17.3 勾股定理压轴题型 人教版八年级数学暑假分层作业(解析版)

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第05练 勾股定理压轴题型 一、单选题1．如图，在Rt△ACB和Rt△DCE中，AC＝BC＝2，CD＝CE，∠CBD＝15°，连接AE，BD交于点F，则BF的长为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由已知证得，进而确定三个内角的大小，求得，进而可得到答案．【详解】解：∵∴∴又∵∴∴∵在等腰直角三角形中∴∴∴∵∴故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理；熟练掌握相关知识是解题的关键．2．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别是边BC和CD的中点，连接AE，在AE上取点G，连接GF，若，则GF的长为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据已知条件，连接AF、EF，过点F作FM⊥AE，垂足为M，构造关于GF的直角三角形，解直角三角形即可求出GF的长．【详解】解：如图，连接AF、EF，过点F作FM⊥AE，垂足为M，∵正方形ABCD边长为6，点E、F分别是BC、CD的中点，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，BE＝CE＝CF＝DF＝3，，，＝62－×3×6－×3×6－×3×3＝，又∵＝×3×FM，即×3×FM＝，解得FM＝．∵，∴是等腰直角三角形，GM＝FM＝，∴．故选：C．【点睛】本题考查直角三角形的相关计算，构造关于GF的直角三角形、利用勾股定理，是解题的关键．3．如图，在四边形ABCD中，，，且，则BC为（       ）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】过点D作DE⊥AC于点E，证明△DAE≌△ABC（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝BC，设BC＝x，则AC＝2x，由勾股定理得出（2x）2＋x2＝22，求出x的值则可得出答案．【详解】过点D作DE⊥AC于点E，则∠DEA＝90°，∵AD⊥AB，AC⊥BC，∴∠DAB＝∠ACB＝90°，∴∠DAE＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，∴∠DAE＝∠B，又∵AD＝AB，∠DEA＝∠ACB＝90°，∴△DAE≌△ABC（AAS），∴AE＝BC，∵AD＝CD，DE⊥AC，∴AE＝CE，设BC＝x，则AC＝2x，∵AC2＋BC2＝AB2，∴（2x）2＋x2＝22，∴x＝，即BC＝，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握勾股定理是解题的关键．4．如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值；证出△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，得出∠N′OM′=90°，由勾股定理求出M′N′即可．【详解】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：，，∠N′OQ=∠M′OB=30°，∴∠NON′=60°，，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′=．故选：A．【点睛】本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键．5．已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据，可得，根据等边三角形的性质可求得△ABC中AB边上的高和△PAB中AB边上的高的值，当P在CO的延长线时，OP取得最小值，OP=CP-OC，过O作OE⊥BC，求得OC=，则可求解．【详解】解：如图，，，∴=====，∴，设△ABC中AB边上的高为，△PAB中AB边上的高为，则，，∴，∴，∵△ABC是等边三角形，∴， ，∴点P在平行于AB，且到AB的距离等于的直线上，∴当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值，过O作OE⊥BC于E，∴，∵O是等边△ABC的中心，OE⊥BC∴∠OCE=30°，CE=∴OC=2OE∵，∴，解得OE=，∴OC=，∴OP=CP-OC=．故选B．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，弄清题意，找到P点的位置是解题的关键．6．是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的一个动点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接PE、DE、CE，则周长的最小值是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先证明，作关于的对称点，连接，根据对称性可得周长，当三点共线时，取得最小值，据此即可求解．【详解】将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE，△BPE是等边三角形，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=4，∠BAC=∠ABC=60°，∵AD⊥CB，∴BD=CD=2，∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°，∵∠PBE=∠ABC=60°，∴∠ABP=∠CPE，∵BA=BC，BP=BE，∴△ABP≌△CBE（SAS），∴∠BAP=∠BCE=30°，AP=CE∴点E的运动轨迹是射线CE（∠BCE=30°），如图，作关于的对称点，连接，，，是等边三角形，周长当三点共线时，取得最小值，最小值为故选A【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，线段和最短问题，勾股定理，求得点的轨迹是解题的关键．7．如图，在等边中，点A、C分别在x轴、y轴上，，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（       ）A．4 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】取AC的中点D，连接OD，BD，利用三角形原理，当O、D、B三点共线时OB取得最大值，且最大值等于OD+BD，计算出OD，BD的长度即可．【详解】如图，取AC的中点D，连接OD，BD，∵△ABC是等边三角形，∠AOC=90°，AC=4，∴DO==CD=AD，，∵DO+BD≥OB，∴OB≤DO+BD=，当O、D、B三点共线时OB取得最大值，且最大值等于，故选D．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系定理，熟练掌握直角三角形性质和三角形三边关系定理是解题的关键．8．如图，在中，，，为的中点，为线段上一点，过点的线段交的延长线于点，交于点，且分别延长，交于点，若平分，平分则下列说法：①；②；③；④，正确的是（     ）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】B【解析】【分析】首先证明，推出，推出，故正确，再证明，推出，由，推出，证明，推出，可得，推出，即可判断正确，错误，作交于，证明 ， 即可判断正确．【详解】平分故正确；故正确；故错误；作交于，如图故正确；综上，正确的是①②④故选：B．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题9．如图，在等腰三角形中，，，为的中点，为上任意一点，则的范围是______．【答案】【解析】【分析】分别求出PM+PA的最大值和最小值即可．作点关于的对称点，垂足为，连接交于点，则此时最小，作于点，于点，可得出四边形AFED为矩形，再根据等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，即可求得AN的值；当点与点重合时，最大，作于点，根据三角形外角的性质及勾股定理即可得出MC的值，从而得出CM+CN的值，即为所求．【详解】解：如图（1），作点关于的对称点，垂足为，连接交于点，则此时最小，且，作于点，于点∴四边形AFED为矩形∵，，∴，∴，，∴，，∴如图（2）当点与点重合时，最大作于点，,∴，∴，∴故答案为：．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、等腰三角形的性质、三角形外角性质、，正确作出辅助线是解答本题的关键．10．如图，在中，，分别以，，边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，阴影部分的面积为________．【答案】24【解析】【分析】根据勾股定理得到AC2=AB2-BC2，先求解AC，再根据阴影部分的面积等于直角三角形的面积加上以AC，BC为直径的半圆面积，再减去以AB为直径的半圆面积即可．【详解】解：由勾股定理得，AC2=AB2-BC2=64， 则阴影部分的面积， 故答案为24．【点睛】本题考查的是勾股定理、半圆面积计算，掌握勾股定理和半圆面积公式是解题的关键．11．如图，与均为等边三角形，点，在边上，，点在内，且，则的周长为______．【答案】15【解析】【分析】如图，连接AD并延长交BC于M，连接AE，首先证明△AGE是等边三角形，求出AE＝，然后设EM＝a，求出AM＝，再在Rt△AEM中利用勾股定理列式求出a的值即可解决问题．【详解】解：如图，连接AD并延长交BC于M，连接AE，∵与均为等边三角形且，∴点M是EF、BC的中点，∴∠EDM＝30°，∴∠ADG＋∠EDG＝150°，∵，∴∠ADG＝∠DAG，∠EDG＝∠DEG，∴∠ADG＋∠EDG＋∠DAG＋∠DEG＝300°，∴∠AGE＝360°－∠ADG－∠EDG－∠DAG－∠DEG＝60°，∴△AGE是等边三角形，∴AE＝，设EM＝a，则EF＝2a，BE＝CF＝4a，∴BM＝5a，∵点M是BC的中点，∴AM⊥BC，∠BAM＝30°，∴AM＝，在Rt△AEM中，有EM2＋AM2＝AE2，∴，解得：，∴BC＝10a＝5，∴的周长为5×3＝15，故答案为：15．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理的应用等知识，能够作出合适的辅助线，证明△AGE是等边三角形是解题的关键．12．如图，，，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的面积为______．【答案】【解析】【分析】先根据含角的直角三角形的性质、勾股定理求出的长，过点作于点，再根据角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积公式即可得．【详解】解：由题意可知，平分，，，，在中，，，，如图，过点作于点，，则的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．13．如图，在中，，，，点在边上，且，为边上一动点，以为边上方作等边三角形，连接，设的长度为，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】由重合利用勾股定理可求BF的最大值；由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长，构建等边三角形BDG，利用△BDF≌△GDE，转换BF=GE，然后即可求得其最小值．【详解】解：如图，当点E与点C重合时，BF最长．作FM⊥AC于M，∵BC=6，CD：BC=1：2，∴CD=2，BD=4，∵△CDF是等边三角形，∴DM=CM=1，∴BM=5，∴MF=，∴在Rt△BMF中，，∴BF最大是．以 BD 为边作等边三角形BDG，连接GE，如图所示： ∵△BDG ，△DEF都是等边三角形，∴∠BDG =∠EDF=60°，BD=GD=BG，DE=DF=EF，∠BDG+ ∠GFD= ∠EDF+ ∠GFD，即∠BDF=∠GDE，∴△BDF≌△GDE ( SAS )∴BF=GE当GE⊥AC 时，GE有最小值，如图所示GE，作DH⊥GE，∴BF=GE=CD +DB =2+2=4，∴BF最小是4．故填：．【点睛】此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题关键是由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长．14．如图，中，，若在上各取一点使的值最小，则这个最小值为___________．【答案】2【解析】【分析】作点B关于AC的对称点B，过B′作B′N⊥AB于N，交AC于M．此时BM+MN的值最小．通过证明△B′AB是等边三角形，根据等边三角形的性质求解．【详解】：如图，作点B关于AC的对称点B，过B′作B′N⊥AB于N，交AC于M．此时BM+MN的值最小．BM+MN＝B′N．∵点B′与点B关于AC对称，∴AB′＝AB，又∵∠BAC＝30°，∴∠B′AB＝60°，∴△B′AB是等边三角形，∴B′B＝AB＝4，∠B′BN＝60°，又∵B′N⊥AB，∴B′NB′B＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的判定和性质，难度较大．15．如图，在矩形中，，，是边上的中点，是边上的一动点．连接，将沿折叠，点的对应点为点，连接．当为直角三角形时，的长为________．【答案】2或【解析】【分析】分情况讨论：当时，当时，当时三种情况下，分别利用勾股定理和翻折的性质可得到答案．【详解】解：当为直角三角形时，可有：①当时，如图1，此时，由折叠性质可知，，∵，∴，∴；②当时，如图2，由折叠性质可知，，，，∴，即M、E、C三点共线，设，则，在中，，∴，在中，有，即，解得 ，即，③当时，点E在直线CD上，此时，故此种情况不符合题意．综上所述，满足条件的BN的长为2或．故答案为：2或．【点睛】本题主要考查了翻折的性质和勾股定理的运用，根据题意画出图形并分情况讨论是解题关键．16．已知：在中，，，点，都在边上，且，过点作于点，连接，，若，则线段的长为______．【答案】或【解析】【分析】分两种情况：①如图1，过作于，先根据三角形面积计算的长为4，可得的长，根据是等腰直角三角形，计算的长，从而得的长．②如图2，同理可得的长，计算的长，根据是等腰直角三角形可得的长．【详解】解：分两种情况：如图1，，，，，过作于，，，，，，，，是等腰直角三角形，，．如图2，过作于，过作于，，，同理得：，，中，，是等腰直角三角形，，综上，的长是：或．故答案为：或．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理，解答此题的关键是运用等腰直角三角形的判定，本题容易丢解，要注意时，、有两个位置．三、解答题17．（1）如图①，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，P是BC上一点，PA=PD，∠APD=90°．求证：AB+CD=BC．（2）如图②，在四边形ABCD中，∠B=∠C=45°，P是BC上一点，PA=PD，∠APD=90°．求的值．【答案】（1）见详解；（2）【解析】【分析】（1）证即可求证；（2）作，由（1）步骤可证，即可求解；【详解】解:（1）∵∠B=∠C=90°，∠APD=90°∴∠BAP=∠DPC在和中∵∴∴∴；（2）如图，作∴由（1）步骤可证∴又∵∠B=∠C=45°∴∴∵∴∴∴【点睛】本题主要考查三角形的全等证明、勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．18．已知：在6×6的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1个单位长度．(1)【背景呈现】 如图1，点A，B，C都在格点上，直接写出∠BAC的度数．(2)【问题解决】 如图2，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD交于点E，求∠AEC的度数．(3)【拓展应用】 如图3，点A，B都在格点上，点C在格线上，若∠BAC=45°，求线段BC的长度．【答案】(1)∠BAC=45°(2)∠AEC=45°(3)BC=2.5【解析】【分析】（1）连接BC，运用勾股定理求出AB，BC，AC的长，判断是等腰直角三角形即可得出结论；（2）过点A作AF//CD，且AF=CD，则，连接FB，证明是等腰直角三角形即可;（3）延长AC交格点于点D，连接BD，可证明是等腰直角三角形，根据可求出BC的长．(1)连接BC，如图，∵每一个小正方形的边长为1个单位长度,∴∴，且, ∴是等腰直角三角形,∴∠BAC=45°；(2)如图，过点A作AF//CD，且AF=CD，则，连接FB，由勾股定理得，∴，且∴是等腰直角三角形,∴∴；(3)延长AC交格点于点D，连接BD，由勾股定理得，∴，且， ∴是等腰直角三角形，∴，又，   ∴∴【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，平行线的性质等知识，正确作图是解答本题的关键．19．已知和都是等腰直角三角形，．(1)如图1，连，，求证：；(2)若将绕点顺时针旋转，①如图2，当点恰好在边上时，求证：； ②当点，，在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长．【答案】(1)见详解(2)①见详解②BN=或．【解析】【分析】（1）利用SAS定理证明△AOM≌△BON即可；（2）①连接AM，证明△AOM≌△BON，即可证BN2+AN2=2ON2；②当点N在线段AM上时和当点M在线段AN上时两种情况讨论即可求得．(1)证明：如图，∵∠AOB＝∠MON＝90°，∴∠AOM＝∠BON，∵AO＝BO，OM＝ON，∴△AOM≌△BON（SAS）．(2)①证明：如图2中，连接AM．∵∠AOB=∠MON=90∘，∴∠MON−∠AON=∠AOB−∠AON，即∠AOM=∠BON，∵△MON和△AOB是等腰直角三角形，∴OM=ON,OA=OB,∠OAB=∠OBA=45∘，∴△AOM≌△BON，∴AM＝BN，∠OAM＝∠B＝45°，∵∠OAB＝∠B＝45°，∴∠MAN＝∠OAM+∠OAB＝90°，∴，∵△MON是等腰直角三角形，∴，∴. ②当点N在线段AM上时，如图，设OA交BN于J，过点O作OH⊥MN于H．∵△AOM≌△BON，∴AM＝BN，∠OAM＝∠OBN，∵∠AJN＝∠BJO，∴∠ANJ＝∠JOB＝90°，∵OM＝ON＝3，∠MON＝90°，OH⊥MN，∴MN＝，MH＝HN＝OH＝，∴AH＝，∴BN＝AM＝MH+AH＝； 当点M在线段AN上时，如图，同法可证AM＝BN＝． 综上可知，BN=或．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．20．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，左右作平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E、F始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G、H．(1)如图1，当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上，求△DEF的周长；(2)如图2，在△DEF作平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；(3)假设C点与F点的距离为x，△DEF与△ABC的重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域．【答案】(1)9；(2)存在，CF=DG，证明见解析；(3)．【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出，再证明，即可求出△DEF的周长；（2）由（1）可知：EF=DF=DE=3，进一步得到，再证明EG=BE，利用EG+DG=CF+BE=3，即可证明CF=DG；（3）求出，，利用，即可求出．(1)解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，∴，∠A=60，∵△DEF是等边三角形，∴∠DCE=60，∴∠ACD=30，∴∠ADC=90，∴，∴△DEF的周长为9；(2)解：结论：CF=DG. 理由：∵BC=6，由（1）可知：EF=DF=DE=3，∴，∵△DEF是等边三角形，∴∠DEF=60，∵∠DEF=∠B+∠EGB，∴∠B=∠EGB=∠DGE=30，∴EG=BE，∵EG+DG=CF+BE=3，∴CF=DG；(3)解：∵，，∴，即．【点睛】本题考查勾股定理，等边三角形的性质，30°所对的直角边等于斜边的一半，动点问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，等边三角形性质．21．如图1，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0），B（b，c），且（a﹣8）2＋|b﹣3|＋＝0，连接AB，AB2＝（a﹣b）2＋c2(1)求点A和点B的坐标和线段AB的长度；(2)如图2，点P是射线AO上一动点，连接BP，将△ABP沿着直线BP翻折至△QBP，当PQAB时，求点P和点Q的坐标；(3)在（2）的情况下，如图3，点F是线段AP延长线上一动点，连接BF，将△ABF沿着直线BF翻折至△MBF，连接MQ．当MFBP时，试探究∠QMF，∠QBF与∠MQB之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)A（8，0），B（3，3），(2)P（8﹣，0）；Q（3﹣，3）(3)∠MQB＝2∠QBF﹣∠QMF，见解析【解析】【分析】（1）由（a−8）²＋|b−3|＋＝0，可得a＝8，b＝3，c＝3，故A（8，0），B（3，3），又AB2＝（a−b）2＋c2，即得AB2＝（8−3）2＋32＝34，即AB＝；（2）由ABPQ，得∠BPQ＝∠ABP，根据△ABP沿着直线BP翻折至△QBP，即得∠BPA＝∠QBP，BQAP，而AB＝BQ＝，B（3，3），故Q（3−，3），又ABPQ，BQAP，即得P （8−，0）；（3）由BQAP，得∠AFB＝∠QBF，又MFBP，得∠MFB＝∠PBF．由折叠可得：∠MFB＝∠AFB，即得∠QBF＝∠PBF，∠QBP＝2∠QBF，过点Q作直线CDMF，可得CDMFBP，可得∠CQB＝∠QBP，∠CQM＝∠QMF，即可得∠MQB＝2∠QBF−∠QMF．(1)解：∵（a﹣8）²+|b﹣3|+＝0，又∵（a﹣8）²≥0，|b﹣3|≥0，≥0，∴a﹣8＝0，b﹣3＝0，c﹣3＝0，∴a＝8，b＝3，c＝3，∴A（8，0），B（3，3），∴AB2＝（8﹣3）2+32＝34，即；(2)解：如图所示：∵ABPQ，∴∠BPQ＝∠ABP，∵将△ABP沿着直线BP翻折至△QBP，∴∠BPQ＝∠BPA，∠ABP＝∠QBP，∴∠BPA＝∠QBP，∴BQAP，又AB＝BQ＝，B（3，3），∴Q（3﹣，3），又ABPQ，BQAP，∴BQ可看作将AP平移所得，∴由平移的性质得BQ＝AP＝，又A（8，0），∴P（8﹣，0）；(3)解：数量关系：∠MQB＝2∠QBF﹣∠QMF．理由如下：∵BQAP，∴∠AFB＝∠QBF；∵MFBP，∴∠MFB＝∠PBF，由折叠可得：∠MFB＝∠AFB，∴∠QBF＝∠PBF，∴∠QBP＝2∠QBF，过点Q作直线CDMF，如图所示：∵MFBP，∴CDMFBP，∴∠CQB＝∠QBP，∠CQM＝∠QMF，又∠MQB＝∠CQB﹣∠CQM，∴∠MQB＝∠QBP﹣∠QMF，又∠QBP＝2∠QBF，∴∠MQB＝2∠QBF﹣∠QMF．【点睛】本题考查三角形综合知识，涉及非负式的和为0的条件、图像的折叠、平行线的性质等知识，解题的关键是掌握折叠的性质：折叠前后图形形状、大小不变．22．重温定理：(1)我们在八年级上册学过三角形内角和定理，大家还记得定理内容吗?三角形内角和定理三角形的内角和等于．我们在探究证明“三角形内角和定理”时，“奋进组”进行了撕纸拼凑的探究活动，小丽撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，你能否按以上操作完成探究证明?试写证明过程；方法类比：(2)如图2，在四边形中，与互余，小明发现四边形中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作，再过点C作于点E，你发现之间的数量关系是________，试探究说明；实践应用：(3)如图3，在四边形中，连接，点O是两边垂直平分线的交点，连接，若．试证明：；【答案】(1)见解析．(2)，说明见解析．(3)见解析．【解析】【分析】（1）根据拼图可求得∠A=∠DCF；（2）根据∠ABC与∠ADC互余求得∠ADF=∠ADC+∠CDE=90°，利用勾股定理即可求解；（3）点O 是△ACD两边垂直平分线的交点，证得OA=OD=OC，推出2∠OAC+2∠ODC+2∠ODA=180°，得到∠OAC+∠ADC=90°，即可求解．(1)解：如图1中，证明如下：由撕纸可得：，∴，∴，∴，∴．(2)答案为：，探究如下：如图2中，∵，∴，∴在中，故答案为：；(3)证明：如图3中，连接OC，连接DO延长至E，∵点O是两边垂直平分线的交点，∴，∴，，∵2∠OAC+2∠ODC+2∠ODA=180°，∴∠OAC+∠ADC=90°，∵，∴．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了勾股定理、三角形的内角和定理、及等腰三角形的性质．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．23．如图，在中，，为边上一点，且，，，点为边上的动点，连接．(1)求的长；(2)当为等腰三角形时，求的长．【答案】(1)(2)或或【解析】【分析】（1）先利用勾股定理逆定理证明，然后利用勾股定理即可求出答案；（2）分三种情况，结合勾股定理可求出答案．(1)解：∵，，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴的长为．(2)①当时， ；②如图，当时，由（1）知：，，∴∴，∴，设，∵，∴，∴或（负值舍去），∴；③如图，当时，有，∴，，∴，∴．综上所述，的长为或或．【点睛】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，等腰三角形的性质．熟练掌握勾股定理是解题的关键．24．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D．(1)如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN=90°，当∠AMN=30°，AB=2时，求线段AM的长；(2)如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF=90°，求证：BE=AF；(3)如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN=90°，求证：AB+AN=AM．【答案】(1)(2)见解析(3)见解析【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可求出，求出，再利用勾股定理即可求解；（2）证明，根据全等三角形的性质即可求解；（3）过点M作交AB的延长线于E，先证明，根据全等三角形的性质有BE=AN，再根据等腰直角三角形的性质、勾股定理即可求解．(1)∵，，，∴，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，由勾股定理得，，即，解得：，∴；(2)证明：，，∴，在和中，，∴，∴；(3)证明：过点M作交AB的延长线于E，∴，则，，∴，∵，，∴，在和中，，，∴，∴．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理定理等知识，充分利用全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．