初中数学沪教版 (五四制)七年级上册第九章 整式第5节 因式分解9.16 分组分解法综合训练题

这是一份初中数学沪教版 (五四制)七年级上册第九章 整式第5节 因式分解9.16 分组分解法综合训练题，共38页。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5998" 【典型例题】 PAGEREF _Tc5998 \h 1
\l "_Tc11367" 【考点一 十字相乘法的简单计算】 PAGEREF _Tc11367 \h 1
\l "_Tc15074" 【考点二 系数不为1的二次三项式的因式分解】2
\l "_Tc11504" 【考点三 分组分解法的简单计算】2
\l "_Tc11577" 【考点四 添项减项在因式分解中的应用】3
\l "_Tc23605" 【考点五 十字相乘法和分组分解法的拓展提高】3
\l "_Tc21571" 【过关检测】4
【典型例题】
【考点一 十字相乘法的简单计算】
【例题1】若多项式可分解为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】多项式可因式分解成，其中、、均为整数，求的值为( )
A．B．C．或D．或
【变式2】已知二次三项式能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数的取值有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【变式3】甲、乙两人在因式分解时，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么的值为（ ）
A．B．C．D．2
【考点二 系数不唯一的二次三项式的因式分解】
【例题2】 将在实数范围内因式分解，正确的结果是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】多项式可因式分解成，其中、、均为整数，求之值为何？（ ）
A．B．C．3D．12
【变式2】多项式的一个因式为（ ）
B．C．D．
【变式3】若多项式可因式分解为，其中、、均为整数，则的值是（ ）
A．1B．7C．11D．1
【考点三 分组分解法的简单计算】
【例题3】将多项式因式分解，结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】把多项式因式分解之后，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（ ）
A．B．
C． D．
【变式3】 用分组分解的因式，分组正确的是（ ）
A．B．
C．D．

【考点四 添项减项在因式分解中的应用】
【例题4】分解因式： ．
【变式1】因式分解＝ ．
【变式2】分解因式：= ．
【考点五 十字相乘法和分组分解法的拓展提高】
【例题5】分解因式： ．
【变式1】因式分解： ．
【变式2】已知，那么的值为
【变式3】分解因式：．
【过关检测】
一．选择题
1.若多项式分解因式为，则的值是（ ）
A．2B．C．12D．
2．多项式可因式分解成，其中，均为整数，则的值为（ ）
A．B．1C．D．2023
3．因式分解，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（ ）
A．B．
C．D．
4．不论x为何值，等式都成立，则代数式的值为（ ）
A．-9B．-3C．3D．9
5．把分解因式，正确的分组为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为( )
A．0B．1C．2D．3
二. 填空题
7.因式分解： ．
8．分解因式： ．
9．分解因式： ．
10．因式分解： ．
11．分解因式：
12．若多项式可因式分解为，其中均为整数，则的值是 ．
13．分解因式： ．
14．分解因式： ．
三、解答题
15．阅读下面的材料，解答提出的问题：
已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值．
解：设另一个因式为，由题意，得
，
，
所以，解得．
所以另一个因式为，的值为．
提出问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，另一个因式是________；
(2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值．
16．阅读理解题
在因式分解中有一种常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，这个方法其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解，
基本式子为：，
例如：分解因式，，，
按此排列： 交叉相乘，乘积相加等于，
得到，这就是十字相乘法．
利用上述方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)先分解因式，再求值：，其中．
分解因式：．
18．把下列各式因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
19.分解因式：．
分解因式：．
分解因式：．
22．我们已经学过将一个多项式因式分解的方法有提公因式法和运用公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：．
②拆项法：
例如：．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①用分组分解法：；
②用拆项法：；
(2)已知：，，为的三条边，，求的周长．
专题04 十字相乘法和分组分解法5种压轴题型全攻略
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5998" 【典型例题】 PAGEREF _Tc5998 \h 1
\l "_Tc11367" 【考点一 十字相乘法的简单计算】 PAGEREF _Tc11367 \h 1
\l "_Tc15074" 【考点二 系数不为1的二次三项式的因式分解】2
\l "_Tc11504" 【考点三 分组分解法的简单计算】2
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\l "_Tc21571" 【过关检测】4
【典型例题】
【考点一 十字相乘法的简单计算】
【例题1】若多项式可分解为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知：．
【详解】解：多项式可分解为，
．
．
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键
【变式1】多项式可因式分解成，其中、、均为整数，求的值为( )
B．C．或D．或
【答案】D
【分析】根据题意将多项式因式分解，即可得出的值，进而即可求解．
【详解】解：∵
∴或
∴或，
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【变式2】已知二次三项式能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数的取值有（ ）
个B．个C．个D．个
【答案】D
【分析】把常数项分为两个整数相乘，其和即为的值，即可确定出整数的个数．
【详解】解：根据题意得：，
可得，，2，，
解得：，14，，2，共4个，
故选：D．
【点睛】此题考查了因式分解中的十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
【变式3】甲、乙两人在因式分解时，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么的值为（ ）
B．C．D．2
【答案】A
【分析】根据甲分解的结果求出，根据乙分解的结果求出，然后代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，理解因式分解的定义是正确解答的前提．
【考点二 系数不唯一的二次三项式的因式分解】
【例题2】 将在实数范围内因式分解，正确的结果是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据十字相乘法分解因式，即可得到答案．
【详解】解：
，
故选：D．
【点睛】本题考查十字相乘法因式分解，熟记十字相乘法因式分解是解决问题的关键．
【变式1】多项式可因式分解成，其中、、均为整数，求之值为何？（ ）
B．C．3D．12
【答案】A
【分析】首先利用十字相乘法将因式分解，继而求得a，c的值，代入a+2c即可得到结果．
【详解】解：利用十字相乘法，把多项式因式分解，
可得，
∵多项式可因式分解成（3x+a）（bx+c）
∴ ，，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查十字相乘法因式分解的知识，利用十字相乘法对（a≠0）型的式子因式分解是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1⋅a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1⋅c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)．解答本题的关键是明确题意，会用十字相乘法分解因式．
【变式2】多项式的一个因式为（ ）
B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用十字相乘法对原多项式进行因式分解，即可得到多项式的因式，由此进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴多项式的一个因式为，
故选B．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握十字相乘法．
【变式3】若多项式可因式分解为，其中、、均为整数，则的值是（ ）
A．1B．7C．11D．1
【答案】B
【分析】将多项式5x2+17x-12进行因式分解后，确定a、b、c的值即可．
【详解】解：因为5x2+17x-12=（x+4）（5x-3）=（x+a）（bx+c），
所以a=4，b=5，c=-3，
所以a-c=4-（-3）=7，
故选：B．
【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正确分解因式的前提，确定a、b、c的值是得出正确答案的关键．
【考点三 分组分解法的简单计算】
【例题3】将多项式因式分解，结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先运用完全平方公式展开，然后再合并，最后运用十字相乘法因式分解即可．
【详解】解：
=
=
=．
故选B．
【点睛】本题主要考查了运用完全平方公式计算、十字相乘法因式分解等知识点，掌握运用十字相乘法进行因式分解是解答本题的关键．
【变式1】把多项式因式分解之后，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据分组分解法及平方差公式，即可判定．
【详解】解：
故选：D．
【点睛】本题考查了分解因式的方法，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键．
【变式2】用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用分组分解法，结合提公因式法，对选项一一进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A．
，故选项A分组正确，不符合题意；
B．
，故选项B分组正确，不符合题意；
C．无法进行分组分解，故选项C分组错误，符合题意；
D．
，故选项D分组正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了分组分解法、提公因式法分解因式，解本题的关键在熟练掌握相关的分解因式的方法．
【变式3】 用分组分解的因式，分组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可．
【详解】解：
．
故选：D．
【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键．
【考点四 添项减项在因式分解中的应用】
【例题4】分解因式： ．
【答案】
【分析】先把分为与，分组分解，然后提公因式后利用十字相乘法分解．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解—十字相乘法等：根据题目特点灵活运用因式分解的方法，解决此题的关键是把分为与，再利用分组分解法分解．
【变式1】因式分解＝ ．
【答案】
【分析】根据添项结合分组分解可进行求解．
【详解】解：原式=
=
=；
故答案为．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
【变式2】分解因式：= ．
【答案】
【分析】先分组，然后根据提公因式法因式分解即可求解．
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的
【考点五 十字相乘法和分组分解法的拓展提高】
【例题5】分解因式： ．
【答案】
【分析】先分组，再利用十字相乘法进行因式分解，然后提出公因式，即可求解．
【详解】解：原式，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
【变式1】因式分解： ．
【答案】
【分析】先进行分组，再计算多项式乘以多项式，然后再利用十字相乘法可进行求解．
【详解】解：
；
故答案为．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．
【变式2】已知，那么的值为
【答案】2022
【分析】利用因式分解法将原式进行分解，再整体代入即可求解．
【详解】∵，
∴
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【变式3】分解因式：．
【答案】
【分析】先把看做一个整体对原式利用十字相乘法分解因式得到，据此再利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知十字相乘法分解因式是解题的关键．
【过关检测】
一．选择题
1.若多项式分解因式为，则的值是（ ）
A．2B．C．12D．
【答案】B
【分析】利用十字相乘法很容易确定m的值．
【详解】解：多项式分解因式为，
即，
，系数对应相等，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，解题的关键是掌握十字相乘法．
2．多项式可因式分解成，其中，均为整数，则的值为（ ）
A．B．1C．D．2023
【答案】B
【分析】先分解因式，求出、的值，再结合有理数的乘方进行计算，即可得到答案．
【详解】解：，
又多项式可因式分解成，
，或，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解、有理数的乘方，熟练掌握十字相乘法分解因式是解题关键．
3．因式分解，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据甲看错了a的值可以知道，甲的分解结果中b的值是正确的，根据乙看错了b的值可以知道，乙的分解结果中a的值是正确的，据此即可得到a、b的值，进而得到答案．
【详解】解：∵甲看错了a的值，
∴，
∴；
∵乙看错了b的值，
∴，
∴，
∴分解因式正确的结果为：
，
故选：C．
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的定义．
4．不论x为何值，等式都成立，则代数式的值为（ ）
A．-9B．-3C．3D．9
【答案】D
【分析】已知等式右边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出p与q的值，即可求出答案．
【详解】解：由题意可得，
=，
∴p=2，q=-3，
则=9．
故选D．
【点睛】本题考查了因式分解法-十字相乘法，解决本题的关键是熟练的掌握十字相乘法．
把分解因式，正确的分组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】把后三项为一组，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式继续分解因式即可．
【详解】解：
．
故选：A．
【点睛】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一三分组．本题中后三项正好符合完全平方公式，应考虑后三项为一组．
6．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】根据分解因式的分组分解因式后整体代入即可求解．
【详解】解：a2b+ab2-a-b
=（a2b-a）+（ab2-b）
=a（ab-1）+b（ab-1）
=（ab-1）（a+b）
将a+b=3，ab=1代入，得：原式=0．
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题关键是掌握分组分解因式的方法．
二. 填空题
7.因式分解： ．
【答案】
【分析】利用十字相乘因式分解即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解，熟练运用十字相乘法是解题的关键．
8.分解因式： ．
【答案】
【分析】利用整体思想及十字相乘法与立方差公式求解．
【详解】解：原式，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解，解题关键是熟练掌握十字相乘与立方差公式．
9．分解因式： ．
【答案】
【分析】先提取公因式，再根据十字相乘法进行因式分解即可．
【详解】解：
；
故答案为：；
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式：对于形如的二次三项式，若能找到两数a、b，使且，那么．
10．因式分解： ．
【答案】
【分析】原式先提取公因数2，再利用十字相乘法求出解即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键．
11．分解因式：
【答案】
【分析】利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：
．
故答案为：
【点睛】本题考查了因式分解，解本题的关键在熟练掌握十字相乘法分解因式．
12．若多项式可因式分解为，其中均为整数，则的值是 ．
【答案】1
【分析】首先利用十字相乘法将因式分解，即可得到的值，从而得到答案．
【详解】解：利用十字相乘法将因式分解，
得，
，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正确分解因式的前提，确定的值是得出正确答案的关键．
13．分解因式： ．
【答案】
【分析】先分组得到，再把每组分解，然后提公因式即可．
【详解】原式
故答案为
【点睛】本题考查了分组分解法：一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式二是分组后能应用公式．
14．分解因式： ．
【答案】
【分析】将多项式第一、二、四项结合，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解—分组分解法，难点是采用两两分组还是三一分组．正确分组和公式的灵活运用是解题的关键．
15．已知，那么的值为 ．
【答案】2022
【分析】利用因式分解法将原式进行分解，再整体代入即可求解．
【详解】∵，
∴
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
三、解答题
16．阅读下面的材料，解答提出的问题：
已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值．
解：设另一个因式为，由题意，得
，
，
所以，解得．
所以另一个因式为，的值为．
提出问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，另一个因式是________；
(2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值．
【答案】(1)
(2)另一个因式为，的值为85
【分析】（1）设另一个因式为，由题意得，从而得到，进行计算即可得到答案；
（2）设另一个因式为，由题意得： ，从而得到，进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：设另一个因式为，
由题意得：，
则，
，
解得：，
另一个因式为，
故答案为：；
（2）解：设另一个因式为，
由题意得：，
则，
，
解得：，
另一个因式为，的值为85．
【点睛】本题主要考查了因式分解—十字相乘法，解二元一次方程组，正确设出另一个因式是解题的关键．
17．阅读理解题
在因式分解中有一种常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，这个方法其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解，
基本式子为：，
例如：分解因式，，，
按此排列： 交叉相乘，乘积相加等于，
得到，这就是十字相乘法．
利用上述方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)先分解因式，再求值：，其中．
【答案】(1)
(2)，45
【分析】（1）根据十字相乘法进行因式分解即可；
（2）先运用式子相乘法进行因式分解，再代入求解．
【详解】（1）解：；
（2）
当时，原式．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解题的关键．
18．分解因式：．
【答案】
【分析】直接利用十字相乘法和完全平方公式进行因式分解即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了利用十字相乘法和完全平方公式分解因式，熟练掌握十字相乘法和完全平方公式是解题的关键．
19．把下列各式因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）将看出整体，利用完全平方公式分解因式即可，注意分解要彻底；
（2）利用十字相乘法分解因式即可；
（3）将看成整体，利用十字相乘法分解因式即可；
（4）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题考查因式分解，解答的关键是利用不同的方法进行因式分解以及整体思想的运用．
39．分解因式：．
【答案】
【分析】进行分组，对各组进行提取公因式，再用公式法进行分解，最后检查分解是否彻底，即可求解．
【详解】解：原式，
，
，
．
【点睛】本题考查了分组分解方法，以及平方差公式的运用，掌握方法是解题的关键．
20．分解因式：．
【答案】
【分析】先将原式进行分组，再提公因式分解因式即可.
【详解】
．
【点睛】本题主要考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意符号的变化．熟练掌握分解因式的方法是解题的关键.
21．分解因式：．
【答案】
【分析】先利用整式乘法法则展开计算，重新分组可得，然后利用提公因式法可得，再利用提公因式法可得．
【详解】原式
．
【点睛】本题考查提公因式法及分组法因式分解，正确找出公因式是解题关键．
22．我们已经学过将一个多项式因式分解的方法有提公因式法和运用公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：．
②拆项法：
例如：．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①用分组分解法：；
②用拆项法：；
(2)已知：，，为的三条边，，求的周长．
【答案】(1)①，见解析；②，见解析
(2)
【分析】（1）①仿照例题的方法，根据分组分解法分解因式；
②仿照例题的方法，根据拆项法分解因式；
（2）仿照例题的方法，根据分组分解法分解因式，根据非负数的性质，求得的值，即可求解．
【详解】（1）①；
②
（2），，为的三条边，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴的周长为．
【点睛】本题考查了因式分解以及因式分解的应用，仿照例题的方法因式分解是解题的关键．