浙江省湖州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题(学生版+解析)

这是一份浙江省湖州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题(学生版+解析)，共30页。试卷主要包含了 复数满足，则，006等内容，欢迎下载使用。

本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.
2. 作答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.不按以上要求作答的答案无效.
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，集合，则( )
A. B.
C. D.
2. 角的终边过点，则等于
A B. C. D.
3. 复数满足，则( )
A. B. C. D.
4. 在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，，则B. 若，，则
C. 若，，，则D. 若，，，则
5. 阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边(即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切)，球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二．今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为，则该模型中圆柱的体积与球的体积之和为( )
A B. C. D.
6. 已知向量，满足，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7. “忽登最高塔，眼界穷大千．卞峰照城郭，震泽浮云天．”这是苏东坡笔下湖城三绝之一“塔里塔”飞英塔．某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在点C处测得飞英塔顶端A的仰角，则飞英塔的高度约是( )(参考数据：，，)

A. 45米B. 50米C. 55米D. 60米
8. 三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，，则三棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 某中学为了解大数据提供的个性化作业的质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间，，…，，.( )
A. 频率分布直方图中a的值为0.006
B. 估计该中学学生对个性化作业评分不低于80的概率为0.04
C. 从评分在的受访学生中，随机抽取2人，此2人评分都在的概率为
D. 受访学生对个性化作业评分的第40百分位数为72.6
10. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“第一次掷出的点数是5”，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C表示事件“两次掷出的点数之和是5”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则( )
A. 事件A与C互斥B.
C. 事件B与D对立D. 事件B与C相互独立
11. 设函数，则( )
A. 函数是偶函数
B. 函数是奇函数
C. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到
D. 函数在区间上单调递增
12. 已知正四棱台的所有顶点都在球O的球面上，，，为内部(含边界)的动点，则( )

A. 直线与平面相交
B. 球O的体积为
C. 直线与平面所成角的最大值为
D. 取值范围为
第Ⅱ卷(非选择题部分，共90分)
注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设向量，为单位正交基底，若，，且，则______．
14. 已知采用分层抽样得到的高三男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172cm，方差为120，女生样本平均数165cm，方差为120，则总体样本方差是______.
15. 在锐角三角形ABC中，已知，则______，的最小值是______.
16. 对任意的，不等式恒成立，求正实数t的取值范围是______.(其中是自然对数的底数)
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 习近平总书记指出:“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分(满分分)从低到高将心理健康状况分为四个等级:
并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人.
(1)求的值及频率分布直方图中的值；
(2)在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为 “良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?
(3)心理调查机构与该市管理部门设定的预案是:以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数=(问卷调查评分/100)
18. 如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点(点 不同于点)，且为的中点．
求证：(1)平面平面；
(2)直线平面．
19. 在△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知．
(1)求角B的值；
(2)若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC的面积S的取值范围．
20. 已知函数的图象过点，且对，恒成立.
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求的最小值.(其中是自然对数的底数)
21. 已知面积为的菱形ABCD如图①所示，其中，E是线段AD的中点．现将沿AC折起，使得点D到达点S的位置.

(1)若二面角的平面角大小为，求三棱锥的体积；
(2)若二面角的平面角，点F在三棱锥的表面运动，且始终保持，求点F的轨迹长度的取值范围.
22. 如图，在中，，，D，E，F分别在线段AC，AB，BC上，满足且，记.

(1)用含的代数式表示；
(2)求面积的最小值.
2022学年第二学期期末调研测试卷
高一数学
本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.
2. 作答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.不按以上要求作答的答案无效.
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，集合，则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解一元二次不等式得到集合，再根据并集的定义计算可得.
【详解】由得，解得，所以，
又，所以，
故选：A.
2. 角的终边过点，则等于
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由三角函数的定义知，x＝－1，y＝2，r＝＝，∴sinα＝＝.
3. 复数满足，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由虚数单位的乘方的性质结合除法运算可得，进而可得共轭复数.
【详解】因为，
所以可化为
所以，
所以.
故选：C.
4. 在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，，则B. 若，，则
C. 若，，，则D. 若，，，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据线面的位置关系及判定方法求解.
【详解】若，，，则或异面，故A错误；
若，，则或，故B错误；
若，，，可能有，故C错误；
若，，则，又，则，故D正确，
故选：D.
5. 阿基米德是伟大古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边(即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切)，球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二．今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为，则该模型中圆柱的体积与球的体积之和为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知，设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，然后由圆柱表面积可求出，从而可求出圆柱与球的体积.
【详解】由题意可知，设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，
因为圆柱表面积为，所以，解得，
所以圆柱的体积为，球的体积为，
则该模型中圆柱的体积与球的体积之和为.
故选：C.
6. 已知向量，满足，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据投影向量的概念求解.
【详解】∵，∴，
则在上的投影向量为，
故选：A．
7. “忽登最高塔，眼界穷大千．卞峰照城郭，震泽浮云天．”这是苏东坡笔下的湖城三绝之一“塔里塔”飞英塔．某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在点C处测得飞英塔顶端A的仰角，则飞英塔的高度约是( )(参考数据：，，)

A. 45米B. 50米C. 55米D. 60米
【答案】C
【解析】
【分析】应用和角正弦公式求，在△中应用正弦定理求，再由求建筑物的高．
【详解】，
由题设得，在△中，
所以，
则米．
故选：C．
8. 三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，，则三棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取中点为，连接，证得平面.找出外接圆的圆心为，求出.设为三棱锥外接球的球心，，，在以及中，根据勾股定理，列出关于的关系式，求解得出的值，根据球的面积公式，即可得出答案.
【详解】
如图，取中点为，连接，设外接圆的圆心为，连接.
因为，，中点为，所以.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面.
设为三棱锥外接球的球心，半径为，连接，则，平面.
因为，，
所以，，，.
设，，过作交于点，连接，
则，.
又平面，，
在中，有.
又在中，有.
所以，有，解得，
所以，.
所以，三棱锥外接球的表面积为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：找出外接圆的圆心，根据面面垂直的性质定理得出平面的垂线，过作垂线的平行线，可知球心在该条线上.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 某中学为了解大数据提供个性化作业的质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间，，…，，.( )
A. 频率分布直方图中a的值为0.006
B. 估计该中学学生对个性化作业的评分不低于80的概率为0.04
C. 从评分在的受访学生中，随机抽取2人，此2人评分都在的概率为
D. 受访学生对个性化作业评分的第40百分位数为72.6
【答案】AC
【解析】
【分析】利用频率之和为1列出方程求出可判断A；计算出不低于80分的频率作为概率的估计值可判断B；利用列举法求解古典概型的概率可判断C；根据百分位数的概念求解可判断D.
【详解】由题意得，解得，故A正确；
由频率分布直方图知，不低于80分的频率之和为，
因此估计该中学学生对个性化作业评分不低于80的概率为0.4，故B错误；
受访学生评分在的有人，依次为、、，
受访学生评分在的有人，依次为、，
从这5名受访学生中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，依次为：
、、、、、、、、、，
因为所抽取2人的评分都在的结果有1种，，
因此2人评分都在的概率为，故C正确；
因为，
故第40百分位数在内，设为，
则，解得,故D错误.
故选：AC.
10. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“第一次掷出的点数是5”，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C表示事件“两次掷出的点数之和是5”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则( )
A. 事件A与C互斥B.
C. 事件B与D对立D. 事件B与C相互独立
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据互斥的定义判定A；利用对立事件的概率公式可求得，从而判定B；根据对立事件的概念判定C；利用独立事件的概率公式判断D．
【详解】用实数对表示试验结果，共有36种结果，
事件A：；
事件B：，，
；
事件C：.
因为A与C不可能同时发生，所以A与C互斥，故A正确；
记 “两次点数均为偶数” 为事件E：，，，
则，故，故B正确；
因为B与D可能同时发生，如事件B：，事件D：，所以B与D不对立，故C错误；
事件BC：，则，
所以，所以B，C独立，故D正确．
故选：ABD.
11. 设函数，则( )
A. 函数是偶函数
B. 函数是奇函数
C. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到
D. 函数在区间上单调递增
【答案】BC
【解析】
【分析】由已知化简可得，.代入，化简即可判断A、B项；根据图象的平移，求解即可判断C项；根据的单调性以及的解，即可得出函数的单调递增区间，即可判断D项.
【详解】因为.
对于A项，因为，所以函数是奇函数，故A项错误；
对于B项，由A可知，函数是奇函数，故B项正确；
对于C项，函数的图象向左平移个单位得到，故C项正确；
对于D项，由可得，
，
所以，函数的单调递增区间为.
同理可得，函数的单调递减区间为.
由可得，，
所以，.
由可得，，
所以，.
当且单调递增时，函数单调递增，
此时有，
即.
当且单调递减时，函数单调递增，
此时有，
即.
综上所述，当时，函数单调递增.
故D项错误.
故选：BC.
12. 已知正四棱台的所有顶点都在球O的球面上，，，为内部(含边界)的动点，则( )

A. 直线与平面相交
B. 球O的体积为
C. 直线与平面所成角的最大值为
D. 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，利用平行四边形证得AE∥O2G，进而证得AE∥平面BDG，可判断直线AE与平面BDG的交点；对于B，先假设O的位置，利用勾股定理与半径相等得到等量关系，可确定O的位置，可求出半径，故可求得球O的体积；对于C，利用面面垂直的性质作出AP⊥面BDG，故∠AMP为AM与平面BDG所成角，再利用得知当M与O2重合时，∠AMP取得最大值，再利用对顶角相等求∠G O2C，进而得到∠AMP的最大值；对于D，先判断M落O2G上，再进一步判断M与O2重合时，取得最小值为，再计算当M在点时的长度判断的最大值即可求出范围.
【详解】对于A，如图1，

由棱台的结构特征易知与的延长线必交于一点，故四点共面，
又面∥面，而面∩面＝，面∩面＝，故∥，即∥；
由平面几何易得，，即=；
所以四边形是平行四边形，故，
而面，面，故∥平面，即直线与平面不相交，故A错误；
对于B，如图2，

设O1为的中点，O为正四棱台外接球的球心，则AO＝EO＝R，
在等腰梯形中，易得，即，
为方便计算，不妨设O1O＝a，由，
若在正四棱台外，即面外侧，，则，
所以，不合；
若在正四棱台内，即，则，所以，
综上，O与O2重合，故，故球O体积为，故B正确；
对于C，由图2易得BD⊥O1O2，BD⊥AC，O1O2∩AC＝O2，O1O2、AC⊂面ACGE，
故BD⊥面ACGE，BD⊂面BDG，故面ACGE⊥面BDG，
在面ACGE内过A作AP⊥O2G交O2G于P，如图3，

则AP⊂面ACGE，面ACGE∩面BDG＝O2G，故AP⊥面BDG，故∠AMP为AM与平面BDG所成角，
在Rt△APM中，，故当AM取得最小值时，sin∠AMP取得最大值，即∠AMP取得最大值；
显然，动点M与O2重合时，AM取得最小值，即∠AMP取得最大值，且∠AMP＝∠CO2G，
在△O2GC中，，，，
故△O2GC为正三角形，即∠CO2G＝60°，即AM与平面BDG所成角的最大值为，故C正确；
对于D，由C知，BD⊥面ACGE，
不妨设M落在图4的M处，过M作MN∥BD，交O2G于点N，则MN⊥面ACGE，
NA在面ACGE中，故MN⊥NA，在Rt△AMN'中，NA＜MA(勾股边小于斜边)；同理EN＜EM，
所以NA+NE＜MA+ME，故动点M只有落在O2G上，EM+MA才有可能取得最小值；
再看图5，由E关于O2G对称点为C知，；
当在边界时，取得最大值，
当与点重合时，，，
即，，此时；
当点与点或点重合时，，
所以的范围为，故D正确；

故选：BCD．
第Ⅱ卷(非选择题部分，共90分)
注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设向量，为单位正交基底，若，，且，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】由条件可得，然后可算出答案.
【详解】因为向量，为单位正交基底，，，
所以，即
所以，即
故答案为：2
14. 已知采用分层抽样得到的高三男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172cm，方差为120，女生样本平均数165cm，方差为120，则总体样本方差是______.
【答案】132.25
【解析】
【分析】由已知求出总体平均数，然后根据分层抽样总体的方差公式，代入相关数据，求解即可得出答案.
【详解】设男生样本平均数为，方差为，女生样本平均数为，方差为，总体平均数为，总体方差为，则由已知可得，，，，
所以，总体平均数.
根据分层抽样总体的方差公式可知，
总体样本方差.
故答案为：.
15. 在锐角三角形ABC中，已知，则______，的最小值是______.
【答案】 ①. 3 ②. ##
【解析】
【分析】先由正弦定理化角为边，再用余弦定理化边为角，结合三角恒等变换可得；利用，得出，结合基本不等式求得最小值.
【详解】因为，由正弦定理得，从而，
则，
所以，
即有，即.
，
则
，
当且仅当，即时取等号
所以的最小值为.
故答案为：3，.
16. 对任意的，不等式恒成立，求正实数t的取值范围是______.(其中是自然对数的底数)
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，，利用函数的单调性可得，即可求解.
【详解】，
则对任意的恒成立，
令，，
当时，，单调递增，
而，
所以，即对任意的恒成立，
所以，又，解得或，
故正实数t的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 习近平总书记指出:“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分(满分分)从低到高将心理健康状况分为四个等级:
并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人.
(1)求的值及频率分布直方图中的值；
(2)在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为 “良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?
(3)心理调查机构与该市管理部门设定预案是:以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数=(问卷调查评分/100)
【答案】(1)2000，；(2)；(3)只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动，理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)由调查评分在的市民为人及频率可得样本容量；根据频率和为1可得t；
(2)由(1)知，根据调查评分在有人，有人，计算出
心理等级均达不到良好的概率，由对立事件的概率可得答案；
(3)由频率分布直方图估计市民心理健康问卷调查的平均评分及平均值与0.8作比较可得答案.
【详解】(1)由已知条件可得，每组的纵坐标的和乘以组距为1，
所以，解得.
(2)由(1)知，
所以调查评分在的人数占调查评分在人数的，
若按分层抽样抽取人，
则调查评分在有人，有人，
因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，
所以选出的人经过心理疏导后，
心理等级均达不到良好的概率为，
所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为.
(3)由频率分布直方图可得，
，
估计市民心理健康问卷调查的平均评分为，
所以市民心理健康指数平均值为，
所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.
【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用及相互独立事件概率的求解，由频率分布直方图中是没有样本数据的，平均值等于每个小长方形面积乘每组横坐标的中点，然后相加求和，且所有矩形的面积之和为1，考查了学生分析数据处理问题的能力.
18. 如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点(点 不同于点)，且为的中点．
求证：(1)平面平面；
(2)直线平面．
【答案】见解析
【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系．
【解析】
【分析】
【详解】(1)要证平面平面，只要证平面上的平面即可．它可由已知是直三棱柱和证得．
(2)要证直线平面，只要证∥平面上的即可
证明：(1)∵是直三棱柱，∴平面．
又∵平面，∴．
又∵平面，∴平面．
又∵平面，∴平面平面．
(2)∵，为的中点，∴．又∵平面，且平面，∴．又∵平面，，∴平面． 由(1)知，平面，∴∥．又∵平面平面，∴直线平面
19. 在△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知．
(1)求角B的值；
(2)若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC的面积S的取值范围．
【答案】(1)60°；
(2)﹒
【解析】
【分析】(1)根据已知条件，结合正弦定理角化边和余弦定理即可求出csB及B；
(2)根据B=60°和三角形是锐角三角形可求A=120°-C且，利用正弦定理用sinA和sinC表示出a边，利用三角函数值域求出a的范围，根据即可求三角形面积的范围．
【小问1详解】
∵，
∴由正弦定理得，即，即，
即，
由余弦定理得，∵，∴；
【小问2详解】
∵B=60°，∴，即A=120°-C，又∵，
∴由正弦定理得，
∴，
∵△ABC为锐角三角形，∴，解得，
从而，∴．
20. 已知函数的图象过点，且对，恒成立.
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求的最小值.(其中是自然对数的底数)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由题意知的对称轴为，结合所过点列方程求得得解析式；
(2)令，通过分类讨论，分离参数法变形，结合基本不等式求解．
【小问1详解】
由题意知的对称轴为，得，
又得，∴.
【小问2详解】
令，
原不等式等价于，即在上恒成立.
下面分三种情况讨论：
①当时，不等式等价于，
而，当且仅当取等号，故；
②当时，；
③当时，不等式等价于，
而，当且仅当取等号，故；
综上所述，
所以的最小值为.
21. 已知面积为的菱形ABCD如图①所示，其中，E是线段AD的中点．现将沿AC折起，使得点D到达点S的位置.

(1)若二面角的平面角大小为，求三棱锥的体积；
(2)若二面角的平面角，点F在三棱锥的表面运动，且始终保持，求点F的轨迹长度的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由菱形ABCD的面积得，二面角的平面角为，可得点S到平面ABC的距离，从而可求三棱锥的体积；
(2)取AC边上靠近点A四等分点G，取AB的中点为H，则平面EGH，故点F的轨迹长度即为的周长，由于，，由二面角的大小平面角，结合余弦定理及三角函数的性质可得的范围，从而可得答案..
【小问1详解】
因为菱形ABCD的面积为，得，，，
又因为二面角的平面角为，且大小为，所以，
故点S到平面ABC的距离为，
由于的面积为，
则三棱锥的体积为.
【小问2详解】
取AC边上靠近点A的四等分点G，取AB的中点为H，连接EH，EG，GH，
∵EG∥SO，SO⊥AC，∴AC⊥EG，同理AC⊥GH，
∵，平面EGH，所以平面EGH，
故点F的轨迹长度即为的周长.
由于，，，
且二面角的大小平面角，
，
∵，∴，，
则，，
所以点F的轨迹长度的取值范围为.

22. 如图，在中，，，D，E，F分别在线段AC，AB，BC上，满足且，记.

(1)用含的代数式表示；
(2)求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由题意知，然后由结合两角和的正弦公式求解；
(2)中，，在中，由正弦定理得，可得的表达式，结合辅助角公式求出最值.
【小问1详解】
由题意知，，
故，其中，.
所以，在中.
【小问2详解】
中，，
在中，由正弦定理得，
即，得，
∵，∴
设
，其中，当时，，
此时，
当，即，即取等号.
故面积的最小值为.
调查评分
心理等级
有隐患
一般
良好
优秀
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