人教版七年级数学下册专题训练专题11.5期末专项复习之二元一次方程组十四大必考点(举一反三)(人教版)(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册专题训练专题11.5期末专项复习之二元一次方程组十四大必考点(举一反三)(人教版)(原卷版+解析)，共55页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc7499" 【考点1 二元一次方程（组）的概念】 PAGEREF _Tc7499 \h 1
\l "_Tc3648" 【考点2 二元一次方程组的解】 PAGEREF _Tc3648 \h 2
\l "_Tc19488" 【考点3 解二元一次方程组】 PAGEREF _Tc19488 \h 2
\l "_Tc8567" 【题型4 同解方程组】 PAGEREF _Tc8567 \h 3
\l "_Tc28932" 【题型5 二元一次方程组的错解复原问题】 PAGEREF _Tc28932 \h 3
\l "_Tc24146" 【题型6 构造二元一次方程组求解】 PAGEREF _Tc24146 \h 4
\l "_Tc25203" 【考点7 二元一次方程的整数解】 PAGEREF _Tc25203 \h 4
\l "_Tc4643" 【考点8 二元一次方程组的特殊解法】 PAGEREF _Tc4643 \h 5
\l "_Tc11854" 【考点9 二元一次方程组的新定义问题】 PAGEREF _Tc11854 \h 6
\l "_Tc31174" 【考点10 二元一次方程（组）的规律探究】 PAGEREF _Tc31174 \h 7
\l "_Tc4705" 【考点11 二元一次方程（组）的阅读理解类问题】 PAGEREF _Tc4705 \h 8
\l "_Tc1723" 【考点12 二元一次方程（组）的应用】 PAGEREF _Tc1723 \h 9
\l "_Tc8606" 【考点13 三元一次方程组的解法】 PAGEREF _Tc8606 \h 10
\l "_Tc4559" 【考点14 三元一次方程组的应用】 PAGEREF _Tc4559 \h 11
【考点1 二元一次方程（组）的概念】
【例1】（2022·浙江·义乌市稠州中学教育集团七年级阶段练习）方程①2x﹣3y＝1，②xy＝﹣2，③x2−5x＝5，④x﹣1y+2＝0中，为二元一次方程的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【变式1-1】（2022·上海·期末）下列方程组中，二元一次方程组有（ ）
①4x+y=2x−2y=−3；②2x−y=1y+z=1；③x=3y−5=0；④x−2y2=3x+3y=1．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式1-2】（2022·全国·八年级单元测试）已知(a−2)x+a2−3+y=1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为________．
【变式1-3】（2022·浙江·杭州市大关中学七年级期末）关于x，y的二元一次方程ax+by=c（a，b，c是常数），b=a+1，c=b+1，对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解，这个公共解为_________．
【考点2 二元一次方程组的解】
【例2】（2022·浙江·华东师范大学附属杭州学校七年级期末）方程组2x+y=▴x+y=3的解为x=2y=◼，则被遮盖的两个数▲和■分别为( )
A．1，2B．5，1C．2，3D．2，4
【变式2-1】（2022·陕西·商洛市山阳信毅九年制学校七年级阶段练习）乐乐，果果两人同解方程组ax+5y=15①4x=by−2②时，乐乐看错了方程①中的a，解得x=−3y=−1，果果看错了方程②中的b，解得x=5y=4，求a2021+−b102022的值．
【变式2-2】（2022·江苏·无锡市查桥中学七年级阶段练习）若x=1y=−2和x=−1y=−4是某二元一次方程的解，则这个方程为（ ）
A．x+2y= -3B．2x−y=0C．y=3x−5D．x−3=y
【变式2-3】（2022·陕西汉中·七年级期末）已知关于x、y的方程组x+y=1−ax−y=3a+5，则下列结论中正确的有( )
①当a=1时，方程组的解也是方程x+y=2的解；
②当x=y时，a=−53；
③不论a取什么数，2x+y的值始终不变．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【考点3 解二元一次方程组】
【例3】（2022·浙江·杭州市实验外国语学校七年级期末）关于x，y方程组3x+5y=m+22x+3y=m满足x，y的和为2，则m2−2m+1的值为______．
【变式3-1】（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）已知方程组3x+y=5ax−2y=4的解也是方程组3x−by=54x−5y=−6的解求a,b的值．
【变式3-2】（2022·山东·聊城市东昌府区水城双语学校七年级阶段练习）解方程组
(1)y=2x−43x+y=1
(2)3(x+y)−4(x−y)=4x+y2+x−y6=1
【变式3-3】（2022·江苏泰州·七年级期末）在等式y＝ax2＋bx＋1中，当x＝－1时，y＝6；当x＝2时，y＝11．
（1）求a，b的值；
（2）当x＝－3时，求y的值．
【题型4 同解方程组】
【例4】（2022·山东济宁·七年级期末）已知方程组2x−y=7ax+y=b和方程组x+by=a3x+y=8有相同的解，则a，b的值分别为（ ）
A．a=1b=2B．a=4b=−6C．a=−6b=2D．a=14b=2
【变式4-1】（2022·湖北武汉·七年级期末）已知方程组3x−2y=4mx+ny=7与mx+3ny=515y−x=3有相同的解，则m+n=_______．
【变式4-2】（2022·黑龙江·大庆市高新区学校七年级期末）关于x，y的两个方程组ax−2by=22x−y=7和3ax−5by=93x−y=11有相同的解，则ab的值是（ ）
A．23B．32C．−23D．12
【变式4-3】（2022·陕西安康·七年级期末）已知关于x，y的二元一次方程组2x+y=4ax+by=7和ax−by=−1x−2y=−3的解相同，求a+b的值．
【题型5 二元一次方程组的错解复原问题】
【例5】（2021·山东滨州·七年级期末）解方程组ax+by=2cx−7y=8时，一学生把c看错而得到x=−2y=2，而正确的解是x=3y=−2，那么a+b+c的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式5-1】（2022·四川巴中·七年级期末）甲、乙两人解关于x、y的方程组3x−by=−1①ax+by=−5②时，甲因看错a得到方程组的解为x=1y=2，乙将方程②中的b写成了它的相反数得到方程组的解为x=−1y=−1．
(1)求a、b的值；
(2)求原方程组的解．
【变式5-2】（2018·江西宜春·七年级期末）已知方程组ax−5y=15①4x−by=−2②由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为x=−3y=−1；乙看错了方程②中的b得到方程组的解为x=5y=4，若按正确的a，b计算，请你求原方程组的解．
【变式5-3】（2022·河南·安阳市第五中学七年级期末）甲乙两名同学在解方程组ax+5y=104x−by=−4时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为x=3y=−1；乙看错了方程组中的b，而得解为x=5y=4．
(1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？
(2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
【题型6 构造二元一次方程组求解】
【例6】（2022·浙江湖州·七年级期末）小王和小明分别计算同一道整式乘法题：3x+m4x+n，小王由于抄错了一个多项式中m的符号，得到的结果为12x2−17x+6，小红由于抄错了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为6x2−5x−6，则这道题的正确结果是_________．
【变式6-1】（2022·山东济宁·七年级期末）对于实数x，y，定义新运算x*y=ax+by+1．其中a，b为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若2*5=10，4*7=28，则3*6=（ ）
A．18B．19C．20D．21
【变式6-2】（2022·上海市民办新复兴初级中学七年级期末）当x=1时，多项式a+bx+cx2+dx3+ex4+fx5的值是32，且当x=−1该多项式值为0，则a+c+e的值是（ ）
A．8B．16C．32D．无法确定
【变式6-3】（2022·安徽安庆·七年级期末）当a、b都是整数时，我们称（a，b）为一个有序整数对，如（-2，2）和（2，-2）是两个不同的有序整数对，则满足|a-b|+|ab|=1的有序整数对有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．6个
【考点7 二元一次方程的整数解】
【例7】（2022·上海市静安区实验中学课时练习）二元一次方程3x+8y=27的所有正整数解为_________；整数解有_______个．
【变式7-1】（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的方程9x−3=kx+14有整数解，求满足条件的所有整数k的值．
【变式7-2】（2022·重庆一中八年级开学考试）对任意一个四位数m，若m满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“M数”，将一个“M数”m的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为Fm．例如，“M数”m=1234，去掉千位上的数字得到234，去掉百位上的数字得到134，去掉十位上的数字得到124，去掉个位上的数字得到123，这四个新三位数的和为234+134+124+123=615，615÷3=205，所以F1234=205．
(1)计算：F1213，F8567；
(2)若“M数”n=8900+10x+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），Fn也是“M数”，且Fn能被8整除．求FFn的值．
【变式7-3】（2022·重庆涪陵·七年级期末）对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数m，若m的十位数字等于百位数字与个位数字之和，则称这个自然数m为“三峡数”．当三位自然数m为“三峡数”时，交换m的百位数字和个位数字后会得到一个三位自然数n，规定F(m)=m−n99．例如：当m=583时，因为5+3=8，所以583是“三峡数”；此时n=385，则F(m)=m−n99=583−38599=19899=2．
(1)判断341和153是否是“二峡数”？并说明理由；
(2)求F352的值；
(3)若三位自然数m=100a+10a+b+b（即m的百位数字是a，十位数字是a+b，个位数字是b，1≤a≤9，1≤b≤9，a，b是整数，1≤a+b≤9）为“三峡数”，且Fm=5时，求满足条件的所有三位自然数m．
【考点8 二元一次方程组的特殊解法】
【例8】（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）数学方法：
解方程组：32x+y−2x−2y=2622x+y+3x−2y=13，若设2x+y=m，x−2y=n，则原方程组可化为3m−2n=262m+3n=13，解方程组得m=8n=−1，所以2x+y=8x−2y=−1，解方程组得x=3y=2，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组ax+by=6bx+ay=3，的解为x=−2y=4，那么关于m、n的二元一次方程组am+n+bm−n=6bm+n+am−n=3的解为： ．
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组x+y2−x−y3=42x+y+x−y=16．
(3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=−3，
求关于x，y的方程组2a1x+3b1y=5c12a2x+3b2y=5c2的解．
【变式8-1】（2022·上海市复旦实验中学八年级期末）用换元法解方程组5x−6y+1=11x+2y+1=1时，可设1x=u,1y+1=v,则原方程组可化为关于u、v的整式方程组为_____．
【变式8-2】（2022·陕西·西大附中浐灞中学八年级期末）解方程组：x+y=22①4x+y−5x−y=−2②
【变式8-3】（2022·北京朝阳·七年级期末）阅读下列材料并填空：
（1）对于二元一次方程组4x+3y=54x+3y=36我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个数表4 3 541 3 36，求得一次方程组的解x=ay=b，用数可表示为1 0 a0 1 b．用数表可以简化表达解一次方程组的过程如下，请补全其中的空白：
．
从而得到该方程组的解为x=__________y=__________．
（2）仿照（1）中数表的书写格式写出解方程组2x+3y=6x+y=2的过程．
【考点9 二元一次方程组的新定义问题】
【例9】（2022·贵州·铜仁市第十一中学七年级阶段练习）我们规定：m表示不超过m的最大整数，例如：3.1=3，0=0，−3.1=−4，则关于x和y的二元一次方程组x+y=3.2，x−y=3.2的解为（ ）
A．x=3.2，y=0.2B．x=2.4，y=1.2C．x=3，y=0.2D．x=3.4，y=0.2
【变式9-1】（2022·江苏·盐城市初级中学七年级期末）如果一个正整数m=a²-b²(a,b均为正整数，且a≠b)我们称这个数为“平方差数”，则a,b为m的一个平方差分解，规定：F(m)=ba,例如：8=8×1=4×2，由8= a²-b²=(a−b)(a+b)，可得{a+b=8a−b=1或{a+b=4a−b=2.因为a,b为正整数，解得{a=3b=1，所以F（8）=13.试求F（45）的值为_____.
【变式9-2】（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）定义新运算∶对于任何非零实数a、b．都有a※b= ax- by．
(1)若2※2 =-3，求x- y的值；
(2)若3※(-2)= 3，(-2)※3= 8，求x、y的值．
【变式9-3】（2022·江苏南通·七年级期末）定义：数对x,y经过一种运算可以得到数对x',y'，将该运算记作：
dx,y=x',y'，其中x'=ax+byy'=ax−by（a，b为常数）．
例如，当a=1，b=1时，d−2,3=1,−5．
(1)当a=2，b=1时，d3,1=__________；
(2)若d−3,5=−1,9，求a和b的值；
(3)如果组成数对x,y的两个数x，y满足二元一次方程x−3y=0时，总有dx,y=−x,−y，则a=__________，b=__________．
【考点10 二元一次方程（组）的规律探究】
【例10】（2022秋·四川成都·七年级统考期末）相传大禹时期，洛阳市西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹，大禹依此治水成功，遂划天下为九州．图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示，洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这个规律，则a+b的值为（ ）
A．2B．−2C．4D．6
【变式10-1】（2022春·北京石景山·七年级统考期末）下面反映了，按一定规律排列的方程组和它们解之间的对应关系：
按此规律，第n个方程组为___________，它的解为___________（n为正整数）.
【变式10-2】（2022秋·陕西宝鸡·八年级统考期末）如图所示的各图表示由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边(包括两个顶点)有n(n＞1)盆花，每个图案花盆的总数为s．按此规律推断，以s，n为未知数的二元一次方程为______．
【变式10-3】（2022秋·湖北省直辖县级单位·七年级统考期中）观察表一，寻找规律，表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，则a+b﹣m＝_____．
【考点11 二元一次方程（组）的阅读理解类问题】
【例11】（2022秋·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）阅读下列材料，回答问题．
对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为Fn．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，因为666÷111=6，所以F123=6．
(1)计算：F341= ，F625= ；
(2)若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y，1≤x≤9，1≤y≤9且x，y都是正整数，规定k=Fs−Ft，当Fs+Ft=19时，求k的最小值．
【变式11-1】（2022春·广西南宁·七年级统考期末）【阅读理解】我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．
例如：由2x+3y＝12，得：y=12−2x3=4−23x（x、y为正整数）．
要使y=4−23x为正整数，则23x为正数可知：x为3的倍数，从而x＝3，代入y=4−23x=2．
所以2x+3y＝12的正整数解为x=3y=2．
(1)【类比探究】请根据材料求出方程3x+2y＝8的正整数解．
(2)【拓展应用】把一根长20米的钢管截成2米长和3米长两种规格的钢管，在不造成浪费的情况下，共有几种截法？
【变式11-2】（2022春·重庆·八年级重庆八中校考期末）阅读以下材料，并利用材料知识解决问题．
材料一：如果实数a，b满足ab−1=6−2b，那么就称a和b是一组“创意数对”，用有序数对a,b表示．例如：由于1×73−1=6−2×73，所以1,73是“创意数对”．
材料二：任何一个自然数M都能分解成两个因数的乘积：M=A×B，对于M的所有分解，当A−B最小时，我们称此分解为M的“和值分解”，并记FM=A+B．例如：对于18=1×18=2×9=3×6，∵3−6