专题43 三角形的折叠问题-中考数学重难点专项突破（全国通用）

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【解析】∵正方形ABDE关于直线AB对称的正方形ABD′E′，
∴AE′=AB=10，∠E′AB=90°，∠AE′N=90°，
∵AC=6，BC=8，AB=10，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB为直角三角形，
∴AC2=BC•MC，
∴MC==，
∵∠MAC=∠NAE′，
∴Rt△ACM∽Rt△AE′N，
∴=，即=，∴E′N=，
∴四边形CME′N的面积=S△AE′N﹣S△ACM=×10×﹣×6×=24．
故答案为24．
2、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B= ．
【解析】如图，连接BB′，
∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，
∴AB=AB′，∠BAB′=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∴AB=BB′，
在△ABC′和△B′BC′中，
，
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），
∴∠ABC′=∠B′BC′，
延长BC′交AB′于D，则BD⊥AB′，
∵∠C=90°，AC=BC=，
∴AB==2，
∴BD=2×=，C′D=×2=1，
∴BC′=BD﹣C′D=﹣1．故答案为：﹣1
3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，当线段AF=AC时，BE的长为 ．
【解析】连接AD，作EG⊥BD于G，如图所示：
则EG∥AC，
∴△BEG∽△BAC，
∴==，
设BE=x，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∴==，
解得：EG=x，BG=x，
∵点D是边BC的中点，
∴CD=BD=2，
∴DG=2﹣x，
由折叠的性质得：DF=BD=CD，∠EDF=∠EDB，
在△ACD和△AFD中，，
∴△ACD≌△AFD（SSS），
∴∠ADC=∠ADF，
∴∠ADF+∠EDF=×1880°=90°，
即∠ADE=90°，
∴AD2+DE2=AE2，
∵AD2=AC2+CD2=32+22=13，DE2=DG2+EG2=（2﹣x）2+（x）2，
∴13+（2﹣x）2+（x）2=（5﹣x）2，解得：x=，即BE=；
故答案为：．
4、已知中， ， ．如图，将进行折叠，使点落在线段上（包括点和点），设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时，点可能的位置共有（ ）．
A．种 B．种 C．种 D．种
【解析】（1）当点D与C重合时，
∵AC=BC，AE=DE（即CE），AF=DF（即CF），
∴此时△AFC（即△AFD）是等腰直角三角形，点E是斜边AC的中点，
∴EF=DE，
∴△EDF为等腰三角形．
（2）当点D与B点重合时，点C与E重合，
∵AC=BC，AF=DF（即BF），
∴此时EF=AB=DF（即BF），
∴△DEF是等腰三角形；
（3）当点D移动到使DE=DF的位置时，△DEF是等腰三角形．
综上所述，当△DEF为等腰三角形时，点D的位置存在3中可能.
故选B.
5、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=+1，点E、F分别是BC、AC边上的动点，沿E、F所在直线折叠∠C，使点C的落对应点C'始终落在边AB上，若△BEC'是直角三角形时，则BC'的长为
【答案】或1.
【解析】通过观察及分析可知，C点不可能为直角顶点，分两种情况讨论.
①当∠CM B′=90°时，如图例5-2所示.
由折叠知：∠BMN=∠B′MB=45°，又因为∠B=45°，所以∠BNM=90°，∠MNB′=90°
即∠BNM+∠MN B′=180°，所以B、N、B′三点共线，此时B′与点A重合.
所以，
①当∠CB′M=90°时，如图例5-3所示.
由折叠知∠B=∠B′=45°，因为∠C=45°，可得∠B′MC=45°，所以△B′MC是等腰直角三角形
设BM= B′M=x，B′C=x，则MC= x
因为BC=+1
所以x+x=+1
解得：x=1，即BM=1.
综上所述，BM的值为或1.
【点睛】根据题意判断出C点不可能为直角顶点，分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的三边关系求解.
6、如图，矩形ABCD中，点E为射线BC上的一个动点，连接AE，以AE为对称轴折叠△AEB，得到△AEB′，点B的对称点为点B′，若AB=5，BC=3，当点B′落在射线CD上时，线段BE的长为 ．
【答案】5或5 .
【解析】∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=10，BC=AD=5，
∵矩形ABCD折叠，使点C落在边AB上的E处，折痕交DC边于点M，
∴∠MEB=∠C=90°，BC=BE=5，
∴四边形BCME为正方形，
∴ME=5，
∴AE=AB-BE=5，
∵点F在DM上运动，且△AEF是腰长为5的等腰三角形，
∴点F只能在点D或点M处，
点F运动到点D时，EF=5
当点F运动到点M时，EF=5．
故答案为5或5.
7、如图例3-1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，BD的长为

图例3-1 图例3-2图例3-3
8、如图例5-1，在中，，，，点，分别是边，上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点始终落在边上.若为直角三角形，则的长为 ．
图例5-1图例5-2 图例5-3
9、如图例6-1，在∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A’BC与△ABC关于BC所在直线对称. D、E分别为AC、BC的中点，连接DE并延长交A’B所在直线于点F，连接A’E. 当△A’EF为直角三角形时，AB的长为.
图例6-1图例6-2 图例6-3
10、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=+1，点E、F分别是BC、AC边上的动点，沿E、F所在直线折叠∠C，使点C的落对应点C'始终落在边AB上，若△BEC'是直角三角形时，则BC'的长为
【答案】或2.
【解析】如图1，当∠BEC'=90°时，
图1 图2
∵∠B=30°，
∴BE=C’E，
又∵CE=C'E，BC=+1，
∴BE=，C'E=1，
∴Rt△BEC'中，BC'=2；
如图2，当∠BC'E=90°时，
∵∠B=30°，
∴BE=2C'E=2CE，
又∵BC=+1，
∴BE=，C'E=，
∴BC'=；
综上所述，BC'的长为或2．