专题58 三角形中作辅助线造相似-中考数学重难点专项突破（全国通用）

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（1）求AC边上的高BH的长；
（2）如图2，点D、E分别在边AB、BC上，G、F在边AC上，当四边形DEGF是正方形时，求DE的长．
解：（1）过点A作AN⊥BC于N，
∵AB＝AC＝10，BC＝12，AN⊥BC，
∴BN＝CN＝6，
∴AN＝＝＝8，
∵S△ABC＝AC×BH＝BC×AN，
∴BH＝＝9.6；
（2）如图2，设BH与DE交于点M，
∵四边形DEGF是正方形，
∴DE＝EG＝DF，DE∥AC，∠EDF＝∠DFC＝90°，且BH⊥AC，
∴四边形DFHM是矩形，
∴DF＝MH，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
∴
∴DE＝．
2、【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．
解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴AC2＝AD•AB．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
又∵∠BFE＝∠A，
∴∠BFE＝∠C，
又∵∠FBE＝∠CBF，
∴△BFE∽△BCF，
∴，
∴BF2＝BE•BC，
∴BC＝＝，
∴AD＝．
（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD，
∵AC∥EF，
∴四边形AEGC为平行四边形，
∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，
∵∠EDF＝∠BAD，
∴∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠G，
又∵∠DEF＝∠GED，
∴△EDF∽△EGD，
∴，
∴DE2＝EF•EG，
又∵EG＝AC＝2EF，
∴DE2＝2EF2，
∴DE＝EF，
又∵，
∴DG＝，
∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2．
3、如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB＝8．
（1）求证：四边形AEFD为菱形．
（2）求四边形AEFD的面积．
（3）若点P在x轴正半轴上（异于点D），点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P，Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由．
（1）证明：如图1中，
∵AE∥DF，AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝AB＝OC＝OB，∠ACE＝∠ABD＝90°，
∵E，D分别是OC，OB的中点，
∴CE＝BD，
∴△CAE≌△ABD（SAS），
∴AE＝AD，
∴四边形AEFD是菱形．
（2）解：如图1中，连接DE．
∵S△ADB＝S△ACE＝×8×4＝16，
S△EOD＝×4×4＝8，
∴S△AED＝S正方形ABOC﹣2S△ABD﹣S△EOD＝64﹣2×16﹣8＝24，
∴S菱形AEFD＝2S△AED＝48．
（3）解：如图1中，连接AF，设AF交DE于K，
∵OE＝OD＝4，OK⊥DE，
∴KE＝KD，
∴OK＝KE＝KD＝2，
∵AO＝8，
∴AK＝6，
∴AK＝3DK，
①当AP为菱形的一边，点Q在x轴的上方，有图2，图3两种情形：
如图2中，设AG交PQ于H，过点H作HN⊥x轴于N，交AC于M，设AM＝t．
∵菱形PAQG∽菱形ADFE，
∴PH＝3AH，
∵HN∥OQ，QH＝HP，
∴ON＝NP，
∴HN是△PQO的中位线，
∴ON＝PN＝8﹣t，
∵∠MAH＝∠PHN＝90°﹣∠AHM，∠PNH＝∠AMH＝90°，
∴△HMA∽△PNH，
∴＝＝＝，
∴HN＝3AM＝3t，
∴MH＝MN﹣NH＝8﹣3t，
∵PN＝3MH，
∴8﹣t＝3（8﹣3t），
∴t＝2，
∴OP＝2ON＝2（8﹣t）＝12，
∴P（12，0）．
如图3中，过点H作HI⊥y轴于I，过点P作PN⊥x轴交IH于N，延长BA交IN于M．
同法可证：△AMH∽△HNP，
∴＝＝＝，设MH＝t，
∴PN＝3MH＝3t，
∴AM＝BM﹣AB＝3t﹣8，
∵HI是△OPQ的中位线，
∴OP＝2IH，
∴HIHN，
∴8+t＝9t﹣24，
∴t＝4，
∴OP＝2HI＝2（8+t）＝24，
∴P（24，0）．
②当AP为菱形的边，点Q在x轴的下方时，有图4，图5两种情形：
如图4中，QH＝3PH，过点H作HM⊥OC于M，过D点P作PN⊥MH于N．
∵MH是△QAC的中位线，
∴MH＝AC＝4，
同法可得：△HPN∽△QHM，
∴＝＝＝，
∴PN＝HM＝，
∴OM＝PN＝，设HN＝t，则MQ＝3t，
∵MQ＝MC，
∴3t＝8﹣，
∴t＝，
∴OP＝MN＝4+t＝，
∴点P的坐标为（，0）．
如图5中，QH＝3PH，过点H作HM⊥x轴于M交AC于I，过点Q作QN⊥HM于N．
∵IH是△ACQ的中位线，
∴CQ＝2HI，NQ＝CI＝4，
同法可得：△PMH∽△HNQ，
∴＝＝＝，则MH＝NQ＝，
设PM＝t，则HN＝3t，
∵HN＝HI，
∴3t＝8+，
∴t＝，
∴OP＝OM﹣PM＝QN﹣PM＝4﹣t＝，
∴P（，0）．
③如图6中，当AP为菱形的对角线时，有图6一种情形：
过点H作HM⊥y轴于于点M，交AB于I，过点P作PN⊥HM于N．
∵HI∥x轴，AH＝HP，
∴AI＝IB＝4，
∴PN＝IB＝4，
同法可得：△PNH∽△HMQ，
∴＝＝＝，
∴MH＝3PN＝12，HI＝MH﹣MI＝4，
∵HI是△ABP的中位线，
∴BP＝2IH＝8，
∴OP＝OB+BP＝16，
∴P（16，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（12，0）或（24，0）或（，0）或（，0）或（16，0）．
4、如图1，在菱形ABCD中，AB＝，∠BCD＝120°，M为对角线BD上一点（M不与点B、D重合），过点MN∥CD，使得MN＝CD，连接CM、AM、BN．
（1）当∠DCM＝30°时，求DM的长度；
（2）如图2，延长BN、DC交于点E，求证：AM•DE＝BE•CD；
（3）如图3，连接AN，则AM+AN的最小值是 ．
解：（1）如图1，连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD＝2OB，CD＝BC＝AB＝，
∵∠BCD＝120°，
∴∠CBD＝30°，
∴OC＝BC＝，
∴OB＝OC＝，
∴BD＝3，
∵∠BCD＝120°，∠DCM＝30°，
∴∠BCM＝90°，
∴CM＝BC＝1，
∴BM＝2CM＝2，
∴DM＝BD﹣BM＝1；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵MN∥CD，MN＝CD，
∴AB∥MN，AB＝MN，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∴AM∥BN，
∴∠AMB＝∠EBD，
∵AB∥CD，
∴∠ABM＝∠EDB，
∴△ABM∽△EDB，
∴，
∴AM•DE＝BE•AB，
∵AB＝CD，
∴AM•DE＝BE•CD；
（3）如图2，∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠ABC，CD∥AB，
∵∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝30°，
连接CN并延长交AB的延长线于P，
∵CD∥MN，CD＝MN，
∴四边形CDMN是平行四边形，
∴当点M从点D向B运动时，点N从点C向点P运动（点N的运动轨迹是线段CP），∠APC＝∠ABD＝30°，
由（2）知，四边形ABNM是平行四边形，
∴AM＝BN，
∴AM+AN＝AN+BN，
而AM+AN最小，即：AN+BN最小，
作点B关于CP的对称点B'，当点A，N，B'在同一条线上时，AN+BN最小，
即：AM+AN的最小值为AB'，
连接BB'，B'P，
由对称得，BP＝B'P＝AB＝，∠BPB'＝2∠APC＝60°，
∴△BB'P是等边三角形，
B'P过点B'作B'Q⊥BP于Q，
∴BQ＝B'P＝，
∴B'Q＝BQ＝，
∴AQ＝AB+BQ＝，
在Rt△AQB'中，根据勾股定理得，AB'＝＝3，
即：AM+AN的最小值为3，
故答案为3．
5、如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，BC＞AD，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cm，BC＝6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点
同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）求证：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的长；
（3）试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．
（1）证明：∵CD∥AB，
∴∠BAC＝∠DCA
又AC⊥BC，∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠ACB＝90°，
∴△ACD∽△BAC；
（2）解：在Rt△ABC中，＝8，
由（1）知，△ACD∽△BAC，
∴，
即
解得：DC＝6.4；
（3）能．由运动知，BF＝10﹣2t，BE＝t，
△EFB若为等腰三角形，可分如下三种情况：
①当 BF＝BE时，10﹣2t＝t，解得秒．
②当EF＝EB时，如图，过点E作AB的垂线，垂足为G，
则．此时△BEG∽△BAC
∴，即 ，
解得：；
③当FB＝FE时，如图2，过点F作BC的垂线，垂足为H
则．此时△BFH∽△BAC
∴，即 ，
解得：
综上所述：当△EFB为等腰三角形时，t的值为秒或秒或秒．
6、如图，在矩形ABCD的边AB上取一点E，连接CE并延长和DA的延长线交于点G，过点E作CG的垂线与CD的延长线交于点H，与DG交于点F，连接GH．
（1）当tan∠BEC＝2且BC＝4时，求CH的长；
（2）求证：DF•FG＝HF•EF；
（3）连接DE，求证：∠CDE＝∠CGH．
（1）解：在Rt△BCE中，当tan∠BEC＝2，
∴＝2，即＝2，
解得，BE＝2，
由勾股定理得，CE＝＝＝2，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ECH＝∠BEC，
∴tan∠ECH＝＝2，即＝2，
∴EH＝4，
∴CH＝＝10；
（2）证明：∵∠FEG＝∠FDH＝90°，∠EFG＝∠DFH，
∴△EFG∽△DFH，
∴＝，
∴DF•FG＝HF•EF；
（3）证明：∵△EFG∽△DFH，
∴∠CGD＝∠CHE，又∠GCD＝∠HCE，
∴△GCD∽△HCE，
∴＝，又∠GCD＝∠HCE，
∴△CDE∽△CGH，
∴∠CDE＝∠CGH．
7、已知，如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E．
（1）求证：△BAE∽△ACE；
（2）AF⊥BD，垂足为点F，且BE•CE＝9，求EF•DE的值．
解：（1）∵AD是直角三角形ABC斜边上的中线，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠C＝∠DAC，
∵AE⊥AD，
∴∠EAD＝90°＝∠BAC，
∴∠EAB＝∠DAC，
∴∠EAB＝∠C，且∠E＝∠E，
∴△BAE∽△ACE；
（2）∵△BAE∽△ACE
∴，
∴AE2＝BE•CE＝9，
∵∠AFE＝∠DAE＝90°，∠E＝∠E，
∴△EAF∽△EFD，
∴
∴DE•EF＝AE2＝9．
8、如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上．
（1）求BC边上的高；
（2）求正方形EFGH的边长．
解：（1）作AD⊥BC于D，交EH于O，如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，
∴BC＝＝25（cm），
∵BC×AD＝AB×AC，
∴AD＝＝＝12（cm）；
即BC边上的高为12cm；
（2）设正方形EFGH的边长为xcm，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，
∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，
∴△AEH∽△ABC．
∴＝，即＝，
解得：x＝，
即正方形EFGH的边长为cm．
9、如图1，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，点E，F分别在边AB，BC上，且BF＝FC，连接DE，EF，并以DE，EF为边作▱DEFG．
（1）连接DF，求DF的长度；
（2）求▱DEFG周长的最小值；
（3）当▱DEFG为正方形时（如图2），连接BG，分别交EF，CD于点P、Q，求BP：QG的值．
解：（1）如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∠C＝90°，AD＝BC，AB＝DC，
∵BF＝FC，AD＝2；
∴FC＝1，
∵AB＝3；
∴DC＝3，
在Rt△DCF中，由勾股定理得，
∴DF＝＝＝；
（2）如图1所示：
作点F关直线AB的对称点M，连接DM交AB于点N，
连接NF，ME，点E在AB上是一个动点，
①当点E不与点N重合时点M、E、D可构成一个三角形，
∴ME+DE＞MD，
②当点E与点N重合时点M、E（N）、D在同一条直线上，
∴ME+DE＝MD
由①和②DE+EF的值最小时就是点E与点N重合时，
∵MB＝BF，
∴MB＝1，
∴MC＝3，
又∵DC＝3，
∴△MCD是等腰直角三角形，
∴MD＝＝＝3，
∴NF+DN＝MD＝3，
∴l▱DEFG＝2（NF+DF）＝6；
（3）∵▱DEFG为正方形，
∴DE＝EF，∠DEF＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝∠AED+∠BEF＝90°，
∴∠ADE＝∠BEF，
∴△ADE≌△BEF（AAS），
∴AE＝BF＝1，BE＝AD＝2，
过点B作BH⊥EF，
如图2所示：
在Rt△EBF中，由勾股定理得：
EF＝＝＝，
∴BH＝＝，
又∵△BEF～△FHB，
∴＝，
HF＝＝＝，
在△BPH和△GPF中有：∠BPH＝∠GPF，∠BHP＝∠GFP，
∴△BPH∽△GPF，
∴＝＝＝，
∴PF＝•HF＝，
又∵EP+PF＝EF，
∴EP＝﹣＝，
又∵AB∥BC，EF∥DG，
∴∠EBP＝∠DQG，∠EPB＝∠DGQ，
∴△EBP∽△DQG（AA），
∴＝＝＝．
10、（1）如图①，在△ABC中，AB＝m，AC＝n（n＞m），点P在边AC上．当AP＝ 时，△APB∽△ABC；
（2）如图②，已知△DEF（DE＞DF），请用直尺和圆规在直线DF上求作一点Q，使DE是线段DF和DQ的比例中项．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）解：∵△APB∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴AP＝，
故答案为．
（2）解：作∠DEQ＝∠F
如图点Q就是所求作的点．
11、如图，在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，连结CE．过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．
（1）求证：△AEF∽△DCE．
（2）若AB＝3，AE＝4，DE＝6，求线段BF的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEF+∠F＝90°
∵EF⊥CE，
∴∠CED+∠AEF＝180°﹣90°＝90°，
∴∠CED＝∠F，又∵∠A＝∠D＝90°，
∴△AFE∽△DEC．
（2）∵△AFE∽△DEC，
∴＝，
∵AB＝CD＝3，AE＝4，DE＝6，
∴＝，
解得BF＝5．
答：线段BF的长为5．
12、如图，△ABC中，AB＝AC，点P为BC边上一动点（不与B，C重合），以AP为边作∠APD＝∠ABC，与BC的平行线AD交于点D，与AC交于点E，连结CD．
（1）求证：△ABP∽△DAE．
（2）已知AB＝AC＝5，BC＝6．设BP＝x，CE＝y．
①求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
②当S△ACD＝时，求CE的值．
（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠APC＝∠ABC+∠BAP，∠APC＝∠APD+∠EPC，∠APD＝∠ABC，
∴∠BAP＝∠EPC，
∴△ABP∽△PCE，
∵BC∥AD，
∴△PCE∽△DAE，
∴△ABP∽△DAE；
（2）解：①∵△ABP∽△PCE，
∴＝，即＝，
∴y＝﹣x2+x（0＜x＜6）；
②∵△ABP∽△DAE，
∴＝，即＝，
∴AD＝，
∵AD∥BC，
∴，
∵，
∴，
∴，即13x2+24x﹣100＝0，
∴x1＝2，（舍去）
∴．