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人教版七年级数学下册同步练习专题01平行线间的拐点问题(原卷版+解析)
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这是一份人教版七年级数学下册同步练习专题01平行线间的拐点问题(原卷版+解析)，共37页。
类型三：“鹰嘴”模型
平行线间的拐点问题均过拐点作平行线的平行线，有多少个拐点就作多少条平行线。
一．选择题
1．（2023•新城区校级一模）如图，直线m∥n，含有45°角的三角板的直角顶点O在直线m上，点A在直线n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．15°B．25°C．35°D．45°
2．（2023•海南）如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，点C在直线n上．若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．60°B．50°C．45°D．40°
3．（2023秋•渝中区校级期中）如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠EFD＝32°，则∠BGE的度数是（ ）
A．62°B．58°C．52°D．48°
4．（2022秋•杜尔伯特县期末）如图，已知AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABF和∠CDF，且交于点E，则（ ）
A．∠E＝∠FB．∠E+∠F＝180°
C．2∠E+∠F＝360°D．2∠E﹣∠F＝180°
5．（2022秋•榆树市期末）如图，AB∥CD，则图中∠1、∠2、∠3关系一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2+∠3＝360°
C．∠1+∠3＝2∠2D．∠1+∠3＝∠2
6．（2023秋•湖北月考）将含有30°角的直角三角板在两条平行线中按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2为（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
二．填空题
7．（2023•江油市开学）如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，则∠1＝ ．
8．（2023秋•南岗区校级期中）如图，已知DE∥BC，∠ABC＝105°，点F在射线BA上，且∠EDF＝125°，则∠DFB的度数为 ．
9．（2023秋•道里区校级期中）为增强学生体质，望一观音湖学校将“跳绳”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学跳绳时的一个瞬间．数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，则∠AEC＝ ．
10．（2022秋•雅安期末）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝60°，则∠E＝ ．
11．（2023秋•南岗区校级期中）已知：如图，AB∥CD，∠ABG的平分线与∠CDE的平分线交于点M，∠M＝45°，∠F＝64°，∠E＝66°，则∠G＝ °．
三．解答题
12．（2022秋•宝丰县期末）已知直线MN、PQ，点A、B为分别在直线MN、PQ上，点C为平面内一点，连接AC、BC，且∠C＝∠NAC+∠CBQ．
（1）求证：MN∥PQ；
（2）如图2，射线AE、BD分别平分∠MAC和∠CBQ，AE交直线PQ于点E，BD与∠NAC内部的一条射线AD交于点D，若∠C＝2∠D，求∠EAD的度数．
13．（2022秋•莘县期末）综合与实践
如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．
（1）当所放位置如图①所示时，∠PFD与∠AEM的数量关系是 ∠PFD+∠AEM＝90° ；
（2）当所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，求∠N的度数．
14．（2022秋•洛宁县期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝50°+60°＝110°．
问题迁移：
（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
15．（2023春•鼎城区期末）已知直线AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．
问题提出：（1）如图1，∠A＝120°，∠C＝130°，求∠APC的度数；
问题迁移：（2）如图2，写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由；
问题应用：（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝20°，∠PAB＝150°，求∠PEH的度数．
16．（2023秋•南岗区校级期中）已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H，点P为直线EF上的点，连接AP，CP．
（1）如图1，点P在线段GH上时，请你直接写出∠BAP，∠DCP，∠APC的数量关系；
（2）如图2，点P在HG的延长线上时，连接CP交AB于点Q，连接HQ，AC，若∠ACP+∠PHQ＝∠CQH，求证：AC∥EF；
（3）在（2）的条件下，如图3，CK平分∠ACP，GK平分∠AGP，GK与CK交点K，连接AK，若∠PQH＝4∠PCK+2∠PHQ，∠CKG＝∠CHQ，∠AKC+∠KAC＝159°，求∠BAC的大小．
17．（2023秋•道里区校级期中）已知：直线AB与直线CD内部有一个点P，连接BP．
（1）如图1，当点E在直线CD上，连接PE，若∠B+∠PEC＝∠P，求证：AB∥CD；
（2）如图2，当点E在直线AB与直线CD的内部，点H在直线CD上，连接EH，若∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，求证：AB∥CD；
（3）如图3，在（2）的条件下，BG、EF分别是∠ABP、∠PEH的角平分线，BG和EF相交于点G，EF和直线AB相交于点F，当BP⊥PE时，若∠BFG＝∠EHD+10°，∠BGE＝36°，求∠EHD的度数．
18．（2023秋•南岗区校级期中）已知，过∠ECF内一点A作AD∥/EC交CF于点D，作AB∥/CF交CE于点B．
（1）如图1，求证：∠ABE＝∠ADF；
（2）如图2，射线BM，射线DN分别平分∠ABE和∠ADF，求证：BM∥DN；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G，Q在线段DF上，连接AG，AQ，AC，AQ与DN交于点H，反向延长AQ交BM于点P，如果∠GAC＝∠GCA，AQ平分∠GAD，∠QAC＝50°，求∠MPA+∠PQF的度数．
19．（2023秋•南岗区校级期中）已知，射线FG分别交射线AB、DC于点F、G，点E为射线FG上一点．
（1）如图1，若∠A+∠D＝∠AED，求证：AB∥CD．
（2）如图2，若AB∥CD，求证：∠A﹣∠D＝∠AED．
（3）如图3，在（2）的条件下，DI交AI于点Ⅰ，交AE于点K，∠EDI＝∠CDE，∠BAI＝∠EAI，∠I＝∠AED＝25°，求∠EKD的度数．
20．（2023春•栾城区校级期中）【问题解决】：
如图①，AB∥CD，点E是AB，CD内部一点，连接BE，DE．若∠ABE＝40°，∠CDE＝60°，求∠BED的度数；嘉琪想到了如图②所示的方法，请你帮她将完整的求解过程补充完整；
解：过点E作EF∥AB
∴∠ABE＝∠BEF（ ）；
∵EF∥AB，AB∥CD（已知）；
∴EF∥CD（ ）；
∴∠CDE＝（ ）（ ）；
又∵∠BED＝∠BEF+∠DEF（ ）；
∴∠BED＝∠ABE+∠CDE（ ）；
∵∠ABE＝40°，∠CDE＝60°（已知）；
∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝100°（等量代换）；
【问题迁移】：
请参考嘉琪的解题思路，解答下面的问题：
如图③，AB∥CD，射线OM与直线AB，CD分别交于点A，C，射线ON与直线AB，CD分别交于点B，D，点P在射线ON上运动，连接AP，CP，设∠BAP＝α，∠DCP＝β．
（1）如图③，当点P在B，D两点之间运动时（点P不与点B，D重合），写出α，和∠APC之间满足的数量关系，并说明理由；
（2）当点P在B，D两点外侧运动时（点P不与点B，D重合），请画出图形，并直接写出α，β和∠APC之间满足的数量关系．
专题01 平行线间的拐点问题
类型一：“猪蹄”模型
类型二：“铅笔”模型
类型三：“鹰嘴”模型
平行线间的拐点问题均过拐点作平行线的平行线，有多少个拐点就作多少条平行线。
一．选择题
1．（2023•新城区校级一模）如图，直线m∥n，含有45°角的三角板的直角顶点O在直线m上，点A在直线n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．15°B．25°C．35°D．45°
【分析】过B作BK∥m，推出BK∥n，由平行线的性质得到∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，求出∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝25°，即可得到∠2＝25°．
【解答】解：过B作BK∥m，
∵m∥n，
∴BK∥n，
∴∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，
∵∠ABO＝45°，
∴∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝45°﹣20°＝25°，
∴∠2＝∠ABK＝25°．
故选：B．
2．（2023•海南）如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，点C在直线n上．若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．60°B．50°C．45°D．40°
【分析】根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BDC，然后直角三角形的性质，即可求得∠2的度数．
【解答】解：延长AB交直线n于点D，
∵m∥n，∠1＝50°，
∴∠1＝∠BDC＝50°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠BDC＝90°﹣50°＝40°，
故选：D．
3．（2023秋•渝中区校级期中）如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠EFD＝32°，则∠BGE的度数是（ ）
A．62°B．58°C．52°D．48°
【分析】过点E作AB的平行线HI，利用平行线的性质即可求解．
【解答】解：过点E作直线HI∥AB．
∵AB∥CD，AB∥HI，∠EFD＝32°，
∴CD∥HI，
∴∠HEF＝∠EFD＝32°，
∵GE⊥EF于点E，
∴∠GEF＝90°，
∴∠GEH＝∠GEF﹣∠HEF＝90°﹣32°＝58°，
∵AB∥HI，
∴∠BGE＝∠GEH＝58°．
故选：B．
4．（2022秋•杜尔伯特县期末）如图，已知AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABF和∠CDF，且交于点E，则（ ）
A．∠E＝∠FB．∠E+∠F＝180°
C．2∠E+∠F＝360°D．2∠E﹣∠F＝180°
【分析】过点E作EM∥AB，利用平行线的性质可证得∠BED＝（∠ABF+∠CDF），可以得到∠BED与∠BFD的关系．
【解答】解：过点E作EM∥AB，如图：
∵AB∥CD，EM∥AB
∴CD∥EM，
∴∠ABE＝∠BEM，∠CDE＝∠DEM，
∵∠ABF的平分线与∠CDF的平分线相交于点E，
∴∠ABE＝∠ABF，∠CDE＝∠CDF，
∴∠BED＝∠BEM+∠DEM＝（∠ABF+∠CDF），
∵∠ABF+∠BFD+∠CDF＝360°，
∴∠ABF+∠CDF＝360°﹣∠BFD，
∴∠BED＝（360°﹣∠BFD），
整理得：2∠BED+∠BFD＝360°．
故选：C．
5．（2022秋•榆树市期末）如图，AB∥CD，则图中∠1、∠2、∠3关系一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2+∠3＝360°
C．∠1+∠3＝2∠2D．∠1+∠3＝∠2
【分析】首先过点E作EF∥AB，由AB∥CD，可得EF∥AB∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，继而可得∠1+∠3＝∠2．
【解答】解：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，
∵∠2＝∠AEF+∠CEF＝∠1+∠3．
故选：D．
6．（2023秋•湖北月考）将含有30°角的直角三角板在两条平行线中按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2为（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
【分析】过A作AB∥l1，得到AB∥l2，推出∠3＝∠1＝120°，∠2＝∠BAC，即可求出∠2＝∠3+∠4＝30°+120°＝150°．
【解答】解：过A作AB∥l1，
∵l1∥l2，
∴AB∥l2，
∴∠3＝∠1＝120°，∠2＝∠BAC，
∴∠2＝∠3+∠4＝30°+120°＝150°．
故选：D．
二．填空题
7．（2023•江油市开学）如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，则∠1＝ 30° ．
【分析】过P作PQ∥AB，得到PQ∥CD，推出∠CPQ＝∠2＝28°，∠BPQ＝∠1，求出∠BPQ＝∠BPC﹣∠CPQ＝30°，即可得到∠1的度数．．
【解答】解：过P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠CPQ＝∠2＝28°，∠BPQ＝∠1，
∵∠BPQ＝∠BPC﹣∠CPQ＝58°﹣28°＝30°，
∴∠1＝30°．
故答案为：30°．
8．（2023秋•南岗区校级期中）如图，已知DE∥BC，∠ABC＝105°，点F在射线BA上，且∠EDF＝125°，则∠DFB的度数为 20° ．
【分析】过F作FM∥DE，推出FM∥BC，得到∠ABC+∠MFB＝180°，∠D+∠MFD＝180°，求出∠MFB＝75°，∠MFD＝55°，即可得到∠DFB＝∠MFB﹣∠MFD＝20°．
【解答】解：过F作FM∥DE，
∵DE∥BC，
∴FM∥BC，
∴∠ABC+∠MFB＝180°，∠D+∠MFD＝180°，
∵∠ABC＝105°，∠EDF＝125°，
∴∠MFB＝75°，∠MFD＝55°，
∴∠DFB＝∠MFB﹣∠MFD＝20°．
故答案为：20°．
9．（2023秋•道里区校级期中）为增强学生体质，望一观音湖学校将“跳绳”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学跳绳时的一个瞬间．数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，则∠AEC＝ 35° ．
【分析】过E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，利用平行线的性质求得∠FEA＝110°，∠FEC＝75°，进而可求解．
【解答】解：过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠EAB+∠FEA＝180°，∠ECD+∠FEC＝180°，
∵∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，
∴∠FEA＝110°，∠FEC＝75°，
∴∠AEC＝∠FEA﹣∠FEC＝35°，
故答案为：35°．
10．（2022秋•雅安期末）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝60°，则∠E＝ 100° ．
【分析】过F作FH∥AB，依据平行线的性质，可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，根据四边形内角和以及∠E﹣∠F＝60°，即可得到∠E的度数．
【解答】解：如图，过F作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴FH∥AB∥CD，
∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，
∴可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，
∴∠ECF＝180°﹣β，∠BFC＝∠BFH﹣∠CFH＝α﹣β，
∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC＝360°﹣α﹣（180°﹣β）＝180°﹣（α﹣β）＝180°﹣∠BFC，
即∠E+2∠BFC＝180°，①
又∵∠E﹣∠BFC＝60°，
∴∠BFC＝∠E﹣60°，②
∴由①②可得，∠E+2（∠E﹣60°）＝180°，
解得∠E＝100°，
故答案为：100°．
11．（2023秋•南岗区校级期中）已知：如图，AB∥CD，∠ABG的平分线与∠CDE的平分线交于点M，∠M＝45°，∠F＝64°，∠E＝66°，则∠G＝ 88° °．
【分析】过点G，F、E、M分别作GH∥AB，FQ∥AB，EP∥AB，MN∥AB，根据平行线的传递性得出AB∥CD∥GH∥FQ∥EP∥MN，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解；
【解答】解：过点G、F、E、M分别作GH∥AB，FQ∥AB，EP∥AB，MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GH∥FQ∥EP∥MN，
∴∠BNN＝∠1，∠NMD＝∠4，
∵BM平分∠ABG，MD平分∠CDE，
∴，
∵∠BMD＝45°，
∴2∠1+2∠3＝90°，
∴∠5＝2∠1，∠10＝2∠3，∠6＝∠7，∠8＝∠9，
∴∠GFE＝∠7+∠8＝∠6+∠9＝64°，
∠FED＝∠9+∠D＝∠9+2∠3＝66°，
∴2∠3﹣∠6＝2°，
∴2∠1+∠6＝90°﹣2°＝88°，
∴∠BGF＝∠5+∠6＝2∠1+∠6＝88°．
故答案为：88°．
三．解答题
12．（2022秋•宝丰县期末）已知直线MN、PQ，点A、B为分别在直线MN、PQ上，点C为平面内一点，连接AC、BC，且∠C＝∠NAC+∠CBQ．
（1）求证：MN∥PQ；
（2）如图2，射线AE、BD分别平分∠MAC和∠CBQ，AE交直线PQ于点E，BD与∠NAC内部的一条射线AD交于点D，若∠C＝2∠D，求∠EAD的度数．
【分析】（1）过C作CS∥MN，由已知可以得到PQ∥CS，从而得到MN∥PQ；
（2）连接DC并延长交AE于点F，由已知可以得到∠DAC＝∠NAC，再由∠EAD＝∠EAC+∠CAD及平角的意义可以得到解答．
【解答】（1）证明：过C作CS∥MN，如图，
∵CS∥MN，
∴∠NAC＝∠ACS，
∵∠ACB＝∠ACS+∠BCS＝∠NAC+∠CBQ，
∴∠BCS＝∠CBQ，
∴PQ∥CS，
∴MN∥PQ；
（2）解：如图，连接DC并延长交AE于点F，则：
∠ACF＝∠DAC+∠ADC，∠BCF＝∠DBC+∠BDC，
∴∠ACB＝∠DAC+∠DBC+∠ADB＝2∠ADB，
∴∠ADB＝∠DAC+∠DBC，
∴2∠ADB＝2∠DAC+2∠DBC＝2∠DAC+∠QBC，
又∠ACB＝∠NAC+∠CBQ＝2∠ADB．
∴∠NAC+∠CBQ＝2∠DAC+∠QBC，即∠NAC＝2∠DAC，
∴∠DAC＝∠NAC，
∴∠EAD＝∠EAC+∠CAD
＝∠MAC+∠NAC
＝（∠MAC+∠NAC）
＝90°．
13．（2022秋•莘县期末）综合与实践
如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．
（1）当所放位置如图①所示时，∠PFD与∠AEM的数量关系是 ∠PFD+∠AEM＝90° ；
（2）当所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，求∠N的度数．
【分析】（1）作PH∥AB，根据平行线的性质得到∠AEM＝∠HPM，∠PFD＝∠HPN，根据∠MPN＝90°解答；
（2）根据平行线的性质得到∠PFD+∠BHN＝180°，根据∠P＝90°解答；
（3）根据平行线的性质、对顶角相等计算．
【解答】解：（1）如图①，作PH∥AB，
则∠AEM＝∠HPM，
∵AB∥CD，PH∥AB，
∴PH∥CD，
∴∠PFD＝∠HPN，
∵∠MPN＝90°，
∴∠PFD+∠AEM＝90°，
故答案为：∠PFD+∠AEM＝90°；
（2）猜想：∠PFD−∠AEM＝90°；
理由如下：如图②，
∵AB∥CD，
∴∠PFD+∠BHN＝180°，
∵∠BHN＝∠PHE，
∴∠PFD+∠PHE＝180°，
∵∠P＝90°，
∴∠PHE+∠PEB＝90°，
∵∠PEB＝∠AEM，
∴∠PHE+∠AEM＝90°，
∴∠PFD−∠AEM＝90°；
（3）如图②，∵∠P＝90°，∠PEB＝15°，
∴∠PHE＝∠P−∠PEB＝90°−15°＝75°，
∴∠BHF＝∠PHE＝75°，
∵AB∥CD，
∴∠DFH+∠BHF＝180°，
∴∠DFH＝180°−∠BHF＝105°，
∴∠OFN＝∠DFH＝105°，
∵∠DON＝20°，
∴∠N＝180°−∠DON−∠OFN＝55°．
14．（2022秋•洛宁县期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝50°+60°＝110°．
问题迁移：
（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
【分析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；
（2）化成图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．
【解答】（1）解：∠CPD＝∠α+∠β，
理由是：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（2）当P在BA延长线时，
∠CPD＝∠β﹣∠α；
当P在AB延长线时，
∠CPD＝∠α﹣∠β．
15．（2023春•鼎城区期末）已知直线AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．
问题提出：（1）如图1，∠A＝120°，∠C＝130°，求∠APC的度数；
问题迁移：（2）如图2，写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由；
问题应用：（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝20°，∠PAB＝150°，求∠PEH的度数．
【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠APQ＝60°，∠CPQ＝50°，最后可以求出∠APC＝110°；
（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可证得∠APC＝∠A﹣∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB﹣∠PCD，先证∠BEF＝∠PQB＝110°、∠PEG＝∠FEG，∠GEH＝∠BEG，根据∠PEH＝∠PEG﹣∠GEH可得答案．
【解答】解：（1）∠A+∠C+∠APC＝360°
如图1所示，过点P作PQ∥AB，
∴∠A+∠APQ＝180°，
∵∠A＝120°，
∴∠APQ＝180°﹣∠A＝180°﹣120°＝60°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C+∠CPQ＝180°，
∵∠C＝130°，
∴∠CPQ＝180°﹣∠C＝180°﹣130°＝50°，
∴∠APC＝∠APQ+∠CPQ＝60°+50°＝110°；
（2）∠APC＝∠A﹣∠C，理由如下：
如图2，作PQ∥AB，
∴∠A＝∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C＝∠CPQ，
∵∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ，
∴∠APC＝∠A﹣∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB﹣∠PCD，
∵∠APC＝20°，∠PAB＝150°，
∴∠PCD＝130°，
∵AB∥CD，
∴∠PQB＝∠PCD＝130°，
∵EF∥PC，
∴∠BEF＝∠PQB＝130°，
∵∠PEG＝∠PEF，
∴∠PEG＝∠FEG，
∵EH平分∠BEG，
∴∠GEH＝∠BEG，
∴∠PEH＝∠PEG﹣∠GEH
＝∠FEG﹣∠BEG
＝∠BEF
＝65°．
16．（2023秋•南岗区校级期中）已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H，点P为直线EF上的点，连接AP，CP．
（1）如图1，点P在线段GH上时，请你直接写出∠BAP，∠DCP，∠APC的数量关系；
（2）如图2，点P在HG的延长线上时，连接CP交AB于点Q，连接HQ，AC，若∠ACP+∠PHQ＝∠CQH，求证：AC∥EF；
（3）在（2）的条件下，如图3，CK平分∠ACP，GK平分∠AGP，GK与CK交点K，连接AK，若∠PQH＝4∠PCK+2∠PHQ，∠CKG＝∠CHQ，∠AKC+∠KAC＝159°，求∠BAC的大小．
【分析】（1）过P作PN∥AB，根据平行线的传递性得出PN∥CD，再根据两直线平行，内错角相等即可解答；
（2）过点Q作QN∥AC，证出∠PHQ＝∠2，根据平行线的传递性即可证明；
（3）根据三角形内角和即可算出∠1＝21°，再根据角平分线定义以及已知条件即可得出∠PQH＝4∠2+2∠5＝84°+2∠5，结合（2）即可解出∠5＝18°，过K作KM∥AC，证出∠CKG＝∠1+∠3＝21°+∠3，根据平行线性质得出∠EGA＝∠EHC，即可得∠3＝∠5°+21°＝18°+21°＝39°，即可求解；
【解答】解：（1）过P作PN∥AB，
∴∠BAP＝∠1，
∵AB∥CD，
∴PN∥CD，
∴∠DCP＝∠2，
∴∠APC＝∠1+∠2＝∠BAP+∠DCP；
（2）过点Q作QN∥AC，
∴∠ACP＝∠1，
∵∠ACP+∠PHQ＝∠CQH，
∠1+∠2＝∠CQH，
∴∠PHQ＝∠2，
∴QN∥EF，
∴AC∥EF；
（3）∵CK平分∠ACP，GK平分∠AGP，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠AKC+∠KAC＝159°，
∵∠1＝180°﹣159°＝21°，
∴∠PQH＝4∠PCK+2∠PHQ＝4∠2+2∠5＝84°+2∠5，
由（2）知∠ACP+∠PHQ＝∠CQH，
即42°+∠5＝180°﹣∠PQH，
∴180°﹣42°﹣∠5＝84°+2∠5，
∴∠5＝18°，
过K作KM∥AC，
∵AC∥EF，
∴KM∥AC∥EF，
∴∠CKM＝∠1，∠GKM＝∠3．
∴∠CKG＝∠1+∠3＝21°+∠3．
∵AB∥CD，∠CKG＝∠CHQ，
∴∠EGA＝∠EHC，
即2∠3＝∠5+∠CHQ＝∠5+∠CKG＝∠5+∠3+21°，
∴∠3＝∠5°+21°＝18°+21°＝39°，
∵AC∥EF，
∴∠BAC＝∠EGA＝2∠3＝78°．
17．（2023秋•道里区校级期中）已知：直线AB与直线CD内部有一个点P，连接BP．
（1）如图1，当点E在直线CD上，连接PE，若∠B+∠PEC＝∠P，求证：AB∥CD；
（2）如图2，当点E在直线AB与直线CD的内部，点H在直线CD上，连接EH，若∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，求证：AB∥CD；
（3）如图3，在（2）的条件下，BG、EF分别是∠ABP、∠PEH的角平分线，BG和EF相交于点G，EF和直线AB相交于点F，当BP⊥PE时，若∠BFG＝∠EHD+10°，∠BGE＝36°，求∠EHD的度数．
【分析】（1）过点P作PF∥AB，推出∠PEC＝∠EPF，进而得PF∥CD，根据平行公理的推论即可得证；
（2）分别过点P和点E作PF∥AB，EM∥CD，推出∠PEM＝∠FPE，进而得PF∥EM，根据平行公理的推论即可得证；
（3）过点E作EN∥AB，根据（1）（2）的思路证∠FEN+∠NEH＝∠BFE+∠EHD，设∠EHD＝α，∠PBG＝β，PEG＝γ，则∠BFG＝α+10°，结合角平分线的定义及（2）的条件得2β+2γ＝90°+α，接着分别用含α的式子代替β和γ，代入2β+2γ＝90°+α求出α的值即可．
【解答】解：（1）证明：过点P作PF∥AB，
∴∠B＝∠BPF，
∵∠B+∠PEC＝∠BPE＝∠BPF+∠EPF，
∴∠PEC＝∠EPF，
∴PF∥CD，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，分别过点P和点E作PF∥AB，EM∥CD，
∴∠ABP＝∠BPF，∠MEH＝∠EHD，
∵∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，即∠ABP+∠PEM+∠MEH＝∠BPF+∠FPE+∠EHD，
∴∠PEM＝∠FPE，
∴PF∥EM，
∴EM∥AB，
∴AB∥CD；
（3）如图3，过点E作EN∥AB，
由（2）得AB∥CD，
∴EN∥CD，
∠BFE＝∠FEN，∠NEH＝∠EHD，
∴∠FEH＝∠FEN+∠NEH＝∠BFE+∠EHD，
设∠EHD＝α，∠PBG＝β，PEG＝γ，则∠BFG＝α+10°，
∵BG、EF分别是∠ABP、∠PEH的角平分线，
∴∠ABP＝2β，∠PEH＝2γ，
∵BP⊥PE，
∴∠P＝90°，
由（2）得∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，
∴2β+2γ＝90°+α，
∵∠FEH＝∠FEN+∠NEH＝∠BFE+∠EHD，
∴γ＝α+10°+α＝2α+10°，
∵∠BGE＝36°，∠FGB＝180°﹣（∠BFG+∠FBG），∠FGB＝180°﹣∠BGE，
∴∠BFG+∠FBG＝∠BGE＝36°，
∴α+10°+β＝36°，
∴β＝26°﹣α，
∴2（26°﹣α）+2（2α+10°）＝90°+α，
∴α＝18°．
18．（2023秋•南岗区校级期中）已知，过∠ECF内一点A作AD∥/EC交CF于点D，作AB∥/CF交CE于点B．
（1）如图1，求证：∠ABE＝∠ADF；
（2）如图2，射线BM，射线DN分别平分∠ABE和∠ADF，求证：BM∥DN；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G，Q在线段DF上，连接AG，AQ，AC，AQ与DN交于点H，反向延长AQ交BM于点P，如果∠GAC＝∠GCA，AQ平分∠GAD，∠QAC＝50°，求∠MPA+∠PQF的度数．
【分析】（1）由平行线的性质得出∠A＝∠ABE，∠A＝∠ADF，即可得出结论；
（2）过点A作AG平分∠BAD，由角平分线定义得出∠DAG＝∠BAG＝∠BAD，∠ABM＝∠ABE，∠ADN＝∠ADF，证出∠ABM＝∠DAG＝∠BAG＝∠ADN，得出BM∥AG，DN∥AG，即可得出结论；
（3）设∠GAQ＝∠QAD＝x，则∠DAC＝50°﹣x，∠GAC＝50°+x＝∠GCA，得出∠BAD＝100°，∠BAQ＝100°+x，由平行线的性质得出∠BAC＝∠GCA＝50°+x，求出∠BAP＝180°﹣∠BAQ＝80°﹣x，过点P作PH∥AB，过点Q作QI∥AC，由平行线的性质得出∠MPH＝∠ABM＝50°，∠HPA＝∠PAB＝80°﹣x，∠QAC＝∠IQA＝50°，∠FQI＝∠FCA＝50°+x，求出∠MPA＝∠MPH+∠HPA＝50°+8°﹣x＝130°﹣x，∠PQF＝∠IQA+∠FQI＝50°+50°+x＝100°+x，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AD∥EC，AB∥CF，
∴∠A＝∠ABE，∠A＝∠ADF，
∴∠ABE＝∠ADF；
（2）证明：过点A作AG平分∠BAD，如图2所示：
则∠DAG＝∠BAG＝∠BAD，
∵射线BM，射线DN分别平分∠ABE和∠ADF，
∴∠ABM＝∠ABE，∠ADN＝∠ADF，
∵∠ABE＝∠ADF＝∠BAD，
∴∠ABM＝∠DAG＝∠BAG＝∠ADN，
∴BM∥AG，DN∥AG，
∴BM∥DN；
（3）解：∵AQ平分∠GAD，
∴∠GAQ＝∠QAD，
设∠GAQ＝∠QAD＝x，则∠DAC＝50°﹣x，∠GAC＝50°+x＝∠GCA，
∴∠BAD＝100°，
∴∠BAQ＝100°+x，
∵AB∥CF，
∴∠BAC＝∠GCA＝50°+x，
∵∠BAP+∠BAQ＝180°，
∴∠BAP＝180°﹣∠BAQ＝80°﹣x，
过点P作PH∥AB，过点Q作QI∥AC，如图3所示：
∵AD∥EC，
∴∠BAD＝∠ABE＝100°，∠ABM＝∠ABE＝50°，
∴∠MPH＝∠ABM＝50°，∠HPA＝∠PAB＝80°﹣x，∠QAC＝∠IQA＝50°，∠FQI＝∠FCA＝50°+x，
∴∠MPA＝∠MPH+∠HPA＝50°+80°﹣x＝130°﹣x，∠PQF＝∠IQA+∠FQI＝50°+50°+x＝100°+x，
∴∠MPA+∠PQF＝130°﹣x+100°+x＝230°．
19．（2023秋•南岗区校级期中）已知，射线FG分别交射线AB、DC于点F、G，点E为射线FG上一点．
（1）如图1，若∠A+∠D＝∠AED，求证：AB∥CD．
（2）如图2，若AB∥CD，求证：∠A﹣∠D＝∠AED．
（3）如图3，在（2）的条件下，DI交AI于点Ⅰ，交AE于点K，∠EDI＝∠CDE，∠BAI＝∠EAI，∠I＝∠AED＝25°，求∠EKD的度数．
【分析】（1）过点E作EH∥AB，证明∠A＝∠AEF，再根据已知条件证明∠D＝∠DEF，从而证明EF∥CD，最后根据平行公理的推论证明结论即可；
（2）先根据平行线的性质证明∠A＝∠EHG，再根据外角性质证明∠A＝∠D+∠AED，通过变换得出结论即可；
（3）设AE与CD交于点H，∠EAI＝x，把∠BAI和∠EAB都用x表示出来，然后根据已知条件，找出角与角之间的关系，最后得出∠CHE＝∠CDE+∠AED，列出关于x的方程，求出x，最后根据∠EKD＝∠AKI＝180°﹣∠EAI﹣∠I，求出答案即可．
【解答】（1）证明：如图所示：过点E作EH∥AB，
∴∠A＝∠AEF，
∵∠A+∠D＝∠AED，∠AED＝∠AEF+∠DEF，
∴∠D＝∠DEF，
∴EF∥CD，
∴AB∥CD；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠EHG，
∵∠EHG＝∠D+∠AED，
∴∠A＝∠D+∠AED，
∴∠A﹣∠D＝∠AED；
（3）解：设AE与CD交于点H，∠EAI＝x，则∠BAI＝，，
∵AB∥CD，
∴∠EHC＝∠EAB＝，
∵∠I＝∠AED＝25°，∠EKI＝∠EAI+∠I＝∠EDI+∠AED，
∴x+25°＝∠EDI+25°，
∴∠EDI＝x，
∵∠EDI＝∠CDE，
∴∠CDI＝，
∵∠CHE＝∠CDE+∠AED，
∴，
解得：x＝60°，
∴∠EKD＝∠AKI＝180°﹣∠EAI﹣∠I
＝180°﹣60°﹣25°
＝95°．
20．（2023春•栾城区校级期中）【问题解决】：
如图①，AB∥CD，点E是AB，CD内部一点，连接BE，DE．若∠ABE＝40°，∠CDE＝60°，求∠BED的度数；嘉琪想到了如图②所示的方法，请你帮她将完整的求解过程补充完整；
解：过点E作EF∥AB
∴∠ABE＝∠BEF（ 两直线平行，内错角相等 ）；
∵EF∥AB，AB∥CD（已知）；
∴EF∥CD（ 平行于同一条直线的两直线平行 ）；
∴∠CDE＝（ ∠DEF ）（ 两直线平行，内错角相等 ）；
又∵∠BED＝∠BEF+∠DEF（ 角的和与差 ）；
∴∠BED＝∠ABE+∠CDE（ 等量代换 ）；
∵∠ABE＝40°，∠CDE＝60°（已知）；
∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝100°（等量代换）；
【问题迁移】：
请参考嘉琪的解题思路，解答下面的问题：
如图③，AB∥CD，射线OM与直线AB，CD分别交于点A，C，射线ON与直线AB，CD分别交于点B，D，点P在射线ON上运动，连接AP，CP，设∠BAP＝α，∠DCP＝β．
（1）如图③，当点P在B，D两点之间运动时（点P不与点B，D重合），写出α，和∠APC之间满足的数量关系，并说明理由；
（2）当点P在B，D两点外侧运动时（点P不与点B，D重合），请画出图形，并直接写出α，β和∠APC之间满足的数量关系．
【分析】问题解决：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行；∠DEF；两直线平行，内错角相等；角的和与差；等量代换；
问题迁移：（1）∠APC＝a+β，理由见解析；（2）∠APC＝α﹣β或∠APC＝β﹣α
【分析】问题解决：根据过程填写依据即可；
问题迁移：（1）过点P作PQ∥AB，可证∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠DCP，由∠APC＝∠APQ+∠CPQ即可求解；
（2）①当P在BN上时，过点P作PQ∥AB，同理可证：∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠DCP，由∠APC＝∠CPQ﹣∠APQ，即可求解；②当P在OD上时，过点P作PQ∥CD，同理可证：∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠DCP，由∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ，即可求解．
【解答】问题解决：
解：过点E作EF∥AB，
∴∠ABE＝∠BEF（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD（已知），
∴EF∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠CDE＝∠DEF（两直线平行，内错角相等），
又∵∠BED＝∠BEF+∠DEF（角的和与差），
∴∠BED＝∠ABE+∠CDE（等量代换），
∵∠ABE＝40°，∠CDE＝60°（已知），
∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝100°（等量代换），
问题迁移：
（1）解：∠APC＝a+β，
理由：过点P作PQ∥AB，
∴∠APQ＝∠BAP（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD（已知），
∴PQ∥CD（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠CPQ＝∠DCP（两直线平行，内错角相等），
又∵∠APC＝∠APQ+∠CPQ（角的和与差），
∴∠APC＝∠BAP+∠DCP（等量代换），
∵∠BAP＝α，∠DCP＝β（已知），
∴∠APC＝α+β（等量代换），
（2）如图所示：
解：①如图，当P在BN上时，∠APC＝β﹣α，
理由：过点P作PQ∥AB，
由（1）同理可证：∠APQ＝∠BAP，
∠CPQ＝∠DCP，
∵∠APC＝∠CPQ﹣∠APQ，
∴∠APC＝∠DCP﹣∠BAP，
∵∠BAP＝α，∠DCP＝β，
∴∠APC＝β﹣α；
②如图，当P在OD上时，∠APC＝α﹣β，
理由：过点P作PQ∥CD，
由（1）同理可证：∠APQ＝∠BAP，
∠CPQ＝∠DCP，
∵∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ，
∴∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，
∵∠BAP＝α，∠DCP＝β，
∴∠APC＝α﹣β．
类型三：“鹰嘴”模型
平行线间的拐点问题均过拐点作平行线的平行线，有多少个拐点就作多少条平行线。
一．选择题
1．（2023•新城区校级一模）如图，直线m∥n，含有45°角的三角板的直角顶点O在直线m上，点A在直线n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．15°B．25°C．35°D．45°
2．（2023•海南）如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，点C在直线n上．若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．60°B．50°C．45°D．40°
3．（2023秋•渝中区校级期中）如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠EFD＝32°，则∠BGE的度数是（ ）
A．62°B．58°C．52°D．48°
4．（2022秋•杜尔伯特县期末）如图，已知AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABF和∠CDF，且交于点E，则（ ）
A．∠E＝∠FB．∠E+∠F＝180°
C．2∠E+∠F＝360°D．2∠E﹣∠F＝180°
5．（2022秋•榆树市期末）如图，AB∥CD，则图中∠1、∠2、∠3关系一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2+∠3＝360°
C．∠1+∠3＝2∠2D．∠1+∠3＝∠2
6．（2023秋•湖北月考）将含有30°角的直角三角板在两条平行线中按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2为（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
二．填空题
7．（2023•江油市开学）如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，则∠1＝ ．
8．（2023秋•南岗区校级期中）如图，已知DE∥BC，∠ABC＝105°，点F在射线BA上，且∠EDF＝125°，则∠DFB的度数为 ．
9．（2023秋•道里区校级期中）为增强学生体质，望一观音湖学校将“跳绳”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学跳绳时的一个瞬间．数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，则∠AEC＝ ．
10．（2022秋•雅安期末）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝60°，则∠E＝ ．
11．（2023秋•南岗区校级期中）已知：如图，AB∥CD，∠ABG的平分线与∠CDE的平分线交于点M，∠M＝45°，∠F＝64°，∠E＝66°，则∠G＝ °．
三．解答题
12．（2022秋•宝丰县期末）已知直线MN、PQ，点A、B为分别在直线MN、PQ上，点C为平面内一点，连接AC、BC，且∠C＝∠NAC+∠CBQ．
（1）求证：MN∥PQ；
（2）如图2，射线AE、BD分别平分∠MAC和∠CBQ，AE交直线PQ于点E，BD与∠NAC内部的一条射线AD交于点D，若∠C＝2∠D，求∠EAD的度数．
13．（2022秋•莘县期末）综合与实践
如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．
（1）当所放位置如图①所示时，∠PFD与∠AEM的数量关系是 ∠PFD+∠AEM＝90° ；
（2）当所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，求∠N的度数．
14．（2022秋•洛宁县期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝50°+60°＝110°．
问题迁移：
（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
15．（2023春•鼎城区期末）已知直线AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．
问题提出：（1）如图1，∠A＝120°，∠C＝130°，求∠APC的度数；
问题迁移：（2）如图2，写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由；
问题应用：（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝20°，∠PAB＝150°，求∠PEH的度数．
16．（2023秋•南岗区校级期中）已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H，点P为直线EF上的点，连接AP，CP．
（1）如图1，点P在线段GH上时，请你直接写出∠BAP，∠DCP，∠APC的数量关系；
（2）如图2，点P在HG的延长线上时，连接CP交AB于点Q，连接HQ，AC，若∠ACP+∠PHQ＝∠CQH，求证：AC∥EF；
（3）在（2）的条件下，如图3，CK平分∠ACP，GK平分∠AGP，GK与CK交点K，连接AK，若∠PQH＝4∠PCK+2∠PHQ，∠CKG＝∠CHQ，∠AKC+∠KAC＝159°，求∠BAC的大小．
17．（2023秋•道里区校级期中）已知：直线AB与直线CD内部有一个点P，连接BP．
（1）如图1，当点E在直线CD上，连接PE，若∠B+∠PEC＝∠P，求证：AB∥CD；
（2）如图2，当点E在直线AB与直线CD的内部，点H在直线CD上，连接EH，若∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，求证：AB∥CD；
（3）如图3，在（2）的条件下，BG、EF分别是∠ABP、∠PEH的角平分线，BG和EF相交于点G，EF和直线AB相交于点F，当BP⊥PE时，若∠BFG＝∠EHD+10°，∠BGE＝36°，求∠EHD的度数．
18．（2023秋•南岗区校级期中）已知，过∠ECF内一点A作AD∥/EC交CF于点D，作AB∥/CF交CE于点B．
（1）如图1，求证：∠ABE＝∠ADF；
（2）如图2，射线BM，射线DN分别平分∠ABE和∠ADF，求证：BM∥DN；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G，Q在线段DF上，连接AG，AQ，AC，AQ与DN交于点H，反向延长AQ交BM于点P，如果∠GAC＝∠GCA，AQ平分∠GAD，∠QAC＝50°，求∠MPA+∠PQF的度数．
19．（2023秋•南岗区校级期中）已知，射线FG分别交射线AB、DC于点F、G，点E为射线FG上一点．
（1）如图1，若∠A+∠D＝∠AED，求证：AB∥CD．
（2）如图2，若AB∥CD，求证：∠A﹣∠D＝∠AED．
（3）如图3，在（2）的条件下，DI交AI于点Ⅰ，交AE于点K，∠EDI＝∠CDE，∠BAI＝∠EAI，∠I＝∠AED＝25°，求∠EKD的度数．
20．（2023春•栾城区校级期中）【问题解决】：
如图①，AB∥CD，点E是AB，CD内部一点，连接BE，DE．若∠ABE＝40°，∠CDE＝60°，求∠BED的度数；嘉琪想到了如图②所示的方法，请你帮她将完整的求解过程补充完整；
解：过点E作EF∥AB
∴∠ABE＝∠BEF（ ）；
∵EF∥AB，AB∥CD（已知）；
∴EF∥CD（ ）；
∴∠CDE＝（ ）（ ）；
又∵∠BED＝∠BEF+∠DEF（ ）；
∴∠BED＝∠ABE+∠CDE（ ）；
∵∠ABE＝40°，∠CDE＝60°（已知）；
∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝100°（等量代换）；
【问题迁移】：
请参考嘉琪的解题思路，解答下面的问题：
如图③，AB∥CD，射线OM与直线AB，CD分别交于点A，C，射线ON与直线AB，CD分别交于点B，D，点P在射线ON上运动，连接AP，CP，设∠BAP＝α，∠DCP＝β．
（1）如图③，当点P在B，D两点之间运动时（点P不与点B，D重合），写出α，和∠APC之间满足的数量关系，并说明理由；
（2）当点P在B，D两点外侧运动时（点P不与点B，D重合），请画出图形，并直接写出α，β和∠APC之间满足的数量关系．
专题01 平行线间的拐点问题
类型一：“猪蹄”模型
类型二：“铅笔”模型
类型三：“鹰嘴”模型
平行线间的拐点问题均过拐点作平行线的平行线，有多少个拐点就作多少条平行线。
一．选择题
1．（2023•新城区校级一模）如图，直线m∥n，含有45°角的三角板的直角顶点O在直线m上，点A在直线n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．15°B．25°C．35°D．45°
【分析】过B作BK∥m，推出BK∥n，由平行线的性质得到∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，求出∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝25°，即可得到∠2＝25°．
【解答】解：过B作BK∥m，
∵m∥n，
∴BK∥n，
∴∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，
∵∠ABO＝45°，
∴∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝45°﹣20°＝25°，
∴∠2＝∠ABK＝25°．
故选：B．
2．（2023•海南）如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，点C在直线n上．若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．60°B．50°C．45°D．40°
【分析】根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BDC，然后直角三角形的性质，即可求得∠2的度数．
【解答】解：延长AB交直线n于点D，
∵m∥n，∠1＝50°，
∴∠1＝∠BDC＝50°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠BDC＝90°﹣50°＝40°，
故选：D．
3．（2023秋•渝中区校级期中）如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠EFD＝32°，则∠BGE的度数是（ ）
A．62°B．58°C．52°D．48°
【分析】过点E作AB的平行线HI，利用平行线的性质即可求解．
【解答】解：过点E作直线HI∥AB．
∵AB∥CD，AB∥HI，∠EFD＝32°，
∴CD∥HI，
∴∠HEF＝∠EFD＝32°，
∵GE⊥EF于点E，
∴∠GEF＝90°，
∴∠GEH＝∠GEF﹣∠HEF＝90°﹣32°＝58°，
∵AB∥HI，
∴∠BGE＝∠GEH＝58°．
故选：B．
4．（2022秋•杜尔伯特县期末）如图，已知AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABF和∠CDF，且交于点E，则（ ）
A．∠E＝∠FB．∠E+∠F＝180°
C．2∠E+∠F＝360°D．2∠E﹣∠F＝180°
【分析】过点E作EM∥AB，利用平行线的性质可证得∠BED＝（∠ABF+∠CDF），可以得到∠BED与∠BFD的关系．
【解答】解：过点E作EM∥AB，如图：
∵AB∥CD，EM∥AB
∴CD∥EM，
∴∠ABE＝∠BEM，∠CDE＝∠DEM，
∵∠ABF的平分线与∠CDF的平分线相交于点E，
∴∠ABE＝∠ABF，∠CDE＝∠CDF，
∴∠BED＝∠BEM+∠DEM＝（∠ABF+∠CDF），
∵∠ABF+∠BFD+∠CDF＝360°，
∴∠ABF+∠CDF＝360°﹣∠BFD，
∴∠BED＝（360°﹣∠BFD），
整理得：2∠BED+∠BFD＝360°．
故选：C．
5．（2022秋•榆树市期末）如图，AB∥CD，则图中∠1、∠2、∠3关系一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2+∠3＝360°
C．∠1+∠3＝2∠2D．∠1+∠3＝∠2
【分析】首先过点E作EF∥AB，由AB∥CD，可得EF∥AB∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，继而可得∠1+∠3＝∠2．
【解答】解：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，
∵∠2＝∠AEF+∠CEF＝∠1+∠3．
故选：D．
6．（2023秋•湖北月考）将含有30°角的直角三角板在两条平行线中按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2为（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
【分析】过A作AB∥l1，得到AB∥l2，推出∠3＝∠1＝120°，∠2＝∠BAC，即可求出∠2＝∠3+∠4＝30°+120°＝150°．
【解答】解：过A作AB∥l1，
∵l1∥l2，
∴AB∥l2，
∴∠3＝∠1＝120°，∠2＝∠BAC，
∴∠2＝∠3+∠4＝30°+120°＝150°．
故选：D．
二．填空题
7．（2023•江油市开学）如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，则∠1＝ 30° ．
【分析】过P作PQ∥AB，得到PQ∥CD，推出∠CPQ＝∠2＝28°，∠BPQ＝∠1，求出∠BPQ＝∠BPC﹣∠CPQ＝30°，即可得到∠1的度数．．
【解答】解：过P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠CPQ＝∠2＝28°，∠BPQ＝∠1，
∵∠BPQ＝∠BPC﹣∠CPQ＝58°﹣28°＝30°，
∴∠1＝30°．
故答案为：30°．
8．（2023秋•南岗区校级期中）如图，已知DE∥BC，∠ABC＝105°，点F在射线BA上，且∠EDF＝125°，则∠DFB的度数为 20° ．
【分析】过F作FM∥DE，推出FM∥BC，得到∠ABC+∠MFB＝180°，∠D+∠MFD＝180°，求出∠MFB＝75°，∠MFD＝55°，即可得到∠DFB＝∠MFB﹣∠MFD＝20°．
【解答】解：过F作FM∥DE，
∵DE∥BC，
∴FM∥BC，
∴∠ABC+∠MFB＝180°，∠D+∠MFD＝180°，
∵∠ABC＝105°，∠EDF＝125°，
∴∠MFB＝75°，∠MFD＝55°，
∴∠DFB＝∠MFB﹣∠MFD＝20°．
故答案为：20°．
9．（2023秋•道里区校级期中）为增强学生体质，望一观音湖学校将“跳绳”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学跳绳时的一个瞬间．数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，则∠AEC＝ 35° ．
【分析】过E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，利用平行线的性质求得∠FEA＝110°，∠FEC＝75°，进而可求解．
【解答】解：过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠EAB+∠FEA＝180°，∠ECD+∠FEC＝180°，
∵∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，
∴∠FEA＝110°，∠FEC＝75°，
∴∠AEC＝∠FEA﹣∠FEC＝35°，
故答案为：35°．
10．（2022秋•雅安期末）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝60°，则∠E＝ 100° ．
【分析】过F作FH∥AB，依据平行线的性质，可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，根据四边形内角和以及∠E﹣∠F＝60°，即可得到∠E的度数．
【解答】解：如图，过F作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴FH∥AB∥CD，
∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，
∴可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，
∴∠ECF＝180°﹣β，∠BFC＝∠BFH﹣∠CFH＝α﹣β，
∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC＝360°﹣α﹣（180°﹣β）＝180°﹣（α﹣β）＝180°﹣∠BFC，
即∠E+2∠BFC＝180°，①
又∵∠E﹣∠BFC＝60°，
∴∠BFC＝∠E﹣60°，②
∴由①②可得，∠E+2（∠E﹣60°）＝180°，
解得∠E＝100°，
故答案为：100°．
11．（2023秋•南岗区校级期中）已知：如图，AB∥CD，∠ABG的平分线与∠CDE的平分线交于点M，∠M＝45°，∠F＝64°，∠E＝66°，则∠G＝ 88° °．
【分析】过点G，F、E、M分别作GH∥AB，FQ∥AB，EP∥AB，MN∥AB，根据平行线的传递性得出AB∥CD∥GH∥FQ∥EP∥MN，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解；
【解答】解：过点G、F、E、M分别作GH∥AB，FQ∥AB，EP∥AB，MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GH∥FQ∥EP∥MN，
∴∠BNN＝∠1，∠NMD＝∠4，
∵BM平分∠ABG，MD平分∠CDE，
∴，
∵∠BMD＝45°，
∴2∠1+2∠3＝90°，
∴∠5＝2∠1，∠10＝2∠3，∠6＝∠7，∠8＝∠9，
∴∠GFE＝∠7+∠8＝∠6+∠9＝64°，
∠FED＝∠9+∠D＝∠9+2∠3＝66°，
∴2∠3﹣∠6＝2°，
∴2∠1+∠6＝90°﹣2°＝88°，
∴∠BGF＝∠5+∠6＝2∠1+∠6＝88°．
故答案为：88°．
三．解答题
12．（2022秋•宝丰县期末）已知直线MN、PQ，点A、B为分别在直线MN、PQ上，点C为平面内一点，连接AC、BC，且∠C＝∠NAC+∠CBQ．
（1）求证：MN∥PQ；
（2）如图2，射线AE、BD分别平分∠MAC和∠CBQ，AE交直线PQ于点E，BD与∠NAC内部的一条射线AD交于点D，若∠C＝2∠D，求∠EAD的度数．
【分析】（1）过C作CS∥MN，由已知可以得到PQ∥CS，从而得到MN∥PQ；
（2）连接DC并延长交AE于点F，由已知可以得到∠DAC＝∠NAC，再由∠EAD＝∠EAC+∠CAD及平角的意义可以得到解答．
【解答】（1）证明：过C作CS∥MN，如图，
∵CS∥MN，
∴∠NAC＝∠ACS，
∵∠ACB＝∠ACS+∠BCS＝∠NAC+∠CBQ，
∴∠BCS＝∠CBQ，
∴PQ∥CS，
∴MN∥PQ；
（2）解：如图，连接DC并延长交AE于点F，则：
∠ACF＝∠DAC+∠ADC，∠BCF＝∠DBC+∠BDC，
∴∠ACB＝∠DAC+∠DBC+∠ADB＝2∠ADB，
∴∠ADB＝∠DAC+∠DBC，
∴2∠ADB＝2∠DAC+2∠DBC＝2∠DAC+∠QBC，
又∠ACB＝∠NAC+∠CBQ＝2∠ADB．
∴∠NAC+∠CBQ＝2∠DAC+∠QBC，即∠NAC＝2∠DAC，
∴∠DAC＝∠NAC，
∴∠EAD＝∠EAC+∠CAD
＝∠MAC+∠NAC
＝（∠MAC+∠NAC）
＝90°．
13．（2022秋•莘县期末）综合与实践
如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．
（1）当所放位置如图①所示时，∠PFD与∠AEM的数量关系是 ∠PFD+∠AEM＝90° ；
（2）当所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，求∠N的度数．
【分析】（1）作PH∥AB，根据平行线的性质得到∠AEM＝∠HPM，∠PFD＝∠HPN，根据∠MPN＝90°解答；
（2）根据平行线的性质得到∠PFD+∠BHN＝180°，根据∠P＝90°解答；
（3）根据平行线的性质、对顶角相等计算．
【解答】解：（1）如图①，作PH∥AB，
则∠AEM＝∠HPM，
∵AB∥CD，PH∥AB，
∴PH∥CD，
∴∠PFD＝∠HPN，
∵∠MPN＝90°，
∴∠PFD+∠AEM＝90°，
故答案为：∠PFD+∠AEM＝90°；
（2）猜想：∠PFD−∠AEM＝90°；
理由如下：如图②，
∵AB∥CD，
∴∠PFD+∠BHN＝180°，
∵∠BHN＝∠PHE，
∴∠PFD+∠PHE＝180°，
∵∠P＝90°，
∴∠PHE+∠PEB＝90°，
∵∠PEB＝∠AEM，
∴∠PHE+∠AEM＝90°，
∴∠PFD−∠AEM＝90°；
（3）如图②，∵∠P＝90°，∠PEB＝15°，
∴∠PHE＝∠P−∠PEB＝90°−15°＝75°，
∴∠BHF＝∠PHE＝75°，
∵AB∥CD，
∴∠DFH+∠BHF＝180°，
∴∠DFH＝180°−∠BHF＝105°，
∴∠OFN＝∠DFH＝105°，
∵∠DON＝20°，
∴∠N＝180°−∠DON−∠OFN＝55°．
14．（2022秋•洛宁县期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝50°+60°＝110°．
问题迁移：
（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
【分析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；
（2）化成图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．
【解答】（1）解：∠CPD＝∠α+∠β，
理由是：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（2）当P在BA延长线时，
∠CPD＝∠β﹣∠α；
当P在AB延长线时，
∠CPD＝∠α﹣∠β．
15．（2023春•鼎城区期末）已知直线AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．
问题提出：（1）如图1，∠A＝120°，∠C＝130°，求∠APC的度数；
问题迁移：（2）如图2，写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由；
问题应用：（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝20°，∠PAB＝150°，求∠PEH的度数．
【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠APQ＝60°，∠CPQ＝50°，最后可以求出∠APC＝110°；
（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可证得∠APC＝∠A﹣∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB﹣∠PCD，先证∠BEF＝∠PQB＝110°、∠PEG＝∠FEG，∠GEH＝∠BEG，根据∠PEH＝∠PEG﹣∠GEH可得答案．
【解答】解：（1）∠A+∠C+∠APC＝360°
如图1所示，过点P作PQ∥AB，
∴∠A+∠APQ＝180°，
∵∠A＝120°，
∴∠APQ＝180°﹣∠A＝180°﹣120°＝60°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C+∠CPQ＝180°，
∵∠C＝130°，
∴∠CPQ＝180°﹣∠C＝180°﹣130°＝50°，
∴∠APC＝∠APQ+∠CPQ＝60°+50°＝110°；
（2）∠APC＝∠A﹣∠C，理由如下：
如图2，作PQ∥AB，
∴∠A＝∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C＝∠CPQ，
∵∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ，
∴∠APC＝∠A﹣∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB﹣∠PCD，
∵∠APC＝20°，∠PAB＝150°，
∴∠PCD＝130°，
∵AB∥CD，
∴∠PQB＝∠PCD＝130°，
∵EF∥PC，
∴∠BEF＝∠PQB＝130°，
∵∠PEG＝∠PEF，
∴∠PEG＝∠FEG，
∵EH平分∠BEG，
∴∠GEH＝∠BEG，
∴∠PEH＝∠PEG﹣∠GEH
＝∠FEG﹣∠BEG
＝∠BEF
＝65°．
16．（2023秋•南岗区校级期中）已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H，点P为直线EF上的点，连接AP，CP．
（1）如图1，点P在线段GH上时，请你直接写出∠BAP，∠DCP，∠APC的数量关系；
（2）如图2，点P在HG的延长线上时，连接CP交AB于点Q，连接HQ，AC，若∠ACP+∠PHQ＝∠CQH，求证：AC∥EF；
（3）在（2）的条件下，如图3，CK平分∠ACP，GK平分∠AGP，GK与CK交点K，连接AK，若∠PQH＝4∠PCK+2∠PHQ，∠CKG＝∠CHQ，∠AKC+∠KAC＝159°，求∠BAC的大小．
【分析】（1）过P作PN∥AB，根据平行线的传递性得出PN∥CD，再根据两直线平行，内错角相等即可解答；
（2）过点Q作QN∥AC，证出∠PHQ＝∠2，根据平行线的传递性即可证明；
（3）根据三角形内角和即可算出∠1＝21°，再根据角平分线定义以及已知条件即可得出∠PQH＝4∠2+2∠5＝84°+2∠5，结合（2）即可解出∠5＝18°，过K作KM∥AC，证出∠CKG＝∠1+∠3＝21°+∠3，根据平行线性质得出∠EGA＝∠EHC，即可得∠3＝∠5°+21°＝18°+21°＝39°，即可求解；
【解答】解：（1）过P作PN∥AB，
∴∠BAP＝∠1，
∵AB∥CD，
∴PN∥CD，
∴∠DCP＝∠2，
∴∠APC＝∠1+∠2＝∠BAP+∠DCP；
（2）过点Q作QN∥AC，
∴∠ACP＝∠1，
∵∠ACP+∠PHQ＝∠CQH，
∠1+∠2＝∠CQH，
∴∠PHQ＝∠2，
∴QN∥EF，
∴AC∥EF；
（3）∵CK平分∠ACP，GK平分∠AGP，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠AKC+∠KAC＝159°，
∵∠1＝180°﹣159°＝21°，
∴∠PQH＝4∠PCK+2∠PHQ＝4∠2+2∠5＝84°+2∠5，
由（2）知∠ACP+∠PHQ＝∠CQH，
即42°+∠5＝180°﹣∠PQH，
∴180°﹣42°﹣∠5＝84°+2∠5，
∴∠5＝18°，
过K作KM∥AC，
∵AC∥EF，
∴KM∥AC∥EF，
∴∠CKM＝∠1，∠GKM＝∠3．
∴∠CKG＝∠1+∠3＝21°+∠3．
∵AB∥CD，∠CKG＝∠CHQ，
∴∠EGA＝∠EHC，
即2∠3＝∠5+∠CHQ＝∠5+∠CKG＝∠5+∠3+21°，
∴∠3＝∠5°+21°＝18°+21°＝39°，
∵AC∥EF，
∴∠BAC＝∠EGA＝2∠3＝78°．
17．（2023秋•道里区校级期中）已知：直线AB与直线CD内部有一个点P，连接BP．
（1）如图1，当点E在直线CD上，连接PE，若∠B+∠PEC＝∠P，求证：AB∥CD；
（2）如图2，当点E在直线AB与直线CD的内部，点H在直线CD上，连接EH，若∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，求证：AB∥CD；
（3）如图3，在（2）的条件下，BG、EF分别是∠ABP、∠PEH的角平分线，BG和EF相交于点G，EF和直线AB相交于点F，当BP⊥PE时，若∠BFG＝∠EHD+10°，∠BGE＝36°，求∠EHD的度数．
【分析】（1）过点P作PF∥AB，推出∠PEC＝∠EPF，进而得PF∥CD，根据平行公理的推论即可得证；
（2）分别过点P和点E作PF∥AB，EM∥CD，推出∠PEM＝∠FPE，进而得PF∥EM，根据平行公理的推论即可得证；
（3）过点E作EN∥AB，根据（1）（2）的思路证∠FEN+∠NEH＝∠BFE+∠EHD，设∠EHD＝α，∠PBG＝β，PEG＝γ，则∠BFG＝α+10°，结合角平分线的定义及（2）的条件得2β+2γ＝90°+α，接着分别用含α的式子代替β和γ，代入2β+2γ＝90°+α求出α的值即可．
【解答】解：（1）证明：过点P作PF∥AB，
∴∠B＝∠BPF，
∵∠B+∠PEC＝∠BPE＝∠BPF+∠EPF，
∴∠PEC＝∠EPF，
∴PF∥CD，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，分别过点P和点E作PF∥AB，EM∥CD，
∴∠ABP＝∠BPF，∠MEH＝∠EHD，
∵∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，即∠ABP+∠PEM+∠MEH＝∠BPF+∠FPE+∠EHD，
∴∠PEM＝∠FPE，
∴PF∥EM，
∴EM∥AB，
∴AB∥CD；
（3）如图3，过点E作EN∥AB，
由（2）得AB∥CD，
∴EN∥CD，
∠BFE＝∠FEN，∠NEH＝∠EHD，
∴∠FEH＝∠FEN+∠NEH＝∠BFE+∠EHD，
设∠EHD＝α，∠PBG＝β，PEG＝γ，则∠BFG＝α+10°，
∵BG、EF分别是∠ABP、∠PEH的角平分线，
∴∠ABP＝2β，∠PEH＝2γ，
∵BP⊥PE，
∴∠P＝90°，
由（2）得∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，
∴2β+2γ＝90°+α，
∵∠FEH＝∠FEN+∠NEH＝∠BFE+∠EHD，
∴γ＝α+10°+α＝2α+10°，
∵∠BGE＝36°，∠FGB＝180°﹣（∠BFG+∠FBG），∠FGB＝180°﹣∠BGE，
∴∠BFG+∠FBG＝∠BGE＝36°，
∴α+10°+β＝36°，
∴β＝26°﹣α，
∴2（26°﹣α）+2（2α+10°）＝90°+α，
∴α＝18°．
18．（2023秋•南岗区校级期中）已知，过∠ECF内一点A作AD∥/EC交CF于点D，作AB∥/CF交CE于点B．
（1）如图1，求证：∠ABE＝∠ADF；
（2）如图2，射线BM，射线DN分别平分∠ABE和∠ADF，求证：BM∥DN；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G，Q在线段DF上，连接AG，AQ，AC，AQ与DN交于点H，反向延长AQ交BM于点P，如果∠GAC＝∠GCA，AQ平分∠GAD，∠QAC＝50°，求∠MPA+∠PQF的度数．
【分析】（1）由平行线的性质得出∠A＝∠ABE，∠A＝∠ADF，即可得出结论；
（2）过点A作AG平分∠BAD，由角平分线定义得出∠DAG＝∠BAG＝∠BAD，∠ABM＝∠ABE，∠ADN＝∠ADF，证出∠ABM＝∠DAG＝∠BAG＝∠ADN，得出BM∥AG，DN∥AG，即可得出结论；
（3）设∠GAQ＝∠QAD＝x，则∠DAC＝50°﹣x，∠GAC＝50°+x＝∠GCA，得出∠BAD＝100°，∠BAQ＝100°+x，由平行线的性质得出∠BAC＝∠GCA＝50°+x，求出∠BAP＝180°﹣∠BAQ＝80°﹣x，过点P作PH∥AB，过点Q作QI∥AC，由平行线的性质得出∠MPH＝∠ABM＝50°，∠HPA＝∠PAB＝80°﹣x，∠QAC＝∠IQA＝50°，∠FQI＝∠FCA＝50°+x，求出∠MPA＝∠MPH+∠HPA＝50°+8°﹣x＝130°﹣x，∠PQF＝∠IQA+∠FQI＝50°+50°+x＝100°+x，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AD∥EC，AB∥CF，
∴∠A＝∠ABE，∠A＝∠ADF，
∴∠ABE＝∠ADF；
（2）证明：过点A作AG平分∠BAD，如图2所示：
则∠DAG＝∠BAG＝∠BAD，
∵射线BM，射线DN分别平分∠ABE和∠ADF，
∴∠ABM＝∠ABE，∠ADN＝∠ADF，
∵∠ABE＝∠ADF＝∠BAD，
∴∠ABM＝∠DAG＝∠BAG＝∠ADN，
∴BM∥AG，DN∥AG，
∴BM∥DN；
（3）解：∵AQ平分∠GAD，
∴∠GAQ＝∠QAD，
设∠GAQ＝∠QAD＝x，则∠DAC＝50°﹣x，∠GAC＝50°+x＝∠GCA，
∴∠BAD＝100°，
∴∠BAQ＝100°+x，
∵AB∥CF，
∴∠BAC＝∠GCA＝50°+x，
∵∠BAP+∠BAQ＝180°，
∴∠BAP＝180°﹣∠BAQ＝80°﹣x，
过点P作PH∥AB，过点Q作QI∥AC，如图3所示：
∵AD∥EC，
∴∠BAD＝∠ABE＝100°，∠ABM＝∠ABE＝50°，
∴∠MPH＝∠ABM＝50°，∠HPA＝∠PAB＝80°﹣x，∠QAC＝∠IQA＝50°，∠FQI＝∠FCA＝50°+x，
∴∠MPA＝∠MPH+∠HPA＝50°+80°﹣x＝130°﹣x，∠PQF＝∠IQA+∠FQI＝50°+50°+x＝100°+x，
∴∠MPA+∠PQF＝130°﹣x+100°+x＝230°．
19．（2023秋•南岗区校级期中）已知，射线FG分别交射线AB、DC于点F、G，点E为射线FG上一点．
（1）如图1，若∠A+∠D＝∠AED，求证：AB∥CD．
（2）如图2，若AB∥CD，求证：∠A﹣∠D＝∠AED．
（3）如图3，在（2）的条件下，DI交AI于点Ⅰ，交AE于点K，∠EDI＝∠CDE，∠BAI＝∠EAI，∠I＝∠AED＝25°，求∠EKD的度数．
【分析】（1）过点E作EH∥AB，证明∠A＝∠AEF，再根据已知条件证明∠D＝∠DEF，从而证明EF∥CD，最后根据平行公理的推论证明结论即可；
（2）先根据平行线的性质证明∠A＝∠EHG，再根据外角性质证明∠A＝∠D+∠AED，通过变换得出结论即可；
（3）设AE与CD交于点H，∠EAI＝x，把∠BAI和∠EAB都用x表示出来，然后根据已知条件，找出角与角之间的关系，最后得出∠CHE＝∠CDE+∠AED，列出关于x的方程，求出x，最后根据∠EKD＝∠AKI＝180°﹣∠EAI﹣∠I，求出答案即可．
【解答】（1）证明：如图所示：过点E作EH∥AB，
∴∠A＝∠AEF，
∵∠A+∠D＝∠AED，∠AED＝∠AEF+∠DEF，
∴∠D＝∠DEF，
∴EF∥CD，
∴AB∥CD；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠EHG，
∵∠EHG＝∠D+∠AED，
∴∠A＝∠D+∠AED，
∴∠A﹣∠D＝∠AED；
（3）解：设AE与CD交于点H，∠EAI＝x，则∠BAI＝，，
∵AB∥CD，
∴∠EHC＝∠EAB＝，
∵∠I＝∠AED＝25°，∠EKI＝∠EAI+∠I＝∠EDI+∠AED，
∴x+25°＝∠EDI+25°，
∴∠EDI＝x，
∵∠EDI＝∠CDE，
∴∠CDI＝，
∵∠CHE＝∠CDE+∠AED，
∴，
解得：x＝60°，
∴∠EKD＝∠AKI＝180°﹣∠EAI﹣∠I
＝180°﹣60°﹣25°
＝95°．
20．（2023春•栾城区校级期中）【问题解决】：
如图①，AB∥CD，点E是AB，CD内部一点，连接BE，DE．若∠ABE＝40°，∠CDE＝60°，求∠BED的度数；嘉琪想到了如图②所示的方法，请你帮她将完整的求解过程补充完整；
解：过点E作EF∥AB
∴∠ABE＝∠BEF（ 两直线平行，内错角相等 ）；
∵EF∥AB，AB∥CD（已知）；
∴EF∥CD（ 平行于同一条直线的两直线平行 ）；
∴∠CDE＝（ ∠DEF ）（ 两直线平行，内错角相等 ）；
又∵∠BED＝∠BEF+∠DEF（ 角的和与差 ）；
∴∠BED＝∠ABE+∠CDE（ 等量代换 ）；
∵∠ABE＝40°，∠CDE＝60°（已知）；
∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝100°（等量代换）；
【问题迁移】：
请参考嘉琪的解题思路，解答下面的问题：
如图③，AB∥CD，射线OM与直线AB，CD分别交于点A，C，射线ON与直线AB，CD分别交于点B，D，点P在射线ON上运动，连接AP，CP，设∠BAP＝α，∠DCP＝β．
（1）如图③，当点P在B，D两点之间运动时（点P不与点B，D重合），写出α，和∠APC之间满足的数量关系，并说明理由；
（2）当点P在B，D两点外侧运动时（点P不与点B，D重合），请画出图形，并直接写出α，β和∠APC之间满足的数量关系．
【分析】问题解决：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行；∠DEF；两直线平行，内错角相等；角的和与差；等量代换；
问题迁移：（1）∠APC＝a+β，理由见解析；（2）∠APC＝α﹣β或∠APC＝β﹣α
【分析】问题解决：根据过程填写依据即可；
问题迁移：（1）过点P作PQ∥AB，可证∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠DCP，由∠APC＝∠APQ+∠CPQ即可求解；
（2）①当P在BN上时，过点P作PQ∥AB，同理可证：∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠DCP，由∠APC＝∠CPQ﹣∠APQ，即可求解；②当P在OD上时，过点P作PQ∥CD，同理可证：∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠DCP，由∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ，即可求解．
【解答】问题解决：
解：过点E作EF∥AB，
∴∠ABE＝∠BEF（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD（已知），
∴EF∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠CDE＝∠DEF（两直线平行，内错角相等），
又∵∠BED＝∠BEF+∠DEF（角的和与差），
∴∠BED＝∠ABE+∠CDE（等量代换），
∵∠ABE＝40°，∠CDE＝60°（已知），
∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝100°（等量代换），
问题迁移：
（1）解：∠APC＝a+β，
理由：过点P作PQ∥AB，
∴∠APQ＝∠BAP（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD（已知），
∴PQ∥CD（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠CPQ＝∠DCP（两直线平行，内错角相等），
又∵∠APC＝∠APQ+∠CPQ（角的和与差），
∴∠APC＝∠BAP+∠DCP（等量代换），
∵∠BAP＝α，∠DCP＝β（已知），
∴∠APC＝α+β（等量代换），
（2）如图所示：
解：①如图，当P在BN上时，∠APC＝β﹣α，
理由：过点P作PQ∥AB，
由（1）同理可证：∠APQ＝∠BAP，
∠CPQ＝∠DCP，
∵∠APC＝∠CPQ﹣∠APQ，
∴∠APC＝∠DCP﹣∠BAP，
∵∠BAP＝α，∠DCP＝β，
∴∠APC＝β﹣α；
②如图，当P在OD上时，∠APC＝α﹣β，
理由：过点P作PQ∥CD，
由（1）同理可证：∠APQ＝∠BAP，
∠CPQ＝∠DCP，
∵∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ，
∴∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，
∵∠BAP＝α，∠DCP＝β，
∴∠APC＝α﹣β．
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