专题72 一元二次方程在实际应用中的最值问题-中考数学重难点专项突破（全国通用）

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1、近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．
（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．
解：（1）设每年平均增长的百分率为x．
6000=8640，
=1.44，
∵1+x＞0，
∴1+x=1.2，
x=20%．
答：每年平均增长的百分率为20%；
（2）2012年该县教育经费为8640×（1+20%）=10368（万元）＞9500万元．
故能实现目标．
2、如图，要建造一个四边形花圃ABCD，要求AD边靠墙，CD⊥AD，AD∥BC，AB∶CD＝5∶4，且三边的总长为20 m．设AB的长为5x m.
(1)请求AD的长；(用含字母x的式子表示)
(2)若该花圃的面积为50 m2，且周长不大于30 m，求AB的长．
解：(1)作BH⊥AD于点H，则AH＝3x，由BC＝DH＝20－9x得AD＝20－6x (2)由2(20－9x)＋3x＋9x≤30得x≥eq \f(5,3)，由eq \f(1,2)[(20－9x)＋(20－6x)]×4x＝50得3x2－8x＋5＝0，∴x1＝eq \f(5,3)，x2＝1(舍去)，∴5x＝eq \f(25,3).答：AB的长为eq \f(25,3)米
【方法总结】
一、一元二次方程判别式求解
1、已知x、y为实数，且满足，，求实数m最大值与最小值。
解：由题意得
所以x、y是关于t的方程的两实数根，所以

即
解得
m的最大值是，m的最小值是－1。
2、已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（ ）
A．7 B．11 C．12 D．16
【答案】D
【详解】
∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，
∴m+n=2t，mn=t2﹣2t+4，
∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．
∵方程有两个实数根，
∴△=（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）=8t﹣16≥0，
∴t≥2，
∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．
故选D．
二、配方法求最值
1、设a、b为实数，那么的最小值为_______。
【答案】-1
【解析】
当，，即时，
上式等号成立。故所求的最小值为－1。
2、将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA=5，AB=6，AB=1：3，则MD+的最小值为 ．
【答案】．
【详解】
∵AB=6，AB=1：3，∴AD=6×=2，BD=6﹣2=4，∵△ABC和△FDE是形状、大小完全相同的两个等腰三角形，∴∠A=∠B=∠FDE，由三角形的外角性质得，∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN，∴∠AMD=∠BDN，∴△AMD∽△BDN，∴，∴MA•DN=BD•MD=4MD，∴MD+=MD+==，∴当，即MD=时MD+有最小值为．故答案为：．
三、 “夹逼法”求最值
1、不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。
解：设a、b、c三边上高分别为4、12、h
因为，所以
又因为，代入
得，所以
又因为，代入
得，所以
所以31、国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2017年底有贫困人口1万人，通过各方面的共同努力，2019年底该地区贫困人口减少到0.25万人，求该地区2017年底至2019年底贫困人口年平均下降的百分率．
解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：
（1﹣x）2＝0.25，
解得：x＝0.5＝50%或x＝1.5（舍去）
答：该地区2017年底至2019年底贫困人口年平均下降的百分率为50%．
2、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利50元．经调查发现：这种衬衫的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件衬衫降价x元．
（1）降价后，每件衬衫的利润为 元，平均每天的销量为 件；（用含x的式子表示）
（2）为了扩大销售，尽快滅少库存，商场决定采取降价措施，但需要平均每天盈利1600元，那么每件衬衫应降价多少元？
解：（1）∵每件衬衫降价x元，
∴每件衬衫的利润为（50﹣x）元，销量为（20+2x）件．
故答案为：（50﹣x）；（20+2x）．
（2）依题意，得：（50﹣x）（20+2x）＝1600，
整理，得：x2﹣40x+300＝0，
解得：x1＝10，x2＝30．
∵为了扩大销售，尽快减少库存，
∴x＝30．
答：每件衬衫应降价30元．
3、2020年，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平，重庆市深度贫困地区脱贫进程明显加快，作风治理和能力建设初见成效，精准扶贫、精准脱贫取得突破性进展．为助力我市脱贫攻坚，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，该村在今年1月份销售256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包．
（1）若设2、3这两个月销售量的月平均增长率为a%，求a的值；
（2）若农产品礼包每包进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？
解：（1）设2、3这两个月的月平均增长率为x．
由题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝25%，x2＝﹣225%（舍去），
即2、3这两个月的月平均增长率为25%，
即a的值是25；
（2）设当农产品每袋降价m元时，该农产品在4月份可获利4620元．
根据题意可得：（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4620，
解得：m1＝4，m2＝﹣69（舍去），
答：当农产品每袋降价4元时，该农产品在4月份可获利4620元．
4、某商场第一年销售某品牌手机5000部，如果每年的销售量比上年增长相同的百分率x，且第三年比第二年多销售了1200部，求x的值．
解：依题意，得：5000（1+x）2﹣5000（1+x）＝1200，
整理，得：25x2+25x﹣6＝0，
解得：x1＝＝20%，x2＝﹣（不合题意，舍去）．
答：x的值为20%．
5、某通讯公司规定：一名客户如果一个月的通话时间不超过A分钟，那么这个月这名客户只要交10元通话费；如果超过A分钟，那么这个月除了仍要交10元通话费外，超过部分还要按每分钟元交费．
（Ⅰ）某名客户7月份通话90分钟，超过了规定的A分钟，则超过部分应交通话费 元（用含A的代数式表示）；
（Ⅱ）下表表示某名客户8月份、9月份的通话情况和交费情况：
根据上表的数据，求A的值．
解：（I）超过部分应交通话费（90﹣A）元．
故答案为：（90﹣A）．
（II）依题意，得：10+（80﹣A）＝25，
整理，得：A2﹣80A+1500＝0，
解得：A1＝30，A2＝50．
∵A≥45，
∴A＝50．
答：A的值为50．
6、在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角，墙DF足够长，墙DE长为9米，现用20米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，点C在墙DF上，点A在墙DE上，（篱笆只围AB，BC两边）．
（Ⅰ）根据题意填表；
（Ⅱ）能够围成面积为100m2的矩形花园吗？如能说明围法，如不能，说明理由．
解：（I）1×（20﹣1）＝19，3×（20﹣3）＝51，5×（20﹣5）＝75，7×（20﹣7）＝91．
故答案为：19；51；75；91．
（II）不能，理由如下；
设BC＝xm，则AB＝（20﹣x）m，
依题意，得：x（20﹣x）＝100，
整理，得：x2﹣20x+100＝0，
解得：x1＝x2＝10．
∵10＞9，
∴不能围成面积为100m2的矩形花园．月份
通话时间/分钟
通话费总数/元
8月份
80
25
9月份
45
10
BC（m）
1
3
5
7
矩形ABCD面积（m2）