浙江省湖州市2023-2024学年高一上学期期末数学试题（Word版附解析）

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高一数学
注意事项：
1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．
2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
2. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 图中实线是某景点收支差额关于游客量的图像，由于目前亏损，景点决定降低成本，同时提高门票价格，决策后的图像用虚线表示，以下能说明该事实的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知函数，则使成立实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 我们知道，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是．已知某音是由3个不同的纯音合成，其函数为，则（ ）
A. B. 的最大值为
C. 的最小正周期为D. 在上是增函数
8. 已知函数（）的零点为，函数（）的零点为，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 给出下列四个选项中，其中正确的选项有（ ）
A. 若角的终边过点且，则
B. 设角为锐角（单位为弧度），则
C. 命题“，使得”的否定是：“，均有”
D. 若，，则“”是“”的充分不必要条件
10. 若，，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若且，则B. 若且，则
C. 若，则D.
11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间，点的高度随时间（单位秒）变化时满足函数模型，则下列说法正确的是（ ）

A. 函数的初相为B. 1秒时，函数的相位为0
C 4秒后，点第一次到达最高点D. 7秒和15秒时，点高度相同
12. 已知函数对任意实数，都满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 是偶函数B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）
注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 对数函数的反函数是________.
14. 已知扇形的圆心角是，半径是3，则该扇形的面积是______.
15. 设函数，，则函数的值域是______．
16. 已知，其中，且，若函数在区间上有且只有三个零点，则的范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17 已知集合，．
（1）求和；
（2）若集合，且，求实数的取值范围．
18. 在平面直角坐标系中，角始边为轴的非负半轴，终边过点．
（1）求的值；
（2）求的值．
19. 随着电动汽车研发技术的日益成熟，电动汽车的普及率越来越高．某型号电动汽车在封闭路段进行测试，限速（不含）．经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示．
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：
，，．
（1）当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）在本次测试报告中，该电动汽车的最长续航里程为．若测试过程为匀速运动，请计算本次测试时的车速为何值时，该电动汽车电池所需的容量（单位：）最小？并计算出该最小值．
20. 已知定义域为的函数是奇函数．
（1）判断函数的单调性，并证明；
（2）解关于的不等式．
21. 2023年12月1日，“民族魂·中国梦——阳光下成长”2023年浙江省中小学生艺术节闭幕式暨颁奖晚会在湖州大剧院举行．为迎接艺术节闭幕式的到来，承办方计划将场地内一处扇形荒地进行改造．已知该扇形荒地的半径为20米，圆心角，承办方初步计划将其中的（如下左图，点位于弧上，，分别位于半径，）区域改造为花卉区，扇形荒地内其余区域改造为草坪区．

（1）承办方进一步计划将，设计为观光步道，其宽度忽略不计．若观光步道造价为元/米，请你设计观光步道的造价预算，确保观光步道最长时仍有资金保障；
（2）因某种原因，承办方修改了最初的改造计划，将花卉区设计为矩形（如下右图，其中，位于半径上，位于半径上）．为美观起见，承办方最后决定将四边形设计为正方形．求此时花卉区的面积．
22. 已知函数满足，函数．
（1）求函数的解析式；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；0
10
30
70
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