2024年高考数学考前信息必刷卷03（新高考新题型专用）（Word版附解析）

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数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
2023年的对于三视图的考察也将近有尾声，留意的是立体几何中对圆锥的考察（侧面积的计算也会成一个热点）。
其他的题目难度变化不大，但侧重于考察学生运算能力与分析能力。
应特别注意新高考函数位于第一大题的位置，其难度有所下降，函数中多研究含参讨论单调性及恒成立存在问题，新高考概率位于第二大题的位置，概率中多研究条件概率、古典概率问题，同时注重圆锥曲线常规联立及二级结论（推导）
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知学生的数学和地理成绩具有线性相关关系，高三某次模考中，5名学生的数学和地理成绩如下表：
现已知其线性回归方程为，则“■”代表该生的地理成绩为（ ）
A．76B．74.85C．73D．72.5
【答案】A
【解析】，
所以■．
故选：A
2．已知点是的重心，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设的中点为D，连接，点是的重心，则P在上，
且
，
由此可知A，B，C错误，D正确，
故选：D
3．在等比数列中，，则（ ）
A．-4B．8C．-16D．16
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，则，即，.
故选:C.
4．下列说法中正确的是（ ）
A．没有公共点的两条直线是异面直线
B．若两条直线a，b与平面α所成的角相等，则
C．若平面α，β，γ满足，，则
D．已知a，b是不同的直线，α，β是不同的平面.若，，，则
【答案】D
【解析】对A，没有公共点的两条直线是异面直线或平行直线，故A错误；
对B，若两条直线a，b与平面α所成的角相等，
则a，b可以平行、相交或异面，故B错误；
对C，若平面α，β，γ满足，，则α，γ不一定垂直，故C错误；
对D，两个平面垂直等价于这两个平面的垂线垂直，故D正确.
故选：D.
5．一支由12人组成的登山队准备向一座海拔5888米的山峰攀登，这12人中姓赵、钱、孙、李、周、吴的各有2人．现准备从这12人中随机挑选4人组成先遣队，如果这4人中恰有2人同姓，则不同的挑选方法的种数为（ ）
A．480B．270C．240D．60
【答案】C
【解析】方法一：
先在12人中挑选同姓的2人，方法有（种），
然后在剩余的10人中，挑选不是同姓的2人，方法有（种），
所以不同的挑选方法的种数是.
方法二：
先在12人中挑选同姓的2人，方法有（种），
然后在剩余的10人中，挑选不是同姓的2人，方法有（种），
所以不同的挑选方法的种数是.
故选；C
6．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由于函数，定义域为R，满足，
得是奇函数，且在R上为减函数.
在上恒成立，在上恒成立，
在上恒成立，在上恒成立.
令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
，即a的取值范围为，
故选：D.
7．已知，则的值为（ ）
A．B．1C．4D．
【答案】C
【解析】在中，
而，
由二项式定理知展开式的通项为，
令，解得，令，，
故，
同理令，解得，令，解得，
故，故.
故选：C
8．已知分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线与椭圆C在第一象限的交点为P，若的平分线经过椭圆C的下顶点，则椭圆C的离心率的平方为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
设，将代入椭圆方程，易得，
则．
记椭圆C的下顶点为，则的斜率，
∴直线的方程为，
令得直线与x轴的交点为，
则，
又，
，即，
，得（舍去负值），
．
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．用“五点法”作函数（，，）在一个周期内的图象时，列表计算了部分数据，下列有关函数描述正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象关于直线对称
D．函数与表示同一函数
【答案】ACD
【解析】根据表格可知，且，则，
由正弦函数的周期性可知的最小正周期为，故A正确；
由已知结合正弦函数的对称性可知：
，
显然此时取得最小值，所以的图象不关于点对称，故B错误；
由已知结合正弦函数的对称性可知：
，此时取得最大值，
所以的图象关于直线对称，故C正确；
由诱导公式可知，故D正确.
故选：ACD
10．若复数，则（ ）
A．的共轭复数B．
C．复数的虚部为 D．复数在复平面内对应的点在第四象限
【答案】ABD
【解析】，则，故正确；
，故正确；复数的虚部为，故错误；
复数在复平面内对应的点为，在第四象限，故正确.
故选：ABD
11．已知函数与其导函数的定义域均为，且和都是奇函数，且，则下列说法正确的有（ ）
A．关于对称B．关于对称
C．是周期函数D．
【答案】ACD
【解析】因为为奇函数，所以，
所以，即，
所以的图象关于直线对称.故A正确；
因为为奇函数，则其图象关于对称，
向左平移一个单位后得到的图象，
则的图象关于对称，故B错误；
因为为奇函数，则，
则有，
所以①,
又，
则②,
由①②，
则，
则，，
则，
所以8是函数的一个周期.，
是周期函数，故C正确；
因为，，
所以，
，
所以，
故D正确，
故选：ACD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合与集合，求集合
【答案】
【解析】由题意，，所以.
故答案为：.
13．已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 .
【答案】
【解析】设，
因为，
所以，所以，
又因为，所以，
因为都在第一象限，所以，
又因为且，
所以，所以，所以抛物线方程为，
故答案为：.
14．如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，则下列结论正确的序号是 ．

①棱上一定存在点，使得；
②三棱锥的外接球的表面积为；
③过点作正方体的截面，则截面面积为；
④设点在平面内，且平面，则与所成角的余弦值的最大值为．
【答案】②③④
【解析】
对于①，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，则由已知，，，
设棱上一点，则，，
若，则，
整理得，即，无实数解，
∴棱上不存在点，使得，故①错误；

对于②，如图，分别取棱，，，的中点，，，，
由已知，，易知棱柱为长方体，
其外接球的直径为，外接球表面积，
∵三棱锥的顶点均在长方体的外接球上，故该球也是三棱锥的外接球，
∴三棱锥的外接球的表面积为，故②正确；
对于③，如图所示，过点作正方体的截面是边长为的正六边形，其可分成六个全等的，边长为的等边三角形，面积，故③正确；
对于④，由①中所建立空间直角坐标系，，，，，，
，，设平面的一个法向量为，
则，令，则，，∴，
设平面内一点，则，
∵平面，∴，即，
又∵，
∴与所成角的余弦值为，
其中，，
∴，
即当且仅当时，与所成角的余弦值的最大值为，故④正确.
故答案为：②③④.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数在时取得极值．
(1)求实数的值；
(2)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）易知，
依题意，解得，
此时，
当或时，；当时，，
即函数在，上单调递增，在上单调递减，
因此函数在时取得极值，
所以．
（2）由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增；
所以，
由题意可得，解得，
所以的取值范围为．
16．（15分）2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为.
(1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率；
(2)求离散型随机变量的分布列与期望.
【答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望为
【解析】（1）记事件为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为分”，
则，，.
记事件为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为分”，
则，，.
记事件为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”，
则
，
则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为.
（2）由题知离散型随机变量的所有可能取值分别为2，4，6，8，10，
，
，
，
，
，
则离散型随机变量的分布列为
所以数学期望.
17．（15分）如图，直四棱柱的底面为平行四边形，分别为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若底面为矩形，，异面直线与所成角的余弦值为，求到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析(2).
【解析】（1）连接，交于点，连接，

则为的中点，
因为为的中点，所以，且，
因为为的中点，所以，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面平面，
所以平面.
（2）由题意（1）及几何知识得，
在直四棱柱中，，
两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则，，
.
设异面直线与所成角为，则
，
解得：，
故，
则
设平面的一个法向量为，
到平面的距离为.
所以即取，
得.
所以，
即到平面的距离为.
18．（17分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的两条直线，分别与椭圆交于另一点A，B，且直线，，的斜率满足．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明直线过定点；
(3)椭圆C的焦点分别为，，求凸四边形面积的取值范围．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【解析】（1）由题设得，解得，
所以的方程为；
（2）由题意可设，设，，
由，整理得，
．
由韦达定理得，，
由得，
即，
整理得，
因为，得，解得或，
时，直线过定点，不合题意，舍去；
时，满足，
所以直线过定点．
（3））由（2）得直线，所以，
由，
整理得，，
由题意得，
因为，所以，所以，
令，，
所以，在上单调递减，
所以的范围是．

19．（17分）已知，，…，是由（）个整数，，…，按任意次序排列而成的数列，数列满足（）.
（1）当时，写出数列和，使得.
（2）证明：当为正偶数时，不存在满足（）的数列.
（3）若，，…，是，，…，按从大到小的顺序排列而成的数列，写出（），并用含的式子表示.
（参考：.）
【答案】（1），，；，，或，，；，，.（2）证明见解析（3）（）；
【解析】[解]（1），，；，，.
，，；，，.
[证明]（2）若（），则有，于是.
当为正偶数时，为大于1的正奇数，故不为正整数.
因为，，…，均为正整数，所以不存在满足（）的数列.
[解]（3）（）.
因为，于是
学生的编号i
1
2
3
4
5
数学成绩x
100
105
90
85
80
地理成绩y
75
■
68
64
62
0
x
a
b
c
1
3
1
d
1
2
4
6
8
10