人教版七年级数学下册同步练习专题02平行线的判定与性质(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册同步练习专题02平行线的判定与性质(原卷版+解析)，共41页。试卷主要包含了将下面的解答过程补充完整，已知等内容，欢迎下载使用。

证明：
∵∠B＝∠ADE（已知）
∴ ∥ （ ）
∴∠EDC＝∠DCB （ ）
又∠EDC＝∠GFB（已知）
∴∠DCB＝ （等量代换）
∴ ∥ （ ）
2．（2023秋•道里区校级期中）将下面的解答过程补充完整：如图，已知DE∥BC，EF平分∠CED，∠A＝∠CFE，那么EF与AB平行吗？为什么？
解：因为DE∥BC（已知），
所以∠DEF＝∠CFE（ ①），
因为EF平分∠CED（已知），
所以∠DEF＝ ②（角平分线的定义），
所以∠CFE＝∠CEF（ ③），
因为∠A＝∠CFE（已知），
所以∠A＝ ④（等量代换），
所以EF∥AB（ ⑤）．
3．（2022秋•尤溪县期末）如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠C＝76°，∠AED＝2∠3，求∠CEF的度数．
4．（2023秋•怀宁县期中）如图，已知EF∥CD，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得∠BEF＝∠CDG，并给出证明过程．
小明添加的条件：∠B＝∠ADG．
请你帮小明将下面的证明过程补充完整．
证明：∵EF∥CD（ ）
∴∠BEF＝ （ ）
∵∠B＝∠ADG（添加条件）
∴BC∥ （ ）
∴∠CDG＝ （ ）
∴∠BEF＝∠CDG （ ）．
5．（2022秋•长春期末）请把以下证明过程补充完整，并在下面的括号内填上推理理由：
已知：如图，∠1＝∠2，∠A＝∠D．
求证：∠B＝∠C
证明：∵∠1＝∠2，（已知）
又：∵∠1＝∠3，
∴∠2＝ ，（等量代换）
∴AE∥FD
∴∠A＝∠BFD
∵∠A＝∠D（已知）
∴∠D＝ （等量代换）
∴ ∥CD
∴∠B＝∠C ．
6．（2022秋•闽清县期末）如图，AB∥CD，E是BC的延长线上的一点，AE交CD于点F，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：
（1）∠B＝∠D；
（2）AD∥BE．
7．（2023春•石城县期末）如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度数．
8．（2022秋•淇县期末）如图，已知AD∥FE，∠1＝∠2．
（1）试说明DG∥AC；
（2）若∠BAC＝70°，求∠AGD的度数．
9．（2022秋•禅城区期末）已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；
（1）求证：DE∥BA．
（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．
30．（2023春•驿城区校级期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．
（1）试说明：AD∥EF；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．
11．（2023秋•香坊区校级期中）完成下面推理过程，并在括号里填写推理依据：
如图，已知：AB∥EF，EP⊥EQ，∠EQC+∠APE＝90°，求证：AB∥CD．
证明：∵AB∥EF（已知），
∴∠APE＝ ，
∵EP⊥EQ（已知），
∴∠PEQ＝90°），
即∠QEF+∠PEF＝90°，
∴∠QEF+∠APE＝90°，
∵∠EQC+∠APE＝90°（已知），
∴∠EQC＝ （ ），
∴EF∥ （ ），
又∵AB∥EF，
∴AB∥CD（ ）．
12．（2022秋•邓州市期末）如图，点M在CD上，已知∠BAM+∠AMD＝180°，AE平分∠BAM，MF平分∠AMC，请说明AE∥MF的理由．
解：因为∠BAM+∠AMD＝180°（ ），
∠AMC+∠AMD＝180°（ ），
所以∠BAM＝∠AMC（ ）．
因为AE平分∠BAM，
所以 （ ）．
因为MF平分∠AMC，
所以 ，
得 （ ），
所以 （ ）．
13．（2022秋•桐柏县期末）完成下面推理过程．
如图：已知，∠A＝112°，∠ABC＝68°，BD⊥DC于点D，EF⊥DC于点F，求证：∠1＝∠2．
证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知）
∴∠A+∠ABC＝180°
∴AD∥BC（ ）
∴∠1＝ （ ）
∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知）
∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（ ）
∴∠BDF＝∠EFC＝90°
∴BD∥EF（ ）
∴∠2＝ （ ）
∴∠1＝∠2（ ）
14．（2023秋•天山区校级期中）已知，GP平分∠BGH，HP平分∠GHD，∠GPH＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠AGE＝60°，求∠4的度数．
15．（2023春•覃塘区期末）如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．
（1）求证：EF∥BH；
（2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数．
16．（2023春•新化县期末）如图，点E，F分别在AB，CD上，AF⊥CE，垂足为点O．已知∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若AF＝12，BF＝5，AB＝13，求点F到直线AB的距离．
17．（2023春•温州月考）如图，已知∠1＝∠3，∠2＝∠B．
（1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若DE平分∠ADC，∠1＝3∠B，求∠EFC的度数．
18．（2023春•仙居县期末）如图是一个汉字“互”字，其中，AB∥CD，HF∥GE，∠HGE＝∠HFE，M、H、G三点在同一直线上，N、E、F三点在同一直线上．
求证：（1）GH∥EF；
（2）∠CMH＝∠BNE．
19．（2022秋•东阳市期末）如图，长方形纸片ABCD中，G、H分别是AB、CD边上的动点，连GH，将长方形纸片ABCD沿着GH翻折，使得点B，C分别落在点E，F位置．
（1）若∠BGH＝110°，求∠AGE的度数．
（2）若∠FHD＝20°，求∠CHG的度数．
（3）已知∠BGH和∠CHG始终互补，若∠BGH＝α，请直接写出∠FHC的度数（含α的代数式）．
20．（2023春•金牛区校级期中）如图1，直线GH与直线l1，l2分别交于B，A两点，点C在直线l2上，射线AD平分∠BAC交直线l1于点E，∠GBE＝2∠BAE．
（1）求证：直线l1∥l2；
（2）如图2，点Q在直线l1上（B点左侧），AM平分∠BAQ交l1于点M，过点M作MN⊥AD交AD于点N，请猜想∠BQA与∠AMN的关系；并证明你的结论；
（3）若点P是线段AB上一点，射线EP交直线l2于点F，∠GBE＝130°．点N在射线AD上，且满足∠EBN＝∠EFC连接BN，请补全图形，探究∠BNA与∠FEA满足的等量关系，并证明．
21．（2023春•义乌市校级期中）今年除夕夜长江两岸的灯光秀璀璨夺目，照亮山城的山水桥梁城市楼阁，人民欢欣鼓舞．观看表演的小语同学发现两岸的灯光运动是有规律的，如图1所示，灯A射出的光线从AQ开始顺时针旋转至AP便立即回转，灯B射出的光线从BM开始顺时针旋转至BN便立即回转，两灯不停旋转．
假设长江两岸是平行的，即PQ∥MN，点A在PQ上，B、C、D在MN上，连接AB、AC、AD，已知AC平分∠BAP，AD平分∠CAP．
（1）如图1，若∠ABD＝40°，则∠CAQ＝ ；
（2）如图2，在PQ上另有一点E，连接CE交AD于点F，点G在MN上，连接AG，若∠CAG＝∠CAE，∠EFD+∠DAG＝180°，试证明：EC∥AB．
（3）如图3，已知灯A射出的光线旋转的速度是每秒10°，灯B射出的光线旋转的速度是每秒30°，若灯B射出的光线从BM出发先转动2秒，灯A射出的光线才从AQ出发开始转动，设灯A转动的时间为t秒，在转动过程中，当0≤t≤12时，请直接写出灯A射出的光线与灯B射出的光线相交且互相垂直时的时间t的值．
22．（2022秋•萍乡期末）已知点A在射线CE上，∠C＝∠ADB．
（1）如图1，若AD∥BC，求证：AC∥BD；
（2）如图2，若BD⊥BC，垂足为B，BD交CE于点G，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠BAC＝∠BAD，∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数．
23．（2022秋•鲤城区校级期末）如图①，已知AB∥CD，一条直线分别交AB、CD于点E、F，∠EFB＝∠B，FH⊥FB，点Q在BF上，连接QH．
（1）已知∠EFD＝70°，求∠B的度数；
（2）求证：FH平分∠GFD．
（3）在（1）的条件下，若∠FQH＝30°，将△FHQ绕着点F顺时针旋转，如图②，若当边FH转至线段EF上时停止转动，记旋转角为α，请求出当α为多少度时，QH与△EBF某一边平行？
（4）在（3）的条件下，直接写出∠DFQ与∠GFH之间的关系．
24．（2023秋•香坊区校级期中）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，∠HPQ＝45°，K是GH上一点，连接PK，作PQ平分∠EPK，若∠PHG＝15°，求∠QPK的度数．
25．（2023秋•吉林期中）如图①，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，∠ACB＝∠E＝90°，∠EDF＝36°，∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，如图②，记∠ADF为α（0°＜α＜180°），在旋转的过程中：
（1）当∠α＝ °时，DE∥BC，当∠α＝ °时，DE⊥BC；
（2）如图③，当顶点C在△DEF的内部时，边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N．
①求出此时∠α的度数范围；
②∠1与∠2的度数和是否变化？若不变，请直接写出∠1与∠2的度数和；若变化，请说明理由．
专题02 平行线的判定与性质
1．（2022秋•项城市期末）如图，已知∠B＝∠ADE，∠EDC＝∠GFB，GF⊥AB，求证：CD⊥AB．把以下证明过程补充完整，并在括号内填写理由或数学式．
证明：
∵∠B＝∠ADE（已知）
∴ DE ∥ BC （ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠EDC＝∠DCB （ 两直线平行，内错角相等 ）
又∠EDC＝∠GFB（已知）
∴∠DCB＝ ∠GFB （等量代换）
∴ GF ∥ CD （ 同位角相等，两直线平行 ）
【分析】根据平行线的判定与性质即可证得．
【解答】证明：∵∠B＝∠ADE（已知），
∴DE∥BC（同位角相等；两直线平行），
∴∠EDC＝∠DCB （两直线平行，内错角相等），
又∠EDC＝∠GFB（已知），
∴∠DCB＝∠DFG（等量代换），
∴GF∥CD（同位角相等，两直线平行），
故答案为：DE，BC，同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，∠GFB，GF，CD，同位角相等，两直线平行．
2．（2023秋•道里区校级期中）将下面的解答过程补充完整：如图，已知DE∥BC，EF平分∠CED，∠A＝∠CFE，那么EF与AB平行吗？为什么？
解：因为DE∥BC（已知），
所以∠DEF＝∠CFE（ 两直线平行，内错角相等 ①），
因为EF平分∠CED（已知），
所以∠DEF＝ ∠CFE ②（角平分线的定义），
所以∠CFE＝∠CEF（ 等量代换 ③），
因为∠A＝∠CFE（已知），
所以∠A＝ ∠CEF ④（等量代换），
所以EF∥AB（ 同位角相等，两直线平行 ⑤）．
【分析】先根据两直线平行，内错角相等，得到∠DEF＝∠CFE，再根据角平分线得出∠DEF＝∠CEF，进而得到∠CFE＝∠CEF，再根据∠A＝∠CFE，即可得出∠A＝∠CEF，进而根据同位角相等，两直线平行，判定EF∥BC．
【解答】解：因为DE∥BC（已知），
所以∠DEF＝∠CFE（两直线平行，内错角相等①），
因为EF平分∠CED（已知），
所以∠DEF＝∠CFE②（角平分线的定义），
所以∠CFE＝∠CEF（等量代换③），
因为∠A＝∠CFE（已知），
所以∠A＝∠CEF④（等量代换），
所以EF∥AB（同位角相等，两直线平行⑤）
故答案为：两直线平行，内错角相等，∠CFE．等量代换，∠CEF，同位角相等，两直线平行．
3．（2022秋•尤溪县期末）如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠C＝76°，∠AED＝2∠3，求∠CEF的度数．
【分析】（1）由已知条件可证得AB∥EF，从而有∠B＝∠EFC，则得∠3＝∠EFC，得证DE∥BC；
（2）由（1）得DE∥BC，利用两直线平行，同旁内角互补可求解．
【解答】（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝∠4，
∴AB∥EF，
∴∠B＝∠EFC，
∵∠B＝∠3，
∴∠3＝∠EFC，
∴DE∥BC；
（2）解：∵DE∥BC，∠C＝76°，
∴∠C+∠DEC＝180°，∠AED＝∠C＝76°，
∵∠AED＝2∠3，
∴∠3＝38°
∵∠DEC＝180°﹣∠C＝104°，
∴∠CEF＝∠DEC﹣∠3＝104°﹣38°＝66°．
4．（2023秋•怀宁县期中）如图，已知EF∥CD，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得∠BEF＝∠CDG，并给出证明过程．
小明添加的条件：∠B＝∠ADG．
请你帮小明将下面的证明过程补充完整．
证明：∵EF∥CD（ 已知 ）
∴∠BEF＝ ∠BCD （ 两直线平行，同位角相等 ）
∵∠B＝∠ADG（添加条件）
∴BC∥ DG （ 同位角互补，两直线平行 ）
∴∠CDG＝ ∠BCD （ 两直线平行，内错角相等 ）
∴∠BEF＝∠CDG （ 等量代换 ）．
【分析】证明BC∥DG即可解答．
【解答】证明：∵EF∥CD（已知），
∴∠BEF＝∠BCD（两直线平行，同位角相等），
∵∠B＝∠ADG，
∴BC∥DG（同位角相等，两直线平行），
∴∠CDG＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）；
故答案为：∠BCD，两直线平行，同位角相等；DG，同位角互补，两直线平行；∠BCD，两直线平行，内错角相等，等量代换．
5．（2022秋•长春期末）请把以下证明过程补充完整，并在下面的括号内填上推理理由：
已知：如图，∠1＝∠2，∠A＝∠D．
求证：∠B＝∠C
证明：∵∠1＝∠2，（已知）
又：∵∠1＝∠3， 对顶角相等
∴∠2＝ ∠3 ，（等量代换）
∴AE∥FD 同位角相等，两直线平行
∴∠A＝∠BFD 两直线平行，同位角相等
∵∠A＝∠D（已知）
∴∠D＝ ∠BFD （等量代换）
∴ AB ∥CD 内错角相等，两直线平行
∴∠B＝∠C 两直线平行，内错角相等 ．
【分析】先根据题意得出∠2＝∠3，故可得出AE∥FD，故∠A＝∠BFD，再由∠A＝∠D可得出∠D＝∠BFD，
故可得出AB∥CD，进而可得出结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），
又∵∠1＝∠3对顶角相等，
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AE∥FD （同位角相等，两直线平行），
∴∠A＝∠BFD （两直线平行，同位角相等）．
∵∠A＝∠D（已知），
∴∠D＝∠BFD（等量代换），
∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行）．
∴∠B＝∠C （两直线平行，内错角相等）．
故答案为：对顶角相等；∠3；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠BFD；AB，内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
6．（2022秋•闽清县期末）如图，AB∥CD，E是BC的延长线上的一点，AE交CD于点F，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：
（1）∠B＝∠D；
（2）AD∥BE．
【分析】（1）根据∠3＝∠4，可得∠AFD＝∠3，再由三角形内角和定理，即可求证；
（2）根据平行线的性质可得∠B+∠BCD＝180°，从而得到∠BCD+∠D＝180°，即可求证．
【解答】证明：（1）∵∠AFD＝∠4，∠3＝∠4，
∴∠AFD＝∠3，
∵∠B＝180°﹣∠1﹣∠3，∠D＝180°﹣∠2﹣∠AFD，
又∠1＝∠2，
∴∠B＝∠D；
（2）∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∵∠B＝∠D．
∴∠BCD+∠D＝180°，
∴AD∥BE．
7．（2023春•石城县期末）如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度数．
【分析】（1）求出∠ABC+∠A＝180°，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据平行线的性质求出∠DBC，根据垂直推出BD∥EF，根据平行线的性质即可求出∠EFC．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝180°﹣∠A，
∴∠ABC+∠A＝180°，
∴AD∥BC；
（2）∵AD∥BC，∠ADB＝36°，
∴∠DBC＝∠ADB＝36°，
∵BD⊥CD，EF⊥CD，
∴BD∥EF，
∴∠DBC＝∠EFC＝36°
8．（2022秋•淇县期末）如图，已知AD∥FE，∠1＝∠2．
（1）试说明DG∥AC；
（2）若∠BAC＝70°，求∠AGD的度数．
【分析】（1）只要证明∠2＝∠DAC即可．
（2）利用平行线的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）∵AD∥EF，
∴∠1＝∠DAC，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠DAC，
∴DG∥AC．
（2）∵DG∥AC，
∴∠AGD+∠BAC＝180°，
∵∠BAC＝70°，
∴∠AGD＝110°
9．（2022秋•禅城区期末）已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；
（1）求证：DE∥BA．
（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质与判定方法证明即可；
（2）设∠EDC＝x°，由∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC可得∠BFD＝∠BDF＝2x°，根据平行线的性质可得∠DFB＝∠FDE＝2x°，再根据平角的定义列方程可得x的值，进而得出∠B的度数．
【解答】解：（1）证明：∵DF∥CA，
∴∠DFB＝∠A，
又∵∠FDE＝∠A，
∴∠DFB＝∠FDE，
∴DE∥AB；
（2）设∠EDC＝x°，
∵∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，
∴∠BFD＝∠BDF＝2x°，
由（1）可知DE∥BA，
∴∠DFB＝∠FDE＝2x°，
∴∠BDF+∠EDF+∠EDC＝2x°+2x°+x°＝180°，
∴x＝36，
又∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝36°．
30．（2023春•驿城区校级期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．
（1）试说明：AD∥EF；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠BAD＝∠1，从而可求得∠BAD+∠2＝180°，即可判断；
（2）由题意可求得∠1＝38°，再由角平分线的定义可得∠CDG＝∠1＝38°，再利用平行线的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB∥DG，
∴∠BAD＝∠1，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠BAD+∠2＝180°，
∴AD∥EF；
（2）解：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝142°，
∴∠1＝38°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠CDG＝∠1＝38°，
∵AB∥DG，
∴∠B＝∠CDG＝38°．
11．（2023秋•香坊区校级期中）完成下面推理过程，并在括号里填写推理依据：
如图，已知：AB∥EF，EP⊥EQ，∠EQC+∠APE＝90°，求证：AB∥CD．
证明：∵AB∥EF（已知），
∴∠APE＝ ∠PEF ，
∵EP⊥EQ（已知），
∴∠PEQ＝90°），
即∠QEF+∠PEF＝90°，
∴∠QEF+∠APE＝90°，
∵∠EQC+∠APE＝90°（已知），
∴∠EQC＝ ∠QEF （ 同角的余角相等 ），
∴EF∥ CD （ 内错角相等，两直线平行 ），
又∵AB∥EF，
∴AB∥CD（ 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ）．
【分析】根据平行线的性质、判定填空即可．
【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠APE＝∠PEF．
∵EP⊥EQ，
∴∠PEQ＝90°（垂直的定义）．
即∠QEF+∠PEF＝90°．
∴∠APE+∠QEF＝90°．
∵∠EQC+∠APE＝90°，
∴∠EQC＝∠QEF（同角的余角相等）．
∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∴AB∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
故答案为：PEF；∠QEF；同角的余角相等；CD，内错角相等，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
12．（2022秋•邓州市期末）如图，点M在CD上，已知∠BAM+∠AMD＝180°，AE平分∠BAM，MF平分∠AMC，请说明AE∥MF的理由．
解：因为∠BAM+∠AMD＝180°（ 已知 ），
∠AMC+∠AMD＝180°（ 平角的定义 ），
所以∠BAM＝∠AMC（ 等量代换 ）．
因为AE平分∠BAM，
所以 ∠BAM （ 角平分线的定义 ）．
因为MF平分∠AMC，
所以 ∠AMC ，
得 ∠1＝∠2 （ 等量代换 ），
所以 AE∥MF （ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据角平分线的定义，平行线的判定定理完成填空即可求解．
【解答】解：因为∠BAM+∠AMD＝180°（已知），∠AMC+∠AMD＝180°（平角的定义），
所以∠BAM＝∠AMC（等量代换）．
因为AE平分∠BAM，
所以∠BAM（角平分线的定义）．
因为MF平分∠AMC，
所以∠AMC，
得∠1＝∠2（等量代换），
所以AE∥MF（内错角相等，两直线平行）
故答案为：已知；平角的定义；等量代换；∠BAM；角平分线的定义；∠AMC；∠1＝∠2；等量代换；AE∥MF；内错角相等，两直线平行．
13．（2022秋•桐柏县期末）完成下面推理过程．
如图：已知，∠A＝112°，∠ABC＝68°，BD⊥DC于点D，EF⊥DC于点F，求证：∠1＝∠2．
证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知）
∴∠A+∠ABC＝180°
∴AD∥BC（ 同旁内角互补，两直线平行 ）
∴∠1＝ ∠3 （ 两直线平行，内错角相等 ）
∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知）
∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（ 垂直的定义 ）
∴∠BDF＝∠EFC＝90°
∴BD∥EF（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠2＝ ∠3 （ 两直线平行，同位角相等 ）
∴∠1＝∠2（ 等量代换 ）
【分析】根据推理过程，填上依据即平行线的性质或者判定．
【解答】证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知），
∴∠A+∠ABC＝180°．
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠1＝∠3 （两直线平行，内错角相等 ）．
∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知），
∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义）．
∴∠BDF＝∠EFC＝90°．
∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）．
∴∠1＝∠2（等量代换）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；
同位角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换．
14．（2023秋•天山区校级期中）已知，GP平分∠BGH，HP平分∠GHD，∠GPH＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠AGE＝60°，求∠4的度数．
【分析】（1）依据三角形内角和定理，即可得到∠1+∠3＝90°，再根据角平分线的定义，即可得到∠BGH+∠DHG＝2（∠1+∠3）＝180°，进而得出AB∥CD；
（2）依据对顶角相等以及平行线的性质，即可得到∠DHG＝180°﹣60°＝120°，再根据HP平分∠GHD，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠GPH＝90°，
∴△GHP中，∠1+∠3＝90°，
又∵GP平分∠BGH，HP平分∠GHD，
∴∠BGH＝2∠1，∠DHG＝2∠3，
∴∠BGH+∠DHG＝2（∠1+∠3）＝180°，
∴AB∥CD；
（2）∵∠BGH＝∠AGE＝60°，
∴∠DHG＝180°﹣60°＝120°，
又∵HP平分∠GHD，
∴∠4＝∠DHG＝×120°＝60°．
15．（2023春•覃塘区期末）如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．
（1）求证：EF∥BH；
（2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数．
【分析】（1）要证明EF∥BH，可通过∠E与∠EBH互补求得，利用平行线的性质说明∠EBH＝∠CHB可得结论．
（2）要求∠CHO的度数，可通过平角和∠FHC求得，利用（1）的结论及角平分线的性质求出∠FHB及∠BHC的度数即可．
【解答】证明：（1）∵∠HCO＝∠EBC，
∴EB∥HC．
∴∠EBH＝∠CHB．
∵∠BHC+∠BEF＝180°，
∴∠EBH+∠BEF＝180°．
∴EF∥BH．
（2）解：∵∠HCO＝∠EBC，
∴∠HCO＝∠EBC＝64°，
∵BH平分∠EBO，
∴∠EBH＝∠CHB＝∠EBC＝32°．
∵EF⊥AO于F，EF∥BH，
∴∠BHA＝90°．
∴∠FHC＝∠BHA+∠CHB＝122°．
∵∠CHO＝180°﹣∠FHC
＝180°﹣122°
＝58°．
16．（2023春•新化县期末）如图，点E，F分别在AB，CD上，AF⊥CE，垂足为点O．已知∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若AF＝12，BF＝5，AB＝13，求点F到直线AB的距离．
【分析】（1）应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案；
（2）设点F到直线AB的距离为h，根据等面积法可得S△AFB＝，代入计算即可得出h的值，即可得出答案．
【解答】（1）证明：因为∠l＝∠B（已知），
所以CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
因为AF⊥CE（已知），
所以AF⊥BF（垂直的性质），
所以∠AFB＝90°（垂直的定义），
又因为∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义）．
即∠AFC+∠2＝90°，
又因为∠A+∠2＝90，
所以∠AFC＝∠A（同角的余角相等），
所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；
（2）解：因为AF⊥BF（已证），且AF＝12，BF＝5，AB＝13．
设点F到直线AB的距离为h．
所以S△AFB＝，
所以，
即h＝，
所以点F到直线AB的距离为．
17．（2023春•温州月考）如图，已知∠1＝∠3，∠2＝∠B．
（1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若DE平分∠ADC，∠1＝3∠B，求∠EFC的度数．
【分析】（1）根据已知条件判定AB∥EF，再结合平行线的性质可得∠ADE＝∠B，从而判定出最终结论．
（2）设∠B＝x，结合已知条件，分别把∠1，∠ADE，∠ADC表示出来，根据∠ADB是平角列出方程，求出x的值，进而求出∠EFC的度数．
【解答】解：（1）DE∥BC，理由如下：
∵∠1＝∠3，
∴AB∥EF，
∴∠2＝∠ADE，
∵∠2＝∠B，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC
（2）设∠B＝x，则∠1＝3∠B＝3x，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝x，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠ADE＝2x，
∴x＝36°，
∴∠ADC＝2x＝72°，
∵AB∥EF，
∴∠EFC＝∠ADC＝72°
18．（2023春•仙居县期末）如图是一个汉字“互”字，其中，AB∥CD，HF∥GE，∠HGE＝∠HFE，M、H、G三点在同一直线上，N、E、F三点在同一直线上．
求证：（1）GH∥EF；
（2）∠CMH＝∠BNE．
【分析】（1）根据“两直线平行，同旁内角互补”和“同旁内角互补，两直线平行”证明即可；
（2）延长EF，与CD交于点I．根据“两直线平行，内错角相等”和角的等量代换证明即可．
【解答】证明：（1）∵HF∥GE，
∴∠HFE+∠GEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵∠HGE＝∠HFE，
∴∠HGE+∠GEF＝180°，
∴GH∥EF（同旁内角互补，两直线平行）．
（2）延长EF，与CD交于点I．
∵GH∥EF，
∴∠CMH＝∠MIF．
又∵AB∥CD，
∴∠MIF＝∠BNE．
∴∠CMH＝∠BNE．
19．（2022秋•东阳市期末）如图，长方形纸片ABCD中，G、H分别是AB、CD边上的动点，连GH，将长方形纸片ABCD沿着GH翻折，使得点B，C分别落在点E，F位置．
（1）若∠BGH＝110°，求∠AGE的度数．
（2）若∠FHD＝20°，求∠CHG的度数．
（3）已知∠BGH和∠CHG始终互补，若∠BGH＝α，请直接写出∠FHC的度数（含α的代数式）．
【分析】（1）根据折叠得到∠BGH＝∠EGH＝110°，再根据平角的定义，利用∠AGE＝∠BGH+∠EGH﹣180°计算可得；
（2）根据折叠得到∠CHG＝∠FHG，再根据平角的定义计算即可；
（3）根据互补得到∠BGH+∠CHG＝180°，从而求出∠CHG＝∠FHG＝180°﹣α，继而可得结果．
【解答】解：（1）由折叠可得：∠BGH＝∠EGH＝110°，
∵∠BGH+∠AGH＝180°，
∴∠AGE＝∠BGH+∠EGH﹣180°＝40°；
（2）由折叠可得：∠CHG＝∠FHG，
∴；
（3）∵∠BGH和∠CHG始终互补，
∴∠BGH+∠CHG＝180°，
∵∠BGH＝α，
∴∠CHG＝180°﹣α，
∴∠FHG＝180°﹣α，
∴∠FHC＝∠FHG+∠CHG＝360°﹣2α．
20．（2023春•金牛区校级期中）如图1，直线GH与直线l1，l2分别交于B，A两点，点C在直线l2上，射线AD平分∠BAC交直线l1于点E，∠GBE＝2∠BAE．
（1）求证：直线l1∥l2；
（2）如图2，点Q在直线l1上（B点左侧），AM平分∠BAQ交l1于点M，过点M作MN⊥AD交AD于点N，请猜想∠BQA与∠AMN的关系；并证明你的结论；
（3）若点P是线段AB上一点，射线EP交直线l2于点F，∠GBE＝130°．点N在射线AD上，且满足∠EBN＝∠EFC连接BN，请补全图形，探究∠BNA与∠FEA满足的等量关系，并证明．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BAC＝2∠BAE，等量代换可得∠GBE＝∠BAC，根据平行线的判定定理，即可得证；
（2）设∠DAB＝∠DAC＝α，∠BAM＝∠QAM＝β，根据三角形的内角和定理以及平行线的性质得出∠BQA，∠AMN，即可求解；
（3）根据题意补充图形，分两种情况讨论，①当N在AE上时，设∠EBN＝∠EFC＝θ，根据平行线的性质以及三角形的外角的性质，分别表示出∠BNA，∠FEA，可的结论；②当点N在AE的延长线上时，根据平行线的性质，即可求解．
【解答】（1）证明：∵射线AD平分∠BAC交直线l1于点E，∠GBE＝2∠BAE，
∴∠BAC＝2∠BAE，
∴∠GBE＝∠BAC，
∴l1∥l2；
（2）解：∠BQA＝2∠AMN；理由如下，
∵AD平分∠BAC，AM平分∠BAQ，
∴，
设∠DAB＝∠DAC＝α，∠BAM＝∠QAM＝β，
∵MN⊥AD，
∴∠MNA＝90°，
则∠AMN＝90°﹣∠MAD＝90°﹣（∠MAB+∠DAB）＝90°﹣（α+β），
∵l1∥l2，
∴∠BQA＝180°﹣∠QAC＝180°﹣2（α+β），
∴∠BQA＝2∠AMN；
（3）解：∠BNA+∠FEA＝130°，理由如下，
补全图形，如图所示，①当N在AE上时，
∵∠EBN＝∠EFC，
设∠EBN＝∠EFC＝θ，
∵l1∥l2，∠GBE＝130°，
∴∠BEF＝∠EFC＝θ，∠BAC＝∠GBE＝130°，
∵AD平分∠BAC，
，
∵l1∥l2，
∴∠BEA＝∠EAC＝65°，
∴∠BNA＝∠NBE+∠BEN＝65°+θ，∠FEA＝∠NEB﹣∠BEF＝65°﹣θ，
∴∠BNA+∠FEA＝130°，
②如图，当点N在AE的延长线上时，∠BNA＝∠FEA，
∵l1∥l2，
∴∠BEF＝∠EFC，
∵∠EBN＝∠EFC，
∴∠BEF＝∠EBN，
∴BN∥EF，
∴∠BNA＝∠FEA．
21．（2023春•义乌市校级期中）今年除夕夜长江两岸的灯光秀璀璨夺目，照亮山城的山水桥梁城市楼阁，人民欢欣鼓舞．观看表演的小语同学发现两岸的灯光运动是有规律的，如图1所示，灯A射出的光线从AQ开始顺时针旋转至AP便立即回转，灯B射出的光线从BM开始顺时针旋转至BN便立即回转，两灯不停旋转．
假设长江两岸是平行的，即PQ∥MN，点A在PQ上，B、C、D在MN上，连接AB、AC、AD，已知AC平分∠BAP，AD平分∠CAP．
（1）如图1，若∠ABD＝40°，则∠CAQ＝ 110° ；
（2）如图2，在PQ上另有一点E，连接CE交AD于点F，点G在MN上，连接AG，若∠CAG＝∠CAE，∠EFD+∠DAG＝180°，试证明：EC∥AB．
（3）如图3，已知灯A射出的光线旋转的速度是每秒10°，灯B射出的光线旋转的速度是每秒30°，若灯B射出的光线从BM出发先转动2秒，灯A射出的光线才从AQ出发开始转动，设灯A转动的时间为t秒，在转动过程中，当0≤t≤12时，请直接写出灯A射出的光线与灯B射出的光线相交且互相垂直时的时间t的值．
【分析】（1）根据两直线平行内错角相等，得出∠QAB＝∠ABD＝40°，再根据平角的定义，得出∠BAP＝140°，再根据角平分线的定义，得出∠BAC＝70°，再根据角之间的数量关系，计算即可得出答案；
（2）根据角平分线的定义，得出∠CAE＝2∠CAF，进而得出，再根据对顶角相等和三角形的内角和定理，得出∠EFD＝∠AFC，∠AFC+∠ACE+∠CAF＝180°，进而得出，再根据等量代换，得出∠ACE＝∠CAE，即∠ACE＝∠CAP，再根据角平分线的定义，得出∠CAP＝∠CAB，再根据等量代换，得出∠ACE＝∠CAB，再根据内错角相等两直线平行，即可得出结论；
（3）根据题意，分三种情况：当0≤t≤4时、当4＜t≤10时、当10＜t≤12时，分别画出图形，根据角之间的数量关系，列出方程进行计算即可．
【解答】解：（1）∵PQ∥MN，∠ABD＝40°，
∴∠QAB＝∠ABD＝40°，
∴∠BAP＝180°﹣∠QAB＝180°﹣40°＝140°，
∵AC平分∠BAP，
∴，
∴∠CAQ＝∠BAC+∠QAB＝70°+40°＝110°；
故答案为：110°；
（2）∵AD平分∠CAP，
∴∠CAE＝2∠CAF，
∵，
∴，
∵∠EFD＝∠AFC，∠AFC+∠ACE+∠CAF＝180°，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴3∠CAF＝∠ACE+∠CAF，即∠ACE＝2∠CAF，
∴∠ACE＝∠CAE，即∠ACE＝∠CAP，
∵AC平分∠BAP，
∴∠CAP＝∠CAB，
∴∠ACE＝∠CAB，
∴EC∥AB；
（3）当0≤t≤4时，如图，
∵∠M'AC＝10°t，∠MBM'＝30°（2+t），
∵AQ'⊥BM'，
∴∠BM'A＝90°﹣10°t，
∵PQ∥MN，
∴∠MBM'+∠AM'B＝180°，
即30°（2+t）+（90°﹣10°t）＝180°，
解得：；
当4＜t≤10时，如图，
∵∠N'AC＝10°t，
∵AQ'⊥BN'，
∴∠BN'A＝90°﹣10°t，
∵∠NBN'＝30°（t﹣4），
∴90°﹣10°t＝30°（t﹣4），
解得：；
当10＜t≤12时，如图，
∵∠MBM'＝30（t﹣10），AQ'⊥BM'，
∴∠AQ'M＝90+30（t﹣10），
∵∠QAQ'＝10t，PQ∥MN，
∴90+30（t﹣10）＝10t，
解得：，
在图形的左边垂直，10t+20t﹣120+30（t﹣10）＝90，
综上所述，t的值秒或秒或或9.75秒．
22．（2022秋•萍乡期末）已知点A在射线CE上，∠C＝∠ADB．
（1）如图1，若AD∥BC，求证：AC∥BD；
（2）如图2，若BD⊥BC，垂足为B，BD交CE于点G，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠BAC＝∠BAD，∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数．
【分析】（1）根据AD∥BC，可得∠DAE＝∠C，再根据∠C＝∠ADB，即可得到∠DAE＝∠ADB，即可得证；
（2）∠DAE+2∠C＝90°．根据三角形外角的性质，可得到∠CGB＝∠ADB+∠DAE，根据直角三角形两锐角互余，有∠CGB+∠C＝90°，再根据∠C＝∠ADB即可得到∠DAE与∠C的数量关系；
（3）设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，∠AFD＝180°﹣8α，根据DF∥BC，即可得到∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，再根据∠DAE+2∠C＝90°，即可得到α+2（180°﹣8α）＝90°，求得α的值，即可运用三角形内角和定理得到∠BAD的度数．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠C，
又∵∠C＝∠ADB，
∴∠DAE＝∠ADB，
∴AC∥BD；
（2）解：∠DAE+2∠C＝90°
理由如下：∵∠CGB是△ADG的外角，
∴∠CGB＝∠ADB+∠DAE，
∵BD⊥BC，
∴∠CBD＝90°，
∴在△BCG中，∠CGB+∠C＝90°，
∴∠ADB+∠DAE+∠C＝90°，
又∵∠C＝∠ADB，
∴∠DAE+2∠C＝90°；
（3）解：设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，
∴∠AFD＝180°﹣8α，
∵DF∥BC，
∴∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，
又∵∠DAE+2∠C＝90°，
∴2（180°﹣8α）+α＝90°，
∴α＝18°，
∴∠C＝180°﹣8×18°＝36°，
∴∠ADB＝∠C＝36°，
又∵∠BAC＝∠BAD，
∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝∠ABD，
∵∠CBD＝90°，
∴，
∴在△ABD中，∠BAD＝180°﹣45°﹣36°＝99°，
∴∠BAD的度数为99°．
23．（2022秋•鲤城区校级期末）如图①，已知AB∥CD，一条直线分别交AB、CD于点E、F，∠EFB＝∠B，FH⊥FB，点Q在BF上，连接QH．
（1）已知∠EFD＝70°，求∠B的度数；
（2）求证：FH平分∠GFD．
（3）在（1）的条件下，若∠FQH＝30°，将△FHQ绕着点F顺时针旋转，如图②，若当边FH转至线段EF上时停止转动，记旋转角为α，请求出当α为多少度时，QH与△EBF某一边平行？
（4）在（3）的条件下，直接写出∠DFQ与∠GFH之间的关系．
【分析】（1）由AB∥CD，得∠B＝∠BFD，又∠B＝∠EFB，得证；
（2）由（1）∠EFB＝∠BFD，由FH⊥FB，得∠BFD+∠DFH＝90°，∠EFB+∠GFH＝90°，由等角的余角相等，得∠DFH＝∠GFH，命题得证；
（3）由QH分别与△EBF的三边分别平行，分情况讨论处理；
（4）在（3）的各种情况下，分别计算∠DFQ与∠GFH的度数，可得结论∠DFQ与∠GFH相差20°．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BFD，
又∠B＝∠EFB，
∴，
∴∠B＝35°；
（2）∵FH⊥FB，
∴∠BFD+∠DFH＝90°，∠EFB+∠GFH＝90°，
∴∠DFH＝∠GFH，
∴FH平分∠GFD．
（3）①QH与△EFB的边BF平行时，如下图1及图4，

如图1，∵BF∥HQ，
∴∠H+∠BFH＝180°，
又∠H＝60°，
∴∠BFH＝120°，α＝∠BFQ＝120°﹣∠HFQ＝120°﹣90°＝30°；
如图4，∠HFB＝∠H＝60°，
α＝∠1+∠2+∠3＝360°﹣（∠HFB+∠HFQ）＝360°﹣（60°+90°）＝210°；
②QH与△EFB的边BE平行时，如下图2，
∠1＝∠3＝35°，∠2＝∠4＝30°，
∴α＝∠BFQ＝∠1+∠2＝35°+30°＝65°；
③QH与△EFB的边EF平行时，如下图3，
∠3＝∠Q＝30°，
∴α＝∠BFQ＝∠1+∠2+∠3＝35°+110°+30°＝175°，
综上，旋转角为α＝30°或65°或175°或210°．
（4）α＝30°时，∠DFQ＝∠DFB﹣∠BFQ＝35°﹣30°＝5°，∠GFH＝90°﹣∠EFB﹣∠BFQ＝90°﹣35°﹣30°＝25°；
α＝65°时，∠DFQ＝65°﹣35°＝30°，∠GFH＝90°﹣∠GFQ＝90°﹣（180°﹣35°﹣65°）＝10°；
α＝175°时，∠DFQ＝175°﹣35°＝140°，∠GFH＝180°﹣60°＝120°；
α＝210°时，∠DFQ＝210﹣35°＝175°，∠GFH＝360°﹣110°﹣35°﹣60°＝155°；
综上，∠DFQ与∠GFH相差20°．
24．（2023秋•香坊区校级期中）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，∠HPQ＝45°，K是GH上一点，连接PK，作PQ平分∠EPK，若∠PHG＝15°，求∠QPK的度数．
【分析】（1）根据同旁内角互补，两条直线平行即可判断直线AB与直线CD平行；
（2）先根据两条直线平行，同旁内角互补，再根据∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，可得∠EPF＝90°，进而证明PF∥GH；
（3）根据直角三角形的性质求出∠HPG＝75°，根据角的和差及邻补角定义求出∠EPQ＝60°，根据角平分线定义求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，
又∵∠1＝∠AEF，∠2＝∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP＝（∠BEF+∠EFD）＝90°，
∴∠EPF＝90°，
即EG⊥PF，
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH；
（3）解：∵∠PHG＝15°，GH⊥EG，
∴∠HPG＝90°﹣15°＝75°，
∵∠HPQ＝45°，
∴∠QPG＝∠HPQ+∠HPG＝120°，
∵∠QPG+∠EPQ＝180°，
∴∠EPQ＝60°，
∵PQ平分∠EPK，
∴∠QPK＝∠EPQ＝60°．
25．（2023秋•吉林期中）如图①，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，∠ACB＝∠E＝90°，∠EDF＝36°，∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，如图②，记∠ADF为α（0°＜α＜180°），在旋转的过程中：
（1）当∠α＝ 4 °时，DE∥BC，当∠α＝ 94 °时，DE⊥BC；
（2）如图③，当顶点C在△DEF的内部时，边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N．
①求出此时∠α的度数范围；
②∠1与∠2的度数和是否变化？若不变，请直接写出∠1与∠2的度数和；若变化，请说明理由．
【分析】（1）由DE∥BC得∠EDA＝∠ABC＝40°，再根据α＝∠EDA﹣∠EDF可得出答案；先求出∠A＝50°，由DE⊥BC得DE∥AC，进而得∠EDA+∠A＝180°，由此得∠EDA＝＝130°，然后根据α＝∠FDA＝∠EDA﹣∠EDF可得出答案；
（2）①先求出∠BCD＝∠ACD＝45°，∠CDA＝85°，求出当DE和CD重合时α＝∠CDA﹣∠EDF＝49°，当EF与CD重合时，α＝∠CDA＝85°，据此可求出∠α的度数范围；
②连接MN，在△CMN中得∠CNM+∠CMN+∠MCN＝180°，则∠CNM+∠CMN＝90°，在△MND中得∠DNM+∠DMN+∠MDN＝180°，即∠2+∠CNM+∠1+∠CMN+∠MDN＝180°，据此可得∠1+∠2的度数
【解答】解：（1）∵∠ABC＝40°，
∴当DE∥BC时，∠EDA＝∠ABC＝40°，如图①所示：
又∵∠EDF＝36°，
∴α＝∠EDA﹣∠EDF＝40°﹣36°＝4°，
故当∠α＝4°时，DE∥BC；
在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，
∴∠A＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝50°，
当DE⊥BC时，则DE∥AC，如图②所示：

∴∠EDA+∠A＝180°，
∴∠EDA＝180°﹣∠A＝130°，
又∠EDF＝36°，
∴α＝∠FDA＝∠EDA﹣∠EDF＝130°﹣36°＝94°，
故当α＝94°时，DE⊥BC．
故答案为：4，94．
（2）①∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACD＝45°，
∴∠CDA＝180°﹣（∠ACD+∠A）＝180°﹣（45°+50°）＝85°，
当DE和CD重合时，α＝∠CDA﹣∠EDF＝85°﹣36°＝49°，
当EF与CD重合时，α＝∠CDA＝85°，
∴当顶点C在△DEF的内部时，∠α的度数范围是：49°＜α＜85°．
②∠1与∠2的度数和不发生变化，∠1+∠2＝54°，理由如下：
连接MN，如图③所示：

在△CMN中，∠CNM+∠CMN+∠MCN＝180°，
∵∠MCN＝∠ACB＝90°，
∴∠CNM+∠CMN＝90°，
在△MND中，∠DNM+∠DMN+∠MDN＝180°，
即∠2+∠CNM+∠1+∠CMN+∠MDN＝180°，
∵∠CNM+∠CMN＝90°，∠MDN＝∠EDF＝36°，
∴∠1+∠2+90°+36°＝180°，
∴∠1+∠2＝180°﹣90°﹣36°＝54°．