人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用达标测试

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一、知识梳理
1．正弦定理和余弦定理
2.△ABC的面积公式
(1)S△ABC＝eq \f(1,2)a·h(h表示边a上的高)．
(2)S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A．
(3)S△ABC＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
3．三角形解的判断
[注意] 上表中A为锐角时，ac，则eq \f(b,c)＝________．
7．在△ABC中，B＝eq \f(π,3)，AC＝eq \r(3)，且cs2C－cs2A－sin2B＝－eq \r(2)sin Bsin C，则C＝________，BC＝________．
8．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin B＋bcs A＝0.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2eq \r(5)，b＝2，求边c的长．
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且eq \r(3)acs C＝(2b－eq \r(3)c)cs A．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．
[综合题组练]
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝acs C＋eq \f(1,2)c，则角A等于( )
A．60° B．120° C．45° D．135°
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acs A＝bcs C＋ccs B，b＋c＝3，则a的最小值为( )
A．1 B．eq \r(3) C．2 D．3
3．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cs B＝eq \f(1,3)，b＝4，S△ABC＝4eq \r(2)，则△ABC的周长为________．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，eq \f(asin A＋bsin B－csin C,sin Bsin C)＝eq \f(2\r(3),3)a，a＝2eq \r(3).若b∈[1，3]，则c的最小值为________．
5．(综合型)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)c－a))cs B＝bcs A．
(1)求cs B的值；
(2)若a＝2，cs C＝－eq \f(\r(17),17)，求△ABC外接圆的半径R.
6．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)accs B，且sin A＝3sin C．
(1)求角B的大小；
(2)若c＝2，AC的中点为D，求BD的长．
定理
正弦定理
余弦定理
内容
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
(R为△ABC外接圆半径)
a2＝b2＋c2－2bccs_A；
b2＝c2＋a2－2cacs_B；
c2＝a2＋b2－2abcs_C
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
(2)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
(3)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ca)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A