专题11 拥抱模型解直角三角形-中考数学重难点专项突破（全国通用）

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1、某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．
（结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cs30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cs59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）
解：在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，则AC＝CD．
设AC＝CD＝x，则BC＝x﹣10，
在Rt△BCD中，．
∴CD＝BC•tan59.1°，
∴x＝1.67（x﹣10），
解得：x≈24.93，
在Rt△ACE中，．
CE＝AC•tan30.1°＝24.93×0.58≈14.46，
∴DE＝DC﹣CE＝24.93﹣14.46＝10.47≈10.5，
答：塑像“夸父追日”DE 的高度约为10.5米．
2、今年由于防控疫情，师生居家隔离线上学习，AB和CD是社区两栋邻楼的示意图，小华站在自家阳台的C点，测得对面楼顶点A的仰角为30°，地面点E的俯角为45°．点E在线段BD上，测得B，E间距离为8.7米，楼AB高12米．求小华家阳台距地面高度CD的长．（结果精确到1米，≈1.41，≈1.73）
解：作CH⊥AB于H，如图所示：
则四边形HBDC为矩形，
∴BD＝CH，BH＝CD，
由题意得，∠ACH＝30°，∠DCE＝45°，
设BH＝CD＝x米，则AH＝（12﹣x）米，
在Rt△AHC中，∵tan∠ACH＝＝，
∴HC＝AH＝（36﹣x）米，
∵∠CDE＝90°，
∴∠CED＝90°﹣45°＝45°＝∠DCE，
∴ED＝CD＝x米，
∵CH＝BD＝BE+ED
∴8.7+x＝36﹣x．
∵≈1.73，
解得x≈10．
答：小华家阳台距地面高度CD的长约为10米．
3、数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21 m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．(精确到1 m．参考数据：sin 34°≈0.56，cs 34°≈0.83，tan 34°≈0.67，eq \r(3)≈1.73)
解：∵∠ACE＝90°，∠CAE＝34°，CE＝55 m，
∴tan∠CAE＝eq \f(CE,AC)，
∴AC＝eq \f(CE,tan 34°)≈eq \f(55,0.67)≈82.1(m)．
∵AB＝21 m，∴BC＝AC－AB≈61.1 m.
在Rt△BCD中，tan 60°＝eq \f(CD,BC)，
∴CD＝eq \r(3)BC≈1.73×61.1≈105.7(m)，
∴DE＝CD－EC≈105.7－55≈51(m)．
答：炎帝塑像DE的高度约为51 m.
4、如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO＝45°.轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45 km/h和36 km/h.经过0.1 h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO＝58°.此时B处距离码头O有多远？
(参考数据：sin 58°≈0.85，cs 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)
解：设B处距离码头O有x km.
在Rt△CAO中，∠CAO＝45°，
∴CO＝AO＝45×0.1＋x
＝4.5＋x.
在Rt△DBO中，∠DBO＝58°.
∵tan∠DBO＝eq \f(DO,BO)，∴DO＝BO·tan∠DBO＝x·tan 58°.
∵DC＝DO－CO，
∴36×0.1＝x·tan 58°－(4.5＋x)．
∴x＝eq \f(36×0.1＋4.5,tan 58°－1)≈eq \f(36×0.1＋4.5,1.60－1)＝13.5.
答：B处距离码头O大约有13.5 km.
5、某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为 ．（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）
解：如图，作CE⊥BA于E．设EC＝xm，BE＝ym．
在Rt△ECB中，tan53°＝，即，
在Rt△AEC中，tan37°＝，即，
解得x＝180，y＝135，
∴AC＝＝＝300（m），
故答案为：300m．
6、如图，为测量湖面上小船A到公路BC的距离，先在点B处测得小船A在其北偏东60°方向，再沿BC方向前进400m到达点C，测得小船A在其北偏西30°方向，则小船A到公路BC的距离为 m．
解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D．如图，则∠ADC＝90°，[来源:学.科.网]
依题意得：∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣60°＝30°，BC＝400m，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝BC＝200m，
∵∠DAC＝90°﹣60°＝30°，
∴CD＝AC＝100m，AD＝CD＝100m，
即小船A到公路BC的距离为100m；
故答案为：100．
7、如图，AB为某段长为10km的海岸线，码头B在码头A的东偏北30°方向上，灯塔C在码头B正北方向，码头A正西方向有一艘船D向码头A方向行驶，从船D观测，灯塔C在船D的东偏北37°方向，在灯塔C观测码头A在灯塔C的南偏西30°方向，求此时船D与码头A的距离（精确到0.1km．参考数据：＝1.73，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
解：过B作BG⊥AD于G，
∵在Rt△ABG中，∠BAG＝30°，AB＝10km，
∴AG＝5km，
∵在Rt△ACG中，∠ACG＝30°，
∴CG＝km，
∵在Rt△DCG中，，
∴DG＝km，
∴DA＝20﹣5≈11.3km，
答：此时船D与码头A的距离为11.4km．
8、科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60方向行驶8千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．（结果保留根号）
解：过B作BD⊥AC于点D．
在Rt△ABD中，BD＝AB•sin∠BAD＝8×＝4（千米），
∵△BCD中，∠CBD＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD＝BD＝4（千米），
∴BC＝BD＝4（千米）．
答：B，C两地的距离是4千米．