2023-2024学年福建省福州市九年级上学期数学月考试题及答案

这是一份2023-2024学年福建省福州市九年级上学期数学月考试题及答案，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，A，B，C是⊙O上三点，且∠ABC＝70°，则∠AOC的度数是（ ）
A. 35°B. 140°C. 70°D. 110°
【答案】B
【解析】
【分析】根据同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系定理即可解决．
【详解】解：∵∠ABC是圆周角，所对的弧是，∠AOC是圆心角，所对的弧是，
∴∠AOC=2∠ABC=2×70°=140°．
故选：B．
【点睛】本题考查同弧所对的圆周角、圆心角之间的关系定理，记住同弧所对圆心角是圆周角的两倍，属于中考常考题型．
2. 如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是( )
A. 1B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵AB是⊙O直径,∴∠ACB=90°;
Rt△ABC中,∠ABC=30°,AB=4;∴AC=AB=2．
故选D．
考点：圆周角定理．
3. 已知的半径为3，点到圆心的距离为4，则点与的位置关系是（ ）
A. 点在外B. 点在上C. 点在内D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系进行判断即可得到答案．
【详解】解：的半径分别是3，点到圆心的距离为4，
，
点与的位置关系是：点在圆外，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为，半径为，当时，点在圆上，当时，点在圆内，当时，点在圆外．
4. A，B是切点，若，则（ ）

A. 30°B. 35°C. 45°D. 55°
【答案】B
【解析】
【分析】连接，根据切线的性质和四边形的内角和为，求出的度数，等边对等角求出的度数即可．
【详解】解：连接，则：，

∵A，B是切点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查切线的性质．熟练掌握切线垂直于过切点的半径，是解题的关键．
5. 如图，是的直径，点C是上的一点，若，，于点D，则长为（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用圆周角定理和勾股定理求出的长，再利用垂径定理和三角形的中位线定理求出的长即可．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是三角形的中位线，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理和三角形的中位线定理，解题的关键是熟练掌握相关定理，正确的计算．
6. 正n边形的中心角是30°，（ ）
A 6B. 8C. 10D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】根据正n边形的中心角是，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查正多边形的中心角．熟练掌握正n边形的中心角是，是解题的关键．
7. 如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，⊙O的半径为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
分析】当OM⊥AB时值最小．根据垂径定理和勾股定理求解．
【详解】解：根据直线外一点到直线的线段中，垂线段最短，知：当OM⊥AB时，为最小值4，
连接OA，
根据垂径定理，得：BM=AB=3，
根据勾股定理，得：OA==5，
即⊙O的半径为5．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理，主要运用了垂径定理、勾股定理求得半径．特别注意能够分析出OM的最小值．
8. 如图，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=100，则∠α度数为（ ）
A. 160B. 120C. 100D. 80
【答案】A
【解析】
【分析】在⊙O取点，连接 利用圆的内接四边形的性质与一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍，可得答案．
【详解】解：如图，在⊙O取点，连接
四边形为⊙O的内接四边形，



．
故选A
【点睛】本题考查的是圆的内接四边形的性质，同弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍，掌握相关知识点是解题的关键．
9. 圆锥底面圆的半径为3cm，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为（ ）
A. 3cmB. 6cmC. 9cmD. 12cm
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：首先根据圆的周长公式求得圆锥的底面周长=6π，然后根据圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长等于底面周长，根据弧长公式即可求得母线长，可得母线长为6．
故选B．
考点：圆锥的计算
10. 如图，内接于，，，为的直径，，则长为（ ）

A. 4B. C. 6D.
【答案】C
【解析】
【分析】等边对等角，得到，圆周角定理，得到，，利用含30 度角的直角三角形的性质，求出的长，再根据含30 度角的直角三角形的性质，求出的长即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
连接，

则：，
∵为的直径，
∴，
在中，，
∴，
∴，，
在中，，，
∴，，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查圆周角定理，等边对等角，含30度角的直角三角形．熟练掌握圆周角定理，是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 如图，已知点A，B，C在上，，，则________．

【答案】##20度
【解析】
【分析】先根据圆周角定理求出，再根据平行线的性质可证．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，平行线的性质，熟记圆周角定理的含义是解本题的关键．
12. 用反证法证明：“a与b不平行”，第一步假设为________．
【答案】a与b平行
【解析】
【分析】反证法的第一步假设结论的对立面成立，作答即可．
【详解】解：用反证法证明：“a与b不平行”，第一步假设为a与b平行；
故答案为：a与b平行．
【点睛】本题考查反证法，熟练掌握反证法的第一步为假设结论的对立面成立，是解题的关键．
13. 在半径为3的圆中，150°的圆心角所对扇形的面积是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：150°的圆心角所对的扇形的面积是；
故答案为：．
【点睛】本题考查求扇形面积．熟练掌握扇形的面积公式，是解题的关键．
14. 如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝3，CD＝2，则⊙O的直径的长是________．
【答案】
【解析】
【详解】连接AC，根据∠ABC=90°可得AC为直径，则∠ADC=90°，根据Rt△ACD的勾股定理可得：AC=.
15. 如图，AB为⊙O的直径，弦于点E，已知，则⊙O的半径为__________．
【答案】5
【解析】
【详解】解：设圆的半径为r，连接OC，
根据垂径定理可知CE=3，OE=r-1，
，
解得r=5．
故答案为5．
16. 平面直角坐标系内，A(-1,0)，B(1,0)，C(4，﹣3)，P 在以 C 为圆心 1 为 半径的圆上运动，连接 PA，PB，则的最小值是_______ .
【答案】34
【解析】
【分析】设点P (x, y)，表示出的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出OP的最值，代入求解即可.
【详解】解:设P (x，y)
∴
∵A(-1,0)，B(1,0)，
∴
∴ ,
∴
当点P处于OC与圆的交点上时，OP取得最值,
∴OP的最小值为OC-PC=5-1=4.
∴最小值为.
故答案为: 34.
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解答本题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解OP的最小值，难度较大.
三、解答题（共86分）
17. 如图，在中，弦半径OB，，求的度数.

【答案】．
【解析】
【分析】先根据平行线的性质得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算的度数．
【详解】解：半径，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形内角和：三角形内角和是．也考查了等腰三角形的性质和圆的认识．
18. 如图，，，的直径为6．求证：直线是的切线．

【答案】见解析
【解析】
【分析】过点作于点，根据三线合一和勾股定理求出的长，即可．
【详解】解：过点作于点，

∵，，
∴，
∴，
∵的直径为6，
∴为的半径，
又，
∴直线是的切线．
【点睛】本题考查切线的判定．熟练掌握切线的判定方法，是解题的关键．
19. 如图，A、B、C、D为⊙O上四点，若AC⊥OD于E，且．请说明AB＝2AE．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据垂径定理得到，AC＝2AE，从而得到，得到AC=AB，故可求解.
【详解】解：∵ AC⊥OD，
∴ ，AC＝2AE，
∵ ，
∴ ，
∴ AC＝AB，
∴ AB＝2AE．
【点睛】此题主要考查垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，解题的关键是熟练掌握相关知识并能灵活运用.
20. 如图，AB是⊙O的切线．A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若OH=2，AB=12，BO=13，求⊙O的半径和AC的值
【答案】5，2．
【解析】
【分析】根据切线的性质可得△AOB是直角三角形，由勾股定理可求得OA的长，即⊙O的半径；在Rt△OAH中，由勾股定理可得AH的值，进而由垂径定理求得AC的长．
【详解】解：①∵AB是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥AB，
在Rt△AOB中，AO===5，
∴⊙O的半径为5；
②∵OH⊥AC，
∴在Rt△AOH中，AH=== ，
又∵OH⊥AC，
∴AC=2AH=2．
【点睛】本题考查：切线的性质、勾股定理及垂径定理的综合运用等知识，解题关键是勾股定理的应用．
21. 如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C．∠DAB=∠B=30°．
（1）直线BD是否与⊙O相切？为什么？
（2）连接CD，若CD=5，求AB的长．
【答案】（1）相切，理由见解析；（2）AB=15．
【解析】
【分析】（1）连接OD，通过计算得到∠ODB=90°，证明BD与⊙O相切．
（2）△OCD是边长为5的等边三角形，得到圆的半径的长，然后求出AB的长
【详解】解：（1）直线BD与⊙O相切．
如图
连接OD，CD，
∵∠DAB=∠B=30°，
∴∠ADB=120°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD=30°，
∴∠ODB=∠ADB﹣∠ODA=120°﹣30°=90°．
所以直线BD与⊙O相切；
（2）连接CD，
∠COD=∠OAD+∠ODA=30°+30°=60°，
又OC=OD
∴△OCD是等边三角形，
即：OC=OD=CD=5=OA，
∵∠ODB=90°，∠B=30°，
∴OB=10，
∴AB=AO+OB=5+10=15．
22. 如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接OC，交⊙O于点E，弦AD∥OC．
（1）求证：点E是弧BD的中点；（2）求证：CD是⊙O的切线．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）连接OD．根据相等的圆心角所对的弧相等，证明∠COD＝∠COB后得证；
（2）证明OD⊥CD即可．通过证明△COD≌△COB得∠ODC＝∠OBC＝90°得证．
【详解】证明：（1）连接OD．
∵AD∥OC，
∴∠ADO＝∠COD，∠A＝∠COB．
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO．
∴∠COD＝∠COB．
∴弧BE＝弧DE，即点E是弧BD的中点．
（2）由（1）可知∠COD＝∠COB，
在△COD和△COB中，
，
∴△COD≌△COB，
∴∠CDO＝∠CBO．
∵BC与⊙O相切于点B，
∴BC⊥OB，即∠CBO＝90°．
∴∠CDO＝90°，即DC⊥OD．
∴CD是⊙O的切线．
【点睛】此题考查了圆的有关性质及切线的判定方法等知识点．
①相等的圆心角所对的弧相等，必须在同圆或等圆中成立；
②要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
23. 如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC，BC分别交于点D，E，过点D作DF⊥BC，垂足为点F.
(1)求证：DF为⊙O的切线；
(2)若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；
(3)求图中阴影部分面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）连接DO，要证明DF为⊙O的切线只要证明∠FDP=90°即可；
（2）由已知可得到CD，CF的长，从而利用勾股定理可求得DF的长；
（3）连接OE，求得CF，EF的长，从而利用S直角梯形FDOE-S扇形OED求得阴影部分的面积．
【详解】（1）连接DO.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°.
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠ADO=60°，
∵DF⊥BC，
∴∠CDF=90°-∠C=30°，
∴∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF=90°，
∴DF为⊙O的切线；
（2）∵△OAD是等边三角形，
∴AD=AO=AB=2，
∴CD=AC-AD=2.
在Rt△CDF中，
∵∠CDF=30°，
∴CF=CD=1，
∴DF= =；
（3）连接OE.
由（2）同理可知CE=2，
∴CF=1，
∴EF=1，
∴S直角梯形FDOE=(EF+OD)·DF=
∴S扇形OED=
∴S阴影=S直角梯形FDOE-S扇形OED=
24. 已知二次函数图象与x轴交于坐标原点O和点A，顶点为点P．
（1）求点P的坐标（用含a的式子表示）；
（2）已知点P纵坐标与点A横坐标相同，直线与抛物线交于M，N两点（点M在点N左侧），连接设直线为，直线为；
①求P点坐标．
②求证：当时，的值不变．
【答案】（1）
（2）①点坐标为；②．
【解析】
【分析】（1）由抛物线经过原点可得，将抛物线解析式化为顶点式求解．
（2）①由点纵坐标与点横坐标相同可求出，坐标；②由直线，经过点可得，与，的关系，设点，横坐标分别为，，令可得，，用含，及的代数式分别表示，，进而求解．
【小问1详解】
抛物线经过原点，
，
，
点坐标为．
【小问2详解】
①抛物线对称轴为直线，
点坐标为，
点纵坐标与点横坐标相同，
，
，
∴点坐标为．
②令，整理得，
设点横坐标为，点横坐标为，
，，
点在直线与直线上，
把代入得，
，
令，可得，
点在直线与直线上，
把代入得，
，
令，可得，
，
把，代入得，
时，．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数和方程的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系．
25. 内接于，点D在边上，射线交于点E，点F在弧上，连接，.
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，交弦于点G，经过O点，，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，H为的中点，连接、，若，，求线段的长.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）连接，得到，，即，然后根据，可得到结果；
（2）连接，找到角度之间的关系，结合（1）中的结论，可得到，通过同弧所对的圆周角相等，可得到，进而得到，即可求得结果；
（3）延长交于点K，过O作于点M，过A作于点N，则，然后根据（1）（2）中的条件判断出四边形是平行四边形，四边形是矩形，得到，进而根据勾股定理得到答案．
【小问1详解】
证明：连接，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：连接，
，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：延长交于点K，过O作于点M，过A作于点N，则，
，
∵，
∴，
∵，
∴
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵H是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
由（2）得，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴在中，由勾股定理可得，
∴（舍）或，
∴，，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
在中，．
【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题，其中有同弧所对的圆周角相等，垂线定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是找到各个角度、边长之间的关系．