浙江省新阵地教育联盟2023-2024学年高三下学期第三次联考（开学考试）数学试题（Word版附解析）

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数学试题卷
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方.
3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效.
4.考试结束后，只需上交答题卷.
第I卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足，则的虚部是（ ）
A. -1B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的概念与运算求解．
【详解】由，得，的虚部是，
故选：A
2 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由对数运算和指数运算求解集合，，然后根据集合的运算，即可求解.
【详解】因为，所以，所以集合，
因为，所以，即，所以集合，
所以，
因为或，
所以或或，
所以.
故选：.
3. 已知是奇函数，则常数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇函数的性质求解即可.
【详解】因为是奇函数，且定义域为，
所以，解得，
此时，
，
即，满足奇函数定义，
故选：C
4. 在正方体中，分别为的中点，则（ ）
A. 平面平面
B. 平面平面
C. 平面平面
D. 平面平面
【答案】D
【解析】
【分析】建系，分别求出所需各面的法向量，再用法向量垂直与平行逐个选项求出即可.
【详解】如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设边长为2，
则，
则，
，
设平面的法向量为，则，
令，则，
同理可得平面的法向量为，平面的法向量为，
平面的法向量，平面的法向量为，
对A，因为，则可知与不平行，故A错误；
对B，因为，则与不垂直，故B错误；
对C，因，所以与不平行，故C错误；
对D，因为，与垂直，故D正确；
故选：D.
5. 袋子中装有3个红球和4个蓝球，甲先从袋子中随机摸一个球，摸出球不再放回，然后乙从袋子中随机摸一个球，若甲､乙两人摸到红球的概率分别为，则（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】利用古典概型的概率公式求出后可得正确的选项.
【详解】设为“甲摸到红球”，为“乙摸到红球”，
而乙两人摸到红球可分为甲摸到红球后乙摸到红球、甲摸到蓝球后乙摸到红球，
则，
而
，
故，
故选：A.
6. 在平行四边形中，点是的中点，点分别满足，设，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用平面向量基底法用表示，再利用向量垂直的性质与数量积的运算法则即可得解.
【详解】因为点是的中点，，
所以，
；
因为，
所以
，
则，故A正确.
故选：A.
7. 已知正项等差数列的前项和为，则“”是“为等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】设等差数列的公式为，
若，则，故，
故，
故，故即为等差数列，
故“”是“为等差数列”的充分条件.
若为等差数列，设其公差为，则，
故，
故
，其中.
因为为等差数列，故也应该符合上式，故，
故，故，故，
，故，
故“”是“为等差数列”的必要条件.
综上，“”是“为等差数列”的充要条件，
故选：C.
8. 双曲线的左右焦点分别为是双曲线右支上一点，点关于平分线的对称点也在此双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，由题意可知且三点共线，设，根据双曲线的定义求得，，，在、中分别利用余弦定理计算即可求解.
【详解】如图，设关于平分线的对称点为Q，则该角平分线为线段的垂直平分线，
所以，且三点共线，设，
则，，所以，
在中，由余弦定理，得，
又，所以，解得，所以，
在中，由余弦定理，得，
整理，得，由，解得.
即双曲线的离心率为.
故选：B
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内，如果四边形是边长为2的正方形，则（ ）

A. 异面直线与所成角大小为
B. 二面角的平面角的余弦值为
C. 此八面体一定存在外接球
D. 此八面体的内切球表面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，运用坐标法计算异面直线所成角及二面角可判断A项、B项，由可判断C项，运用等体积法求得内切球的半径，进而可求得内切球的表面积即可判断D项.
【详解】连接、交于点，连接、，
因为四边形为正方形，则，
又因为八面体的每个面都是正三角形，所以、、三点共线，且面，
所以以为原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，，，，
对于A项，，，
设异面直线与所成角为，
则，
所以，即异面直线与所成角大小为，故A项正确；
对于B项，，，，
设面的一个法向量为，
则，取，则，，则，
设面的一个法向量为，
则，取，则，，则，
所以，
又因为面与所成的二面角的平面角为钝角，
所以二面角平面角的余弦值为，故B项错误；
对于C项，因为，
所以为此八面体外接球的球心，
即此八面体一定存在外接球，故C项正确；
对于D项，设内切球的半径为，
则八面体的体积为，
又八面体的体积为，
所以，解得，
所以内切球的表面积为，故D项正确.
故选：ACD.
10. 函数相邻两个最高点之间的距离为为的对称中心，将函数的图象向左平移后得到函数的图象，则（ ）
A. 在上存在极值点
B. 方程所有根的和为
C. 若为偶函数，则正数的最小值为
D. 若在上无零点，则正数的取值范围为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定条件，求出函数及的解析式，结合余弦函数的图象、性质逐项分析判断得解.
【详解】依题意，，解得，由，得，
而，则，，，
对于A，当时，，显然当时，函数取得极大值，A正确；
对于B，由，得函数的图象关于点对称，直线过点，
因此直线与的图象交点关于点对称，共有个交点，
即方程共有个根，所有根的和为，不存在使得，B错误；
对于C，函数是偶函数，则，
，因此当时，正数取得最小值，C正确；
对于D，函数，当时，，
由在上无零点，得，
则，解得，显然，
即，于是，所以正数的取值范围为，D错误.
故选：AC
11. 在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转（为弧度）后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”，则（ ）
A. ，函数都为“旋转函数”
B. 若函数为“旋转函数”，则
C. 若函数为“旋转函数”，则
D. 当或时，函数不是“旋转函数”
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A，举例说明即可；对BCD，设将旋转后得出方程，则只需与原函数仅有一个交点即可，然后逐项求解判断即可.
【详解】对A：当旋转时与轴重合，此时个对应多个值，故A错误；
对B：将旋转后所得直线为，则只需与原函数仅有一个交点；
令，，当时，只有一个零点，所以，即，故B正确；
对C：令，当在定义域内仅有唯一解时，即，
当时，仅有一个解，故满足题意；
当时，的判别式，
对任意的，都存在使得判别式大于0，不满足题意；故，故C正确；
对D：若是“旋转函数”，当仅有唯一解时，即，令，
，令，则
当时，方程为，得，仅有唯一解，符合题意；
当时，当，，当，，所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为时，，，所以可得先减后增，不符合题意；
当时，当，，当，，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有极大值也是最大值，即，则；
综上得存在时，是“旋转函数”，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
第II卷
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 有甲乙两生从“物理､化学､生物､政治､历史､地理和技术”七门科目中选三门作为高考选考科目，学生甲物理和化学两门必选，并在另外的五门中任选一门；学生乙必选政治学科，但一定不选物理､化学，则甲乙两人有且只有一门选科相同的选科方法总数有__________种.（用数字作答）
【答案】18
【解析】
【分析】分学生甲选择政治和不选择政治讨论，结合计数原理求解即可.
【详解】若学生甲在另外五门中选择政治，由于学生乙一定不选物理、化学，
所以无论学生乙如何选，甲乙两人一定有且只有一门选科相同，此时有种；
若学生甲在另外五门中不选择政治，此时甲有种选法，
甲乙两人有且只有一门选科相同，则乙有种选法，
此时共有种选法；
综上，甲乙两人有且只有一门选科相同的选科方法总数有种，
故答案为：
13. 是圆上一动点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】写出圆的参数方程，进而可得点坐标，结合两点间距离公式转化为求三角函数的最值即可.
【详解】如图所示，
因为圆：的参数方程为，
所以设点，则的中点，
所以，
当时，取得最大值为.
故答案为：.
14. 已知函数满足为的导函数，.若，则数列的前2023项和为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由，可得，从而得，然后利用倒序相加法从而可求解.
【详解】由题意知，所以，即，
又因为，所以，
所以，
，
将两式相加可得：.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题主要是对求导后得，主要能够找到的关系，再根据倒序相加法从而可求解.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了120名男生和120名女生，通过调查得到以下数据：120名女生中有20人课间经常进行体育活动，120名男生中有40人课间经常进行体育活动.
（1）完成如下列联表（单位：人），并判断能否有的把握认为学生课间经常进行体育活动与性别有关联.
（2）以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取3人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列与数学期望.
附：，其中.
【答案】（1）列联表见解析，有关联；
（2）分布列见解析，.
【解析】
【分析】（1）根据已知补全列联表，根据独立性检验，计算的值，与对比即可得出答案；
（2）根据已知得出在全校学生中随机抽取1人，其课间经常进行体育活动的概率为，则随机变量的所有可能取值为，，，，且，计算出对应的概率，再结合期望公式求解即可.
【小问1详解】
补全列联表如下：
提出零假设：学生课间经常进行体育活动与性别相互独立，即课间是否经常进行体育活动与性别无关，
依题意，，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即有的把握认为学生课间经常进行体育活动与性别有关联；
【小问2详解】
由题意得，学生课间经常进行体育活动的频率为，所以在全校学生中随机抽取1人，其课间经常进行体育活动的概率为，
而随机变量的所有可能取值为，，，，则由题意得，
所以，，，，，
，
，
，
，
的分布列如下：
所以的数学期望.
16. 记的内角所对的边分别是，且满足.
（1）证明：；
（2）若的面积为，求；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两角和、差的正弦公式化简后可证.
（2）根据正弦定理可将面积转化为角的三角函数关系式，化简后可得，结合（1）中结果可求.
【小问1详解】
由得，
则，
得， 若，则，
则均为直角，与题设矛盾， 故，故，
故，故.
【小问2详解】
，
所以，则，
，
从而，
又，从而，，
所以.
17. 在三棱锥中，.
（1）证明：平面平面；
（2）点为棱上，若与平面所成角的正弦值为，求的长；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）如图过作，由相似三角形的判定定理与性质求得，根据勾股定理的逆定理可得，结合面面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立如图空间直角坐标系，设，根据空间向量的线性运算表示出的坐标，利用空间向量法求线面角建立关于的方程，解之即可求解.
【小问1详解】
过作，垂足为，由，
得，，得，
由，得，所以，
即，所以；
在中，，所以，
又平面，
所以平面平面，
所以平面平面；
【小问2详解】
如图以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系；
得，
设，
，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
则，
设直线与平面所成角为，则，
，
所以；
18. 已知椭圆的长轴长为4，离心率为，左顶点为，过右焦点作直线与椭圆分别交于两点（异于左右顶点），连接.
（1）证明：与不可能垂直；
（2）求的最小值；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出椭圆方程，设出点坐标，结合求解即可.
（2）设直线方程，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可表示，运用换元法进而将问题转化为求关于的二次函数的最小值.
【小问1详解】
由题意知，，
又因为，所以椭圆方程为，则，
证明：设，，则①，
如图所示，
假设，即，
所以，
又，，
所以②，
由①②消去得到，与题设矛盾，所以与不可能垂直.
【小问2详解】
如图所示，

设方程为：，
由，得，
设，则，
所以，
，
所以，
设，
则
，
即当，即时，取得最小值为.
故的最小值为.
19. 已知函数，且曲线在点处的切线斜率为1.
（1）求的表达式；
（2）若恒成立，求的值.
（3）求证：.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）设，则，根据极值点的定义可求得；进而利用导数证明当时对任意恒成立即可；
（3）由（2）可得，进而.利用导数证明不等式、，结合放缩法和裂项相消法计算即可证明.
【小问1详解】
，则，
；
【小问2详解】
设.
由条件知恒成立，
因为，又的图像在定义域上是连续不间断的，
所以是的一个极大值点，则.
又，所以，得；
下证当时，对任意恒成立，
令，则，
由，
知函数在单调递增，在上单调递减，
，即，而，
所以当时，.
综上，若恒成立，则.
【小问3详解】
由（2）可知.
，
先证，
令，
则在上单调递减，，即
所以
再证，先证，
令，则，
当时，，函数单调递增，且，则，
即，令即得.
又，得
所以，
综上，.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略:
形如的恒成立的求解策略：
1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；
2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可；
3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.
性别
课间进行体育活动情况
合计
不经常
经常
男
女
合计
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
课间进行体育活动情况
合计
不经常
经常
男
80
40
120
女
100
20
120
合计
180
60
240
0
1
2
3