广东省部分学校2022-2023学年高一下学期5月统一调研数学试题(学生版+解析)

这是一份广东省部分学校2022-2023学年高一下学期5月统一调研数学试题(学生版+解析)，共19页。

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于( )
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知平面向量，，若，则( )
A. 1B. C. 2D.
4. 已知，则与同向的单位向量的坐标是( )
A. B. C. D.
5. 是第( )象限角.
A. 一B. 二C. 三D. 四
6. 在中，角A，，的对边分别为，，，若，，则( )
A. 1B. C. 2D.
7. 在达州市北部的凤凰山上有一座标志性建筑—凤凰楼，某同学为测量凤凰楼的高度MN，在凤凰楼的正北方向找到一座建筑物AB，高约为，在地面上点C处(B，C，N三点共线)测得建筑物顶部A，凤凰楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得凤凰楼顶部M的仰角为15°，凤凰楼的高度约为( )
A. B. C. D.
8. 剪(折)纸是幼儿园大班儿童的必修课，通过剪(折)纸，可以培养儿童的动手能力和热爱劳动的优秀品质以及对艺术作品的欣赏能力．通过对正三角形、正方形、正五边形、正六边形纸片进行简单的裁前、折叠可以制作出三叶风车、四叶风车、五叶风车、六叶风车．如图(1)是一个五叶风车，图(2)是正五边形，若该正五边形的边长为1，则( )

A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则可能为( )
A B. C. D.
10. 已知，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则B. 若是纯虚数，则
C. 当时，D. 当时，
11. 下列命题中错误的是( )
A. 若，且，则
B. 若，则存唯一实数使得
C. 若，，则
D. 若，则与的夹角为钝角
12. 如图在四棱台中，点，分别为四边形，对角线交点，则下列结论正确的是( )

A. 若四棱台是正四棱台，则棱锥是正四棱锥
B. 几何体是三棱柱
C. 几何体是三棱台
D. 三棱锥的高与四棱锥的高相等
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向是，，且，则实数的值为______．
14. 在中，内角A，，所对的边分别为，，，若，，，则______．
15. 如图，是水平放置的的直观图，，轴，则的面积为______．

16. 如图，已知是以为直径的上半圆上的动点(包含端点，)，是的中点，，则的最大值是______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知函数．
(1)写出的最小正周期及其图像的对称轴方程；
(2)求在上的值域．
18. 已知向量，．
(1)若，求；
(2)若，求实数值．
19. 已知复数满足．
(1)求；
(2)求．
20. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上靠近C的三等分点，点F是CD的中点，设，．
(1)试用，分别表示与；
(2)利用向量法证明：B，E，F三点共线．
21. 在中，角，，的对边分别为，，，，，．
(1)求角；
(2)若，求的面积．
22. 如图(1)是陕西澄城县三门塔，某中学高一学生数学建模小组在学习了解三角形之后，决定通过实地测量，测出塔的高度，以巩固所学知识，提高动手能力．已知测角仪的高为，他们通过两种方法测得两组数据：

①如图(2)，在处测得塔顶的仰角为，向塔方向前进米到达处，测得塔顶仰角为；
②如图(3)，在处测得塔顶的仰角为，向东前进米到达处，测得塔顶仰角为，同时测得．
试就两种测量方法分别求出计算塔高的公式．
广东省2022—2023学年高一下学期5月统一调研测试
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题中条件，由交集的概念，可直接得出结果.
【详解】集合，，所以集合．
故选：D.
2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的几何意义求解即可得出答案.
【详解】，则在夏平面内对应的点为，位于第一象限.
故选：A．
3. 已知平面向量，，若，则( )
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平行向量的坐标求解即可.
【详解】因为，，，
所以，解得，
故选：C．
4. 已知，则与同向的单位向量的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题可得与同向的单位向量是，据此可得答案.
【详解】由题，则与同向的单位向量是，对应坐标是.
故选：A．
5. 是第( )象限角.
A. 一B. 二C. 三D. 四
【答案】A
【解析】
【分析】由，进而可判断属于第几象限.
【详解】因为，
所以是第一象限角.
故选：A.
6. 在中，角A，，的对边分别为，，，若，，则( )
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】由余弦定理可得答案.
【详解】由余弦定理得.
故选：D．
7. 在达州市北部的凤凰山上有一座标志性建筑—凤凰楼，某同学为测量凤凰楼的高度MN，在凤凰楼的正北方向找到一座建筑物AB，高约为，在地面上点C处(B，C，N三点共线)测得建筑物顶部A，凤凰楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得凤凰楼顶部M的仰角为15°，凤凰楼的高度约为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理求得正确答案.
【详解】在中，，
在中，，，
，
由正弦定理得，
所以在等腰直角三角形中，有.
故选：C
8. 剪(折)纸是幼儿园大班儿童的必修课，通过剪(折)纸，可以培养儿童的动手能力和热爱劳动的优秀品质以及对艺术作品的欣赏能力．通过对正三角形、正方形、正五边形、正六边形纸片进行简单的裁前、折叠可以制作出三叶风车、四叶风车、五叶风车、六叶风车．如图(1)是一个五叶风车，图(2)是正五边形，若该正五边形的边长为1，则( )

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设为正五边形的外接圆圆心，，在中，由余弦定理求出，再由数量积的定义求解即可.
【详解】如图，设为正五边形的外接圆圆心，则，
所以．又，所以在中，
由余弦定理得：，
又，所以
，
故选：D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 在中，角，，所对边分别为，，，且，，则可能为( )
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由条件，结合正弦定理化边为角，可得，再求出A的值.
【详解】由正弦定理，可得，即，则，
因为，，所以，所以A为锐角或钝角，
所以，或.
故选：BC.
10. 已知，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则B. 若纯虚数，则
C. 当时，D. 当时，
【答案】AC
【解析】
【分析】根据复数的概念判断A、B，求复数的模判断C，根据共轭复数的概念判断D.
【详解】因为，所以，得，选项A正确；
因为是纯虚数，所以且，得，选项B错误；
当时，，，，选项C正确，D错误.
故选：AC.
11. 下列命题中错误的是( )
A. 若，且，则
B. 若，则存在唯一实数使得
C. 若，，则
D. 若，则与的夹角为钝角
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据平面向量共线的性质与数量积的定义判断各选项即可求解.
【详解】对于A，由，得或，又，所以，故A正确；
对于B，若，，则不存在使得，故B错误；
对于C，若，，，则满足，，但与不一定平行，故C错误；
对于D，设与的夹角为，由，则，
即，故D错误.
故选：BCD.
12. 如图在四棱台中，点，分别为四边形，的对角线交点，则下列结论正确的是( )

A. 若四棱台是正四棱台，则棱锥是正四棱锥
B. 几何体三棱柱
C. 几何体是三棱台
D. 三棱锥的高与四棱锥的高相等
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据正棱锥、棱柱、棱台的概念即可判断A、B、C，根据锥体的高和四棱锥的高判断D.
【详解】由正棱台的定义知四边形是正方形，是高，
则由正棱锥的定义知是正四棱锥，选项A正确；
几何体中，没在任何两个平面平行，选项B错误；
将四棱台沿轴截面分成两部分，
其中之一是三棱台，选项C正确；
三棱锥的高和四棱锥的高都是四棱台的高，
所以相等，选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向是，，且，则实数的值为______．
【答案】##05
【解析】
【分析】由向量垂直的坐标表示可得答案.
【详解】由，得．
故答案为：
14. 在中，内角A，，所对的边分别为，，，若，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理可得答案.
【详解】，由正弦定理得，即，得．
故答案为：
15. 如图，是水平放置的的直观图，，轴，则的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】由斜二测画法相关知识结合图形可得答案.
【详解】依题意是等腰直角三角形，，所以，
则在原图中，，，且，所以的而积为．
故答案为：.
16. 如图，已知是以为直径的上半圆上的动点(包含端点，)，是的中点，，则的最大值是______．

【答案】2
【解析】
【分析】设，则，据此可得答案.
【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即与重合时取等号，故的最大值是2．
故答案为：2
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知函数．
(1)写出的最小正周期及其图像的对称轴方程；
(2)求在上的值域．
【答案】(1)；对称轴方程为，．
(2)
【解析】
【分析】(1)由周期计算公式及余弦函数的对称轴方程可得答案；
(2)因，则，后由函数在上的单调性可得答案.
【小问1详解】
由题意得，周期；令，，解得，，
所以图像的对称轴方程为，．
【小问2详解】
由，可得，因函数在上单调递减，
则.
即所以在上的值域为．
18. 已知向量，．
(1)若，求；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由数量积坐标表示求解即可；
(2)计算，由垂直向量的坐标表示求解即可.
【小问1详解】
时，，，
所以．
【小问2详解】
，
，
因为，
所以
整理得，故．
19. 已知复数满足．
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)设，根据复数的模长公式以及复数相等列式求解即可；
(2)根据(1)中结果结合复数的模长公式运算求解.
【小问1详解】
设，
则由，得，
即，则，解得，
所以．
【小问2详解】
由(1)可知：，则，
所以.
20. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上靠近C的三等分点，点F是CD的中点，设，．
(1)试用，分别表示与；
(2)利用向量法证明：B，E，F三点共线．
【答案】(1)；
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据平面向量的三角形合成法则，即可得出答案.
(2)用，分别表示出，证明共线，从而证明B，E，F三点共线.
【小问1详解】
；
．
【小问2详解】
证明：因为，
所以，所以，
又B是公共点，所以B，E，F三点共线．、
21. 在中，角，，的对边分别为，，，，，．
(1)求角；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由同角三角函数的基本关系求出，再由两角和的余弦公式代入求解即可得出答案.
(2)由正弦定理求出，再由三角形的面积公式即可得出答案.
【小问1详解】
因为，所以，
因为，所以．
因为，
所以，
从而．
【小问2详解】
由正弦定理，得，
从而，．
所以的面积．
22. 如图(1)是陕西澄城县三门塔，某中学高一学生数学建模小组在学习了解三角形之后，决定通过实地测量，测出塔的高度，以巩固所学知识，提高动手能力．已知测角仪的高为，他们通过两种方法测得两组数据：

①如图(2)，在处测得塔顶的仰角为，向塔方向前进米到达处，测得塔顶仰角为；
②如图(3)，在处测得塔顶的仰角为，向东前进米到达处，测得塔顶仰角为，同时测得．
试就两种测量方法分别求出计算塔高的公式．
【答案】①②
【解析】
【分析】对于①，由题有，，由正弦定理有，则，.据此得答案；
对于②，设，则，，在中，由余弦定理得，即得，又，即可得答案.
【详解】对于①，依题意，A，，在一条直线上，，，，
在中，由正弦定理得，得，
在中，，
所以塔高；
对于②，设，则在中，，
在中，，
在中，，，
由余弦定理得，
即，
化简得，
所以塔高.