2023-2024学年四川省眉山市仁寿县城北实验九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省眉山市仁寿县城北实验九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中，x的取值范围是x>3的是( )
A. x−3B. 1 3−xC. 1 x−3D. 1 3x−1
2.下列各组二次根式中，不是同类二次根式是( )
A. 2 12与 27B. 72与 18C. 50与3 8D. 3与 24
3.下列二次根式中，最简二次根式有个．( )
① 0.8，② a2+b2，③ 7，④ 15，⑤ 2x+1x，⑥−2a ab．
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.下列计算正确的是( )
A. 5 2+6 3=11 5B. 8÷ 2=2
C. 2 3⋅2 2=2 6D. (−8)2=−8
5.等式 (x+1)(1−x)2=(x−1) 1+x成立的条件是( )
A. x≥−1B. x≥1C. x≥1或x≤−1D. −1≤x≤1
6.对于二次根式 x2+9，以下说法不正确的是( )
A. 它是一个正数B. 它的最小值是3C. 是最简二次根式D. 是一个无理数
7.方程x2+6x−5=0的左边配成完全平方式后所得的方程为( )
A. (x+3)2=14B. (x−3)2=14C. (x+6)2=12D. 以上答案都不对
8.如果a是一元二次方程x2−3x+m=0的一个根，−a是一元二次方程x2+3x−m=0的一个根，那么a的值是( )
A. 1或2B. 2或−3C. −1或−2D. 0或3
9.若α，β是一元二次方程3x2+x−1=0的两个实数根，则3α2+4α+3β+1的值是( )
A. −1B. 1C. 2D. −2
10.如图，在一幅长80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条金色的纸边制成矩形挂图，如果要使整个挂图的面积为5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则可列方程( )
A. (80+2x)(50+2x)=5400B. (80−2x)(50−2x)=5400
C. (80+x)(50+x)=5400D. (80−x)(50−x)=5400
11.若a=13− 8−1 8− 7+1 7− 6−1 6− 5，则a的值所在范围为( )
A. a≥0B. 02
12.已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1，PB= 5.下列结论：
①△APD≌△AEB；
②点B到直线AE的距离为 2；
③EB⊥ED；
④S△APD+S△APB=1+ 6；
⑤S正方形ABCD=4+ 6．
其中正确结论的序号是( )
A. ①③④B. ①②⑤C. ③④⑤D. ①③⑤
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.已知a<2，则 (a−2)2= ．
14.计算：( 3+2)2019( 3−2)2020= ______．
15.等腰三角形的底和腰是方程x2−6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为______．
16.关于x的一元二次方程(1−k)2x2−2kx+1=0有实数根，则k的取值范围是______．
17.若最简二次根式 x2+2x与 6−3x是同类二次根式，则x的值为______．
18.已知α、β是方程x2+5x+2=0的两根，则 βα+ αβ的值为______．
三、计算题：本大题共2小题，共18分。
19.先化简，再求值：1−2a+a2a−1− a2−2a+1a2−a.其中a=12+ 3．
20.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a−c)=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x=−1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
四、解答题：本题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题10分)
计算：
(1) 48− 27+2 3；
(2) 12− 6 3− 2(1− 2)+(16)−1．
22.(本小题10分)
按要求解下列方程：
(1)2x2−8x+6=0(配方法)；
(2)(2x+1)2+3(2x+1)+2=0．
23.(本小题8分)
已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简： a2−|a+c|+ (c−b)2− (b−a)2．
24.(本小题10分)
已知反比例函数y1=kx的图象与一次函数y2=ax+2的图象交于点A(1,4)和点B．
(1)求这两个函数的表达式；
(2)根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
25.(本小题10分)
已知关于x的方程x2−2(k−3)x+k2−4k−1=0．
(1)若这个方程有实数根，求k的取值范围；
(2)若这个方程有一个根为1，求k的值；
(3)若以方程x2−2(k−3)x+k2−4k−1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y=mx的图象上，求满足条件的m的最小值．
26.(本小题12分)
某商店经销一种成本为每千克20元的水产品，据市场分析，若按每千克30元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，解答以下问题．
(1)当销售单价定价每千克35元时，销售量为______，月销售利润为______．
(2)商店想在月销售成本不超过6000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？
(3)设销售单价为x元，月销售利润为y元，请求出y与x的函数关系，并求出销售单价定为多少时利润最大，最大利润为多少？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、x−3≥0，解得：x≥3，故选项错误；
B、3−x>0，解得：x<3，则选项错误；
C、x−3>0，解得：x>3，选项正确；
D、3x−1>0，解得：x>13，选项错误．
故选：C．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围，从而判断．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
2.【答案】D
【解析】解：∵2 12=4 3， 27=3 3，
∴2 12与 27是同类二次根式，
∴A选项不符合题意；
∵ 72=6 2， 18=3 2，
∴ 72与 18是是同类二次根式，
∴B选项不符合题意；
∵ 50=5 2，3 8=6 2，
∴ 50与3 8是同类二次根式，
∴C选项不符合题意；
∵ 24=2 6，
∴ 3与 24不是同类二次根式，
∴D选项符合题意．
故选：D．
将二次根式化成最简二次根式后，利用同类二次根式的定义解答即可．
本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，熟练掌握二次根式的性质，将二次根式化成最简二次根式是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵②③⑥中的根式被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，
∴最简二次根式有②③⑥，共3个，
故选：C．
先根据二次根式的性质看看能否化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．
本题考查了二次根式的性质和最简二次根式的定义，能正确判断一个根式是否是最简二次根式是解此题的关键，此题是一道比较容易出错的题目．
4.【答案】B
【解析】解：A、5 2+6 3不能合并，此选项错误；
B、 8÷ 2= 4=2，此选项正确；
C、2 3⋅2 2=4 6，此选项错误；
D、 (−8)2=8，此选项错误．
故选：B．
运用二次根式四运算的方法直接计算，逐一分析得出答案即可．
此题考查二次根式的运算，注意运算的方法和化简的方法．
5.【答案】B
【解析】解：由题意得：x−1≥01+x≥0，
∴x≥1．
故选：B．
利用二次根式的性质列出不等式组，解不等式组即可得出结论．
本题主要考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵x2≥0，
∴x2+9≥9，
∴当x=0时，二次根式有最小值 9=3，是个有理数，
又 x2+9是最简二次根式，
故选：D．
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，根据非负数的性质，逐一判断．
本题考查了最简二次根式，利用最简二次根式的性质是解题关键．
7.【答案】A
【解析】解：先移项得x2+6x=5，
方程两边加上9得x2+6x+9=5+9，
所以(x+3)2=14．
故选：A．
先变形得到x2+6x=5，再把方程两边加上9得x2+6x+9=5+9，然后根据完全平方公式得到(x+3)2=14．
本题考查了配方法解方程，配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了方程的解的定义；以及理解解方程组的基本思想：消元．
已知a是一元二次方程x2−3x+m=0的一个根，则把x=a代入方程就得到：a2−3a+m=0；
同理，可以得到a2−3a−m=0；这样就得到一个关于a，m的方程组，解这个方程组就得到a的值．
【解答】
解：将x=a代入方程x2−3x+m=0得：a2−3a+m=0；
同理，将x=−a代入方程x2+3x−m=0得：a2−3a−m=0；
则可得方程组：a2−3a+m=0a2−3a−m=0两式相加得到a2−3a=0，
即a(a−3)=0；
∴a=0或3；
故选：D．
9.【答案】B
【解析】解：∵α，β是一元二次方程3x2+x−1=0的两个实数根，
∴3α2+α−1=0，α+β=−13，
∴3α2+α=1，
∴3α2+4α+3β+1
=3α2+α+3(α+β)+1
=1−3×(−13)+1
=1．
故选：B．
先根据方程根的定义得出3α2+α=1，根据根与系数关系求出α+β=−13，再整体代值计算．
此题主要考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根x1，x2与系数的关系，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
10.【答案】A
【解析】解：依题意，设金色纸边的宽为xcm，
(80+2x)(50+2x)=5400，
故选：A．
根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：
(风景画的长+2个纸边的宽度)×(风景画的宽+2个纸边的宽度)=整个挂图的面积，由此可得出方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．
11.【答案】B
【解析】解：∵a=3+ 8−( 8+ 7)+( 7+ 6)−( 6+ 5)=3− 5
又∵2< 5<3，
∴0故选：B．
先把含有二次根式的分式分母有理化，再合并同类二次根式，然后求出 5的取值范围，进而可求a的取值范围．
本题考查了分母有理化、估算无理数的大小，解题的关键是先分母有理化．
12.【答案】D
【解析】解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
∴△APD≌△AEB(故①正确)；
③∵△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED(故③正确)；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°，
又∵BE= BP2−PE2= 5−2= 3，
∴BF=EF= 62(故②不正确)；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE=AP=1，
∴EP= 2，
又∵PB= 5，
∴BE= 3，
∵△APD≌△AEB，
∴PD=BE= 3，
∴S△ABP+S△ADP=S△ABD−S△BDP=12S正方形ABCD−12×DP×BE=12×(4+ 6)−12× 3× 3=12+ 62.(故④不正确)．
⑤∵EF=BF= 62，AE=1，
∴在Rt△ABF中，AB2=(AE+EF)2+BF2=4+ 6，
∴S正方形ABCD=AB2=4+ 6(故⑤正确)；
故选：D．
①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证；②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；⑤在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面积；④连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可．
本题利用了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、正方形和三角形的面积公式、勾股定理等知识．
13.【答案】2−a
【解析】【分析】
根据二次根式的性质解答．
开方时应当先判断a−2的符号，然后再进行开方运算．解答此题，要弄清性质： a2=|a|．
【解答】
解：因为a<2，所以a−2<0，
故 (a−2)2=|a−2|=2−a．
14.【答案】− 3+2
【解析】解：原式=[( 3+2)( 3−2)]2019⋅( 3−2)
=(3−4)2019⋅( 3−2)
=−( 3−2)
=− 3+2．
故答案为：− 3+2．
先根据积的乘方得到原式=[( 3+2)( 3−2)]2019⋅( 3−2)，然后根据平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则和负整数指数幂是解决问题的关键．
15.【答案】10
【解析】解：∵x2−6x+8=0，
∴(x−2)(x−4)=0，
解得：x=2或x=4，
∵等腰三角形的底和腰是方程x2−6x+8=0的两根，
∴当2是等腰三角形的腰时，2+2=4，不能组成三角形，舍去；
当4是等腰三角形的腰时，2+4>4，则这个三角形的周长为2+4+4=10．
∴这个三角形的周长为10．
故答案为：10．
由等腰三角形的底和腰是方程x2−6x+8=0的两根，解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰与底边的长，注意需要分类讨论，然后根据三角形周长的求解方法求解即可．
此题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的解法和三角形三边关系．解题的关键是注意分类讨论思想的应用．
16.【答案】k≥38且k≠1
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(1−k)x2+2x−1=0有实数根，
∴(−2k)2−4(1−k)2×1=8k−3≥0，且1−k≠0，
解得：k≥38且k≠1．
故k的取值范围是k≥38且k≠1．
由二次项系数非零结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
17.【答案】1
【解析】解：∵ x2+2x与 6−3x是同类二次根式，
∴x2+2x=6−3x，
整理得：x2+5x−6=0，
解得：x1=1，x2=−6，
当x=−6时， 6−3x= 6+18= 24不是最简二次根式，不符合题意，应舍去，
故答案为：1．
根据最简二次根式的定义列得方程，解得x的值即可．
本题考查解一元二次方程，二次根式有意义的条件，最简二次根式，同类二次根式，根据题意列得正确的方程是解题的关键．
18.【答案】5 22
【解析】解：根据题意得α+β=−5<0，αβ=2>0，
∴α<0，β<0，
∴原式= αβα2+ αββ2
=− αβα− αββ
=− αβ⋅α+βαβ
=− 2⋅−52
=5 22．
故答案为5 22．
根据根与系数的关系得到α+β=−5<0，αβ=2>0，则α<0，β<0，然后根据二次根式的性质化简得到原式=− αβα− αββ=− αβ⋅α+βαβ，再利用整体代入方法进行计算．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
19.【答案】解：a=12+ 3=2− 3<1，
原式=(a−1)2a−1− (a−1)2a(a−1)
=a−1−−(a−1)a(a−1)，
=a−1+1a
=2− 3−1+2+ 3
=3．
【解析】先确定a=2− 3<1，再利用应式分解得到原式=(a−1)2a−1− (a−1)2a(a−1)，接下来利用二次根式的性质化简后约分得到原式=a−1+1a，然后把a的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
20.【答案】解：(1)△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵x=−1是方程的根，
∴(a+c)×(−1)2−2b+(a−c)=0，
∴a+c−2b+a−c=0，
∴a−b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
(2)△ABC是直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=(2b)2−4(a+c)(a−c)=0，
∴4b2−4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形．
【解析】(1)见答案；
(2)见答案．
(1)根据方程解的定义把x=−1代入方程得到(a+c)×(−1)2−2b+(a−c)=0，整理得a−b=0，即a=b，于是根据等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；
(2)根据判别式的意义得到Δ=(2b)2−4(a+c)(a−c)=0，整理得a2=b2+c2，然后根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ<0时，方程无实数根．也考查了勾股定理的逆定理．
21.【答案】解：(1)原式=4 3−3 3+2 3
=3 3；
(2)原式= 123− 63− 2+2+6
=2− 2− 2+2+6
=10−2 2．
【解析】(1)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(2)先利用二次根式的除法法则和乘法法则运算，再利用零指数幂的意义计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则和负整数指数幂是解决问题的关键．也考查了分式的运算．
22.【答案】解(1)方程变形得：x2−4x=−3，
配方得：x2−4x+4=1，即(x−2)2=1，
解得：x1=x2=2；
(2)分解因式得：(2x+1+1)(2x+1+2)=0，
可得2x+2=0或2x+3=0，
解得：x1=−1，x2=−32．
【解析】(1)方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，开方即可求出解；
(2)方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，公式法及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
23.【答案】解：由题意得：c∴a+c<0，c−b<0，b−a>0，
∴原式=−a+a+c+b−c−(b−a)
=−a+a+c+b−c−b+a
=a．
【解析】利用数轴确定出a，a+c，c−b，b−a的符号，再利用绝对值的意义化简运算即可．
本题主要考查了数轴，二次根式的性质，绝对值的意义，利用数轴确定出a，a+c，c−b，b−a的符号是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵A(1,4)在反比例函数图象上，
∴把A(1,4)代入反比例函数y1=kx得：
4=k11，
解得k1=4，
∴反比例函数解析式为y1=4x；
把A(1,4)代入一次函数y2=ax+2得：
4=a+2，
解得：a=2，
∴一次函数解析式为y2=2x+2；
(2)根据图象得：−21．
【解析】(1)将点A的坐标分别代入反比例函数与一次函数解析式，即可得解；
(2)根据题意，结合图象，找一次函数的图象在反比例函数图象上方的区域，易得答案．
此题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质及待定系数法求解析式，掌握它们的性质是解答本题的关键．
25.【答案】解：(1)由题意得△=[−2(k−3)]2−4×(k2−4k−1)≥0
化简得−2k+10≥0，解得k≤5．
(2)将1代入方程，整理得k2−6k+6=0，解这个方程得k1=3− 3，k2=3+ 3．
(3)设方程x2−2(k−3)x+k2−4k−1=0的两个根为x1，x2，
根据题意得m=x1x2.又由一元二次方程根与系数的关系得x1x2=k2−4k−1，
那么m=k2−4k−1=(k−2)2−5，所以，当k=2时m取得最小值−5．
【解析】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．
(1)若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2−4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
(2)将x=1代入方程，得到关于k的方程，求出即可，
(3)写出两根之积，两根之积等于m，进而求出m的最小值．
26.【答案】450千克 6750元
【解析】解：(1)月销售量为500−10×(35−30)=450(千克)，销售利润为(35−20)×450=6750(元)；
故答案为：450千克，6750元；
(2)设应涨价x元．则可列方程：
(30+x−20)(500−10x)=8000，
解得：x=10或x=30，
当x=10时，销售单价为40元，销售成本为20×[500−10(40−30)]=8000(元)，舍去．
当x=30时，销售单价为60元，销售成本为20×[500−10(60−30)]=4000(元)，符合题意，
答：月销售利润达到8000元，销售单价应为60元；
(3)∵月销售利润y=(30+x−20)(500−10x)=−10x2+400x+5000=−10(x−20)2+9000，
∴当x=20时，y最大值=9000，
答：商店要使得月销售利润达到最大，销售单价应为50元，此时利润为9000元．
(1)根据题意直接计算得出即可；
(2)根据利润=销售量×单位利润，列出方程求解后，结合月销售成本不超过6000元取舍可得；
(3)根据(2)中相等关系列出函数解析式，配方成顶点式可得最值情况．
本题主要考查二次函数的实际应用，理解题意找到其蕴含的相等关系列出方程或函数解析式是解题的关键．