初中数学第十六章 二次根式16.1 二次根式一课一练

这是一份初中数学第十六章 二次根式16.1 二次根式一课一练，共30页。试卷主要包含了利用二次根式的性质求值，化简后直接代入求值，利用整体思想代入求值等内容，欢迎下载使用。


题型一 利用二次根式的性质求值
【例题1】(2023春•黄冈期中）已知等式5−xx−3=5−xx−3成立，化简|x﹣6|+(x−2)2的值．
【变式1-1】(2023秋•海陵区校级期末）如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简b2−(b+c)2−(c−a)2．
【变式1-2】(2023秋•农安县期中）已知，如图所示，实数a、b、c在数轴上的位置．化简：a2−|a−b|+(c−a)2+|b+c|．
【变式1-3】先化简，再求值：2n−mmn÷m2+n2−5n2mn⋅(m+2n)22mn，其中m+1+(n−3)2=0．
【变式1-4】(2023秋•如东县期末）x，y为实数，且y＜x−1+1−x+3，化简：|y−3|−y2−8y+16．
【变式1-5】(2023秋•崇川区校级月考）已知：y＞3x−2+2−3x+2，求y2−4y+42−y+5−3x的值．
【变式1-6】(2023春•睢县期中）已知a、b满足4a−b+1+13b−4a−3=0，求2a（ba÷1−b）
【变式1-7】(2023秋•金牛区校级月考）若等式(3x+1)(2−x)=3x+1•2−x成立，
试化简：|x﹣4|+9x2+6x+1+|x﹣2|．
【变式1-8】(2023春•藁城区校级期中）求代数式a+1−2a+a2的值．其中a＝1011，如图所示的是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）求代数式a+2a2−6a+9的值，其中a＝﹣2022．
题型二 化简后直接代入求值
【例题2】(2023秋•青浦区校级期中）先化简再求值：x−2xy+yx−y÷1x+2xy+y，其中x=13+22，y=13−22．
【变式2-1】(2023秋•长泰县期中）先化简，再求值：(a−3)(a+3)−a(a−4)，其中：a=3+1．
【变式2-2】(2023春•谷城县期末）已知x＝2−3，求代数式（7+43）x2+（22+6）x﹣1的值
【变式2-3】(2023春•范县期中）先化简，再求值．
（6xyx+3yxy3）﹣（4yxy+36xy），其中x=12−1，y=12+1．
【变式2-4】(2023春•连山区期中）给出以下式子：（x2−4x2−4x+4−1x−2）÷x+1x+2，先简化，然后从﹣1，2，2+23三个数中，选个合适的数代入求值．
【变式2-5】(2023秋•宝山区期中）已知a=12+3，求1+2a+a2a+1−a2−4a+4a2−2a的值．
【变式2-6】(2023春•曹县期中）先化简，再求值．（6xyx+3yxy3）﹣（4yxy+36xy），其中x=32，y＝27．
【变式2-7】(2023秋•虹口区校级月考）先化简，再求值：4a−b+a+bba−ab+a−bba−ab，其中a＝1，
b＝2．
【变式2-8】(2023秋•崇川区校级月考）当x=1+20222时，多项式4x3﹣2025x﹣2022的值为（ ）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
题型三 利用整体思想代入求值
【例题3】(2023•峄城区校级模拟）已知a=5−26，b=5+26，则a2+b2﹣3ab的值为（ ）
A．5B．65C．95D．135
【变式3-1】(2023秋•邵阳县期末）若a＝1+2，b＝1−2，则代数式a2+b2−3ab的值为（ ）
A．3B．±3C．5D．9
【变式3-2】(2023春•藁城区校级月考）已知a=3+1，b=3−1，则ba−ab的值为（ ）
A．−23B．23C．43D．−43
【变式3-3】(2023秋•澧县期末）已知x=13−22，y=13+22，xy+yx−4＝ ．
【变式3-4】(2023春•渝中区校级期中）已知：x=2+1，y=2−1，求下列各式的值．
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2+y2．
【变式3-5】计算求值 a，b为实数，且a+b＝﹣8，ab＝8，求bba+aab的值．
【变式3-7】已知x2﹣3x+1＝0，求x2+1x2−2的值．
【变式3-8】(2023秋•虹口区校级月考）已知a(a+b)=3b(a+5b)，则2a+3b+aba−b+ab的值为 ．
【变式3-9】（1）已知39+x2−15+x2=2，求39+x2+15+x2的值
（2）已知29−x2−15+x2=2，求29−x2+15+x2的值．
题型四 利用二次根式的整数部分和小数部分求值
【例题4】已知a，b为实数，m，n分别表示5−7的整数部分和小数部分，且am+bn＝0，求代数式a2b+34的值．
【变式4-1】(2023秋•普陀区校级月考）如果5+5和5−2小数部分分别为a，b，那么ab+2＝ ．
【变式4-2】(2023秋•宛城区校级月考）已知x=12+3，y=12−3．
（1）求x2+y2﹣xy的值；
（2）若x的整数部分是a，y的小数部分是b，求5a2021+（x﹣b）2﹣y的值．
【变式4-3】(2023秋•滨江区校级期中）（1）已知7+7的小数部分是a，7−7的小数部分是b，求a+b的值；
（2）设5+3的整数部分用a表示，小数部分用b表示，3−3的整数部分用c表示，小数部分用d表示，求ab﹣cd的值．
【变式4-4】(2023秋•古田县期中）已知a+b−33+|b+3|＝b+3，x为a+b的整数部分，y为a+b的小数部分．求2x﹣3y的值．
【变式4-5】(2023春•大观区校级期末）阅读下列材料：
∵1＜3＜4，即1＜3＜2，
∴3的整数部分为1，小数部分为3−1．
请根据材料提示，进行解答：
（1）14的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果6的小数部分为m，21的整数部分为n，求2m+n﹣26的值．
（3）已知：10+32=a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，请直接写出a，b的值．
【变式4-6】(2023秋•西安月考）观察：因为4＜5＜9，即2＜5＜3，所以5的整数部分为2，小数部分为5−2．
请你观察上述规律后解决下面的问题：
（1）规定用符号[m]表示实数m的整数部分，例如：[23]＝0，[6]＝2．按此规定，那么[10+1]的值为 ．
（2）若11的整数部分为a，小数部分为b，|c|=11，求c（a﹣b﹣6）+12的值．
八年级下册数学《第十六章 二次根式》
专题 二次根式求值的常用方法
题型一 利用二次根式的性质求值
【例题1】(2023春•黄冈期中）已知等式5−xx−3=5−xx−3成立，化简|x﹣6|+(x−2)2的值．
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，再将x代入化简即可求值．
【解答】解：由题意得，5−x≥0x−3＞0，
∴3＜x≤5，
∴|x﹣6|+(x−2)2
＝6﹣x+x﹣2
＝4．
【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解题的关键．
【变式1-1】(2023秋•海陵区校级期末）如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简b2−(b+c)2−(c−a)2．
【分析】先根据数轴判断b，b+c，c﹣a的正负性，再根据二次根式的性质进行化简即可求解．
【解答】解：由题意可知：
∵a＜c，b＜0，c＞0，|b|＞|c|，
∴b+c＜0，c﹣a＞0，
∴b2−(b+c)2−(c−a)2
＝|b|﹣|b+c|﹣|c﹣a|
＝﹣b+（b+c）﹣（c﹣a）
＝﹣b+b+c﹣c+a
＝a，
【点评】本题主要考查了数轴和二次根式，理解题意掌握二次根式的性质是解题的关键．
【变式1-2】(2023秋•农安县期中）已知，如图所示，实数a、b、c在数轴上的位置．化简：a2−|a−b|+(c−a)2+|b+c|．
【分析】先根据数轴判断a，b，c的正负数，再根据绝对值的意义化简求解．
【解答】解：根据数轴可得：c＜b＜0＜a，
∴a﹣b＞0，c﹣a＜0，b+c＜0，
∴a2−|a−b|+(c−a)2+|b+c|
＝a﹣（a﹣b）﹣（c﹣a）﹣（b+c）
＝a﹣a+b﹣c+a﹣b﹣c
＝a﹣2c．
【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，绝对值的化简是解题的关键．
【变式1-3】先化简，再求值：2n−mmn÷m2+n2−5n2mn⋅(m+2n)22mn，其中m+1+(n−3)2=0．
【分析】直接利用非负数的性质得出m，n的值，再把m，n的值代入，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：2n−mmn÷m2+n2−5n2mn⋅(m+2n)22mn
=2n−mmn÷m2+n2−5n2mn⋅m2+4n2+4mn2mn
=2n−mmn⋅mnm2−4n2⋅(m+2n)22mn
=2n−mmn⋅mn(m−2n)(m+2n)⋅(m+2n)22mn
=−m+2n2mn，
∵m+1+(n−3)2=0，
∴m+1＝0，n﹣3＝0，
∴m＝﹣1，n＝3．
∴原式=−m+2n2mn
=−−1+2×32×3×(−1)=56．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【变式1-4】(2023秋•如东县期末）x，y为实数，且y＜x−1+1−x+3，化简：|y−3|−y2−8y+16．
【分析】先根据x−1、1−x有意义的条件可得x﹣1≥0，1﹣x≥0，解可求x＝1，再把x＝1代入y＜x−1+1−x+3中，易求
y＜3，从而可对所求式子化简，并合并即可．
【解答】解：∵x﹣1≥0，1﹣x≥0，
∴x≥1，x≤1，
∴x＝1，
又∵y＜x−1+1−x+3，
∴y＜3，
∴|y﹣3|−y2−8y+16=3﹣y﹣（4﹣y）＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的性质、二次根式的化简求值．解题的关键是注意被开方式是≥0的．
【变式1-5】(2023秋•崇川区校级月考）已知：y＞3x−2+2−3x+2，求y2−4y+42−y+5−3x的值．
【分析】根据被开方数是非负数且分母不等于零，以此即可得到结果．
【解答】解：由y＞3x−2+2−3x+2可得，
3x−2≥02−3x≥0，
∴x=23，
∴y＞2，
∴y2−4y+42−y+5−3x
=(y−2)22−y+5−3×23
=y−22−y+5−2
＝﹣1+5﹣2
＝2．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出x=23，y＞2是解题关键．
【变式1-6】(2023春•睢县期中）已知a、b满足4a−b+1+13b−4a−3=0，求2a（ba÷1−b）
【分析】根据非负数性质可得关于a、b的方程组，求得a、b的值代入计算即可．
【解答】解：根据题意，得：4a−b+1=013b−4a−3=0，
解得：a=−1b=−3，
故2a（ba÷1−b）
＝2×（﹣1）×（−3−1÷13）
＝﹣2×（3×3）
＝﹣2×3
＝﹣6．
【点评】本题主要考查二次根式的求值及非负数的性质，根据非负数性质列出方程组是解题的前提，代入求值是关键．
【变式1-7】(2023秋•金牛区校级月考）若等式(3x+1)(2−x)=3x+1•2−x成立，试化简：|x﹣4|+9x2+6x+1+|x﹣2|．
【分析】根据题意求出x的取值范围，根据完全平方公式和a2=|a|化简，根据绝对值的性质化简即可．
【解答】解：根据题意得：3x+1≥0，2﹣x≥0，
∴−13≤x≤2，
∴x﹣4＜0，x﹣2≤0，
∴原式＝|x﹣4|+(3x+1)2+|x﹣2|
＝|x﹣4|+|3x+1|+|x﹣2|
＝4﹣x+3x+1+2﹣x
＝x+7．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，掌握a2=|a|是解题的关键．
【变式1-8】(2023春•藁城区校级期中）求代数式a+1−2a+a2的值．其中a＝1011，如图所示的是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）求代数式a+2a2−6a+9的值，其中a＝﹣2022．
【分析】（1）先将被开方式进行因式分解，然后根据二次根式的性质进行化简，从而作出判断；
（2）先将被开方式进行因式分解，然后根据二次根式的性质进行化简，最后代入求值．
【解答】解：（1）小亮的解法是错误的，理由如下：
原式＝a+(1−a)2，
∵a＝1011，
∴1﹣a＜0，
∴原式＝a+a﹣1＝2a﹣1＝2×1011﹣1＝2021，
故答案为：小亮；
（2）原式＝a+2(a−3)2，
∵a＝﹣2022，
∴a﹣3＜0，
∴原式＝a+2（3﹣a）
＝a+6﹣2a
＝6﹣a
＝6﹣（﹣2022）
＝6+2022
＝2028．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，理解二次根式的性质，掌握利用完全平方公式分解因式的技巧是解题关键．
题型二 化简后直接代入求值
【例题2】(2023秋•青浦区校级期中）先化简再求值：x−2xy+yx−y÷1x+2xy+y，其中x=13+22，y=13−22．
【分析】根据平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母变形，再根据约分法则化简，利用分母有理化法则把x、y化简，代入计算即可．
【解答】解：原式=(x−y)2(x+y)(x−y)•（x+y）2
＝（x−y）•（x+y）
＝x﹣y，
当x=13+22=3−22(3+22)(3−22)=3﹣22，y=13−22=3+22时，
原式＝（3﹣22）﹣（3+22）＝﹣42．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、平方差公式、完全平方公式是解题的关键．
【变式2-1】(2023秋•长泰县期中）先化简，再求值：(a−3)(a+3)−a(a−4)，其中：a=3+1．
【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：(a−3)(a+3)−a(a−4)
＝a2﹣3﹣a2+4a
＝4a﹣3，
当a=3+1时，原式＝4×（3+1）﹣3＝43+4﹣3＝43+1．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
【变式2-2】(2023春•谷城县期末）已知x＝2−3，求代数式（7+43）x2+（22+6）x﹣1的值
【分析】先求出x2的值，代入后先根据二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的加减法则进行计算即可．
【解答】解：∵x＝2−3，
∴x2＝（2−3）2＝4﹣43+3＝7﹣43，
∴（7+43）x2+（22+6）x﹣1
＝（7+43）×（7﹣43）+（22+6）×（2−3）﹣1
＝49﹣48+42−26+26−32−1
=2．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
【变式2-3】(2023春•范县期中）先化简，再求值．
（6xyx+3yxy3）﹣（4yxy+36xy），其中x=12−1，y=12+1．
【分析】首先把二次根式进行化简，然后再去括号合并同类二次根式，再代入xy的值即可．
【解答】解：原式＝（6xy+3xy）﹣（4xy+6xy），
＝6xy+3xy−4xy−6xy，
=−xy，
当x=12−1，y=12+1时，xy=12−1=1，
则原式＝﹣1．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，关键是正确化简二次根式．
【变式2-4】(2023春•连山区期中）给出以下式子：（x2−4x2−4x+4−1x−2）÷x+1x+2，先简化，然后从﹣1，2，2+23三个数中，选个合适的数代入求值．
【分析】先算括号里面的减法，再根据发送到除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件求出x不能为2，﹣2，﹣1，取x＝2+23，再代入求出答案即可．
【解答】解：（x2−4x2−4x+4−1x−2）÷x+1x+2
＝[(x+2)(x−2)(x−2)2−1x−2]•x+2x+1
＝（x+2x−2−1x−2）•x+2x+1
=x+2−1x−2•x+2x+1
=x+1x−2•x+2x+1
=x+2x−2，
由题意得，x﹣2≠0，x+2≠0，x+1≠0，
则x≠2，x≠﹣2，x≠﹣1，
∴当x=2+23时
原式=2+23+22+23−2=23+423=1+233．
【点评】本题考查了分式和二次根式的化简求值，能灵活运用分式和二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
【变式2-5】(2023秋•宝山区期中）已知a=12+3，求1+2a+a2a+1−a2−4a+4a2−2a的值．
【分析】先利用分母有理化可得a＝2−3，然后再代入到化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：∵a=12+3=2−3(2+3)(2−3)=2−3，
∴a﹣2＜0，
∴1+2a+a2a+1−a2−4a+4a2−2a
=(1+a)2a+1−(a−2)2a(a−2)
＝a+1−2−aa(a−2)
＝a+1+1a
＝2−3+1+（2+3）
＝2−3+1+2+3
＝5
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，分式的化简求值，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式2-6】(2023春•曹县期中）先化简，再求值．（6xyx+3yxy3）﹣（4yxy+36xy），其中x=32，y＝27．
【分析】先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝（6x•xyx+3y•yxy）﹣（4y•xyy+6xy）
＝6xy+3xy−4xy−6xy
=−xy，
当x=32、y＝27时，
原式=−32×27=−922．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
【变式2-7】(2023秋•虹口区校级月考）先化简，再求值：4a−b+a+bba−ab+a−bba−ab，其中a＝1，
b＝2．
【分析】利用二次根式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：4a−b+a+bba−ab+a−bba−ab
=4a−b+2aba−ab
=4(a−b)(a+b)+2aab(b−a)
=4abab(a−b)(a+b)−2a(a+b)ab(a+b)(a+b)
=−2ab+b
=−2(ab−b)ab−b2，
∵a＝1，b＝2，
∴原式=−2(2−2)2−4=2−2．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的化简求值的方法是解决本题的关键．
【变式2-8】(2023秋•崇川区校级月考）当x=1+20222时，多项式4x3﹣2025x﹣2022的值为（ ）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
【分析】求出2x＝1+2022，再变形得出4x3﹣2025x﹣2022＝（4x2﹣2025）x﹣2022，再依次代入，最后根据二次根式的运算法则进行计算即可．
【解答】解：∵x=1+20222，
∴2x＝1+2022，
∴4x3﹣2025x﹣2022
＝（4x2﹣2025）x﹣2022
＝[（1+2022）2﹣2025]x﹣2022
＝（1+2022+22022−2025）x﹣2022
＝（﹣2+22022）x﹣2022
＝2（﹣1+2022）×1+20222−2022
＝（﹣1+2022）×（1+2022）﹣2022
＝2022﹣1﹣2022
＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
题型三 利用整体思想代入求值
【例题3】(2023•峄城区校级模拟）已知a=5−26，b=5+26，则a2+b2﹣3ab的值为（ ）
A．5B．65C．95D．135
【分析】由已知可得a﹣b＝﹣46，ab＝1，因为原式＝（a﹣b）2﹣ab，再整体代入即可．
【解答】解：∵a=5−26，b=5+26，
∴a﹣b＝﹣46，ab＝1，
∴原式＝（a﹣b）2﹣ab
＝96﹣1
＝95．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握计算法则是关键．
【变式3-1】(2023秋•邵阳县期末）若a＝1+2，b＝1−2，则代数式a2+b2−3ab的值为（ ）
A．3B．±3C．5D．9
【分析】首先把所求的式子化成(a−b)2−ab的形式，然后代入数值计算即可．
【解答】解：原式=(a−b)2−ab=(22)2−(−1)=8+1=3．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求的式子进行变形是关键．
【变式3-2】(2023春•藁城区校级月考）已知a=3+1，b=3−1，则ba−ab的值为（ ）
A．−23B．23C．43D．−43
【分析】由题意可得ab＝2，a﹣b＝2，a+b＝23，再整理所求的式子，代入运算即可．
【解答】解：∵a=3+1，b=3−1，
∴ab＝（3+1）×（3−1）＝2，
a﹣b=3+1﹣（3−1）＝2，
a+b=3+1+3−1＝23，
∴ba−ab
=b2−a2ab
=−(a+b)(a−b)ab
=−23×22
=−23．
故选：A．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【变式3-3】(2023秋•澧县期末）已知x=13−22，y=13+22，xy+yx−4＝ ．
【分析】先分母有理化，进一步得到xy，x+y，再将xy+yx−4变形后代入计算即可求解．
【解答】解：∵x=13−22=3+22，y=13+22=3﹣22，
∴x+y＝6，xy＝9﹣8＝1，
∴xy+yx−4=x2+y2xy−4=(x+y)2−2xyxy−4=36−21−4＝34﹣4＝30．
故答案为：30．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，分式的化简求值，分母有理化，关键是求出xy，x+y的值．
【变式3-4】(2023春•渝中区校级期中）已知：x=2+1，y=2−1，求下列各式的值．
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2+y2．
【分析】先计算出x+y与xy的值，再把代数式变形得到（1）x2+2xy+y2＝（x+y）2；（2）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，然后分别利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x=2+1，y=2−1，
∴x+y＝22，xy＝2﹣1＝1，
（1）x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（22）2＝8；
（2）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝8﹣2×1＝6．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．
【变式3-5】计算求值 a，b为实数，且a+b＝﹣8，ab＝8，求bba+aab的值．
【分析】首先由a+b＝﹣8，ab＝8，求得a2+b2＝48，然后化简二次根式，代入即可求得答案．
【解答】解：∵a+b＝﹣8，ab＝8，
∴a，b同号，且均为负数，
∴a2+b2+2ab＝64，
∵ab＝8，
∴a2+b2＝48，
∴原式＝﹣baba−aabb=（−ba−ab）ab=−a2+b2ab•ab=−488×8=−122．
【点评】此题考查了二次根式的化简．求得a2+b2＝48是解题的关键．
【变式3-7】已知x2﹣3x+1＝0，求x2+1x2−2的值．
【分析】把已知等式两边除以x得到x+1x=3，再利用完全平方公式变形得到原式=(x+1x)2−4，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0，
∴x﹣3+1x=0，即x+1x=3，
∴原式=(x+1x)2−4
=32−4
=5．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．也考查了代数式的变形能力．
【变式3-8】(2023秋•虹口区校级月考）已知a(a+b)=3b(a+5b)，则2a+3b+aba−b+ab的值为 ．
【分析】根据已知可得（a−5b）（a+3b）＝0，从而可得a=5b，进而可得a＝25b，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：∵a(a+b)=3b(a+5b)，
∴（a）2+ab=3ab+15（b）2，
∴（a）2﹣2ab−15（b）2＝0，
∴（a−5b）（a+3b）＝0，
∵a+3b≠0，
∴a−5b=0，
∴a=5b，
∴a＝25b，
∴2a+3b+aba−b+ab
=50b+3b+5b25b−b+5b
=58b29b
＝2．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式3-9】（1）已知39+x2−15+x2=2，求39+x2+15+x2的值
（2）已知29−x2−15+x2=2，求29−x2+15+x2的值．
【分析】（1）根据平方差公式可以解答本题；
（2）根据题目中的式子，进行变形建立与所求式子之间的关系，注意所求的式子的结果是正值．
【解答】解：（1）∵39+x2−15+x2=2，
∴（39+x2−15+x2）（39+x2+15+x2）＝2（39+x2+15+x2），
∴39+x2﹣15﹣x2＝2（39+x2+15+x2），
∴24＝2（39+x2+15+x2），
∴39+x2+15+x2=12；
（2）∵29−x2−15+x2=2，
∴（29−x2−15+x2）2＝4，
∴29−x2+15+x2−229−x2⋅15+x2=4，
∴29−x2⋅15+x2=20，
∴（29−x2+15+x2）2=29−x2+15+x2+229−x2⋅15+x2=44+2×20＝84，
∴29−x2+15+x2=84=221．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答此类问题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
题型四 利用二次根式的整数部分和小数部分求值
【例题4】已知a，b为实数，m，n分别表示5−7的整数部分和小数部分，且am+bn＝0，求代数式a2b+34的值．
【分析】根据已知首先求出m，n的值，进而化简原式得出2a+3b＝0，b＝0，求出即可．
【解答】解：∵m，n分别表示5−7的整数部分和小数部分，
∴m＝2，n＝5−7−2＝3−7，
∴am+bn＝a×2+（3−7）b＝2a+（3−7）b＝0，
∴ab=7−32
∴a2b+34=12×7−32+34=74．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的根据是求出m，n的值．
【变式4-1】(2023秋•普陀区校级月考）如果5+5和5−2小数部分分别为a，b，那么ab+2＝ ．
【分析】先估算5，进而求得a、b的值，再代值计算便可．
【解答】解：∵2＜5＜3，
∴7＜5+5＜8，0＜5−2＜1，
∵5+5和5−2小数部分分别为a，b，
∴a＝5+5−7=5−2，b=5−2，
∴ab+2=5−25−2+2＝1+2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，二次根式除法运算，正确估算无理数的大小是解题的关键．
【变式4-2】(2023秋•宛城区校级月考）已知x=12+3，y=12−3．
（1）求x2+y2﹣xy的值；
（2）若x的整数部分是a，y的小数部分是b，求5a2021+（x﹣b）2﹣y的值．
【分析】（1）利用分母有理化化简x和y，并将所求式变形后代入可答案；
（2）根据无理数的估算可知0＜2−3＜1，3＜2+3＜4，可得a和b的值，代入所求式可得答案．
【解答】解：（1）∵x=12+3=2−3(2+3)(2−3)=2−3，y=12−3=2+3(2−3)(2+3)=2+3，
∴x2+y2﹣xy
＝（x+y）2﹣3xy
＝（2−3+2+3）2﹣3（2−3）（2+3）
＝16﹣3
＝13；
（2）∵1＜3＜2，
∴0＜2−3＜1，3＜2+3＜4，
∴a＝0，b＝2+3−3=3−1，
∴5a2021+（x﹣b）2﹣y
＝5×0+（2−3−3+1）2﹣（2+3）
＝（3﹣23）2﹣2−3
＝9﹣123+12﹣2−3
＝19﹣133．
【点评】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，掌握完全平方公式和分母有理化是解本题的关键．
【变式4-3】(2023秋•滨江区校级期中）（1）已知7+7的小数部分是a，7−7的小数部分是b，求a+b的值；
（2）设5+3的整数部分用a表示，小数部分用b表示，3−3的整数部分用c表示，小数部分用d表示，求ab﹣cd的值．
【分析】（1）由4＜7＜9，得出2＜7＜3，确定7+7的小数部分，可得a的值，然后确定用7−7的小数部分，可得b的值，把a、b值代入代数式a+b中计算即可；
（2）同理估算3的大小，确定a，b，c，d的值，代入所求式计算即可．
【解答】解：（1）∵4＜7＜9，
∴2＜7＜3，
∴9＜7+7＜10，4＜7−7＜5，
∴7+7的整数部分是9，小数部分a=7+7﹣9=7−2，7−7的小数部分是7−7−4＝3−7，
∴a=7−2，b＝3−7，
∴a+b=7−2+3−7=1；
（2）∵1＜3＜4，
∴1＜3＜2，
∴6＜5+3＜7，1＜3−3＜2，
∴a＝6，b＝5+3−6=3−1，c＝1，d＝3−3−1＝2−3，
∴ab﹣cd＝6（3−1）﹣1×（2−3）＝63−6﹣2+3=73−8．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，应从估算无理数7或3的范围入手．
【变式4-4】(2023秋•古田县期中）已知a+b−33+|b+3|＝b+3，x为a+b的整数部分，y为a+b的小数部分．求2x﹣3y的值．
【分析】由a+b−33+|b+3|＝b+3，可得a+b＝33，再根据x为a+b的整数部分，y为a+b的小数部分，确定x、y的值，代入计算即可．
【解答】解：由a+b−33+|b+3|＝b+3，可得a+b＝33，
∵5＜33＜6，x为a+b的整数部分，y为a+b的小数部分，
∴x＝5，y=33−5，
∴2x﹣3y＝10﹣3（33−5）＝25﹣333，
答：2x﹣3y的值为25﹣333．
【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的意义是解决问题的关键．
【变式4-5】(2023春•大观区校级期末）阅读下列材料：
∵1＜3＜4，即1＜3＜2，
∴3的整数部分为1，小数部分为3−1．
请根据材料提示，进行解答：
（1）14的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果6的小数部分为m，21的整数部分为n，求2m+n﹣26的值．
（3）已知：10+32=a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，请直接写出a，b的值．
【分析】（1）估算14的大小即可；
（2）估算无理数6和21的大小，进而确定m，n的值，再代入计算即可；
（3）估算无理数32的大小，进而确定10+32的大小，确定a，b的值即可．
【解答】解：（1）∵9＜14＜16，即3＜14＜4，
∴14的整数部分是3，小数部分是14−3，
故答案为：3，14−3；
（2）∵2＜6＜3，4＜21＜5，
∴m=6−2，n＝4，
∴2m+n﹣26
＝2（6−2）+4﹣26
＝26−4+4﹣26
＝0；
（3）∵5＜32＜6，
∴15＜10+32＜16，
∴10+32的整数部分是15，小数部分是10+32−15=32−5，
∵10+32=a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，
∴a＝15，b=32−5．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，确定无理数的整数部分、小数部分是得出正确答案的关键．
【变式4-6】(2023秋•西安月考）观察：因为4＜5＜9，即2＜5＜3，所以5的整数部分为2，小数部分为5−2．
请你观察上述规律后解决下面的问题：
（1）规定用符号[m]表示实数m的整数部分，例如：[23]＝0，[6]＝2．按此规定，那么[10+1]的值为 ．
（2）若11的整数部分为a，小数部分为b，|c|=11，求c（a﹣b﹣6）+12的值．
【分析】（1）根据算术平方根的定义，估算无理数10的大小，进而确定10+1的大小即可；
（2）估算无理数11的大小，确定a、b的值，再根据绝对值的定义得出c的值，再代入计算即可．
【解答】解：（1）∵9＜10＜16，即3＜10＜4，
∴4＜10+1＜5，
∴10+1的整数部分为4，
即[10+1]＝4，
故答案为：4；
（2）∵9＜11＜16，即3＜11＜4，
∴11的整数部分a＝3，小数部分b=11−3，
∵|c|=11，
∴c＝±11，
当a＝3，b=11−3，c=11时，
c（a﹣b﹣6）+12=11（3−11+3﹣6）+12
＝﹣11+12
＝1；
当a＝3，b=11−3，c=−11时，
c（a﹣b﹣6）+12=−11（3−11+3﹣6）+12
＝11+12
＝23；
答：c（a﹣b﹣6）+12的值为1或23．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义估算无理数的大小，进而确定整数部分、小数部分是正确解答的前提．