广东省东莞市2022-2023学年高一下学期期末数学试题(学生版+解析)

这是一份广东省东莞市2022-2023学年高一下学期期末数学试题(学生版+解析)，共26页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高一数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
1. 复数(是虚数单位)等于( )
A. B. C. D.
2. 已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
3. 利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法，用此方法可以快速进行大量重复试验，进而用频率估计概率．甲、乙两名选手进行比赛，采用三局两胜制决出胜负，若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．利用计算机产生1~5之间的随机整数，约定出现随机数1或2时表示一局比赛甲获胜，由于要比赛3局，所以3个随机数为一组，现产生了20组随机数如下：
354 151 314 432 125 334 541 112 443 534 312 324 252 525 453 114 344 423 123 243，则依此可估计甲选手最终赢得比赛的概率为( )
A. B. C. D.
4. 已知不重合的直线，和不重合的平面，，下列命题正确的是( )
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
5. 平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关．下面四幅频率分布直方图中，最能说明平均数大于中位数的是( )
A B.
C. D.
6. 正方体中，与所成角为的直线是( )
A. B. C. D.
7. 如图，在平行四边形中，，，，将三角形沿翻折得三角形，使得交于，则( )

A. B. C. D.
8. 对敏感性问题调查的关键是要设法消除被调查者的顾虑，使他们能如实回答问题．为调查学生是否有在校使用手机的情况时，某校设计如下调查方案：调查者在没有旁人的情况下，独自从一个箱子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题：抽到红球，则回答问题，且箱子中只有白球和红球．
问题：你的生日的月份是否为偶数?(假设生日的月份为偶数的概率为)
问题：你是否有在校使用手机?
已知该校在一次实际调查中，箱子中放有白球个，红球个，调查结束后共收到张有效答卷，其中有张回答“是”，如果以频率估计概率，估计该校学生有在校使用手机的概率是(精确到)( )
A B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
9. 某学习小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生去参加知识竞赛，则下列说法正确是( )
A. 事件“恰有1名女生”与事件“恰有2名女生”是互斥事件
B. 事件“至少有1名女生”与事件“至少有1名男生”是互斥事件
C. 事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名女生”是对立事件
D. 事件“至少有1名女生”与事件“全是男生”是对立事件
10. 在中，，，，则可能的取值有( )
A. B. 2C. 3D. 4
11. 已知复平面内复数对应的点为，复数对应的点为，为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A. 若与关于实轴对称，则为实数
B. 若与关于实轴对称，则
C. 若，则
D. 若，则：
12. 如图，在直三棱柱中，底面为等边三角形，，，分别为，中点，记过，，三点的平面与的交点为，则下列说法正确的是( )

A. 为的中点
B. 三棱锥的体积为
C. 截面的周长为
D. 截面的面积为24
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上．
13. 已知与为互斥事件，且，，则________．
14. 某射击运动员在射击测试中射靶10次，命中环数分别为：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4，则该运动员本次射击测试命中环数的第百分位数为______.
15. 已知是虚数，是实数，则________．
16. 已知正方体的棱长为1，从正方体的8个顶点中选出4个点构成一个体积大于的三棱锥，则这4个点可以是________．(写出一组即可)
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．
17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
(1)求
(2)若，的面积为，求的周长．
18. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件“第一次的点数大于3”，事件“两次点数之和为奇数”．
(1)求事件的概率
(2)判断事件与事件是否相互独立，并说明理由．
19. 如图，在正方体中，棱长为、分别为棱，的中点，过点作一截面，将正方体分为上下两部分．

(1)求点到截面的距离；
(2)求正方体在截面下部分的体积．
20. 如图，，都垂直于平面，平面平面，且，为的中点，求证：

(1)平面；
(2)平面．
21. 树人中学男女学生比例约为，某数学兴趣社团为了解该校学生课外体育锻炼情况(锻炼时间长短(单位：小时)，采用样本量比例分配的分层抽样，抽取男生人，女生人进行调查．记男生样本为，，，，样本平均数、方差分别为、；女生样本为，，，，样本平均数、方差分别为、；总样本平均数、方差分别为、.

(1)证明：；
(2)该兴趣社团通过分析给出以下两个统计图，假设两个统计图中每个组内的数据均匀分布，根据两图信息分别估计男生样本、女生样本的平均数；
(3)已知男生样本方差，女生样本方差，请结合(2)问的结果计算总样本方差的估计值.
22. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，平面平面，，．

(1)当时，求异面直线与所成角的余弦值；
(2)若存在球与三棱柱各个面都相切，求的正弦值．
2022-2023学年度第二学期教学质量检查
高一数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
1. 复数(是虚数单位)等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用复数的四则运算法则进行运算即可.
【详解】
故选：.
2. 已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标表示求出，从而求出的坐标，即可求出其模.
【详解】因为，，且，
所以，解得，所以，
所以，所以.
故选：C
3. 利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法，用此方法可以快速进行大量重复试验，进而用频率估计概率．甲、乙两名选手进行比赛，采用三局两胜制决出胜负，若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．利用计算机产生1~5之间的随机整数，约定出现随机数1或2时表示一局比赛甲获胜，由于要比赛3局，所以3个随机数为一组，现产生了20组随机数如下：
354 151 314 432 125 334 541 112 443 534 312 324 252 525 453 114 344 423 123 243，则依此可估计甲选手最终赢得比赛的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意分析随机数中表示甲获胜的数目，然后利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】根据题意，在20组随机数中，表示甲获胜有：151，125，112，312，252，114，123，共7种情况，
所以可估计甲选手最终赢得比赛的概率为，
故选：B
4. 已知不重合的直线，和不重合的平面，，下列命题正确的是( )
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间中线面、面面的位置关系判断即可.
【详解】对于A：若，，则或与相交，故A错误；
对于B：若，，，则或与相交(不垂直)，故B错误；
对于C：若，，且与不重合，所以，故C正确；
对于D：若，，，则或或与相交(不垂直)，故D错误.
故选：C
5. 平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关．下面四幅频率分布直方图中，最能说明平均数大于中位数的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对于单峰频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数大体相等，和中位数相比，平均数总在“长尾巴”那边.
【详解】对于图象对称，平均数和中位数相等，中图象尾巴向右拖，中图象尾巴靠左拖，故正确.
故选：.
6. 正方体中，与所成角为的直线是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方体的几何结构，以及异面直线所成角的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】如图所示，在正方体中，
对于A中，，所以与所成的角，即为与所成的角，
在等腰直角中，可得，所以与所成的角为，不符合题意；
对于B中，在直角中，可得,不符合题意；
对于C中，连接，由正方形，可得，
又由正方体中，可得平面，
因为平面，所以，
又因为且平面，所以平面，
因为平面，所以，所以与所成的角为，不符合题意；
对于D中，正方体中，连接，可得，
所以与所成的角，即为与所成的角，
在等边中，可得，即与所成的角为，符合题意.
故选：D.

7. 如图，在平行四边形中，，，，将三角形沿翻折得三角形，使得交于，则( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知条件可得≌，则，设，则，然后在中利用余弦定理可求出，从而可得答案.
【详解】因为在平行四边形中，，，，
所以，，
因为将三角形沿翻折得三角形，使得交于，
所以，
因为，所以≌，
所以，设，则，
在中由余弦定理得，
，解得，即，
故选：B
8. 对敏感性问题调查的关键是要设法消除被调查者的顾虑，使他们能如实回答问题．为调查学生是否有在校使用手机的情况时，某校设计如下调查方案：调查者在没有旁人的情况下，独自从一个箱子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题：抽到红球，则回答问题，且箱子中只有白球和红球．
问题：你的生日的月份是否为偶数?(假设生日的月份为偶数的概率为)
问题：你是否有在校使用手机?
已知该校在一次实际调查中，箱子中放有白球个，红球个，调查结束后共收到张有效答卷，其中有张回答“是”，如果以频率估计概率，估计该校学生有在校使用手机的概率是(精确到)( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】计算出回答问题的学生人数，以及回答问题回答“是”的学生人数，进而可求得该校学生有在校使用手机的概率.
【详解】由题意可知，回答问题的学生人数为，其中回答问题回答“是”的人数为，
回答问题的学生人数为，其中回答问题回答“是”的人数为，
因此，估计该校学生有在校使用手机的概率是.
故选：B.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
9. 某学习小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生去参加知识竞赛，则下列说法正确的是( )
A. 事件“恰有1名女生”与事件“恰有2名女生”是互斥事件
B. 事件“至少有1名女生”与事件“至少有1名男生”是互斥事件
C. 事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名女生”是对立事件
D. 事件“至少有1名女生”与事件“全是男生”是对立事件
【答案】AD
【解析】
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断即可.
【详解】事件“恰有1名女生”等价于事件“一名男生和一名女生”，
该事件与事件“恰有2名女生”不可能同时发生，
故事件“恰有1名女生”与事件“恰有2名女生”是互斥事件，A正确；
事件“至少有1名女生”与事件“至少有1名男生”都包含事件“一名男生和一名女生”，
所以事件“至少有1名女生”与事件“至少有1名男生”不是互斥事件，B错误；
事件“恰有2名男生”发生时，事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名女生”都没发生，
所以事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名女生”和事件不是必然事件，
所以事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名女生”不是对立事件，C错误；
事件“至少有1名女生” 与事件“全是男生”不可能同时发生，故两事件互斥，
又它们的和事件为必然事件，
所以事件“至少有1名女生”与事件“全是男生”是对立事件，D正确；
故选：AD.
10. 在中，，，，则可能的取值有( )
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意由余弦定理直接列方程求解即可
【详解】在中，，，，
则由余弦定理得，
，整理得，
解得或，
故选：BD
11. 已知复平面内复数对应的点为，复数对应的点为，为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A. 若与关于实轴对称，则为实数
B. 若与关于实轴对称，则
C. 若，则
D. 若，则：
【答案】ABD
【解析】
【分析】由复数的几何意义和复数的运算可解.
【详解】若与关于实轴对称，则复数与虚部互为相反数，
设，
所以，
所以，所以选项A、B正确；
若，设，
则，，
则，所以，可得，
而，无法判定，选项C错误；
所以，选项D正确.
故选：ABD
12. 如图，在直三棱柱中，底面为等边三角形，，，分别为，的中点，记过，，三点的平面与的交点为，则下列说法正确的是( )

A. 为的中点
B. 三棱锥的体积为
C. 截面的周长为
D. 截面的面积为24
【答案】BCD
【解析】
【分析】延长交于点，连接，和的交点为，由此判断A，求截面的面积和周长，判断CD，
再利用锥体体积公式求三棱锥的体积判断B.
【详解】延长交于点，
因为平面，，所以平面，
又平面，所以平面，
连接，则直线和的交点为平面和直线的交点，故该点为，
因为点为的中点，，
所以，又，
所以，即，又，
所以，又点为线段的中点，
所以，因为，
所以，A错误；
由已知，中，，所以，
中，，所以，
中，，所以，
中，，
所以，
所以截面的周长为，C正确；
连接，中，，
所以，
因为，，
所以为以为底边的等腰三角形，且边上的高为，
所以的面积为，
因为，，
所以为以为底边的等腰三角形，且边上的高为，
所以的面积为，
所以截面的面积为，D正确；
三棱锥的体积，
因为，为的中点，
所以的面积，
所以，B正确；
故选：BCD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上．
13. 已知与为互斥事件，且，，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用互斥事件的概率公式可求得的值.
【详解】因与为互斥事件，则，
因此，.
故答案为：.
14. 某射击运动员在射击测试中射靶10次，命中环数分别为：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4，则该运动员本次射击测试命中环数的第百分位数为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据百分位数计算规则计算可得.
【详解】将命中的环数从小到大排列为：4，4，5，7，7，7，8，9，9，10，
因为，所以第百分位数为数据从小到大排列的第、两个数的平均数，
即.
故答案为：
15. 已知是虚数，是实数，则________．
【答案】
【解析】
【分析】设出后，利用复数四则运算法则，得到，根据是实数，虚部为即可.
【详解】依题意，设，
则
是实数，
故，又，所以，
故.
故答案为：.
16. 已知正方体的棱长为1，从正方体的8个顶点中选出4个点构成一个体积大于的三棱锥，则这4个点可以是________．(写出一组即可)
【答案】或(写出一组即可)
【解析】
【分析】结合锥体体积公式判断即可.
【详解】若从正方体的某一面的四个顶点中任选3个顶点，再从余下的点中选一个与它们不共面的点，例如选，则
由正方体性质可得平面，，，
所以三棱锥的体积，不满足要求，
若选某一面一条对角线的端点，再选与其平行的平面中与前一条对角线不平行的对角线的端点，例如，
设正方体的体积为，则，
则三棱锥的体积，满足要求，
同理可得，选也满足要求，
故答案为：或(写出一组即可).

四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．
17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
(1)求
(2)若，的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)6
【解析】
【分析】(1)先利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后再利用余弦定理可求得结果；
(2)由三角形的面积可求得，再结合(1)中得到的式子可求出的值，从而可求出三角形的周长.
【小问1详解】
因为，，(为外接圆的半径)，
又因为，
所以，即，
所以，
由余弦定理得，
因为，所以．
【小问2详解】
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以的周长为6
18. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件“第一次的点数大于3”，事件“两次点数之和为奇数”．
(1)求事件的概率
(2)判断事件与事件是否相互独立，并说明理由．
【答案】(1)
(2)事件与事件相互独立，理由见解析
【解析】
【分析】(1)由古典概型模型解此题；
(2)根据相互独立事件定义进行判断.
【小问1详解】
抛掷一枚质地均匀的骰子两次，每次有6种等可能的结果，
用数字表示第一次骰子出现的点数，数字表示第二次骰子出现的点数，则数组表示这个试验的一个样本点，
因此该试验的样本空间，其中共有36个样本点，
由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，这个试验是古典概型，
因为，其中共有18个样本点，
所以
【小问2详解】
因为
，其中共有18个样本点，
所以，
因为，其中共有9个样本点，
所以，
因为，
所以事件与事件相互独立
19. 如图，在正方体中，棱长为、分别为棱，的中点，过点作一截面，将正方体分为上下两部分．

(1)求点到截面的距离；
(2)求正方体在截面下部分的体积．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)利用等体积法求点到截面的距离；
(2)利用棱台的体积公式求解.
【小问1详解】
如图，连接，
∵分别为棱的中点，则，
又∵，且，则为平行四边形，∴，
∴，则过点的截面即为截面，
设点到截面的距离为，
由于截面为等腰梯形，则，高为，
可得，
又∵，∴，∴；
【小问2详解】
由(1)知截面将正方体分成上、下两部分，其中下部分为三棱台，且三棱台的高为,
正方体的棱长为2，则，,
则三棱台的体积．
20. 如图，，都垂直于平面，平面平面，且，为中点，求证：

(1)平面；
(2)平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)取的中点，连接，，证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可求解；
(2)连接，利用面面垂直的性质，证得平面，得到，再由平面，证得，得到，结合线面垂直的判定定理，即可求解.
【小问1详解】
如图所示，取的中点，连接，，
因为为的中点，为的中位线，所以，，
又因为，都垂直于平面，且，所以，，
所以，，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
【小问2详解】
连接，因为，为的中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为面，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为，所以，
因为，且平面，
所以平面.

21. 树人中学男女学生比例约为，某数学兴趣社团为了解该校学生课外体育锻炼情况(锻炼时间长短(单位：小时)，采用样本量比例分配的分层抽样，抽取男生人，女生人进行调查．记男生样本为，，，，样本平均数、方差分别为、；女生样本为，，，，样本平均数、方差分别为、；总样本平均数、方差分别为、.

(1)证明：；
(2)该兴趣社团通过分析给出以下两个统计图，假设两个统计图中每个组内的数据均匀分布，根据两图信息分别估计男生样本、女生样本的平均数；
(3)已知男生样本方差，女生样本方差，请结合(2)问的结果计算总样本方差的估计值.
【答案】(1)证明见解析
(2)5.2；4.7 (3)5.68
【解析】
【分析】(1)利用平均数和方差计算公式结合完全平方运算化简即可证明；
(2)利用平均数计算公式分别计算即可；
(3)先求出总样本平均数，根据方差公式结合(1)中结论化简求解即可.
【小问1详解】
，
因为，，
所以，则；
【小问2详解】
因为每个组内的数据均匀分布，所以以各组的区间中点值代表该组的各个值，
由频率分布直方图估计男生样本课外体育锻炼时间的平均数为
，
由扇形图估计女生样本课外体育锻炼时间的平均数为
；
【小问3详解】
因为采用按比例分配的分层随机抽样，所以，
估计树人中学学生课外运动时间的平均数为，
.
22. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，平面平面，，．

(1)当时，求异面直线与所成角的余弦值；
(2)若存在球与三棱柱各个面都相切，求的正弦值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)分析可知，异面直线与的所成角为或其补角， 取的中点，连接、，推导出，求出的长，利用余弦定理求出，即可得解；
(2)在平面内过作的垂线，交于，交于，连接、，推导出平面与三棱柱各侧面都垂直，可知内切球的半径等于内切圆半径，且内切球的直径等于三棱柱的高，根据等面积以及柱体的高等于内切球的半径可得出关于与的方程组，解之即可.
【小问1详解】
解：因为，所以异面直线与的所成角为或其补角，
如图，取的中点，连接、，

因为三角形为等边三角形，为的中点，所以，且，
又因为平面平面，平面平面，面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为为的中点，在中，，，，
所以，
所以，
在中，，
所以，当时，异面直线与的所成角的余弦值为.
【小问2详解】
解：在平面内过作的垂线，交于，交于，连接、，

由(1)知平面，因为平面，则，
又因为，，、平面，所以面，
因为平面，所以，平面平面，
同理可知，平面与平面、平面都垂直，
若存在球与三棱柱各个面都相切，则球的半径等于内切圆半径，
在中，，，则，
在中，，，
则，
同理可得，，
由，
得，即①，
因为球与三棱柱各个面都相切，所以等于三棱柱的高，
所以②，
联立①②得，
即，解得，所以的正弦值为．