人教版七年级数学下册同步练习第05讲平行线的判定(1个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固)(原卷版+解析)

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知识点01 平行线的判定
同位角相等，两直线平行：
①判定内容：
两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单说成 。
②符号语言：
若∠NEB＝∠NFD，则AB∥CD。
内错角相等，两直线平行：
①判定内容：
两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简单说成 。
②符号语言：
若∠AEM＝∠DFN，则AB∥CD。
同旁内角互补，两直线平行：
①判定内容：
两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简单说成 。
②符号语言：
若∠BEM＋∠DFN＝180°，则AB∥CD。
利用同位角、内错角以及同旁内角判定平行时，平行线一定是这些角不公共的边。
平行公理的推论判定平行：
①判定内容：平行于同一直线的两直线平行。
②符号语言：若a∥b，a∥c，则b∥c
垂直判定平行：
①判定内容：垂直于同一直线的两直线平行。
②符号语言：a⊥b，a⊥c，则b∥c
【即学即练1】
1．如图，点E在BC延长线上，下列条件中，不能推断AB∥CD的是（ ）
A．∠4＝∠3B．∠1＝∠2
C．∠B＝∠5D．∠B+∠BCD＝180°
【即学即练2】
2．对于同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中不正确的是（ ）
A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．若a⊥b，a⊥c，则b⊥c
C．若a∥b，a⊥c，则b⊥cD．若a⊥b，a⊥c，则b∥c
题型01 确定判定两直线平行的条件
【典例1】如图，能推断AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠5B．∠2＝∠4
C．∠1＝∠2+∠3D．∠D+∠4+∠5＝180°
【变式1】如图，下列条件中，不能判定l1∥l2的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝180°
C．∠2＝∠3D．∠4+∠5＝180°
【变式2】如图，下列推理中正确的是（ ）
A．若∠1＝∠2，则AD∥BCB．若∠1＝∠2，则AB∥DC
C．若∠A＝∠3，则AD∥BCD．若∠3＝∠4，则AB∥DC
【变式3】如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，射线CE在∠ACD内部，下列条件中能判定AB∥CE的是（ ）
A．∠A＝∠ACEB．∠B＝∠ACBC．∠A＝∠ECDD．∠B＝∠ACE
【变式4】如图，下列推理中正确的是（ ）
A．∵∠1＝∠4，∴BC∥AD
B．∵∠BCD+∠ADC＝180°，∴BC∥AD
C．∵∠2＝∠3，∴AB∥CD
D．∵∠CBA+∠C＝180°，∴BC∥AD
【变式5】如图，直线a，b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠3；②∠4＝∠8；③∠1+∠6＝180°；④∠5+∠8＝180°．其中能判定a∥b的条件的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式6】若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＝∠2
B．如果∠2＝30°，则有AC∥DE
C．如果∠2＝45°，则有∠4＝∠D
D．如果∠2＝50°，则有BC∥AE
【变式7】以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（ ）
A．如图A，展开后测得∠1＝∠2
B．如图B，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C．如图C，测得∠1＝∠2
D．如图D，测得∠1＝∠2
题型02 添加判定条件判定平行
【典例1】如图，请填写一个条件 ，使a∥b．
【变式1】如图，要得到AE∥BG的结论，需要添加的条件是 ．（写出一个正确答案即可）
【变式2】如图：请写出一个条件： ，使AB∥CD．理由是： ．
题型03 根据判定条件求值
【典例1】如图，已知∠1＝85°，下列条件能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠2＝75°B．∠3＝85°C．∠3＝95°D．∠4＝95°
【变式1】如图是小明探索直线平行的条件时所用的学具，木条a，b，c在同一平面内，经测量，要使木条a∥b，∠2＝110°，要使木条a与b平行，则∠1的度数应为（ ）
A．20°B．70°C．110°D．160°
【变式2】如图，分别将木条a，b与固定的木条c钉在一起，∠1＝50°，∠2＝80°，顺时针转动木条a，下列选项能使木条a与b平行的是（ ）
A．旋转30°B．旋转50°C．旋转80°D．旋转130°
【变式3】如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）
A．15°B．25°C．35°D．50°
【变式4】如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间＝ ．
【变式5】如图，已知∠1＝（3x+24）°，∠2＝（5x+20）°，要使m∥n，那么∠1＝ （度）．
题型04 平行公理的推论以及判定平行
【典例1】如果b∥a，c∥a，那么 ．
【典例2】同一平面内三条直线a、b、c，若a⊥b，c⊥b，则a与c的关系是： ．
【变式1】若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（ ）
A．∵a∥b，b∥c，∴c∥dB．∵a∥c，b∥d，∴c∥d
C．∵a∥b，a∥c，∴b∥cD．∵a∥b，c∥d，∴a∥c
【变式2】a、b、c是直线，下列说法正确的是（ ）
A．若a⊥b，b∥c，则a∥cB．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．若a∥b，b⊥c，则b∥cD．若a∥b，b∥c，则a∥c
【变式3】同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则c、d的位置关系为（ ）
A．互相垂直B．互相平行
C．相交D．没有确定关系
题型05 平行线的判定证明
【典例1】如图，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这时说管道AB∥CD对吗？为什么？
【典例2】直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝∠2，直线AB和CD平行吗？为什么？
【典例3】如图，∠1＝47°，∠2＝133°，∠D＝47°，那么BC与DE平行吗？AB与CD呢？为什么？
【变式1】如图，GH分别交AB、CD于点E、F，∠AEF＝∠EFD．
（1）试写出AB∥CD的依据；
（2）若ME是∠AEF的平分线，FN是∠EFD的平分线，则EM、FN平行吗？若平行，请说明理由．
【变式2】已知：如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P，Q，PM垂直于EF，∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD．
【变式3】已知：如图，∠C＝∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．

1．下列画出的直线a与b不一定平行的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠4B．∠D+∠ACD＝180°
C．∠D＝∠DCED．∠1＝∠2
3．如图，下列四组条件中，能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4
C．∠ABC+∠BCD＝180°D．∠BAD+∠ABC＝180°
4．蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，其中∠α＝109°28′，∠β＝70°32′．则这个四边形对边的位置关系为（ ）
A．平行B．相等C．垂直D．不能确定
5．如图所示，由下列条件能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠BAC＝∠DACB．∠DAC＝∠ACB
C．∠BAC＝∠DCAD．∠D+∠DCB＝180°
6．如图所示，下列条件中，能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠BAD＝∠BCDB．∠1＝∠2C．∠BAC＝∠ACDD．∠3＝∠4
7．如图，固定木条b、c，使∠1＝80°，旋转木条a，要使得a∥b，则∠2应调整为（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
8．如图，下列推理不正确的是（ ）
A．∵∠1＝∠2，∴AB∥CDB．∵∠1＝∠2，∴AD∥BC
C．∵∠3＝∠4，∴AD∥BCD．∵∠4＝∠5，∴AB∥CD
9．在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放，可以画出两条互相平行的直线l1与l2这样画的依据是（ ）
A．内错角相等，两直线平行
B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．两直线平行，内错角相等
10．下列说法正确的是（ ）
A．a、b、c是直线，若a⊥b，b∥c，则a∥c
B．a、b、c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．a、b、c是直线，若a∥b，b⊥c，则a∥c
D．a、b、c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c
11．如图，点E在AC的延长线上，请添加一个恰当的条件 ，使AB∥CD．
12．三个完全相同的含30°角的三角板如图摆放，可以判断AB与EC平行的理由是 ．
13．如图，下列条件：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠4＝∠5；④∠2+∠4＝180°中，能判断直线l1∥l2的有 个．
14．如图，在下列四组条件中：①∠1＝∠2，②∠3＝∠4，③∠BAD+∠ABC＝180°，④∠BAC＝∠ACD，能判定AD∥BC的是 ．
15．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°），当∠ACE＜180°，且点E在直线AC的上方时，满足三角尺BCE有一条边与斜边AD平行，那么此时∠ACE＝ ．
16．如图，点A在射线DE上，点C在射线BF上，∠B+∠BAD＝180°，∠1＝∠2．
求证：AB∥CD．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：
∵∠B+∠BAD＝180°（已知），∠1+∠BAD＝180°，
∴∠1＝ ，
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝ （ ），
∴AB∥CD（ ）．
17．如图，直线a，b被直线c所截，∠1＝50°，请你再添加一个条件，可以说明直线a与b平行，并说明理由．
18．如图所示，直线AF，BD相交于点C，过点C作射线CE，使得CD平分∠ECF，连接AB，若∠B＝∠ACB，试说明AB∥CE．
19．如图，已知∠A＝∠C，∠1与∠2互补，求证：AB∥CD．
20．如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，并且∠1＝∠2，说出图中哪些直线平行，并说明理由．
第05讲 平行线的判定
知识点01 平行线的判定
同位角相等，两直线平行：
①判定内容：
两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单说成 同位角相等，两直线平行 。
②符号语言：
若∠NEB＝∠NFD，则AB∥CD。
内错角相等，两直线平行：
①判定内容：
两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简单说成 内错角相等，两直线平行 。
②符号语言：
若∠AEM＝∠DFN，则AB∥CD。
同旁内角互补，两直线平行：
①判定内容：
两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简单说成 同旁内角互补，两直线平行 。
②符号语言：
若∠BEM＋∠DFN＝180°，则AB∥CD。
利用同位角、内错角以及同旁内角判定平行时，平行线一定是这些角不公共的边。
平行公理的推论判定平行：
①判定内容：平行于同一直线的两直线平行。
②符号语言：若a∥b，a∥c，则b∥c
垂直判定平行：
①判定内容：垂直于同一直线的两直线平行。
②符号语言：a⊥b，a⊥c，则b∥c
【即学即练1】
1．如图，点E在BC延长线上，下列条件中，不能推断AB∥CD的是（ ）
A．∠4＝∠3B．∠1＝∠2
C．∠B＝∠5D．∠B+∠BCD＝180°
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵∠3＝∠4，∴AD∥BC，无法得出AB∥CD，故本选项错误；
B、∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，故本选项正确；
C、∵∠B＝∠5，∴AB∥CD，故本选项正确；
D、∵∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD，故本选项正确．
故选：A．
【即学即练2】
2．对于同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中不正确的是（ ）
A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．若a⊥b，a⊥c，则b⊥c
C．若a∥b，a⊥c，则b⊥cD．若a⊥b，a⊥c，则b∥c
【分析】根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行”和“垂直于同一条直线的两直线平行”进行分析判断．
【解答】解：A．a∥b，b∥c，则a∥c，正确；
B．a⊥b，a⊥c，则b∥c，故错误；
C．a∥b，a⊥c，则b⊥c，正确；
D．a⊥b，a⊥c，则b∥c，正确；
故选：B．
题型01 确定判定两直线平行的条件
【典例1】如图，能推断AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠5B．∠2＝∠4
C．∠1＝∠2+∠3D．∠D+∠4+∠5＝180°
【分析】根据平行线的判定定理（①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行）判断即可．
【解答】解：A、∵∠3＝∠5，
∴BC∥AD，不能推出AB∥CD，故本选项错误；
B、∵∠2＝∠4，
∴AB∥CD，故本选项正确；
C、∵∠1＝∠2+∠3，
∴∠1＝∠BAD，
∴BC∥AD，不能推出AB∥DC，故本选项错误；
D、∵∠D+∠4+∠5＝180°，
∴BC∥AD，不能推出AB∥DC，故本选项错误；
故选：B．
【变式1】如图，下列条件中，不能判定l1∥l2的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝180°
C．∠2＝∠3D．∠4+∠5＝180°
【分析】直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案．
【解答】解：A、∵∠1＝∠3，
∴直线l1∥l2，故此选项不合题意；
B、∵∠2+∠4＝180°，
∴直线l1∥l2，故此选项不合题意；
C、∠2＝∠3，不能得出直线l1∥l2，故此选项符合题意；
D、∵∠2＝∠5，∠4+∠5＝180°，
∴∠4+∠2＝180°，
∴直线l1∥l2，故此选项不合题意．
故选：C．
【变式2】如图，下列推理中正确的是（ ）
A．若∠1＝∠2，则AD∥BCB．若∠1＝∠2，则AB∥DC
C．若∠A＝∠3，则AD∥BCD．若∠3＝∠4，则AB∥DC
【分析】根据平行线的判定判断即可．
【解答】解：A、根据∠1＝∠2不能推出AD∥BC，故本选项错误；
B、根据∠1＝∠2能推出AB∥DC，故本选项正确；
C、根据∠A＝∠3不能推出AD∥BC，故本选项错误；
D、根据∠3＝∠4不能推出AB∥DC，故本选项错误．
故选：B．
【变式3】如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，射线CE在∠ACD内部，下列条件中能判定AB∥CE的是（ ）
A．∠A＝∠ACEB．∠B＝∠ACBC．∠A＝∠ECDD．∠B＝∠ACE
【分析】根据平行线的判定方法即可求解．
【解答】解：A选项，∠A＝∠ACE，内错角相等，两直线平行，故符合题意；
B选项，∠B＝∠ACB，不能判定AB∥CE，故不符合题意；
C选项，∠A＝∠ECD，不能判定AB∥CE，故不符合题意；
D选项，∠B＝∠ACE，不能判定AB∥CE，故不符合题意；
故选：A．
【变式4】如图，下列推理中正确的是（ ）
A．∵∠1＝∠4，∴BC∥AD
B．∵∠BCD+∠ADC＝180°，∴BC∥AD
C．∵∠2＝∠3，∴AB∥CD
D．∵∠CBA+∠C＝180°，∴BC∥AD
【分析】结合图形分析相等或互补的两角之间的关系，根据平行线的判定方法判断．
【解答】解：A、∵∠1＝∠4，
∴AB∥CD，故选项错误，不符合题意；
B、∵∠BCD+∠ADC＝180°，
∴AD∥BC，故选项正确，符合题意；
C、∵∠2＝∠3，∴BC∥AD，故选项错误，不符合题意；
D、∵∠CBA+∠C＝180°，
∴AB∥CD，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
【变式5】如图，直线a，b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠3；②∠4＝∠8；③∠1+∠6＝180°；④∠5+∠8＝180°．其中能判定a∥b的条件的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
【解答】解：能判断a∥b的条件是：②∠4＝∠8；③∠1+∠6＝180°；
故选：B．
【变式6】若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＝∠2
B．如果∠2＝30°，则有AC∥DE
C．如果∠2＝45°，则有∠4＝∠D
D．如果∠2＝50°，则有BC∥AE
【分析】根据平行线的判定和性质一一判断即可
【解答】解：∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠1＝∠3，故A错误．
∵∠2＝30°，
∴∠1＝∠3＝60°
∴∠CAE＝90°+60°＝150°，
∴∠E+∠CAE＝180°，
∴AC∥DE，故B正确，
∵∠2＝45°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝45°，
∵∠E+∠3＝∠B+∠4，
∴∠4＝30°，
∵∠D＝60°，
∴∠4≠∠D，故C错误，
∵∠2＝50°，
∴∠3＝40°，
∴∠B≠∠3，
∴BC不平行AE，故D错误．
故选：B．
【变式7】以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（ ）
A．如图A，展开后测得∠1＝∠2
B．如图B，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C．如图C，测得∠1＝∠2
D．如图D，测得∠1＝∠2
【分析】根据平行线的判定定理，逐一进行分析，即可解答．
【解答】解：A、∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确，不符合题意；
B、∵∠1＝∠2且∠3＝∠4，由图可知∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），
故正确，不符合题意；
C、测得∠1＝∠2，
∵∠1与∠2既不是内错角也不是同位角，
∴不一定能判定两直线平行，故错误，符合题意；
D、∠1＝∠2，根据同位角相等，两直线平行进行判定，故正确，不符合题意；
故选：C．
题型02 添加判定条件判定平行
【典例1】如图，请填写一个条件 ∠2＝∠4 ，使a∥b．
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【解答】解：填写条件∠2＝∠4，理由如下：
∵∠2＝∠4，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），
故答案为：∠2＝∠4（答案不唯一）．
【变式1】如图，要得到AE∥BG的结论，需要添加的条件是 ∠EDC＝∠BCD（答案不唯一） ．（写出一个正确答案即可）
【分析】∠EDC与∠BCD为内错角，可利用内错角相等，两直线平行判定平行线．
【解答】解：要得到AE∥BG的结论，则需要角相等的条件是∠EDC＝∠BCD（答案不唯一）．
故答案为：∠EDC＝∠BCD（答案不唯一）．
【变式2】如图：请写出一个条件： ∠B＝∠BCD ，使AB∥CD．理由是： 内错角相等，两直线平行 ．
【分析】可以写一个条件内错角∠B＝∠BCD，所以两直线AB∥CD．
【解答】解：可以写一个条件：∠B＝∠DCE；
∵∠B＝∠BCD；
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；
故答案为：∠B＝∠BCD．
题型03 根据判定条件求值
【典例1】如图，已知∠1＝85°，下列条件能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠2＝75°B．∠3＝85°C．∠3＝95°D．∠4＝95°
【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可．
【解答】解：A、∵∠1＝85°，∠2＝75°，
∴∠1≠∠2，
∴AB与CD不平行，不符合题意；
B、∵∠1＝85°，∠3＝85°，
∴∠1+∠3＝170°≠180°，
∴AB与CD不平行，不符合题意；
C、∵∠1＝85°，∠3＝95°，
∴∠1+∠3＝180°，
∴AB∥CD，符合题意；
D、由∠1＝85°，∠4＝95°无法证明AB∥CD，不符合题意；
故选：C．
【变式1】如图是小明探索直线平行的条件时所用的学具，木条a，b，c在同一平面内，经测量，要使木条a∥b，∠2＝110°，要使木条a与b平行，则∠1的度数应为（ ）
A．20°B．70°C．110°D．160°
【分析】先求出∠2的对顶角的度数，再根据同旁内角互补，两直线平行解答．
【解答】解：如图，∵∠2＝110°，
∴∠3＝∠2＝110°，
∴要使b与a平行，则∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝180°﹣110°＝70°．
故选：B．
【变式2】如图，分别将木条a，b与固定的木条c钉在一起，∠1＝50°，∠2＝80°，顺时针转动木条a，下列选项能使木条a与b平行的是（ ）
A．旋转30°B．旋转50°C．旋转80°D．旋转130°
【分析】根据平行线的 判定定理即可求解．
【解答】解：在图中标注出∠3，如图所示：
若a∥b，则∠2＝∠3，
∵∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2＝50°，
故应将木条a顺时针转动30°．
故选：A．
【变式3】如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）
A．15°B．25°C．35°D．50°
【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数．
【解答】解：∵∠AOC＝∠2＝50°时，OA∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是85°﹣50°＝35°．
故选：C．
【变式4】如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间＝ 秒或秒 ．
【分析】分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠EAB＝70°，∠DCF＝60°，
∴∠BAC＝110°，∠ACD＝120°，
分三种情况：
如图①，AB与CD在EF的两侧时，
∠ACD＝120°﹣（4t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAC，
即120°﹣（4t）°＝110°﹣t°，
解得t＝；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∠DCF＝360°﹣（4t）°﹣60°＝300°﹣（4t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即300°﹣（4t）°＝110°﹣t°，
解得t＝；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∠DCF＝（4t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（4t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣110°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即（4t）°﹣300°＝t°﹣110°，
解得t＝﹣，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为 或秒时，CD与AB平行．
故答案为： 秒或秒．
【变式5】如图，已知∠1＝（3x+24）°，∠2＝（5x+20）°，要使m∥n，那么∠1＝ 75 （度）．
【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案．
【解答】解：如图所示：∠1+∠3＝180°，
∵m∥n，
∴∠2＝∠3，
∴∠1+∠2＝180°，
∴3x+24+5x+20＝180°，
解得：x＝17，
则∠1＝（3x+24）°＝75°．
故答案为：75．
题型04 平行公理的推论以及判定平行
【典例1】如果b∥a，c∥a，那么 b∥c ．
【分析】根据平行公理推论求解即可．
【解答】解：如果b∥a，c∥a，那么b∥c（平行于同一直线的两直线平行），
故答案为：b∥c．
【典例2】同一平面内三条直线a、b、c，若a⊥b，c⊥b，则a与c的关系是： a∥c ．
【分析】根据平行线的性质：垂直于同一直线的两条直线互相平行可知直线a与直线c的关系是平行．
【解答】解：∵a⊥b，c⊥b，
∴a∥c．
故答案为：a∥c．
【变式1】若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（ ）
A．∵a∥b，b∥c，∴c∥dB．∵a∥c，b∥d，∴c∥d
C．∵a∥b，a∥c，∴b∥cD．∵a∥b，c∥d，∴a∥c
【分析】根据平行公理及推论，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵a∥b，b∥c，∴c∥a，故A不符合题意；
B、∵a∥c，b∥d，∴c与d不一定平行，故B不符合题意；
C、∵a∥b，a∥c，∴b∥c，故C符合题意；
D、∵a∥b，c∥d，∴a与c不一定平行，故D不符合题意；
故选：C．
【变式2】a、b、c是直线，下列说法正确的是（ ）
A．若a⊥b，b∥c，则a∥cB．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．若a∥b，b⊥c，则b∥cD．若a∥b，b∥c，则a∥c
【分析】根据平行公理以及平行线的性质判断即可．
【解答】解：A、在同一平面内，若a⊥b，b∥c，则a⊥c，原说法错误，不符合题意；
B、在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，原说法错误，不符合题意；
C、在同一平面内，若a∥b，b⊥c，则a⊥c，原说法错误，不符合题意；
D、若a∥b，b∥c，则a∥c，正确，符合题意．
故选：D．
【变式3】同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则c、d的位置关系为（ ）
A．互相垂直B．互相平行
C．相交D．没有确定关系
【分析】作出图形，根据平行公理的推论解答．
【解答】解：如图，∵a∥b，a⊥c，
∴c⊥b，
又∵b⊥d，
∴c∥d．
故选：B．
题型05 平行线的判定证明
【典例1】如图，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这时说管道AB∥CD对吗？为什么？
【分析】由已知∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，即∠ABC+∠BCD＝120°+60°＝180°，可得关于AB∥CD的判定条件：同旁内角互补，两直线平行．
【解答】解：说管道AB∥CD是对的．
理由：∵∠ABC＝120°，∠BCD＝60°
∴∠ABC+∠BCD＝180°
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
【典例2】直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝∠2，直线AB和CD平行吗？为什么？
【分析】根据对顶角相等可得∠1＝∠3，再根据∠1＝∠2，可推出∠2＝∠3，根据同位角相等，两直线平行可推出AB∥CD．
【解答】解：AB∥CD，
理由：∵∠1＝∠2，∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴AB∥CD．
【典例3】如图，∠1＝47°，∠2＝133°，∠D＝47°，那么BC与DE平行吗？AB与CD呢？为什么？
【分析】由于∠1＝47°，∠2＝133°，则∠ABC+∠2＝180°，根据平行线的判定方法得到AB∥CD；然后利用平角的定义计算出∠BCD＝180°﹣133°＝47°，
则∠BCD＝∠D，根据平行线的判定即可得到BC∥DE．
【解答】解：BC∥DE，AB∥CD．理由如下：
∵∠1＝47°，∠2＝133°，
而∠ABC＝∠1＝47°，
∴∠ABC+∠2＝180°，
∴AB∥CD；
∵∠2＝133°，
∴∠BCD＝180°﹣133°＝47°，
而∠D＝47°，
∴∠BCD＝∠D，
∴BC∥DE．
【变式1】如图，GH分别交AB、CD于点E、F，∠AEF＝∠EFD．
（1）试写出AB∥CD的依据；
（2）若ME是∠AEF的平分线，FN是∠EFD的平分线，则EM、FN平行吗？若平行，请说明理由．
【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行，推出即可；
（2）根据角平分线定义求出∠MEF＝∠NFE，根据内错角相等，两直线平行，推出即可．
【解答】（1）证明：∵∠AEF＝∠EFD，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
（2）EM∥FN，
证明：∵ME是∠AEF的平分线，FN是∠EFD的平分线，
∴∠MEF＝∠AEF，∠NFE＝∠EFD，
∵∠AEF＝∠EFD，
∴∠MEF＝∠NFE，
∴EM∥FN（内错角相等，两直线平行）．
【变式2】已知：如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P，Q，PM垂直于EF，∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD．
【分析】先根据垂直的定义可得∠APQ+∠2＝90°，再结合∠1+∠2＝90°可得∠APQ＝∠1，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论．
【解答】证明：∵PM⊥EF（已知），
∴∠APQ+∠2＝90°（垂直定义）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠APQ＝∠1（同角的余角相等），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
【变式3】已知：如图，∠C＝∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．
【分析】先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知，∠C＝∠1，∠2和∠D互余，所以得∠C＝∠2，从而证得AB∥CD．
【解答】证明：∵BE⊥FD，
∴∠EGD＝90°，
∴∠1+∠D＝90°，
又∠2和∠D互余，即∠2+∠D＝90°，
∴∠1＝∠2，
又已知∠C＝∠1，
∴∠C＝∠2，
∴AB∥CD．

1．下列画出的直线a与b不一定平行的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据平行线的判定定理即可解答．
【解答】解：A．直线a与b不一定平行，故本选项符合题意；
B．根据同旁内角互补，两直线平行可得a∥b，故本选项不符合题意；
C．根据平行线的定义可得a∥b，故本选项不符合题意；
D．根据同位角相等，两直线平行可得a∥b，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠4B．∠D+∠ACD＝180°
C．∠D＝∠DCED．∠1＝∠2
【分析】根据平行线的判定定理分别进行分析即可．
【解答】解：A、∠3＝∠4可判断DB∥AC，故此选项错误；
B、∠D+∠ACD＝180°可判断DB∥AC，故此选项错误；
C、∠D＝∠DCE可判断DB∥AC，故此选项错误；
D、∠1＝∠2可判断AB∥CD，故此选项正确；
故选：D．
3．如图，下列四组条件中，能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4
C．∠ABC+∠BCD＝180°D．∠BAD+∠ABC＝180°
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
【解答】解：∵∠ABC+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD．
故选：C．
4．蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，其中∠α＝109°28′，∠β＝70°32′．则这个四边形对边的位置关系为（ ）
A．平行B．相等C．垂直D．不能确定
【分析】先计算两角的和得180°，再根据平行线判定定理“同旁内角互补，两直线平行”即可得出这个四边形对边的位置关系．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
【解答】解：如图标字母，
∵∠BAD＝∠α＝109°28′，∠ADC＝∠β＝70°32′
∴∠BAD+∠ADC＝∠α+∠β＝109°28′+70°32′＝179°60′＝180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
∵∠BAD＝∠α＝109°28′，∠ABC＝∠β＝70°32′
∴∠BAD+∠ABC＝∠α+∠β＝109°28′+70°32′＝179°60′＝180°，
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
故选：A．
5．如图所示，由下列条件能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠BAC＝∠DACB．∠DAC＝∠ACB
C．∠BAC＝∠DCAD．∠D+∠DCB＝180°
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解答】解：由∠BAC＝∠DAC，不能判定AB∥CD，
故A不符合题意；
∵∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC，
故B不符合题意；
∵∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，
故C符合题意；
∵∠D+∠DCB＝180°，
∴AD∥BC，
故D不符合题意；
故选：C．
6．如图所示，下列条件中，能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠BAD＝∠BCDB．∠1＝∠2C．∠BAC＝∠ACDD．∠3＝∠4
【分析】两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，据此进行判断即可．
【解答】解：A．根据∠BAD＝∠BCD，不能判断AB∥CD；
B．根据∠1＝∠2，只能判断AD∥BC；
C．根据∠BAC＝∠ACD，能判断AB∥CD；
D．根据∠3＝∠4，不能判断AB∥CD；
故选：C．
7．如图，固定木条b、c，使∠1＝80°，旋转木条a，要使得a∥b，则∠2应调整为（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
【分析】根据同旁内角互补两直线平行，求出∠2的度数即可．
【解答】解：要使得a∥b，则需满足∠1+∠2＝180°，
∵∠1＝80°，
∴∠2＝100°，
故选：D．
8．如图，下列推理不正确的是（ ）
A．∵∠1＝∠2，∴AB∥CDB．∵∠1＝∠2，∴AD∥BC
C．∵∠3＝∠4，∴AD∥BCD．∵∠4＝∠5，∴AB∥CD
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
故A正确，不符合题意；
∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
故B不正确，符合题意；
∵∠3＝∠4，
∴AD∥BC，
故C正确，不符合题意；
∵∠4＝∠5，
∴AB∥CD，
故D正确，不符合题意；
故选：B．
9．在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放，可以画出两条互相平行的直线l1与l2这样画的依据是（ ）
A．内错角相等，两直线平行
B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．两直线平行，内错角相等
【分析】根据题目的已知条件并结合图形进行分析，然后根据内错角相等，两直线平行，即可解答．
【解答】解：在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放，可以画出两条互相平行的直线l1与l2这样画的依据是：内错角相等，两直线平行，
故选：A．
10．下列说法正确的是（ ）
A．a、b、c是直线，若a⊥b，b∥c，则a∥c
B．a、b、c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．a、b、c是直线，若a∥b，b⊥c，则a∥c
D．a、b、c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c
【分析】根据平行线的性质和判定逐个判断即可．
【解答】解：A、∵a⊥b，b∥c，
∴a⊥c，故本选项错误；
B、在同一平面内，当a⊥b，b⊥c时，a∥c，故本选项错误；
C、当a∥b，b⊥c时，a⊥c，故本选项错误；
D、当a∥b，b∥c时，a∥c，故选项正确；
故选：D．
11．如图，点E在AC的延长线上，请添加一个恰当的条件 ∠1＝∠2（答案不唯一） ，使AB∥CD．
【分析】利用平行线的判定定理进行分析即可．
【解答】解：当∠1＝∠2时，利用内错角相等，两直线平行可判定AB∥CD；
当∠A＝∠DCE时，利用同位角角相等，两直线平行可判定AB∥CD；
当∠A+∠ACD＝180°时，利用同旁内角互补，两直线平行可判定AB∥CD；
当∠ABD+∠D＝180°时，利用同旁内角互补，两直线平行可判定AB∥CD；
故答案为：∠1＝∠2（答案不唯一）．
12．三个完全相同的含30°角的三角板如图摆放，可以判断AB与EC平行的理由是 同位角相等，两直线平行（答案不唯一） ．
【分析】根据“同位角相等，两直线平行”求解即可．
【解答】解：∵∠ACB＝60°，∠ACE＝90°，∠ECD＝30°，
∴∠ACB+∠ACE+∠ECD＝180°，
∴B、C、D在一条直线上，
∵∠B＝30°＝∠ECD，
∴AB∥EC（同位角相等，两直线平行），
故答案为：同位角相等，两直线平行（答案不唯一）．
13．如图，下列条件：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠4＝∠5；④∠2+∠4＝180°中，能判断直线l1∥l2的有 3 个．
【分析】根据平行线的判断方法，可以判断出各个小题中的条件是否可以得到直线l1∥l2，从而可以解答本题．
【解答】解：∵∠1＝∠3，
∴l1∥l2，故①符合题意；
当∠2＝∠3时，无法判断l1∥l2，故②不符合题意；
∵∠4＝∠5，
∴l1∥l2，故③符合题意；
∵∠2+∠4＝180°，
∴l1∥l2，故④符合题意；
故答案为：3．
14．如图，在下列四组条件中：①∠1＝∠2，②∠3＝∠4，③∠BAD+∠ABC＝180°，④∠BAC＝∠ACD，能判定AD∥BC的是 ①②③ ．
【分析】根据平行线的判定，逐一判断即可解答．
【解答】解：①∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC；
②∵∠3＝∠4，
∴AD∥BC；
③∵∠BAD+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
④∵∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD；
所有，能判定AD∥BC的是①②③，
故答案为：①②③．
15．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°），当∠ACE＜180°，且点E在直线AC的上方时，满足三角尺BCE有一条边与斜边AD平行，那么此时∠ACE＝ 120或165或30 ．
【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：①当AD∥CE时，
∵AD∥CE，
∴∠DCE＝∠D＝30°，
∴∠ACE＝90°+30°＝120°；
②当BE∥AD时，过点C作CF∥AD，
∵BE∥AD，CF∥AD，
∴BE∥AD∥CF，
∴∠ECF＝∠E＝45°，∠DCF＝∠D＝30°，
∴∠DCE＝30°+45°＝75°
∴∠ACE＝90°+75°＝165°．
③如图中，当AD∥BC时．
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠BCD＝30°，
∵∠ACE+∠ECD＝∠ECD+∠DCB＝90°，
∴∠ACE＝∠DCB＝30°．
故答案为：120或165或30．
16．如图，点A在射线DE上，点C在射线BF上，∠B+∠BAD＝180°，∠1＝∠2．
求证：AB∥CD．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：
∵∠B+∠BAD＝180°（已知），∠1+∠BAD＝180°，
∴∠1＝ ∠B ，
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝ ∠B （ 等量代换 ），
∴AB∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据“同角的补角相等”得出∠1＝∠B，等量代换得出∠2＝∠B，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解．
【解答】证明：∵∠B+∠BAD＝180°（已知），∠1+∠BAD＝180°，
∴∠1＝∠B，
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠B（等量代换），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：∠B；∠B；等量代换；同位角相等，两直线平行．
17．如图，直线a，b被直线c所截，∠1＝50°，请你再添加一个条件，可以说明直线a与b平行，并说明理由．
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【解答】解：添加∠4＝50°（添加条件不唯一），可以说明直线a与b平行，
∵∠1＝50°，∠4＝50°，
∴∠1＝∠4，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）．
18．如图所示，直线AF，BD相交于点C，过点C作射线CE，使得CD平分∠ECF，连接AB，若∠B＝∠ACB，试说明AB∥CE．
【分析】根据角平分线定义得出∠ECD＝∠DCF，根据对顶角相等得出∠ACB＝∠DCF，结合已知条件∠B＝∠ACB，等量代换得出∠B＝∠ECD，然后根据同位角相等，两直线平行即可证明AB∥CE．
【解答】证明：∵CD平分∠ECF，
∴∠ECD＝∠DCF，
∵∠ACB＝∠DCF，∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠ECD，
∴AB∥CE．
19．如图，已知∠A＝∠C，∠1与∠2互补，求证：AB∥CD．
【分析】首先由∠1、∠2互补，可判定AD、BC平行，即可得∠A、∠ABC互补，通过等量代换，可求得∠ABC、∠C互补，即可判定AB∥CD．
【解答】证明：∵∠1与∠2互补，即∠1+∠2＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠C+∠ABC＝180°，
∴AB∥CD．
20．如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，并且∠1＝∠2，说出图中哪些直线平行，并说明理由．
【分析】首先根据角平分线的性质可得∠1＝∠GPQ＝APQ，∠2＝∠PQH＝∠EQD，根据条件∠1＝∠2，可得∠GPQ＝∠PQH，∠APQ＝∠PQD，根据内错角相等两直线平行可证明AB∥CD，PG∥QH．
【解答】解：AB∥CD，PG∥QH，
理由：∵PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，
∴∠1＝∠GPQ＝APQ，∠2＝∠PQH＝∠EQD，
∵∠1＝∠2，
∴∠GPQ＝∠PQH，∠APQ＝∠PQD，
∴AB∥CD，PG∥QH．
课程标准
学习目标
①平行的判定方法
掌握同位角相等判定两直线平行，内错角相等判定两直线平行，同旁内角互补判定两直线平行，并能够熟练选择判定方法。
能够利用平行公理的推论以及垂直于同一直线的两直线平行判定两直线平行。
课程标准
学习目标
①平行的判定方法
掌握同位角相等判定两直线平行，内错角相等判定两直线平行，同旁内角互补判定两直线平行，并能够熟练选择判定方法。
能够利用平行公理的推论以及垂直于同一直线的两直线平行判定两直线平行。