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初中数学沪教版 (五四制)七年级上册9.4 整式课堂检测
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这是一份初中数学沪教版 (五四制)七年级上册9.4 整式课堂检测，共48页。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5998" 【典型例题】 PAGEREF _Tc5998 \h 1
\l "_Tc11367" 【考点一 整式乘法公式的辨析】 PAGEREF _Tc11367 \h 1
\l "_Tc11504" 【考点二 乘法公式在几何图形中的应用】2
\l "_Tc11577" 【考点三 利用乘法公式简便运算】3
\l "_Tc23605" 【考点四 乘法公式计算的拓展提高】3
\l "_Tc21571" 【过关检测】4
【典型例题】
【考点一 整式乘法公式的辨析】
【例题1】下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】如果是完全平方式，那么m的值为 ．
【变式2】在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C． D．
【考点二 乘法公式在几何图形中的应用】
【例题2】如图，有两张长方形纸片，它们的长分别是和，宽分别是，将这两张纸片按照如图所示的方式进行拼图，则这一拼图过程能反映的等式是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】如图，边长为的正方形纸片，剪出一个边长为的正方形（阴影部分），再将剩余部分剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成长方形的一边长为3，则另一边长是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪下，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则此长方形的面积为（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是169，小正方形的面积是9，若用x，y表示矩形的长和宽（），则下列关系式中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【考点三 利用乘法公式的简便运算】
【例题3】计算的结果是（ ）
A．B．0C．1D．
【变式1】如果有理数、同时满足，那么的值为( )
A．B．C．D．以上答案都不对
【变式2】21．计算的结果是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】式子化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【考点四 乘法公式的计算提高】
【例题4】小颖在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．计算：（ ）
A．B．C．D．
【变式1】如图，麦麦用9张A类正方形卡片、1张B类正方形卡片和6张C类长方形卡片，拼成了一个大正方形，拼成的大正方形的边长是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】观察下列运算并填空：
；
；
；
…
根据以上结果，猜想： ．
【过关检测】
一．选择题
1.下列各式中，能使用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
2．计算等于（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算不能用平方差公式的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如果，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
5.若______，则横线上分别应填（ ）
A．、B．、C．、D．、
6. 如图，将四个长为a，宽为b的小长方形纸片拼成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图：把长和宽分别为a和 b的四个完全相同的小长方形（a＞b）拼成的一个“回形”正方形，图中的阴影部分的面积正好可以验证下面等式的正确性的是（ ）
A．B．
C． D．
8．如图，根据标注该图所反映的乘法公式是（ ）．
A．B．
C．D．
9．图（1）是一个长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，小长方形的长为，宽为，然后按图（2）拼成一个正方形，通过计算，用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证的等式是（ ）
A．B．
C．D．
二. 填空题
10．在数学中，有时会出现大数值的运算．在学习了整式的乘法以后，通过用字母代替数转化成整式乘法来解决，能达到化繁为简的效果。例：若，，比较、的大小时，设，则，．∵，∴．参考上述解题过程，计算： ．
三、解答题
11．图1、图2分别由两个长方形拼成．
(1)图1中图形的面积为 ，图2中图形的面积为（ ）；（用含有a、b的代数式表示）
(2)由（1）可以得到等式： ；
(3)根据你得到的等式解决下列问题：
①计算：；
②若，求的值．
12．将边长为的正方形的左上角剪掉一个边长为的正方形如图，将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形如图，解答下列问题：
(1)设图中阴影部分的面积为，图中阴影部分的面积为，请用含，的式子表示： ______ ， ______ ；不必化简
(2)由（1）中的结果可以验证的乘法公式是______ ；
(3)利用（2）中得到的公式，计算：．
13．长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）
(1)上述操作能验证的等式是___________（请选择正确的一个）
A．
B．
C．
(2)应用你从（）选出的等式，完成下面习题：
①已知，，求的值；
②计算
14．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）
(1)【探究】通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式_______；（用含a，b的等式表示）
(2)【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知，则值为________；
②计算：；
15．如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形．
(1)请你表示出图①中阴影部分的面积_________________________；
请你表示出图②中阴影部分的面积_________________________；
(2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_________________________；
(3)请应用公式计算：．
16．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形．
(1)通过计算两个图形的面积阴影部分的面积，可以验证的等式是______ ；请选择正确的一个
A.
B.
C.
D.
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知，，求的值．
②计算：
17．若干张长方形和正方形卡片如图所示．
(1)选取1张①号卡片、4张②号卡片、4张③号卡片，请你拼出一个正方形．给出理由并画出图形．
(2)若已选取2张①号卡片、1张②号卡片，则还需要几张③号卡片才能拼出一个长方形？给出理由并画出图形．
18．在学习“整式的乘除”这一章时，我们经常构造几何图形来对代数式的变形加以说明，借助直观，形象的几何模型加深对乘法公式的认识和理解．
阅读下列材料：
材料1：如图1，现有甲，乙，丙三种型号的卡片若干张，其中甲型号卡片是边长为的正方形，乙型号卡片边长为的正方形，丙型号卡片是长为宽为的长方形．
材料2：用张甲，张乙和张丙型号的卡片，拼成正方形，
可以验证：，
验证如下：从整体看是一个边长为的正方形，所以．
从正方形的分割情况看，它的面积是由张甲，张乙和张丙卡片的面积之和，所以，比较两种不同的计算方法，可得．
根据以上材料，解答以下问题
(1)用图中的卡片，拼成图所示长方形，可以验证的等式为： ；
(2)用张丙型号的卡片拼成图所示正方形框，中间的阴影部分是边长为 的正方形，现用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以验证的等式为： ；
(3)已知图中的纸片(足够多)，利用种卡片设计一个几何图形来计算画出图形，写出验过程．
19．通常用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式，例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形，请解答下列问题：
(1)图②中阴影部分的正方形边长的是：______．
(2)用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法1：______；方法2：______．
(3)观察图②，请你写出．，之间的等量关系______；
(4)根据（3）中的等量关系解决如下问题：若，，则______．专题02 整式乘法公式的4种压轴题型全攻略
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\l "_Tc11367" 【考点一 整式乘法公式的辨析】 PAGEREF _Tc11367 \h 1
\l "_Tc11504" 【考点二 乘法公式在几何图形中的应用】2
\l "_Tc11577" 【考点三 利用乘法公式简便运算】3
\l "_Tc23605" 【考点四 乘法公式计算的拓展提高】3
\l "_Tc21571" 【过关检测】4
【典型例题】
【考点一 整式乘法公式的辨析】
【例题1】下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
B．D．
【答案】D
【分析】根据平方差公式找两数和与这两数的差即可得到答案．
【详解】解：A、，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
B、，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
C、，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
D、，不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查平方差公式：解题的关键是熟练掌握．
【变式1】如果是完全平方式，那么m的值为 ．
【答案】7或/或7
【分析】根据完全平方公式：两数的平方和加上（减去）这两个数积的2倍，即为两数和（差）的平方，列出m的方程，求出即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
解得：或，
则m的值为7或．
故答案为：7或．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式2】在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用平方差公式的特点判断即可．
【详解】解：A：两项不相同，不能运用平方差公式，不符合题意；
B：两项符号都相反，不能运用平方差公式，不符合题意；
C：两项符号都相反，不能运用平方差公式，不符合题意；
D：，符合平方差公式的特点，符合题意．
故选D．
【点睛】此题考查了平方差公式：，熟练掌握平方差计算公式是解题的关键．
【考点二 乘法公式在几何图形中的应用】
【例题2】如图，有两张长方形纸片，它们的长分别是和，宽分别是，将这两张纸片按照如图所示的方式进行拼图，则这一拼图过程能反映的等式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知图长方形的面积为，再根据题意可知图的面积为，最后利用平方差公式解答即可．
【详解】解：∵两张长方形纸片，它们的长分别是和，宽分别是，
∴图的长方形的长为，宽为，
∴长方形的面积为，
∵图的面积是一个边长为的正方形，剪去一个边长为的正方形，
∴图的面积为，
∴，
即，
故选．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何意义，掌握平方差公式解题的关键．
【变式1】如图，边长为的正方形纸片，剪出一个边长为的正方形（阴影部分），再将剩余部分剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成长方形的一边长为3，则另一边长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由于边长为的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为3，利用矩形的面积公式即可求出另一边长即可．
【详解】解：设拼成的矩形一边长为x，
则依题意得：，
解得，，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了整式混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．
【变式2】如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪下，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则此长方形的面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据剩余部分面积等于长方形的面积即可求．
【详解】解：根据题意得剩余部分面积为：
则长方形的面积为．
故选：A．
【点睛】本题考查了图形剪拼问题中的列代数式，整式乘法的混合运算，完全平方公式，关键明确剩余部分面积等于长方形面积．
【变式3】用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是169，小正方形的面积是9，若用x，y表示矩形的长和宽（），则下列关系式中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据图形和题目中的数据可以分别判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
169−9＝4xy，得xy＝40，故选项C正确，
（x＋y）2＝169，得x＋y＝13，故选项A正确，
（x−y）2＝9，得x−y＝3，故选项B正确，
，故选项D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是明确题意，巧妙变形，利用数形结合的思想判断各个选项是否正确．
【考点三 利用乘法公式的简便运算】
【例题3】计算的结果是（ ）
A．B．0C．1D．
【答案】C
【分析】把化为，再利用平方差公式计算后合并即可．
【详解】解：，
，
，
.
故选C．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，把化为是解决问题的关键．
【变式1】如果有理数、同时满足，那么的值为( )
A．B．C．D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】将看成整体，运用平方差公式即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴（负值舍去），
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【变式2】计算的结果是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先用平方差公式进行计算，再运用完全平方公式运算即可得出结果．
【详解】解：
．
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的运算，掌握平方差公式及完全平方公式，并注意利用整体的思想进行运算是解题的关键．
【变式3】式子化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连续运用平方差公式求解即可．
【详解】解：
，
故选：D．
【点睛】此题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
【考点四 乘法公式的计算提高】
【例题4】小颖在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．计算：（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】仿照例子方法，可将式子最前面的1写成，然后利用平方差公式求解即可．
【详解】解：
，
故选：A．
【点睛】本题考查平方差公式的应用，灵活运用平方差公式求解是解答的关键．
【变式1】如图，麦麦用9张A类正方形卡片、1张B类正方形卡片和6张C类长方形卡片，拼成了一个大正方形，拼成的大正方形的边长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先计算出16张卡片的总面积，根据完全平方公式即可求解．
【详解】解：由题意可知：16张卡片的总面积，
∵
∴拼成的大正方形的边长
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式几何意义的理解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式形式．
【变式2】观察下列运算并填空：
；
；
；
…
根据以上结果，猜想： ．
【答案】
【分析】根据题目给出式子得规律，右边x的指数正好比前边x的最高指数大1．
【详解】，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式规律题，找到规律是解题的关键．
【过关检测】
一．选择题
1．下列各式中，能使用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据平方差公式的结构特点即可判断．
【详解】解：A.，符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
B.，不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
C.，不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
D.，不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式，可以用平方差公式计算的式子的结构特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，相乘的结果应该是：相同项的平方减去相反项的平方，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．
2．计算等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】把变形后再利用平方差公式求解即可．
【详解】解：原式=
=
=
故选：C．
【点睛】本题考查多项式乘法的应用，熟练掌握平方差公式及符号的变化是解题关键．
3．下列运算不能用平方差公式的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据平方差公式的结构特点：两数的和与两数的差的积，逐项判断即可．
【详解】解：A、是这两数的和与差的积，故可用平方差公式计算；
B、是这两数的和与差的积，故可用平方差公式计算；
C、不是两数的和与这两数差的积，故不可用平方差公式计算；
D、是这两数的和与差的积，故可用平方差公式计算；
故选：C．
【点睛】本题考查了平方差公式的运用，掌握它的特点是解题的关键．
4．如果，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平方差公式以及整体的思想进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
∴
故答案为D．
【点睛】本题考查了平方差公式和学生的运算能力，熟练运用平方差公式是解答本题的关键．
5.若______，则横线上分别应填（ ）
A．、B．、C．、D．、
【答案】A
【分析】根据完全平方公式解答即可.
【详解】解：；
故选：A.
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟知完全平方公式的结构特征是解题的关键.
6. 如图，将四个长为a，宽为b的小长方形纸片拼成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意表示出图形的边长进而得出其面积．
【详解】解：由图形可得：大正方形的边长为：a＋b，则其面积为：（a＋b）2，
小正方形的边长为：（a－b），则其面积为：（a－b）2，长方形面积为：ab，
正方形的面积又可以表示为（a－b） 2＋4ab，
故（a＋b）2＝（a－b）2＋4ab．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式的几何背景，正确表示出各边长是解题关键．
7．如图：把长和宽分别为a和 b的四个完全相同的小长方形（a＞b）拼成的一个“回形”正方形，图中的阴影部分的面积正好可以验证下面等式的正确性的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】整体看是一个边长为（a+b）的正方形，中间的空白是一个边长为（a-b）的正方形，利用阴影部分的面积等于两个正方形的面积差计算即可
【详解】∵整个图形是一个边长为（a+b）的正方形，中间的空白是一个边长为（a-b）的正方形，
∴阴影部分的面积等于两个正方形的面积差，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了公式与图形的面积，准确运用图形面积之间的关系是解题的关键．
8．如图，根据标注该图所反映的乘法公式是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接利用已知边长表示出各部分面积即可．
【详解】解：由题意可得：
阴影部分的面积为：，也可以表示为：，
能验证的乘法公式是：．
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方式的几何背景，正确表示出各部分面积是解题关键．
9．图（1）是一个长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，小长方形的长为，宽为，然后按图（2）拼成一个正方形，通过计算，用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证的等式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求出图形的面积，根据图形面积的关系，写出等式即可．
【详解】解：大正方形的边长为：,空白正方形边长：，
图形面积：大正方形面积，空白正方形面积，四个小长方形面积为：，
∴=+．
故选择：B．
【点睛】本题考查利用面得到的等式问题，掌握面积的大小关系，抓住大正方形面积=空白小正方形面积+四个小正方形面积是解题关键．
二. 填空题
10．在数学中，有时会出现大数值的运算．在学习了整式的乘法以后，通过用字母代替数转化成整式乘法来解决，能达到化繁为简的效果。例：若，，比较、的大小时，设，则，．∵，∴．参考上述解题过程，计算： ．
【答案】
【分析】根据平方差公式进行计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
三、解答题
11．图1、图2分别由两个长方形拼成．
(1)图1中图形的面积为 ，图2中图形的面积为（ ）；（用含有a、b的代数式表示）
(2)由（1）可以得到等式： ；
(3)根据你得到的等式解决下列问题：
①计算：；
②若，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)①3700；②5
【分析】（1）图2面积根据长方形面积公式可得；
（2）根据两个图形的面积相等可得；
（3）①直接套用公式可得；
②将原式变形为，再套用平方差公式可得答案．
【详解】（1）解：图1中图形的面积为，
图2中图形的面积为，
故答案为：；
（2）解：根据两个图形的面积相等，可得，
故答案为：；
（3）解：①；
②∵，
∴
．
【点睛】本题主要考查平方差公式的几何背景，运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
12．将边长为的正方形的左上角剪掉一个边长为的正方形如图，将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形如图，解答下列问题：
(1)设图中阴影部分的面积为，图中阴影部分的面积为，请用含，的式子表示： ______ ， ______ ；不必化简
(2)由（1）中的结果可以验证的乘法公式是______ ；
(3)利用（2）中得到的公式，计算：．
【答案】(1)，
(2) (3)1
【分析】（1）根据图形的和差关系表示出，根据长方形的面积公式表示出；
（2）由（1）中的结果可验证的乘法公式是；
（3）由（2）中所得公式，可得，从而简便计算出该题结果．
【详解】（1）解：由题意得，，
．
故答案为：，；
（2）解：由（1）中的结果可验证的乘法公式为．
故答案为：；
（3）解：由（2）中所得乘法公式可得，
．
【点睛】本题考查了平方差公式几何背景的应用能力，掌握图形准确列式验证平方差公式，并能利用所验证公式解决相关问题是关键．
13．长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）
(1)上述操作能验证的等式是___________（请选择正确的一个）
A．
B．
C．
(2)应用你从（）选出的等式，完成下面习题：
①已知，，求的值；
②计算
【答案】(1)B
(2)①；②
【分析】（1）根据图形可知，图中阴影部分的面积为：，图的面积为长方形的长乘以长方形的宽，即可；
（2）由（1）得，，则，再根据，即可；根据，则变形为，根据第二项的分子和第三项的分母约分，第二项的分母与第三项的分子约分，最后得，进行计算，即可．
【详解】（1）∵大正方形的边长为：，小正方形的边长为：，
∴阴影部分的面积为：；
由图可知，长方形的长为：，长方形的宽为：，
∴组成的长方形的面积为：，
∴，
故选：B．
（2）由（1）得，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴
．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景与应用，解题的关键是掌握平方差公式并能灵活运用．
14．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）
(1)【探究】通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式_______；（用含a，b的等式表示）
(2)【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知，则值为________；
②计算：；
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；
（2）①利用平方差公式得出，代入求值即可；
②利用平方差公式计算即可；
【详解】（1）图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积，
所以，得到乘法公式
故答案为．
（2）①由得，
∵，
∴．
故答案为3．
②
；
【点睛】本题考查平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键．
15．如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形．
(1)请你表示出图①中阴影部分的面积_________________________；
请你表示出图②中阴影部分的面积_________________________；
(2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_________________________；
(3)请应用公式计算：．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）图①中阴影部分的面积是两个正方形面积的差，图②中阴影部分的面积是长为，宽为的长方形面积；
（2）易得两图的阴影部分面积相等，即可列出式子；
（3）各项都应用公式计算即可抵消，得到结果．
【详解】（1）在图①中，
∵大正方形的面积为，小正方形的面积为，
∴阴影部分的面积为，
在图②中，
∵阴影部分为长方形，长为，宽为 ，
∴阴影部分的面积为；
故答案为：,；
（2）∵两图的阴影部分面积相等，
∴可以得到乘法公式；
（3）应用乘法公式得：
．
【点睛】本题考查平方差公式的几何意义和平方差公式的应用，解题的关键是数形结合思想的运用及熟练掌握平方差公式．
16．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形．
(1)通过计算两个图形的面积阴影部分的面积，可以验证的等式是______ ；请选择正确的一个
A.
B.
C.
D.
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知，，求的值．
②计算：
【答案】(1)B
(2)①3；②
【分析】（1）分别表示左图和右图中阴影部分的面积，根据面积相等得出结论；
（2）由（1）中规律，利用平方差公式整体代入即可解得；
通过观察，此题数字具有一定规律，可用运算定律把原式变为：
，
再运用平方差公式，解决问题．
【详解】（1）解：左图中，阴影部分为正方形，面积为：，
右图阴影是拼成的长方形，长是：，宽是：，
所以右图阴影部分面积为：，
由于左右两图面积相等，
所以有：，
故答案为：B．
（2）解：由（1）中规律，利用平方差公式可得：
，
，，
．
故答案为：．
通过观察，此题数字具有一定规律，可用运算定律将原式写成：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平方差的几何背景和应用，代数式求值，有理数混合运算及数式规律问题，利用平方差公式将代数式变形是关键．
17．若干张长方形和正方形卡片如图所示．
(1)选取1张①号卡片、4张②号卡片、4张③号卡片，请你拼出一个正方形．给出理由并画出图形．
(2)若已选取2张①号卡片、1张②号卡片，则还需要几张③号卡片才能拼出一个长方形？给出理由并画出图形．
【答案】(1)见解析；
(2)还需要3张③号卡片才能拼出一个长方形，理由及画图见解析
【分析】（1）利用完全平方公式求出拼成后的正方形的面积，然后分解因式即可得出所画正方形的边长，根据边长画图形即可；
（2）猜想长方形的边长，计算的面积与拼成后的面积相等．
【详解】（1）∵，
∴拼成一个边长为的正方形，如图1所示：
（2）∵；
∴则还需要3张③号卡片才能拼出一个长方形，如图2所示：
【点睛】本题考查了完全平方公式及多项式乘以多项式，立意较新颖，注意对此类问题的深入理解，本题只要读懂题意，然后根据各图形的面积即可找出其中的关系．
18．在学习“整式的乘除”这一章时，我们经常构造几何图形来对代数式的变形加以说明，借助直观，形象的几何模型加深对乘法公式的认识和理解．
阅读下列材料：
材料1：如图1，现有甲，乙，丙三种型号的卡片若干张，其中甲型号卡片是边长为的正方形，乙型号卡片边长为的正方形，丙型号卡片是长为宽为的长方形．
材料2：用张甲，张乙和张丙型号的卡片，拼成正方形，
可以验证：，
验证如下：从整体看是一个边长为的正方形，所以．
从正方形的分割情况看，它的面积是由张甲，张乙和张丙卡片的面积之和，所以，比较两种不同的计算方法，可得．
根据以上材料，解答以下问题
(1)用图中的卡片，拼成图所示长方形，可以验证的等式为： ；
(2)用张丙型号的卡片拼成图所示正方形框，中间的阴影部分是边长为 的正方形，现用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以验证的等式为： ；
(3)已知图中的纸片(足够多)，利用种卡片设计一个几何图形来计算画出图形，写出验过程．
【答案】(1)（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2
(2)b﹣a；（b﹣a）2＝a2﹣2ab+b2
(3)图见解析，验证过程见解析
【分析】(1)根据图3，利用不同的方法分别表示出长方形面积，即可确定出所求等式；
(2)根据图4，利用不同的方法分别表示出长方形面积，即可确定出所求等式；
(3)利用多项式乘多项式的法则对式子进行运算，从而可确定所需卡片的类型与张数，做出相应图形．
【详解】（1）大长方形的面积为：或，
∴，
故答案为：；
（2）（2）中间的阴影部分的边长为：，
阴影部分的面积为：（b﹣a）2或；
故答案为：；；
（3）如图，
，
验证：
＝，
．
【点睛】此题主要考查完全平方式，多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
19．通常用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式，例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形，请解答下列问题：
(1)图②中阴影部分的正方形边长的是：______．
(2)用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法1：______；方法2：______．
(3)观察图②，请你写出．，之间的等量关系______；
(4)根据（3）中的等量关系解决如下问题：若，，则______．
【答案】(1)
(2)，
(3)
(4)
【分析】（1）由拼图可直接得出答案；
（2）一方面阴影部分是边长为的正方形，可用面积公式列代数式，另一方面阴影部分可以看作从边长为的正方形面积中减去4个长为，宽为的长方形面积即可；
（3）由（2）两种方法所表示的面积相等可得答案；
（4）由（3）的结论代入计算即可．
【详解】（1）由拼图可得，图2中阴影部分的正方形的边长为，
故答案为：；
（2）方法一：阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，
方法二：阴影部分的面积可以看作从边长为的正方形面积减去4个长，宽为的长方形面积，即；
故答案为：，；
（3）由（2）得，
故答案为：；
（4）∵，，，
∴
，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，用代数式表示各个部分的面积是解决问题的关键．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5998" 【典型例题】 PAGEREF _Tc5998 \h 1
\l "_Tc11367" 【考点一 整式乘法公式的辨析】 PAGEREF _Tc11367 \h 1
\l "_Tc11504" 【考点二 乘法公式在几何图形中的应用】2
\l "_Tc11577" 【考点三 利用乘法公式简便运算】3
\l "_Tc23605" 【考点四 乘法公式计算的拓展提高】3
\l "_Tc21571" 【过关检测】4
【典型例题】
【考点一 整式乘法公式的辨析】
【例题1】下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】如果是完全平方式，那么m的值为 ．
【变式2】在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C． D．
【考点二 乘法公式在几何图形中的应用】
【例题2】如图，有两张长方形纸片，它们的长分别是和，宽分别是，将这两张纸片按照如图所示的方式进行拼图，则这一拼图过程能反映的等式是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】如图，边长为的正方形纸片，剪出一个边长为的正方形（阴影部分），再将剩余部分剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成长方形的一边长为3，则另一边长是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪下，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则此长方形的面积为（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是169，小正方形的面积是9，若用x，y表示矩形的长和宽（），则下列关系式中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【考点三 利用乘法公式的简便运算】
【例题3】计算的结果是（ ）
A．B．0C．1D．
【变式1】如果有理数、同时满足，那么的值为( )
A．B．C．D．以上答案都不对
【变式2】21．计算的结果是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】式子化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【考点四 乘法公式的计算提高】
【例题4】小颖在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．计算：（ ）
A．B．C．D．
【变式1】如图，麦麦用9张A类正方形卡片、1张B类正方形卡片和6张C类长方形卡片，拼成了一个大正方形，拼成的大正方形的边长是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】观察下列运算并填空：
；
；
；
…
根据以上结果，猜想： ．
【过关检测】
一．选择题
1.下列各式中，能使用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
2．计算等于（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算不能用平方差公式的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如果，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
5.若______，则横线上分别应填（ ）
A．、B．、C．、D．、
6. 如图，将四个长为a，宽为b的小长方形纸片拼成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图：把长和宽分别为a和 b的四个完全相同的小长方形（a＞b）拼成的一个“回形”正方形，图中的阴影部分的面积正好可以验证下面等式的正确性的是（ ）
A．B．
C． D．
8．如图，根据标注该图所反映的乘法公式是（ ）．
A．B．
C．D．
9．图（1）是一个长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，小长方形的长为，宽为，然后按图（2）拼成一个正方形，通过计算，用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证的等式是（ ）
A．B．
C．D．
二. 填空题
10．在数学中，有时会出现大数值的运算．在学习了整式的乘法以后，通过用字母代替数转化成整式乘法来解决，能达到化繁为简的效果。例：若，，比较、的大小时，设，则，．∵，∴．参考上述解题过程，计算： ．
三、解答题
11．图1、图2分别由两个长方形拼成．
(1)图1中图形的面积为 ，图2中图形的面积为（ ）；（用含有a、b的代数式表示）
(2)由（1）可以得到等式： ；
(3)根据你得到的等式解决下列问题：
①计算：；
②若，求的值．
12．将边长为的正方形的左上角剪掉一个边长为的正方形如图，将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形如图，解答下列问题：
(1)设图中阴影部分的面积为，图中阴影部分的面积为，请用含，的式子表示： ______ ， ______ ；不必化简
(2)由（1）中的结果可以验证的乘法公式是______ ；
(3)利用（2）中得到的公式，计算：．
13．长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）
(1)上述操作能验证的等式是___________（请选择正确的一个）
A．
B．
C．
(2)应用你从（）选出的等式，完成下面习题：
①已知，，求的值；
②计算
14．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）
(1)【探究】通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式_______；（用含a，b的等式表示）
(2)【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知，则值为________；
②计算：；
15．如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形．
(1)请你表示出图①中阴影部分的面积_________________________；
请你表示出图②中阴影部分的面积_________________________；
(2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_________________________；
(3)请应用公式计算：．
16．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形．
(1)通过计算两个图形的面积阴影部分的面积，可以验证的等式是______ ；请选择正确的一个
A.
B.
C.
D.
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知，，求的值．
②计算：
17．若干张长方形和正方形卡片如图所示．
(1)选取1张①号卡片、4张②号卡片、4张③号卡片，请你拼出一个正方形．给出理由并画出图形．
(2)若已选取2张①号卡片、1张②号卡片，则还需要几张③号卡片才能拼出一个长方形？给出理由并画出图形．
18．在学习“整式的乘除”这一章时，我们经常构造几何图形来对代数式的变形加以说明，借助直观，形象的几何模型加深对乘法公式的认识和理解．
阅读下列材料：
材料1：如图1，现有甲，乙，丙三种型号的卡片若干张，其中甲型号卡片是边长为的正方形，乙型号卡片边长为的正方形，丙型号卡片是长为宽为的长方形．
材料2：用张甲，张乙和张丙型号的卡片，拼成正方形，
可以验证：，
验证如下：从整体看是一个边长为的正方形，所以．
从正方形的分割情况看，它的面积是由张甲，张乙和张丙卡片的面积之和，所以，比较两种不同的计算方法，可得．
根据以上材料，解答以下问题
(1)用图中的卡片，拼成图所示长方形，可以验证的等式为： ；
(2)用张丙型号的卡片拼成图所示正方形框，中间的阴影部分是边长为 的正方形，现用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以验证的等式为： ；
(3)已知图中的纸片(足够多)，利用种卡片设计一个几何图形来计算画出图形，写出验过程．
19．通常用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式，例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形，请解答下列问题：
(1)图②中阴影部分的正方形边长的是：______．
(2)用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法1：______；方法2：______．
(3)观察图②，请你写出．，之间的等量关系______；
(4)根据（3）中的等量关系解决如下问题：若，，则______．专题02 整式乘法公式的4种压轴题型全攻略
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5998" 【典型例题】 PAGEREF _Tc5998 \h 1
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【典型例题】
【考点一 整式乘法公式的辨析】
【例题1】下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
B．D．
【答案】D
【分析】根据平方差公式找两数和与这两数的差即可得到答案．
【详解】解：A、，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
B、，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
C、，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
D、，不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查平方差公式：解题的关键是熟练掌握．
【变式1】如果是完全平方式，那么m的值为 ．
【答案】7或/或7
【分析】根据完全平方公式：两数的平方和加上（减去）这两个数积的2倍，即为两数和（差）的平方，列出m的方程，求出即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
解得：或，
则m的值为7或．
故答案为：7或．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式2】在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用平方差公式的特点判断即可．
【详解】解：A：两项不相同，不能运用平方差公式，不符合题意；
B：两项符号都相反，不能运用平方差公式，不符合题意；
C：两项符号都相反，不能运用平方差公式，不符合题意；
D：，符合平方差公式的特点，符合题意．
故选D．
【点睛】此题考查了平方差公式：，熟练掌握平方差计算公式是解题的关键．
【考点二 乘法公式在几何图形中的应用】
【例题2】如图，有两张长方形纸片，它们的长分别是和，宽分别是，将这两张纸片按照如图所示的方式进行拼图，则这一拼图过程能反映的等式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知图长方形的面积为，再根据题意可知图的面积为，最后利用平方差公式解答即可．
【详解】解：∵两张长方形纸片，它们的长分别是和，宽分别是，
∴图的长方形的长为，宽为，
∴长方形的面积为，
∵图的面积是一个边长为的正方形，剪去一个边长为的正方形，
∴图的面积为，
∴，
即，
故选．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何意义，掌握平方差公式解题的关键．
【变式1】如图，边长为的正方形纸片，剪出一个边长为的正方形（阴影部分），再将剩余部分剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成长方形的一边长为3，则另一边长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由于边长为的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为3，利用矩形的面积公式即可求出另一边长即可．
【详解】解：设拼成的矩形一边长为x，
则依题意得：，
解得，，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了整式混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．
【变式2】如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪下，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则此长方形的面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据剩余部分面积等于长方形的面积即可求．
【详解】解：根据题意得剩余部分面积为：
则长方形的面积为．
故选：A．
【点睛】本题考查了图形剪拼问题中的列代数式，整式乘法的混合运算，完全平方公式，关键明确剩余部分面积等于长方形面积．
【变式3】用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是169，小正方形的面积是9，若用x，y表示矩形的长和宽（），则下列关系式中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据图形和题目中的数据可以分别判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
169−9＝4xy，得xy＝40，故选项C正确，
（x＋y）2＝169，得x＋y＝13，故选项A正确，
（x−y）2＝9，得x−y＝3，故选项B正确，
，故选项D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是明确题意，巧妙变形，利用数形结合的思想判断各个选项是否正确．
【考点三 利用乘法公式的简便运算】
【例题3】计算的结果是（ ）
A．B．0C．1D．
【答案】C
【分析】把化为，再利用平方差公式计算后合并即可．
【详解】解：，
，
，
.
故选C．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，把化为是解决问题的关键．
【变式1】如果有理数、同时满足，那么的值为( )
A．B．C．D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】将看成整体，运用平方差公式即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴（负值舍去），
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【变式2】计算的结果是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先用平方差公式进行计算，再运用完全平方公式运算即可得出结果．
【详解】解：
．
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的运算，掌握平方差公式及完全平方公式，并注意利用整体的思想进行运算是解题的关键．
【变式3】式子化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连续运用平方差公式求解即可．
【详解】解：
，
故选：D．
【点睛】此题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
【考点四 乘法公式的计算提高】
【例题4】小颖在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．计算：（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】仿照例子方法，可将式子最前面的1写成，然后利用平方差公式求解即可．
【详解】解：
，
故选：A．
【点睛】本题考查平方差公式的应用，灵活运用平方差公式求解是解答的关键．
【变式1】如图，麦麦用9张A类正方形卡片、1张B类正方形卡片和6张C类长方形卡片，拼成了一个大正方形，拼成的大正方形的边长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先计算出16张卡片的总面积，根据完全平方公式即可求解．
【详解】解：由题意可知：16张卡片的总面积，
∵
∴拼成的大正方形的边长
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式几何意义的理解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式形式．
【变式2】观察下列运算并填空：
；
；
；
…
根据以上结果，猜想： ．
【答案】
【分析】根据题目给出式子得规律，右边x的指数正好比前边x的最高指数大1．
【详解】，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式规律题，找到规律是解题的关键．
【过关检测】
一．选择题
1．下列各式中，能使用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据平方差公式的结构特点即可判断．
【详解】解：A.，符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
B.，不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
C.，不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
D.，不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式，可以用平方差公式计算的式子的结构特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，相乘的结果应该是：相同项的平方减去相反项的平方，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．
2．计算等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】把变形后再利用平方差公式求解即可．
【详解】解：原式=
=
=
故选：C．
【点睛】本题考查多项式乘法的应用，熟练掌握平方差公式及符号的变化是解题关键．
3．下列运算不能用平方差公式的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据平方差公式的结构特点：两数的和与两数的差的积，逐项判断即可．
【详解】解：A、是这两数的和与差的积，故可用平方差公式计算；
B、是这两数的和与差的积，故可用平方差公式计算；
C、不是两数的和与这两数差的积，故不可用平方差公式计算；
D、是这两数的和与差的积，故可用平方差公式计算；
故选：C．
【点睛】本题考查了平方差公式的运用，掌握它的特点是解题的关键．
4．如果，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平方差公式以及整体的思想进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
∴
故答案为D．
【点睛】本题考查了平方差公式和学生的运算能力，熟练运用平方差公式是解答本题的关键．
5.若______，则横线上分别应填（ ）
A．、B．、C．、D．、
【答案】A
【分析】根据完全平方公式解答即可.
【详解】解：；
故选：A.
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟知完全平方公式的结构特征是解题的关键.
6. 如图，将四个长为a，宽为b的小长方形纸片拼成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意表示出图形的边长进而得出其面积．
【详解】解：由图形可得：大正方形的边长为：a＋b，则其面积为：（a＋b）2，
小正方形的边长为：（a－b），则其面积为：（a－b）2，长方形面积为：ab，
正方形的面积又可以表示为（a－b） 2＋4ab，
故（a＋b）2＝（a－b）2＋4ab．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式的几何背景，正确表示出各边长是解题关键．
7．如图：把长和宽分别为a和 b的四个完全相同的小长方形（a＞b）拼成的一个“回形”正方形，图中的阴影部分的面积正好可以验证下面等式的正确性的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】整体看是一个边长为（a+b）的正方形，中间的空白是一个边长为（a-b）的正方形，利用阴影部分的面积等于两个正方形的面积差计算即可
【详解】∵整个图形是一个边长为（a+b）的正方形，中间的空白是一个边长为（a-b）的正方形，
∴阴影部分的面积等于两个正方形的面积差，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了公式与图形的面积，准确运用图形面积之间的关系是解题的关键．
8．如图，根据标注该图所反映的乘法公式是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接利用已知边长表示出各部分面积即可．
【详解】解：由题意可得：
阴影部分的面积为：，也可以表示为：，
能验证的乘法公式是：．
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方式的几何背景，正确表示出各部分面积是解题关键．
9．图（1）是一个长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，小长方形的长为，宽为，然后按图（2）拼成一个正方形，通过计算，用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证的等式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求出图形的面积，根据图形面积的关系，写出等式即可．
【详解】解：大正方形的边长为：,空白正方形边长：，
图形面积：大正方形面积，空白正方形面积，四个小长方形面积为：，
∴=+．
故选择：B．
【点睛】本题考查利用面得到的等式问题，掌握面积的大小关系，抓住大正方形面积=空白小正方形面积+四个小正方形面积是解题关键．
二. 填空题
10．在数学中，有时会出现大数值的运算．在学习了整式的乘法以后，通过用字母代替数转化成整式乘法来解决，能达到化繁为简的效果。例：若，，比较、的大小时，设，则，．∵，∴．参考上述解题过程，计算： ．
【答案】
【分析】根据平方差公式进行计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
三、解答题
11．图1、图2分别由两个长方形拼成．
(1)图1中图形的面积为 ，图2中图形的面积为（ ）；（用含有a、b的代数式表示）
(2)由（1）可以得到等式： ；
(3)根据你得到的等式解决下列问题：
①计算：；
②若，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)①3700；②5
【分析】（1）图2面积根据长方形面积公式可得；
（2）根据两个图形的面积相等可得；
（3）①直接套用公式可得；
②将原式变形为，再套用平方差公式可得答案．
【详解】（1）解：图1中图形的面积为，
图2中图形的面积为，
故答案为：；
（2）解：根据两个图形的面积相等，可得，
故答案为：；
（3）解：①；
②∵，
∴
．
【点睛】本题主要考查平方差公式的几何背景，运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
12．将边长为的正方形的左上角剪掉一个边长为的正方形如图，将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形如图，解答下列问题：
(1)设图中阴影部分的面积为，图中阴影部分的面积为，请用含，的式子表示： ______ ， ______ ；不必化简
(2)由（1）中的结果可以验证的乘法公式是______ ；
(3)利用（2）中得到的公式，计算：．
【答案】(1)，
(2) (3)1
【分析】（1）根据图形的和差关系表示出，根据长方形的面积公式表示出；
（2）由（1）中的结果可验证的乘法公式是；
（3）由（2）中所得公式，可得，从而简便计算出该题结果．
【详解】（1）解：由题意得，，
．
故答案为：，；
（2）解：由（1）中的结果可验证的乘法公式为．
故答案为：；
（3）解：由（2）中所得乘法公式可得，
．
【点睛】本题考查了平方差公式几何背景的应用能力，掌握图形准确列式验证平方差公式，并能利用所验证公式解决相关问题是关键．
13．长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）
(1)上述操作能验证的等式是___________（请选择正确的一个）
A．
B．
C．
(2)应用你从（）选出的等式，完成下面习题：
①已知，，求的值；
②计算
【答案】(1)B
(2)①；②
【分析】（1）根据图形可知，图中阴影部分的面积为：，图的面积为长方形的长乘以长方形的宽，即可；
（2）由（1）得，，则，再根据，即可；根据，则变形为，根据第二项的分子和第三项的分母约分，第二项的分母与第三项的分子约分，最后得，进行计算，即可．
【详解】（1）∵大正方形的边长为：，小正方形的边长为：，
∴阴影部分的面积为：；
由图可知，长方形的长为：，长方形的宽为：，
∴组成的长方形的面积为：，
∴，
故选：B．
（2）由（1）得，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴
．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景与应用，解题的关键是掌握平方差公式并能灵活运用．
14．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）
(1)【探究】通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式_______；（用含a，b的等式表示）
(2)【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知，则值为________；
②计算：；
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；
（2）①利用平方差公式得出，代入求值即可；
②利用平方差公式计算即可；
【详解】（1）图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积，
所以，得到乘法公式
故答案为．
（2）①由得，
∵，
∴．
故答案为3．
②
；
【点睛】本题考查平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键．
15．如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形．
(1)请你表示出图①中阴影部分的面积_________________________；
请你表示出图②中阴影部分的面积_________________________；
(2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_________________________；
(3)请应用公式计算：．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）图①中阴影部分的面积是两个正方形面积的差，图②中阴影部分的面积是长为，宽为的长方形面积；
（2）易得两图的阴影部分面积相等，即可列出式子；
（3）各项都应用公式计算即可抵消，得到结果．
【详解】（1）在图①中，
∵大正方形的面积为，小正方形的面积为，
∴阴影部分的面积为，
在图②中，
∵阴影部分为长方形，长为，宽为 ，
∴阴影部分的面积为；
故答案为：,；
（2）∵两图的阴影部分面积相等，
∴可以得到乘法公式；
（3）应用乘法公式得：
．
【点睛】本题考查平方差公式的几何意义和平方差公式的应用，解题的关键是数形结合思想的运用及熟练掌握平方差公式．
16．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形．
(1)通过计算两个图形的面积阴影部分的面积，可以验证的等式是______ ；请选择正确的一个
A.
B.
C.
D.
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知，，求的值．
②计算：
【答案】(1)B
(2)①3；②
【分析】（1）分别表示左图和右图中阴影部分的面积，根据面积相等得出结论；
（2）由（1）中规律，利用平方差公式整体代入即可解得；
通过观察，此题数字具有一定规律，可用运算定律把原式变为：
，
再运用平方差公式，解决问题．
【详解】（1）解：左图中，阴影部分为正方形，面积为：，
右图阴影是拼成的长方形，长是：，宽是：，
所以右图阴影部分面积为：，
由于左右两图面积相等，
所以有：，
故答案为：B．
（2）解：由（1）中规律，利用平方差公式可得：
，
，，
．
故答案为：．
通过观察，此题数字具有一定规律，可用运算定律将原式写成：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平方差的几何背景和应用，代数式求值，有理数混合运算及数式规律问题，利用平方差公式将代数式变形是关键．
17．若干张长方形和正方形卡片如图所示．
(1)选取1张①号卡片、4张②号卡片、4张③号卡片，请你拼出一个正方形．给出理由并画出图形．
(2)若已选取2张①号卡片、1张②号卡片，则还需要几张③号卡片才能拼出一个长方形？给出理由并画出图形．
【答案】(1)见解析；
(2)还需要3张③号卡片才能拼出一个长方形，理由及画图见解析
【分析】（1）利用完全平方公式求出拼成后的正方形的面积，然后分解因式即可得出所画正方形的边长，根据边长画图形即可；
（2）猜想长方形的边长，计算的面积与拼成后的面积相等．
【详解】（1）∵，
∴拼成一个边长为的正方形，如图1所示：
（2）∵；
∴则还需要3张③号卡片才能拼出一个长方形，如图2所示：
【点睛】本题考查了完全平方公式及多项式乘以多项式，立意较新颖，注意对此类问题的深入理解，本题只要读懂题意，然后根据各图形的面积即可找出其中的关系．
18．在学习“整式的乘除”这一章时，我们经常构造几何图形来对代数式的变形加以说明，借助直观，形象的几何模型加深对乘法公式的认识和理解．
阅读下列材料：
材料1：如图1，现有甲，乙，丙三种型号的卡片若干张，其中甲型号卡片是边长为的正方形，乙型号卡片边长为的正方形，丙型号卡片是长为宽为的长方形．
材料2：用张甲，张乙和张丙型号的卡片，拼成正方形，
可以验证：，
验证如下：从整体看是一个边长为的正方形，所以．
从正方形的分割情况看，它的面积是由张甲，张乙和张丙卡片的面积之和，所以，比较两种不同的计算方法，可得．
根据以上材料，解答以下问题
(1)用图中的卡片，拼成图所示长方形，可以验证的等式为： ；
(2)用张丙型号的卡片拼成图所示正方形框，中间的阴影部分是边长为 的正方形，现用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以验证的等式为： ；
(3)已知图中的纸片(足够多)，利用种卡片设计一个几何图形来计算画出图形，写出验过程．
【答案】(1)（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2
(2)b﹣a；（b﹣a）2＝a2﹣2ab+b2
(3)图见解析，验证过程见解析
【分析】(1)根据图3，利用不同的方法分别表示出长方形面积，即可确定出所求等式；
(2)根据图4，利用不同的方法分别表示出长方形面积，即可确定出所求等式；
(3)利用多项式乘多项式的法则对式子进行运算，从而可确定所需卡片的类型与张数，做出相应图形．
【详解】（1）大长方形的面积为：或，
∴，
故答案为：；
（2）（2）中间的阴影部分的边长为：，
阴影部分的面积为：（b﹣a）2或；
故答案为：；；
（3）如图，
，
验证：
＝，
．
【点睛】此题主要考查完全平方式，多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
19．通常用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式，例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形，请解答下列问题：
(1)图②中阴影部分的正方形边长的是：______．
(2)用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法1：______；方法2：______．
(3)观察图②，请你写出．，之间的等量关系______；
(4)根据（3）中的等量关系解决如下问题：若，，则______．
【答案】(1)
(2)，
(3)
(4)
【分析】（1）由拼图可直接得出答案；
（2）一方面阴影部分是边长为的正方形，可用面积公式列代数式，另一方面阴影部分可以看作从边长为的正方形面积中减去4个长为，宽为的长方形面积即可；
（3）由（2）两种方法所表示的面积相等可得答案；
（4）由（3）的结论代入计算即可．
【详解】（1）由拼图可得，图2中阴影部分的正方形的边长为，
故答案为：；
（2）方法一：阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，
方法二：阴影部分的面积可以看作从边长为的正方形面积减去4个长，宽为的长方形面积，即；
故答案为：，；
（3）由（2）得，
故答案为：；
（4）∵，，，
∴
，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，用代数式表示各个部分的面积是解决问题的关键．
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