)或(-3,0)时,△ABC为直角三角形.
19.解析 尝试 A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2.
发现 ∵A=(n2+1)2,A=B2,B>0,∴B=n2+1.
联想 勾股数组Ⅰ:∵2n=8,∴n=4,∴B=n2+1=42+1=17.
勾股数组Ⅱ:∵n2-1=35,∴B=n2+1=(n2-1)+2=37.
20.解析 (1)如图所示,AB=2,AC=22,BC=10,△ABC即为所求.(答案不唯一)
(2)过点A作AH⊥BC于H,
∵AB=2,AC=22,BC=10,
∴AB2+AC2=BC2,∴∠BAC=90°.∴S△ABC=12AB×AC=12×2×22=2.
∵12BC×AH=2,∴AH=2105.
素养探究全练
21.解析 (1)∵A(1,4)、B(-2,3),
∴AB=(1+2)2+(4-3)2=10.
(2)∵A、B两点在平行于y轴的同一条直线上,点A的纵坐标为6,点B的纵坐标为-1,
∴AB=|6-(-1)|=7.
(3)△ABC是直角三角形.
理由:∵AB=(0+1)2+(4-2)2=5,
BC=(-1-4)2+(2-2)2=5,
AC=(0-4)2+(4-2)2=20,
∴AB2+AC2=(5)2+(20)2=25,BC2=52=25,
∴AB2+AC2=BC2,∴△ABC是直角三角形.
22.解析 (1)如图,当△ABC的三边长分别为6、8、9时,△ABC为锐角三角形;当△ABC的三边长分别为6、8、11时,△ABC为钝角三角形.
(2)由题意得a2+b2=72+242=252,
∵c为最长边的长,7+24=31,∴24