2022-2023学年福建省泉州市石狮市九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年福建省泉州市石狮市九年级上学期数学期末试题及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 使二次根式有意义的x的取值范围是( )
A. x＞0B. x＞2C. x≥2D. x≠2
【答案】C
【解析】
【详解】分析：根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
详解：由题意得，x−2⩾0，
解得，x⩾2，
故选C.
点睛：此题考查二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方部分大于或等于零，二次根式无意义的条件是被开方部分小于0.
2. 下列事件为必然事件的是（ ）
A. 打开电视，正在播放新闻B. 买一张电影票，座位号是奇数号
C. 任意画一个三角形，其内角和是180°D. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
【答案】C
【解析】
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【详解】解：A、打开电视，正在播放新闻，是随机事件，故A错误；
B、买一张电影票，座位号是奇数号，是随机事件，故B错误；
C、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故C正确；
D、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，故D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3. 下列各式中一定是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行分析即可．
【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意；
B、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、，不最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
4. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把化成，再把代入，进行计算即可得出答案．
【详解】解：，
．
故选：A．
【点睛】此题考查了比例的性质，解题的关键是把化成，属于较简单运算．
5. 将方程化为的形式，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】利用完全平方公式整理后，即可求出与的值．
【详解】解：方程，
变形得：，
配方得：，即，
则，，
故，
故选：D．
【点睛】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6. 我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列的方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由矩形宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为步，再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步，
∴矩形的长为步．
依题意，得：．
故选D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7. 如图，在平面直角坐标系中，点C，D分别是，的中点，点A的坐标为，点D的坐标为，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据中点坐标公式求出点B的坐标，再由中点坐标公式求出点C的坐标即可．
【详解】解：设B（x，y）,
∵D为OB的中点，且O（0，0）
∴
∴
∴B（2，4）
设点C的坐标为（m,n）
∵A
∴
∴C(4,2)
故选A
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，灵活运用中点坐标公式是解答本题的关键．
8. 如图，点，，在正方形网格的格点上，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接格点CD，根据勾股定理求出三角形的边长，再利用勾股定理的逆定理判断出直角三角形，最后由三角函数的意义求解即可．
【详解】解：如图，连接格点CD，
∵AD2=22+22=8，CD2=12+12=2，AC2=12+32=10，
∴AD2+CD2=AC2，
∴∠ADC=90°，
由勾股定理得，
AC=，CD=，
∴sin∠BAC==，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角函数的意义，勾股定理等知识，根据网格构造直角三角形和利用勾股定理求边长是解决问题的关键．
9. 如图，是的边延长线上一点，连接，交于点，连接，，则等于（ ）
A. B. C.
【答案】C
【解析】
【分析】由，得，从而得到，则，从而解决问题．
【详解】解：是的边延长线上一点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形性质，相似三角形的判定与性质，利用高相等的两个三角形面积之比等于底之比是解题的关键．
10. 若二次函数y＝ax2+4ax+1(a≠0)的图象经过(－3－，y1)、(－1+，y2)、(1，y3)、(2，y4)，若y1、y2、y3、y4四个数中有且只有一个小于零，则a的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，先求出二次函数的对称轴，然后需要对函数的开口方向进行讨论，结合点的坐标，即可得到的取值范围，即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数y＝ax2+4ax+1(a≠0)，
∴二次函数的对称轴，
∵，；
∴点(－3－，y1)与点(－1+，y2)是对称点，
∴；
①当时，开口向上，在时，y随x的增大而增大，
∵，
∴；
若，则；
不符合题意；
②当时，开口向下，在时，y随x的增大而减小，
∵，
∴；
∵四个数中有且只有一个小于零，
∴，，
分别把，分别代入解析式，则
，，
解得：，
∴的值可以是；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及解一元一次不等式，解题的关键是掌握二次函数的性质进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析．
二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 一元二次方程的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】直接开平方即可解题．
【详解】
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，需要注意正负两种情况是解题的关键．
12. 二次函数的图像不经过第______象限．
【答案】二
【解析】
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以得到该函数图象不经过哪个象限．
详解】解：∵y=-x2+4x-1=-（x-2）2+3，
∴该函数图象的顶点坐标为（2，3）且经过点（0，-1），函数图象开口向下，
∴该函数图象不经过第二象限，
故答案为：二．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13. 已知某斜坡的坡度，则斜坡的坡角的大小为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据坡度、坡角定义可得出tanα的值，继而可得出α的度数．
【详解】解：由题意得，tanα=，
则α=60°．
故答案为：60°．
【点睛】本题考查了坡度、坡角的定义，注意坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比．
14. 如图，与位似，位似中心为点O，且，若的周长为9，则的周长为______．
【答案】6
【解析】
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．
【详解】∵，
∴，
∵与位似，
∴，
∴，
∴
∴与的周长比为，
∵的周长为9，
∴的周长为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
15. 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，已知AB∥FC，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝8，则CD的长为_____．
【答案】12﹣4
【解析】
【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=45°，进而可得出答案．
【详解】过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=8，
∴∠ABC=30°，BC=ACtan60°=8=8，
∵AB∥CF，
∴∠BCF=∠ABC=30°，
∴BM=BCsin30°=8=4，
CM=BCcs30°=8=12，
在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，
∴∠EDF=45°，
∴MD=BM=4，
∴CD=CM-MD，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形以及平行线的性质，解答此类题目的关键根据题意建立直角三角形，利用所学的三角函数的关系进行解答．
16. 如图，中，，，垂足分别为D、E，连接DE，如果，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】证得即可解题．
【详解】∵，，
∴，
∴
∵
∴
∴
∵
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定，属于基础题，中考常考题型．
三、解答题：（本题共9小题，共86分）
17. 计算：×﹣＋2sin45°．
【答案】
【解析】
【分析】首先利用二次根式的乘法和除法法则以及特殊角三角函数值进行计算，再计算加减即可．
【详解】解：
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角三角函数值的计算，关键是掌握二次根式的乘法和除法计算法则．
18 解方程：＋3x﹣4＝0．
【答案】＝﹣4，＝1
【解析】
【分析】利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得．
【详解】解：∵＋3x﹣4＝0，
∴（x＋4）（x﹣1）＝0，
则x＋4＝0或x﹣1＝0，
解得＝﹣4，＝1．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
19. 某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．
【答案】每辆汽车的售价为20万元
【解析】
【分析】设每辆汽车降价x万元，根据每辆的盈利×销售的辆数=90万元，列方程求出x的值，进而得到每辆汽车的售价．
【详解】设每辆汽车降价x万元，根据题意得：
，
解得，
当时，销售数量为（辆）；
当时，销售数量为（辆），
∵为了尽快减少库存，
∴，此时每辆汽车的售价为（万元），
答：每辆汽车的售价为20万元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一辆汽车的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系：每辆的盈利×销售的辆数=90万元是解决问题的关键．
20. 春天是放风筝的好季节，如图，小张同学在花雨广场B处放风筝，风筝位于A处，风筝线长为150m，从B处看风筝的仰角为，小张的父母从C处看风筝的仰角为．小张和父母的直线距离是多少米？（结果精确到0.1．参考数据：，，，，）
【答案】小张和父母的直线距离是是
【解析】
【分析】作，然后根据，，即可计算出的长，再利用勾股定理和锐角三角函数可以计算出和的长，然后将它们相加，即可得到是多少米．
【详解】作于点，
，，
，
，
，，，，
，
，
，
即小张和父母的直线距离是是．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根，满足，求k的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据根的判别式，即可判断；
（2）利用根与系数关系求出，，即，从而列出关于的方程，解出即得出结果．
【小问1详解】
解：，
该方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：方程的两个实数根，，
由根与系数关系可知，，，

，
即，
．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是利用一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系．
22. 田忌赛马的故事为我们所熟知．小亮与小齐学习概率初步知识后设计了如下游戏：小亮手中有方块10、8、6三张扑克牌，小齐手中有方块9、7、5三张扑克牌．每人从各自手中取一张牌进行比较，数字大的为本“局”获胜，每次取的牌不能放回．
（1）若每人随机取手中的一张牌进行比赛，求小齐本“局”获胜的概率；
（2）若比赛采用三局两胜制，即胜2局或3局者为本次比赛获胜者．当小亮的三张牌出牌顺序为先出6，再出8，最后出10时，小齐随机出牌应对，求小齐本次比赛获胜的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先根据题意画出树状图或列表，然后由图表求得所有等可能的结果与小齐本“局”获胜的情况，利用概率公式即可求得答案；
（2）根据题意，小明出牌顺序为6、8、10时，小齐随机出牌的情况有：（9，7，5），（9，5，7），（7，9，5），（7，5，9），（5，9，7），（5，7，9），又由小齐获胜的情况只有（7，9，5）一种，利用概率公式即可求得答案．
【小问1详解】
画树状图得：
∵每人随机取一张牌共有9种情况，小齐获胜的情况有（8，9），（6，9），（6，7）共3种，
∴小齐获胜的概率为．
【小问2详解】
根据题意，小明出牌顺序为6、8、10时，小齐随机出牌的情况有6种情况：（9，7，5），（9，5，7），（7，9，5），（7，5，9），（5，9，7），（5，7，9），
∵小齐获胜的情况只有（7，9，5）一种，
∴小齐获胜的概率为．
【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率，熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比．
23. 如图，，DB平分∠ADC，过点B作交AD于M．连接CM交DB于N．
（1）求证：；（2）若，求MN的长．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）通过证明，可得，可得结论；
（2）由平行线的性质可证即可证，由和勾股定理可求MC的长，通过证明，可得，即可求MN的长．
【详解】证明：（1）∵DB平分，
，且，
，
，
；
（2），
，
，且，
，
，
，且，
，
，
，
，
，
，
且，
．
【点睛】考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键．
24. 如图1，二次函数的图象经过点，点P是抛物线上一点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点P，使面积最大．若存在，求此时点P的坐标，若不存在，说明理由；
（3）如图2，点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，交x轴于点Q，将绕点A逆时针旋转得到，且旋转角的正切值等于，当点P的对应点落在y轴上时，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）最大时，
（3）点的坐标为：，或，
【解析】
【分析】（1）将点代入即可求解析式；
（2）设坐标横为，用表示的面积，求出最大时的值可得坐标；
（3）用旋转角的正切值等于设参数，表示出坐标，再代入二次函数解析式即可求解．
【小问1详解】
把点，，的坐标代入二次函数得：
，
解得：，
；
【小问2详解】
存在，理由如下：
如答图1，过作轴交于，
设，
由，可得直线解析式为：，
，，
，
当时，最大此时，
【小问3详解】
①在第一象限时，过作轴交轴于，过作轴交直线于，如图：
旋转角的正切值等于，
，即，
设，则，，
，
，
，，
，
，
，即，
可得，
，
，
，，
，，
将，代入得：
，
解得，舍去），
，
②在第三象限时，过作轴交轴于，过作轴交于，如图：
设，
旋转角的正切值等于，即，，
，，，
，，
同①可得，
，，
，
，，
将，代入得：
，
解得或（小于0，舍去），
，．
综上所述，点的坐标为：，或，．
【点睛】本题考查二次函数、一次函数图象的相关性质、最大面积、旋转等综合知识，题目难度大，解决的关键是画图分析线段之间的关系．
25.
问题背景：（1）如图①，已知，求证：；
尝试应用：（2）如图②，在和中，，，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，，求的值；
拓展创新：（3）如图③，D是内一点，，，，，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】问题背景（1）由题意得出，，则，可证得结论；
尝试应用（2）连接，证明，由（1）知，由相似三角形的性质得出，，可证明，得出，则可求出答案．
拓展创新（3）过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，证明，由相似三角形的性质得出，证明，得出，求出，由勾股定理求出，最后由直角三角形的性质可求出的长．
【详解】问题背景（1）
证明：，
，，
，，
；
尝试应用（2）
解：如图，连接，
，，
，
由（1）知，
，，
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴，
拓展创新（3）
解：如图2，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
即，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．