人教版七年级数学下册同步练习第06讲实数的运算专题集训(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册同步练习第06讲实数的运算专题集训(原卷版+解析)，共18页。试卷主要包含了在实数范围内定义运算“⊗”，用“☆”定义一种新运算，计算等内容，欢迎下载使用。

1．在实数范围内定义运算“⊗”：a⊗b＝2a﹣b，例如：3⊗2＝2×3﹣2＝4．若代数式1﹣4b+2a的值是17，则b⊗a的值为（ ）
A．2B．4C．8D．﹣8
2．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：ab＝ab﹣2a．如：15＝1×5﹣2×1＝3，则不等式3x≥x﹣2的解集为是（ ）
A．x＞2B．x≥2C．x＞﹣2D．x≥﹣2
3．若2023的两个平方根是m和n，则m+2mn+n的值是（ ）
A．0B．2023C．﹣4046D．4046
4．设x，y是有理数，且x，y满足等式，则的平方根是（ ）
A．±1B．±2C．±3D．±4
二．填空题
5．用“☆”定义一种新运算：对于任意实数a，b，都有a☆b＝2a﹣3b+1．
例如：2☆1＝2×2﹣3×1+1．若x☆（﹣3）＝2，则x＝ ．
6．计算：＝ ．
7．在实数的原有运算法则中我们定义一个新运算“Δ”如下：当x≤y时，xΔy＝；当x＞y时，xΔy＝y，则[﹣9Δ（﹣3）]×[4Δ（﹣3）]的值为 ．
8．对于实数a，b定义运算“※”如下：a※b＝ab2+2ab，例如1※2＝1×22+2×1×2＝8，则方程1※x＝﹣1的解为 ．
9．＝ ．
10．计算：|﹣5|+（﹣2）2+﹣1＝ ．
11．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简﹣|a+b|++|b+c|﹣＝ ．
12．用“☆”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有a☆b＝b2+1．例如：7☆4＝42+1＝17，那么5☆3＝ ；当m为有理数时，m☆（m☆2）＝ ．
三．解答题（共19小题）
13．（1）； （2）．
14．计算：
（1）﹣2+（﹣8）﹣3+8； （2）﹣5+6÷（﹣2）×+|﹣4|；
（3）； （4）﹣22+23÷﹣．
15．规定两个非零数a，b之间的一种运算，记作a⊗b：如果ak＝b，那么a⊗b＝k．
例如：因为23＝8，所以2⊗8＝3；因为（﹣3）2＝9，所以（﹣3）⊗9＝2．
根据上述规定，解答下列问题：
（1）填空：4⊗16＝ ，3⊗27＝ ；
（2）求证：对任意不等于零的实数p，m，n，总有p⊗m﹣p⊗成立．
16．实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为，求代数式x2+（a+b）cdx+的值．
17．计算：．
18．计算：．
19．计算：．
20．计算：．
21．对于任意实数a、b，用“※”定义新运算如下：
（1）a※b＝b2+a．如7※4＝42+7＝23．已知2※m的结果是6，求m的值．
（2）a※b＝b3+a．如7※4＝43+7＝71．已知4※（n﹣2）结果为﹣508，求n的值．
22．计算：|﹣3|．
23．计算题
（1）|
（2）（﹣2）3×
24．计算：
（1）﹣22+|﹣2|+； （2）+1．
25．（1）计算：；
（2）已知5x+19的立方根是4，2y﹣3的算术平方根是3，求的平方根．
26．计算：．
27．计算：
（1）4﹣（﹣8）+（﹣6）； （2）；
（3）﹣； （4）．
28．计算：+﹣．
29．计算：
（1）； （2）．
30．（1）计算：；
（2）已知a2＝16，，且ab＜0，求a+b的算术平方根．
31．已知x，y为实数，现规定一种新运算※，满足x※y＝xy+x+y+1．
（1）求﹣2※4的值；
（2）任意选择两个实数x，y，分别计算x※y和y※x，并比较两个运算结果，初步判断此运算是否满足交换律？
（3）对于实数a＝2、b＝﹣1、，这种运算※是否满足结合律（a※b）※c＝a※（b※c），请通过计算判断．
第05讲 实数的运算专题集训
一．选择题
1．在实数范围内定义运算“⊗”：a⊗b＝2a﹣b，例如：3⊗2＝2×3﹣2＝4．若代数式1﹣4b+2a的值是17，则b⊗a的值为（ ）
A．2B．4C．8D．﹣8
【分析】首先根据a⊗b＝2a﹣b，可得：b⊗a＝2b﹣a；然后根据1﹣4b+2a＝17，求出2b﹣a的值即可．
【解答】解：∵a⊗b＝2a﹣b，
∴b⊗a＝2b﹣a，
∵代数式1﹣4b+2a的值是17，
∴1﹣4b+2a＝17，
∴4b﹣2a＝1﹣17＝﹣16，
∴2b﹣a＝﹣8，
∴b⊗a＝2b﹣a＝﹣8．
故选：D．
2．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：ab＝ab﹣2a．如：15＝1×5﹣2×1＝3，则不等式3x≥x﹣2的解集为是（ ）
A．x＞2B．x≥2C．x＞﹣2D．x≥﹣2
【分析】根据运算定义列出算式，再解一元一次不等式．
【解答】解：由题意得，3x﹣2×3≥x﹣2，
解得x≥2，
故选：B．
3．若2023的两个平方根是m和n，则m+2mn+n的值是（ ）
A．0B．2023C．﹣4046D．4046
【分析】根据平方根的意义可得m+n＝0，mn＝﹣2023，然后代入式子进行计算即可得到答案．
【解答】解：∵2023的两个平方根是m和n，
∴m+n＝0，mn＝﹣2023，
∴m+2mn+n＝m+n+2mn＝0+2×（﹣2023）＝﹣4046，
故选：C．
4．设x，y是有理数，且x，y满足等式，则的平方根是（ ）
A．±1B．±2C．±3D．±4
【分析】根据合并同类项法则列出关于x与y的方程组，求解方程组得到x＝25，y＝﹣4，代入计算即可求出的平方根．
【解答】解：x，y是有理数，且x，y满足等式，
∴，
解得：，
∴，
∴的平方根是±1，
故选：A．
二．填空题
5．用“☆”定义一种新运算：对于任意实数a，b，都有a☆b＝2a﹣3b+1．
例如：2☆1＝2×2﹣3×1+1．若x☆（﹣3）＝2，则x＝ ﹣4 ．
【分析】直接利用已知得出关于x的方程，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：x☆（﹣3）＝2＝2x﹣3×（﹣3）+1＝2x+10，
解得：x＝﹣4．
故答案为：﹣4．
6．计算：＝ 2023 ．
【分析】根据有理数的乘方，二次根式的性质，化简绝对值进行计算即可求解．
【解答】解：＝﹣1+2+2022＝2023．
故答案为：2023．
7．在实数的原有运算法则中我们定义一个新运算“Δ”如下：当x≤y时，xΔy＝；当x＞y时，xΔy＝y，则[﹣9Δ（﹣3）]×[4Δ（﹣3）]的值为 ﹣9 ．
【分析】根据新运算列式计算即可．
【解答】解：∵﹣9＜﹣3，4＞﹣3，
∴原式＝×（﹣3）
＝3×（﹣3）
＝﹣9，
故答案为：﹣9．
8．对于实数a，b定义运算“※”如下：a※b＝ab2+2ab，例如1※2＝1×22+2×1×2＝8，则方程1※x＝﹣1的解为 ﹣1 ．
【分析】此题主要考查了定义新运算，以及实数的运算，根据a※b＝ab2+2ab，由1※x＝﹣1，可得：x2+2x＝﹣1，据此求出x的值为多少即可．
【解答】解：∵a※b＝ab2+2ab，
由1※x＝﹣1，得：x2+2x＝﹣1，即x2+2x+1＝0，
∴（x+1）2＝0，
解得：x＝﹣1，
故答案为：﹣1．
9．＝ ．
【分析】先计算9的算术平方根、（﹣1）2009，再化简绝对值，最后加减，即可求解．
【解答】解：原式＝
＝，
故答案为：．
10．计算：|﹣5|+（﹣2）2+﹣1＝ 3 ．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：|﹣5|+（﹣2）2+﹣1
＝5+4+（﹣3）﹣2﹣1
＝9﹣3﹣2﹣1
＝3，
故答案为：3．
11．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简﹣|a+b|++|b+c|﹣＝ b+2c﹣a ．
【分析】利用数轴知识分析a、b、c的取值，再根据算术平方根的定义，绝对值的定义，立方根的定义计算即可．
【解答】解：由图可知a＜0，b＜0，c＞0，|a|＞|c|，|a|＞|b|，|c|＞|b|，
∴﹣|a+b|++|b+c|﹣
＝﹣a﹣（﹣a﹣b）+（c﹣a）+（b+c）﹣b
＝﹣a+a+b+c﹣a+b+c﹣b
＝b+2c﹣a．
故答案为：b+2c﹣a．
12．用“☆”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有a☆b＝b2+1．例如：7☆4＝42+1＝17，那么5☆3＝ 10 ；当m为有理数时，m☆（m☆2）＝ 26 ．
【分析】根据新运算列式计算即可．
【解答】解：5☆3
＝32+1
＝9+1
＝10；
m☆（m☆2）
＝m☆（22+1）
＝m☆5
＝52+1
＝26；
故答案为：10；26．
三．解答题（共19小题）
13．（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用乘法分配律计算得出答案；
（2）直接利用立方根的性质以及二次根式的性质、有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣24×﹣（﹣24）×+（﹣24）×
＝﹣12+4﹣3
＝﹣11；
（2）原式＝﹣16﹣6+6××2
＝﹣16﹣6+18
＝﹣4．
14．计算：
（1）﹣2+（﹣8）﹣3+8；
（2）﹣5+6÷（﹣2）×+|﹣4|；
（3）；
（4）﹣22+23÷﹣．
【分析】（1）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案；
（3）直接利用乘法分配律计算得出答案；
（4）直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）﹣2+（﹣8）﹣3+8
＝（﹣2﹣8﹣3）+8
＝﹣13+8
＝﹣5；
（2）|﹣4|
＝﹣5﹣3×+4
＝﹣5﹣1+4
＝﹣2；
（3）
＝×（﹣20）﹣×（﹣20）+×（﹣20）
＝﹣16+15﹣10
＝﹣11；
（4）﹣22+23÷﹣
＝﹣4+8×2+3
＝﹣4+16+3
＝15．
15．规定两个非零数a，b之间的一种运算，记作a⊗b：如果ak＝b，那么a⊗b＝k．
例如：因为23＝8，所以2⊗8＝3；因为（﹣3）2＝9，所以（﹣3）⊗9＝2．
根据上述规定，解答下列问题：
（1）填空：4⊗16＝ 2 ，3⊗27＝ 3 ；
（2）求证：对任意不等于零的实数p，m，n，总有p⊗m﹣p⊗成立．
【分析】（1）由42＝16得出4⊗16＝2；由33＝27得出3⊗27＝3；
（2）设p⊗m＝a，p⊗n＝b，则有p⊗m﹣p⊗n＝a﹣b，从而求出的值，根据题中给出的规定即可得出，从而问题得证．
【解答】（1）解：因为42＝16，所以4⊗16＝2；
因为33＝27，所以3⊗27＝3；
故答案为：2，3；
（2）证明：设p⊗m＝a，p⊗n＝b，
则p⊗m﹣p⊗n＝a﹣b，
依题意有，pa＝m，pb＝n，
∴，
根据规定即有：，
．
16．实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为，求代数式x2+（a+b）cdx+的值．
【分析】根据相反数的性质及倒数的定义可得a+b＝0，cd＝1，根据已知条件可得x2＝7，然后将其代入代数式中计算即可．
【解答】解：∵实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为，
∴a+b＝0，cd＝1，x2＝7，
原式＝7+0+0+1＝8．
17．计算：．
【分析】根据平方根与立方根的定义得到原式＝5﹣（﹣2）+2×，再进行乘法运算，然后进行实数的加法运算即可．
【解答】解：原式＝5﹣（﹣2）+2×
＝5+2+1
＝8．
18．计算：．
【分析】根据有理数的乘方，有理数的算术平方根计算即可．
【解答】解：
＝
＝．
19．计算：．
【分析】先计算算术平方根和立方根，再去绝对值，最后计算加减法即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝3．
20．计算：．
【分析】根据算术平方根的定义，绝对值的意义，有理数乘方运算，立方根的定义进行计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝．
21．对于任意实数a、b，用“※”定义新运算如下：
（1）a※b＝b2+a．如7※4＝42+7＝23．已知2※m的结果是6，求m的值．
（2）a※b＝b3+a．如7※4＝43+7＝71．已知4※（n﹣2）结果为﹣508，求n的值．
【分析】（1）根据题目所给新定义的运算法则，得出m2+2＝6，根据平方根的定义即可求解；
（2）根据题目所给新定义的运算法则，得出（n﹣2）3+4＝﹣508，根据立方根的定义即可求解．
【解答】解：（1）由题意，得2※m＝m2+2，
∵2※m＝6，
∴m2+2＝6，则m2＝4，
∴m＝±2；
（2）由题意，得4※（n﹣2）＝（n﹣2）3+4，
∵4※（n﹣2）＝﹣508，
∴（n﹣2）3+4＝﹣508，则（n﹣2）3＝﹣512，
∴n﹣2＝﹣8，
∴n＝﹣6．
22．计算：|﹣3|．
【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：
＝3+（﹣4）÷4﹣3
＝3﹣1﹣3
＝﹣1．
23．计算题
（1）|
（2）（﹣2）3×
【分析】（1）根据算术平方根、乘方、立方根、绝对值的意义进行计算即可；
（2）根据立方、算术平方根、立方根的意义化简后，再进行有理数混合运算即可．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝﹣8×4+4﹣3
＝﹣32+4﹣3
＝﹣31．
24．计算：
（1）﹣22+|﹣2|+；
（2）+1．
【分析】（1）利用有理数 的乘方法则，绝对值的意义，立方根的意义和二次根式的性质化简运算即可；
（2）利用二次根式的性质，立方根的意义化简运算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣4+2﹣3+2
＝﹣（4+3）+（2+2）
＝﹣7+4
＝﹣3；
（2）原式＝3﹣4+1
＝﹣1+1
＝0．
25．（1）计算：；
（2）已知5x+19的立方根是4，2y﹣3的算术平方根是3，求的平方根．
【分析】（1）根据二次根式的性质化简即可；
（2）根据立方根，算术平方根的定义求解．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）∵5x+19的立方根是4，
∴5x+19＝43＝64，
∴x＝9，
∵2y﹣3的算术平方根是3，
∴2y﹣3＝32＝9，
∴y＝6，
∴，
∵，
∴的平方根为：±5．
26．计算：．
【分析】先计算算术平方根和立方根、去绝对值符号，再计算加减可得．
【解答】解：原式＝9﹣3+2﹣（﹣2）
＝9﹣3+2﹣+2
＝10﹣
27．计算：
（1）4﹣（﹣8）+（﹣6）；
（2）；
（3）﹣；
（4）．
【分析】（1）先变有理数的加减运算为加法运算，再进行求解；
（2）先计算有理数的乘除法，再计算加减运算；
（3）先计算立方、变除法为乘法，再运用乘法分配律计算乘法，最后计算加减；
（4）先计算绝对值、算术平方根和立方根，再计算加法．
【解答】解：（1）4﹣（﹣8）+（﹣6）
＝4+8﹣6
＝6；
（2）
＝17﹣4×5﹣1×
＝17﹣20﹣
＝﹣3；
（3）﹣
＝﹣8+（﹣+）×24
＝﹣8+×24﹣×24+×24
＝﹣8+8﹣20+18
＝﹣2；
（4）
＝2﹣﹣2﹣4
＝﹣4﹣．
28．计算：+﹣．
【分析】原式利用平方根，立方根定义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝3﹣2﹣＝．
29．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用平方根以及立方根的性质化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案；
（2）利用平方和绝对值的性质化简，结合实数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣2+5+2＝5，
（2）原式＝
＝．
30．（1）计算：；
（2）已知a2＝16，，且ab＜0，求a+b的算术平方根．
【分析】（1）本题考查了立方根，平方根的定义．
（2）本题考查了立方根，平方根和算术平方根的定义．
【解答】解：（1）
＝3+（﹣2）﹣2
＝﹣1；
（2）由题意得：a＝±4，b＝8，
∵ab＜0，
∴a＝﹣4，b＝8．
∴a+b的算术平方根为．
31．已知x，y为实数，现规定一种新运算※，满足x※y＝xy+x+y+1．
（1）求﹣2※4的值；
（2）任意选择两个实数x，y，分别计算x※y和y※x，并比较两个运算结果，初步判断此运算是否满足交换律？
（3）对于实数a＝2、b＝﹣1、，这种运算※是否满足结合律（a※b）※c＝a※（b※c），请通过计算判断．
【分析】（1）根据新运算，求值．
（2）选两个实数，运算两次．比较结果，做出判断．
（3）分步计算求出（a※b）※c和a※（b※c）的值，做出判断．
【解答】解：（1）﹣2※4＝（﹣2）×4+（﹣2）+4+1＝﹣5．
（2）此运算满足交换律．
x＝1，y＝2，
∵x※y＝xy+x+y+1＝1×2+1+2+1＝6．
y※x＝yx+y+x+1＝2×1+2+1+1＝6．
∴x※y＝y※x．
∴此运算满足交换律．
（3）这种运算※不满足结合律．
a＝2、b＝﹣1、，
∵（a※b）※c＝[2×（﹣1）+2+（﹣1）+1]※
＝0※
＝0×+0++1
＝+1．
a※（b※c）
＝a※（﹣1×﹣1++1）
＝2※0
＝2×0+2+0+1
＝3．
∵+1≠3．
∴这种运算※不满足结合律．