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    专题68 费马点中的对称模型与最值问题-中考数学重难点专项突破(全国通用)

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    【精典例题】
    1、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=AC=1,P是△ABC内一点,求PA+PB+PC的最小值.
    【分析】如图,以AD为边构造等边△ACD,连接BD,BD的长即为PA+PB+PC的最小值.至于点P的位置?这不重要!
    如何求BD?考虑到△ABC和△ACD都是特殊的三角形,过点D作DH⊥BA交BA的延长线于H点,根据勾股定理,即可得出结果.
    2、如图,已知矩形ABCD,AB=4,BC=6,点M为矩形内一点,点E为BC边上任意一点,则MA+MD+ME的最小值为______.
    【分析】依然构造60°旋转,将三条折线段转化为一条直线段.
    分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG,连接FG,
    易证△AMD≌△AGF,∴MD=GF
    ∴ME+MA+MD=ME+EG+GF
    过F作FH⊥BC交BC于H点,线段FH的长即为所求的最小值.
    3、如图,是内一定点,点,分别在边,上运动,若,,则的周长的最小值为___________.
    【答案】3
    【详解】
    如图,作P关于OA,OB的对称点C,D.连接OC,OD.则当M,N是CD与OA,OB的交点时,△PMN的周长最短,最短的值是CD的长.
    ∵点P关于OA的对称点为C,
    ∴PM=CM,OP=OC,∠COA=∠POA;
    ∵点P关于OB的对称点为D,
    ∴PN=DN,OP=OD,∠DOB=∠POB,
    ∴OC=OD=OP=3,∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°,
    ∴△COD是等边三角形,
    ∴CD=OC=OD=3.
    ∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3.
    4、如图,点都在双曲线上,点,分别是轴,轴上的动点,则四边形周长的最小值为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】
    试题解析:分别把点A(a,3)、B(b,1)代入双曲线y=得:a=1,b=3,
    则点A的坐标为(1,3)、B点坐标为(3,1),
    作A点关于y轴的对称点P,B点关于x轴的对称点Q,
    所以点P坐标为(﹣1,3),Q点坐标为(3,﹣1),
    连结PQ分别交x轴、y轴于C点、D点,此时四边形ABCD的周长最小,
    四边形ABCD周长=DA+DC+CB+AB
    =DP+DC+CQ+AB
    =PQ+AB
    =
    =4+2
    =6,
    故选B.
    5、如图所示,,点为内一点,,点分别在上,求周长的最小值.
    【答案】周长的最小值为8
    【详解】
    如图,作P关于OA、OB的对称点,连结、,交OA、OB于M、N,此时周长最小,根据轴对称性质可知,,,且,,,,为等边三角形,即周长的最小值为8.
    6、如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点D,点E(4,n)在抛物线上.
    (1)求直线AE的解析式;
    (2)点P为直线CE下方抛物线上的一点,连接PC,PE.当△PCE的面积最大时,连接CD,CB,点K是线段CB的中点,点M是CP上的一点,点N是CD上的一点,求KM+MN+NK的最小值;
    (3)点G是线段CE的中点,将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′,y′经过点D,y′的顶点为点F.在新抛物线y′的对称轴上,是否存在一点Q,使得△FGQ为等腰三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
    【答案】(1)y=x+.(2)3,(3)点Q的坐标为(3,),Q′(3,)或(3,2)或(3,﹣).
    【详解】
    试题解析:(1)∵y=x2﹣x﹣,
    ∴y=(x+1)(x﹣3).
    ∴A(﹣1,0),B(3,0).
    当x=4时,y=.
    ∴E(4,).
    设直线AE的解析式为y=kx+b,将点A和点E的坐标代入得:

    解得:k=,b=.
    ∴直线AE的解析式为y=x+.
    (2)设直线CE的解析式为y=mx﹣,将点E的坐标代入得:4m﹣=,解得:m=.
    ∴直线CE的解析式为y=x﹣.
    过点P作PF∥y轴,交CE与点F.
    设点P的坐标为(x,x2﹣x﹣),则点F(x,x﹣),
    则FP=(x﹣)﹣(x2﹣x﹣)=x2+x.
    ∴△EPC的面积=×(x2+x)×4=﹣x2+x.
    ∴当x=2时,△EPC的面积最大.
    ∴P(2,﹣).
    如图2所示:作点K关于CD和CP的对称点G、H,连接G、H交CD和CP与N、M.
    ∵K是CB的中点,
    ∴k(,﹣).
    ∵点H与点K关于CP对称,
    ∴点H的坐标为(,﹣).
    ∵点G与点K关于CD对称,
    ∴点G(0,0).
    ∴KM+MN+NK=MH+MN+GN.
    当点O、N、M、H在条直线上时,KM+MN+NK有最小值,最小值=GH.
    ∴GH==3.
    ∴KM+MN+NK的最小值为3.
    (3)如图3所示:
    ∵y′经过点D,y′的顶点为点F,
    ∴点F(3,﹣).
    ∵点G为CE的中点,
    ∴G(2,).
    ∴FG=.
    ∴当FG=FQ时,点Q(3,),Q′(3,).
    当GF=GQ时,点F与点Q″关于y=对称,
    ∴点Q″(3,2).
    当QG=QF时,设点Q1的坐标为(3,a).
    由两点间的距离公式可知:a+=,解得:a=﹣.
    ∴点Q1的坐标为(3,﹣).
    综上所述,点Q的坐标为(3,),Q′(3,)或(3,2)或(3,﹣).
    7、已知,如图,二次函数图象的顶点为,与轴交于、两点(点在点右侧),点、关于直线:对称.
    (1)求、两点的坐标,并证明点在直线上;
    (2)求二次函数解析式;
    (3)过点B作直线交直线于K点,M、N分别为直线AH和直线上的两个动点,连结HN、NM、MK,求HN+NM+MK的最小值.
    【答案】
    (1)点坐标为,点坐标为
    (2)
    (3)8
    【详解】
    (1)依题意,得ax2+2ax−3a=0(a≠0),
    两边都除以a得:
    即x2+2x−3=0,
    解得x1=−3,x2=1,
    ∵B点在A点右侧,
    ∴A点坐标为(−3,0),B点坐标为(1,0),
    答:A. B两点坐标分别是(−3,0),(1,0).
    证明:
    ∵直线l:y=,
    当x=−3时,y=,
    ∴点A在直线l上.
    (2)∵点H、B关于过A点的直线l:y=对称,
    ∴AH=AB=4,
    过顶点H作HC⊥AB交AB于C点,
    则AC=,
    ∴顶点H,
    代入二次函数解析式,解得a=,
    ∴二次函数解析式为,
    答:二次函数解析式为.
    (3)直线AH的解析式为,
    直线BK的解析式为,

    解得,
    即K(3,2),
    则BK=4,
    ∵点H、B关于直线AK对称,K(3,2),
    ∴HN+MN的最小值是MB,
    过K作KD⊥x轴于D,作点K关于直线AH的对称点Q,连接QK,交直线AH于E,
    则QM=MK,QE=EK=2,AE⊥QK,
    ∴根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ,即BQ的长是HN+NM+MK的最小值,
    ∵BK∥AH,
    ∴∠BKQ=∠HEQ=90∘,
    由勾股定理得QB=
    ∴HN+NM+MK的最小值为8,
    答:HN+NM+MK和的最小值是8.
    利用轴对称的性质,把三线段问题通过做对称转化为两点之间线段最短的问题进而解题。
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