2023-2024学年福建省莆田市九年级上学期数学第一次月考试题及答案

这是一份2023-2024学年福建省莆田市九年级上学期数学第一次月考试题及答案，共21页。试卷主要包含了 一元二次方程2＝x－5的解是， 用配方法解方程，配方后可得， 若二次函数等内容，欢迎下载使用。

1. 一元二次方程(x－5)2＝x－5的解是( )
A. x＝5B. x＝6C. x＝0D. x1＝5，x2＝6
【答案】D
【解析】
【详解】试题解析：方程变形得：（x-5）2-（x-5）=0，
分解因式得：（x-5）（x-5-1）=0，
解得：x1=5，x2=6．
故选D．
2. 下列关于抛物线y=x2+2x+1的说法中，正确的是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴是直线x=1
C. 与x轴有两个交点D. 顶点坐标是（-1，0）
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：A、函数中a=1＞0，开口向上，错误；
B、对称轴为x=-=-1，错误；
C、因为一元二次方程x2+2x+1=0中，△=0，所以与x轴有一个交点，错误；
D、因为y=x2+2x+1=（x+1）2，所以顶点坐标为（-1，0）．
故选D．
考点：二次函数的性质．
3. 用配方法解方程，配方后可得（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】方程移项，利用完全平方公式化简得到结果即可．
【详解】方程，
整理得：，
配方得：，即，
故选A．
4. 一元二次方程x2+3x-1=0的根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】首先求得△=b2-4ac的值，然后即可判定一元二次方程x2+3x+1=0的根的情况．
【详解】∵a=1，b=3，c=1，
∴△=b2−4ac=32−4×1×1=5>0，
∴有两个不相等的实数根．
故选A.
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式进行求解.
5. 一个小组有若干人，每年互送贺年卡片一张，已知全组共送贺年卡56张，则这个小组有（ ）．
A. 16人B. 10人C. 9人D. 8人
【答案】D
【解析】
【分析】设这个小组有x个人，则每个人送出张，然后建立方程求解．
【详解】设这个小组有x个人，由题意得：
解得（舍去），
即这个小组有8人，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据每个人送出张建立方程是解题的关键．
6. 如果函数的顶点在轴上，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意函数的顶点在轴上，可知函数与轴只有唯一的公共点，即只有一个实数根，利用判别式等于零即可求出的值．
【详解】解：抛物线顶点在轴上
函数与轴只有唯一的公共点，
只有一个实数根，
，
解得：，
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，理解函数的顶点在轴上，可看成一元二次方程只有一个实数根是解答本题的关键．
7. 二次函数的图像可以由二次函数图像平移得到．下列平移正确的是（ ）．
A. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位．B. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位．
C. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位．D. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位．
【答案】B
【解析】
【分析】把二次函数化为顶点坐标式，再按照“左加右减，上加下减”的规律求解即可．
【详解】解：根据题意，按照“左加右减，上加下减”的规律，它可以由二次函数先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到．
故选：B．
【点睛】此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力，解题关键是把二次函数化为顶点坐标式和理解二次函数图象平移的规律．
8. 若二次函数（为常数）的图象如下，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象开口向下可知，又二次函数图象经过坐标原点，把原点坐标代入函数解析式解关于的一元二次方程即可．
【详解】解：把原点代入抛物线解析式，得，
解得，
∵函数开口向上，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，观察图象判断出a是负数且经过坐标原点是解题的关键．
9. 如图，若一次函数图象经过二、三、四象限，则二次函数的图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数的性质判断出a、b的正负情况，再根据二次函数的性质判断出开口方向与对称轴，然后选择即可．
【详解】解：的图象经过二、三、四象限，
，，
抛物线开口方向向下，
抛物线对称轴为直线，
对称轴在y轴的左边，
纵观各选项，只有C选项符合．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象与系数的关系，主要利用了二次函数的开口方向与对称轴，确定出a、b的正负情况是解题的关键．
10. 输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表：
分析表格中的数据，估计方程(x＋8)2－826＝0的一个正数解x的大致范围为（ ）
A. 20.5＜x＜20.6B. 20.6＜x＜20.7
C. 20.7＜x＜20.8D. 20.8＜x＜20.9
【答案】C
【解析】
【详解】试题解析：由表格可知，
当x=20.7时，（x+8）2-826=-2.31，
当x=20.8时，（x+8）2-826=3.44，
故（x+8）2-826=0时，20.7＜x＜20.8，
故选C．
二．填空题（每题4分，共24分）
11. 写出一个根为的一元二次方程_____________．．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解可进行求解．
【详解】解：一个根为的一元二次方程可以为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
12. 三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是________．
【答案】6或10或12
【解析】
【分析】首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程的根，进行分情况计算．
【详解】由方程，得=2或4．
当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6；
当三角形的三边是4，4，4时，则周长是12；
当三角形的三边长是2，2，4时，2+2=4，不符合三角形的三边关系，应舍去；
当三角形的三边是4，4，2时，则三角形的周长是4+4+2=10．
综上所述此三角形的周长是6或12或10．
故答案为：6或10或12
13. 已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1，则m的值是________．
【答案】10
【解析】
【详解】试题分析：由二次函数的性质可知当x=（对称轴）时，函数有最大值y=9-18+m=1，因此m=10.
考点：二次函数的最值问题
14. 已知，，是二次函数图像上三点，则，，的大小关系为__________
【答案】
【解析】
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，然后通过比较三个点到对称轴的远近确定函数值的大小．
【详解】解：二次函数的图像开口向上，对称轴为，
离对称轴越近的函数值越小，
到对称轴的距离最近，到对称轴的距离最远，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
15. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为__________米
【答案】2
【解析】
【分析】设道路的宽为米，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可．
【详解】解：设道路的宽为米，由题意，得：，
解得：或（舍去）；
∴道路的宽应为米；
故答案为：2．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确的识图，列出一元二次方程．
16. 已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④；其中正确的结论有_____．（填序号）
【答案】③④
【解析】
【分析】开口方向，对称轴，与轴交点的位置，判断①；特殊点判断②③；与轴的交点个数判断④．
【详解】解：抛物线的开口向下，，对称轴为直线，
∴，
抛物线与轴交于正半轴，，
∴；故①错误；
当时，，
∴；故②错误；
∵抛物线关于对称轴对称，
∴和的函数值相同，
∴当时，；故③正确；
抛物线与轴有两个交点，
∴；故④正确；
故答案为：③④．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，从函数图象上有效的获取信息，是解题的关键．
三．解答题（共86分）
17. 解下列方程
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）公式法解方程即可；
（2）因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：，
整理得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
，
，
，
，
∴或，
∴．
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．
18. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．
【答案】（1）
（2），（答案不唯一）
【解析】
【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴ ＞0．
即 ，解得，．
（2）若k是负整数，k只能为－1或－2．
如果k＝－1，原方程为 ．
解得，，．
（如果k＝－2，原方程为 ，解得，，．）
19. 已知二次函数
（1）求它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（2）这个函数是否存在最大值或最小值?若存在，求出最大值或最小值．
（3）当在什么范围内取值时，函数值随的增大而减小?
（4）画出该函数的草图
【答案】（1）开口方向向上，对称轴为，顶点为
（2）函数存在最小值，最小值为
（3）当时，函数值随的增大而减小
（4）见解析
【解析】
【分析】（1）根据二次项系数确定抛物线的开口方向，将一般式转化为顶点式即可得出抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）根据二次函数图象的开口方向及求出的顶点坐标，即可得到这个函数的最值；
（3）根据二次函数的增减性，结合（1）中的结论即可得到的取值范围；
（4）根据函数的顶点坐标，对称轴，开口方向即可画出函数的草图．
【小问1详解】
解：将函数化成顶点式为，
它的图像开口方向向上，对称轴为，顶点为；
【小问2详解】
函数图像的开口方向向上，
该函数存在最小值，最小值为；
【小问3详解】
函数图像的开口方向向上，对称轴为，
当时，函数值随的增大而减小；
【小问4详解】
函数图像，如下：
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的性质，能够画出函数的草图是解答本题的关键．
20. 已知抛物线与 x 轴只有一个交点，且交点为．
（1）求 b．c 值；
（2）若抛物线与 y 轴的交点为 B，坐标原点为 O，求的周长．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得，即可得；
（2）根据题意得，则，根据得，在中，运用勾股定理得，即可得．
【小问1详解】
解：∵抛物线与 x 轴只有一个交点，且交点
∴，
∴，；
【小问2详解】
解：∵抛物线与 y 轴的交点为 B，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴的周长：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
21. 阅读下面材料，再解方程：
解方程
解：（1）当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去）
（2）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去），
∴原方程的根是
请参照例题解方程
【答案】，
【解析】
【分析】根据绝对值的性质，将原方程化为两个一元二次方程求解，注意舍根．
【详解】解：当即时，
原方程化为
解得（不合题意，舍去），；
当即时，
原方程化为
解得（不合题意，舍去），；
∴原方程的根为，
【点睛】本题考查绝对值的性质、一元二次方程的求解；根据绝对值的性质分类讨论是解题的关键．
22. 已知抛物线与直线交于点．
（1）求、的值；
（2）抛物线与直线是否还有其它交点？若有，请求出来；若没有，请说明理由
【答案】（1），
（2）抛物线与直线还有其他交点
【解析】
【分析】（1）将代入一次函数即可求出的值，再将代入二次函数即可求出的值；
（2）将两函数的表达式联立组成方程组，即可求出交点坐标．
【小问1详解】
解：抛物线与直线交于点，
将代入解析式得，
，
解得：，；
【小问2详解】
将代入解析式得，
由此得：，
解得：，，
抛物线与直线交点为，，
抛物线与直线还有其他交点为．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，准确计算是解答本题的关键．
23. 如图，抛物线经过A（－1，0），B（5，0），C（0，－）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标；
【答案】（1） ．;（2） （2，-）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）先设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（-1，0），B（5，0），C（0，-）入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解即可求a、b、c，进而可得函数解析式．
（2）连接BC，交对称轴于P，P即为使PA+PC的值最小，设直线BC的解析式，把B、C的坐标代入即可求得系数，进而求得解析式，令x=2时，即可求得P的坐标．
试题解析：（1）设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
代入A（-1，0），B（5，0），C（0，-）三点，得
，
解得，
所以这个二次函数的解析式是:．
（2）∵
=
∴抛物线的对称轴为x=2，
设直线BC的解析式为y=kx+m，
∴
解得，
∴直线BC的解析式为y=，
当x=2时，y=-，
∴P点的坐标为（2，-）.
考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.轴对称-最短路线问题．
24. 凤凰百货商场于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，一月份销售件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月份的销售量达到件．设二、三这两个月月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，商场采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价元，销售量增加件，当商品降价多少元时，商场获利元？
【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为；
（2）当商品降价5元时，商品获利4250元
【解析】
【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率为x，则二月份的销售量为：件；三月份的销售量为：件，又知三月份的销售量为：400件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
（2）利用销量每件商品的利润4250列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：设二、三这两个月的月平均增长率为x，
根据题意可得：，
解得：或（不合题意舍去）．
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
【小问2详解】
解：设当商品降价m元时，商品获利4250元，
根据题意可得：，
解得：（不合题意舍去）．
答：当商品降价5元时，商品获利4250元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
25. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于，B两点，与轴交于点，连接、，点是抛物线上异于点的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当面积与面积相等时，求点的坐标；
（3）当时，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）的坐标为，或
（3）点的坐标
【解析】
【分析】（1）根据对称轴公式，、两点坐标，列方程组，求抛物线解析式；
（2）只需要即可满足题意，先求直线解析式，根据平行线的解析式一次项系数相等，设直线的解析式，将点坐标代入可求直线的解析式，将抛物线与直线解析式联立，即可求点坐标，再根据平移法求满足条件的另外两个点坐标；
（3）延长交轴于点，根据抛物线解析式可知为等腰直角三角形，利用角的关系证明，可证，利用相似比求解，即可得出点坐标，即可求出直线的解析式，与抛物线联立即可求出的坐标．
小问1详解】
解：抛物线的对称轴为直线，经过，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
令，
解得：，，
，
当点在轴的上方时，如图，过点作直线的平行线交抛物线于点，

设的解析式为，
，，
，解得：，
直线的解析式为，
设的解析式为，
直线经过点，代入求得：，
直线的解析式为，
解方程组，
解得：，，
点；
当点在轴的下方时，如图，
设直线交轴于点，
把直线向下平移个单位，交抛物线于点，，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
解方程组，
解得：，，
，，
综上所述，点的坐标为，或；
【小问3详解】
，，
，
，
设的解析式为，
如图，延长交轴于点，

设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
直线过点，
，
，
直线的解析式为，
解方程组，
解得：，，
点的坐标．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，求函数解析式，相似三角形的判定与性质，一次函数与二次函数的交点问题，根据抛物线与轴，轴的交点，判断三角形的特殊性，利用平移，相似的知识解题是解答本题的关键．x
20.5
20.6
20.7
20.8
20.9
输出
－13.75
－8.04
－2.31
3.44
9.21