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人教版八年级下册18.2.1 矩形习题
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这是一份人教版八年级下册18.2.1 矩形习题，共64页。试卷主要包含了3 矩形的性质与判定，5°，，8，等内容，欢迎下载使用。
知识点一
矩形的定义
●●定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
【注意】（1）由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形.
（2）矩形必须具备两个条件：①它是一个平行四边形；②它有一个角是直角，这两个条件缺一不可.
（3）矩形的定义既可以作为矩形的性质运用，又可作为矩形的判定运用.
知识点二
矩形的性质
●●性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.
几何语言：
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD.
◆1、矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质.
◆2、矩形是轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条对称轴，分别是对边所在中点连线的直线.
◆3、矩形的四个角都是直角，常把矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决，同时，矩形被两条对角线分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，也常常用到等腰三角形的性质.
◆4、矩形的面积 = 长×宽，矩形的面积=被对角线分成的四个面积相等的小三角形（等腰三角形）面积之和.
知识点三
直角三角形斜边上的中线
◆1、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
几何语言：∵ 在Rt△ABC中，点O是AB的中点，
∴ OB=AO=CO=AC.
◆3、直角三角形的这条性质与直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半、三角形的中位线定理都是证明线段倍分关系的重要依据．“三角形的中位线定理”适用于任何三角形；“直角三角形斜边上的中线性质适用于任何直角三角形”；“含30°角的直角三角形性质”仅适用于含30°角的特殊直角三角形.
知识点四
矩形的判定
●矩形的判定方法：
方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)，
∴ 四边形ABCD是矩形.
方法二：对角线相等的平行四边形是矩形；
几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，
∴ 四边形ABCD是矩形.
方法三：有三个角是直角的四边形是矩形；
几何语言：∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴ 四边形ABCD是矩形.
◆思路总结：判定一个四边形是矩形要分两种情况：一是在平行四边形的基础上判定矩形，只要证出有一个角是直角或对角线相等即可；二是在四边形的基础上判定矩形，可以直接证出三个角是直角或先证出四边形是平行四边形，再进一步证明有一个角是直角或对角线相等.
题型一 利用矩形的性质求线段长
【例题1】(2023秋•滕州市校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC＝4，∠BOA＝120°，则AB的长是（ ）
A．3B．2C．23D．4
【变式1-1】(2023秋•锦江区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．对角线AC，BD相交于点O．点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则△AEF的周长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式1-2】(2023秋•峰峰矿区校级期末）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，则DE的长为（ ）
A．22−2B．22−1C．3−1D．22
【变式1-3】(2023春•余干县期末）已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（ ）
A．6 cm和9 cmB．5 cm和10 cm
C．4 cm和11 cmD．7 cm和8 cm
【变式1-4】(2023•香坊区模拟）在矩形ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分线BE交AD所在的直线于点E，若DE＝2，则AD的长为 ．
【变式1-5】(2023春•碑林区校级期末）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）
A．125B．65C．245D．不确定
题型二 利用矩形的性质求角度
【例题2】(2023秋•衡南县期末）如图，分别在长方形ABCD的边DC，BC上取两点E，F，使得AE平分∠DAF，若∠BAF＝60°，则∠DAE＝（ ）
A．45°B．30°C．15°D．60°
【变式2-1】(2023春•承德县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，DF⊥AC于F点，若∠ADF＝3∠FDC，则∠DEC的度数是（ ）
A．30°B．45°C．50°D．55°
【变式2-2】(2023春•抚顺期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC＝3：2，则∠BDF＝ ．
【变式2-3】如图，四边形ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，CF交AB于点E，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠ECB＝20°，则∠ACD的度数是 ．
【变式2-4】(2023春•洪泽区校级月考）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ACB＝36°，求∠E的度数．
【变式2-5】(2023秋•芗城区校级期中）长方形ABCD中，AB＝12，AD＝17，E，F分别在边BC，CD上，BE＝5，DF＝7，则∠AEB+∠AFD等于（ ）
A．105°B．120°C．90°D．135°
题型三 利用矩形的性质求面积
【例题3】如图，在长方形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接ED，若ED＝5，EC＝3，则长方形的面积为（ ）
A．22B．24C．26D．28
【变式3-1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB＝30°，BD＝4，则矩形ABCD的面积是 ．
【变式3-2】(2023•鼓楼区校级二模）如图，点O是矩形ABCD的对角线BD的中点，点E是BC的中点，连接OA，OE．若OA＝2，OE＝1，则矩形ABCD的面积为 ．
【变式3-3】如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（ ）
A．23B．33C．4D．43
【变式3-4】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
题型四 利用矩形的性质证明
【例题4】(2023春•江西月考）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若∠AOB＝60°，求证：△OBE是等腰三角形．
【变式4-1】在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：DF＝AB；
（2）若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD．
【变式4-2】(2023春•姜堰区校级月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在AB的延长线上找一点E，连接EC，使得EC＝AC．
（1）求证：四边形BDCE是平行四边形；
（2）若AB＝6，BC＝8，求点E到AC的距离．
【变式4-3】(2023•安顺模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB，CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为O．
（1）求证：△AOM≌△CON；
（2）若AD＝8，CD＝4，求AE的长．
【变式4-4】(2023秋•石阡县期中）如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC，分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若AE+BF＝16，求BC的长．
【变式4-5】(2023秋•南岸区校级期中）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F．过点C作CG⊥AF于点G，连接DG、BG、CG．
（1）求证：BG＝DG；
（2）连接BD，求∠BDG的度数．
题型五 直角三角形斜边上的中线的性质
【例题5】(2023秋•沭阳县期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点E，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若∠ECB+∠DBC＝45°，DE＝10，求MN的长．
【变式5-1】(2023•宁南县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，点F为DE的中点，连结BF．若AB＝10，则BF的长为 ．
【变式5-2】(2023秋•新田县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm，AM是BC上的高，MN∥AC，MN交AB于点N，BC＝6cm，求△BMN的周长．
【变式5-3】(2023秋•莲都区期末）已知：如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝45°，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线．
（1）求证：AE＝CD；
（2）求∠ACE的度数．
【变式5-4】(2023秋•大名县期末）如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE．
（1）求证：∠AEC＝∠C；
（2）求证：BD＝2AC；
（3）若AE＝6.5，AD＝5，求△ABE的周长．
【变式5-5】(2023秋•兴化市校级期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点．
（1）求证：△MEF是等腰三角形；
（2）若∠EBC＝30°，BC＝10cm，求CE的长度．
题型六 判断四边形是矩形
【例题6】(2023秋•天府新区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
求证：四边形ADCE为矩形；
【变式6-1】(2023秋•中牟县期末）检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（ ）
A．测量两条对角线，是否相等
B．测量两条对角线，是否互相平分
C．测量门框的三个角，是否都是直角
D．测量两条对角线，是否互相垂直
【变式6-2】(2023春•新市区校级期末）四边形ABCD的对角线AC、BD于点O，下列各组条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
B．∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＝∠B
C．OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90°
D．∠A＝∠C，∠B+∠C＝180°，∠AOB＝∠BOC
【变式6-3】已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DF、DE分别是△BDC、△ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形．
【变式6-4】如图，MN∥PQ，直线l分别交MN、PQ于点A、C，同旁内角的平分线AB、CB相交于点B，AD、CD相交于点D．试证明四边形ABCD是矩形．
【变式6-5】(2023春•西吉县期末）已知：如图，在▱ABCD中，AF、BH、CH、DF分别是∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH是矩形．
题型七 判断平行四边形是矩形
【例题7】如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD，CF⊥AB，垂足分别为E，F．求证：四边形AFCE是矩形．
【变式7-1】(2023春•南票区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．
求证：四边形BECD是矩形．
【变式7-2】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG．
（1）求证：AD∥CF；
（2）求证：四边形ADCF是矩形．
【变式7-3】已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．且BE＝CF．求证：平行四边形ABCD是矩形．
【变式7-4】如图，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求证：四边形ABCD是矩形．
【变式7-5】如图所示，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形EGCF是矩形．
【变式7-6】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AB中点，点F在CB的延长线上，且EF∥BD．
（1）求证：四边形OBFE是平行四边形；
（2）当线段AD和BD之间满足什么条件时，四边形OBFE是矩形？并说明理由．
题型八 利用矩形的性质解决折叠问题
【例题8】(2023春•三台县月考）如图，长方形ABCD中将△ABF沿AF翻折至△AB'F处，若AB'∥BD，∠1＝26°，则∠BAF的度数为（ ）
A．57°B．58°C．59°D．60°
【变式8-1】(2023秋•金山区期末）如图，在长方形ABCD中，点E在边DC上，联结AE，将△AED沿折痕AE翻折，使点D落在边BC上的D1处，如果∠DEA＝76°，那么∠D1EC＝ 度．
【变式8-2】(2023秋•管城区校级月考）如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，把长方形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F，则AF的长为多少？
【变式8-3】如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，结果发现F点恰好是DC的中点，若BC＝26，则AB的长 .
【变式8-4】(2023春•工业园区校级期末）已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于O，且OE＝OD，求AP的长．
解题技巧提炼
在利用矩形的性质计算线段长度时，常常与特殊三角形的性质和勾股定理结合起来应用.
解题技巧提炼
矩形内求角度的问题主要是利用矩形的性质和结合题中的条件求解，有时要利用等腰三角形的性质.
解题技巧提炼
求矩形的面积问题，主要是利用矩形的性质求出矩形的长和宽，再根据面积的计算公式求解即可，有时与勾股定理结合起来用.
解题技巧提炼
与矩形有关的问题，常与全等三角形和特殊三角形等知识融为一体进行探索，利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可.
解题技巧提炼
在直角三角形中，遇到斜边的中点常作斜边的中线，从而利用直角三角形斜边中线的性质解决问题.
解题技巧提炼
如果已知四边形的两个角是直角，此时可以选择“有三个角是直角的四边形是矩形”证明比较简单.
解题技巧提炼
已知四边形是平行四边形时，判定矩形的方法只需再证有一个角为直角（定义法），或再证明对角线相等.当已知对角线相等时，只需证这个四边形是平行四边形即可.
解题技巧提炼
求解关于矩形的折叠问题时往往通过找出折叠部分的线段或角与原图形之间的关系，从而得到折叠部分与原图形或其它图形之间的关系，有时要用到三角形全等、勾股定理等知识.
八年级下册数学《第十八章 平行四边形》
18.3 矩形的性质与判定
知识点一
矩形的定义
●●定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
【注意】（1）由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形.
（2）矩形必须具备两个条件：①它是一个平行四边形；②它有一个角是直角，这两个条件缺一不可.
（3）矩形的定义既可以作为矩形的性质运用，又可作为矩形的判定运用.
知识点二
矩形的性质
●●性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.
几何语言：
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD.
◆1、矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质.
◆2、矩形是轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条对称轴，分别是对边所在中点连线的直线.
◆3、矩形的四个角都是直角，常把矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决，同时，矩形被两条对角线分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，也常常用到等腰三角形的性质.
◆4、矩形的面积 = 长×宽，矩形的面积=被对角线分成的四个面积相等的小三角形（等腰三角形）面积之和.
知识点三
直角三角形斜边上的中线
◆1、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
几何语言：∵ 在Rt△ABC中，点O是AB的中点，
∴ OB=AO=CO=AC.
◆3、直角三角形的这条性质与直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半、三角形的中位线定理都是证明线段倍分关系的重要依据．“三角形的中位线定理”适用于任何三角形；“直角三角形斜边上的中线性质适用于任何直角三角形”；“含30°角的直角三角形性质”仅适用于含30°角的特殊直角三角形.
知识点四
矩形的判定
●矩形的判定方法：
方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)，
∴ 四边形ABCD是矩形.
方法二：对角线相等的平行四边形是矩形；
几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，
∴ 四边形ABCD是矩形.
方法三：有三个角是直角的四边形是矩形；
几何语言：∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴ 四边形ABCD是矩形.
◆思路总结：判定一个四边形是矩形要分两种情况：一是在平行四边形的基础上判定矩形，只要证出有一个角是直角或对角线相等即可；二是在四边形的基础上判定矩形，可以直接证出三个角是直角或先证出四边形是平行四边形，再进一步证明有一个角是直角或对角线相等.
题型一 利用矩形的性质求线段长
【例题1】(2023秋•滕州市校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC＝4，∠BOA＝120°，则AB的长是（ ）
A．3B．2C．23D．4
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO＝CO＝BO＝DO=12AC＝2，再根据邻角互补求出∠AOD的度数，然后得到△AOD是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得解．
【解答】解：在矩形ABCD中，AO＝CO＝BO＝DO=12AC＝2，
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOD＝180°﹣120°＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD＝AO＝2，
∴AB=3AD＝23，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，判定出△AOD是等边三角形是解题的关键．
【变式1-1】(2023秋•锦江区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．对角线AC，BD相交于点O．点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则△AEF的周长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】因为四边形ABCD是矩形，所以AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，OB＝OD＝OA＝OC，在Rt△BAD中，可得BD＝10，推出OD＝OA＝OB＝5，因为E．F分别是AO．AD中点，根据三角形中位线定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，OB＝OD＝OA＝OC，
在Rt△BAD中，∵BD=AB2+AD2=62+82=10，
∴OD＝OA＝OB＝5，
∵E．F分别是AO，AD中点，
∴EF=12OD=52，AE=52，AF＝4，
∴△AEF的周长为9，
故选：D．
【点评】本题考查三角形中位线定理、矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
【变式1-2】(2023秋•峰峰矿区校级期末）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，则DE的长为（ ）
A．22−2B．22−1C．3−1D．22
【分析】在Rt△ABE中可求得BE的长，由角平分线的定义和平行的性质可证得BC＝BE，则可求得AD的长，则可求得DE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠A＝90°，
∵AB＝2，∠ABE＝45°，
∴AE＝AB＝2，
∴BE=AB2+AE2=22，
∵AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ECB，
∵EC平分∠BED，
∴∠BEC＝∠DEC，
∴∠BEC＝∠ECB，
∴BC＝BE＝22，
∴AD＝22，
∴DE＝AD﹣AE＝22−2，
故选：A．
【点评】本题主要考查矩形的性质，根据条件证得BC＝BE是解题的关键．
【变式1-3】(2023春•余干县期末）已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（ ）
A．6 cm和9 cmB．5 cm和10 cm
C．4 cm和11 cmD．7 cm和8 cm
【分析】根据已知条件以及矩形性质证△ABE为等腰三角形得到AB＝AE，注意“长和宽分别为15cm和10cm”说明有2种情况，需要分类讨论．
【解答】解：如图，∵矩形ABCD中，BE是角平分线．
∴∠ABE＝∠EBC．
∵AD∥BC．
∴∠AEB＝∠EBC．
∴∠AEB＝∠ABE
∴AB＝AE．
当AB＝15cm时：则AE＝15cm，不满足题意．
当AB＝10cm时：AE＝10cm，则DE＝5cm．
故选：B．
【点评】此题考查了矩形的性质与等腰三角形的判定与性质．注意出现角平分线，出现平行线时，一般出现等腰三角形，需注意等腰三角形相等边的不同．
【变式1-4】(2023•香坊区模拟）在矩形ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分线BE交AD所在的直线于点E，若DE＝2，则AD的长为 ．
【分析】当点E在AD上时，根据平行线的性质和角平分线的定义可得AE＝AB＝3，可得AD的长；当点E在AD的延长线上时，同理可求出AD的长．
【解答】解：如图1，当点E在AD上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
∵DE＝2，
∴AD＝AE+DE＝3+2＝5；
如图2，当点E在AD的延长线上时，同理AE＝3，
∴AD＝AE﹣DE＝3﹣2＝1．
故答案为：5或1．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确画出两种图形．
【变式1-5】(2023春•碑林区校级期末）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）
A．125B．65C．245D．不确定
【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得OA＝OD＝2.5，△AOD的面积，然后由S△AOD＝S△AOP+S△DOP=12OA•PE+OD•PF求得答案．
【解答】解：连接OP，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝5，
∴OA＝OD＝2.5，
∴S△ACD=12S矩形ABCD＝6，
∴S△AOD=12S△ACD＝3，
∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP=12OA•PE+12OD•PF=12×2.5×PE+12×2.5×PF=54（PE+PF）＝3，
解得：PE+PF=125．
故选：A．
【点评】此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
题型二 利用矩形的性质求角度
【例题2】(2023秋•衡南县期末）如图，分别在长方形ABCD的边DC，BC上取两点E，F，使得AE平分∠DAF，若∠BAF＝60°，则∠DAE＝（ ）
A．45°B．30°C．15°D．60°
【分析】长方形内角为90°，已知∠BAF＝60°，所以可以得到∠DAF，又因为AE平分∠DAF，所以∠DAE便可求出．
【解答】解：在长方形ABCD中，∠BAD＝90°
∵∠BAF＝60°
∴∠DAF＝90°﹣∠BAF＝30°
又AE平分∠DAF
所以∠DAE=12∠DAF＝15°
故选：C．
【点评】运用了长方形的四个角都是直角以及角平分线的概念即可解决．
【变式2-1】(2023春•承德县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，DF⊥AC于F点，若∠ADF＝3∠FDC，则∠DEC的度数是（ ）
A．30°B．45°C．50°D．55°
【分析】根据∠ADC＝90°，求出∠CDF和∠ADF，根据矩形性质求出ED＝EC，推出∠BDC＝∠DCE，求出∠BDC，即可求出答案．
【解答】解：设∠ADF＝3x°，∠FDC＝x°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴x+3x＝90，
x＝22.5°，
即∠FDC＝x°＝22.5°，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2EC，BD＝2ED，AC＝BD，
∴ED＝EC，
∴∠BDC＝∠DCE＝67.5°，
∴∠BDF＝∠BDC﹣∠CDF＝67.5°﹣22.5°＝45°，
∴∠DEC＝90°﹣45°＝45°
故选：B．
【点评】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理的应用，关键是求出∠BDC和∠CDF的度数，注意：矩形的对角线互相平分且相等．
【变式2-2】(2023春•抚顺期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC＝3：2，则∠BDF＝ ．
【分析】根据∠ADC＝90°，求出∠CDF和∠ADF，根据矩形性质求出OD＝OC，推出∠BDC＝∠DCO，求出∠BDC，即可求出答案．
【解答】解：设∠ADF＝3x°，∠FDC＝2x°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴2x+3x＝90，
x＝18°，
即∠FDC＝2x°＝36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DMC＝90°，
∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2OC，BD＝2OD，AC＝BD，
∴OD＝OC，
∴∠BDC＝∠DCO＝54°，
∴∠BDF＝∠BDC﹣∠CDF＝54°﹣36°＝18°，
故答案为：18°．
【点评】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理的应用，关键是求出∠BDC和∠CDF的度数，注意：矩形的对角线互相平分且相等．
【变式2-3】如图，四边形ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，CF交AB于点E，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠ECB＝20°，则∠ACD的度数是 ．
【分析】根据矩形的性质得到AD∥BC，∠DCB＝90°，根据平行线的性质得到∠F＝∠ECB＝20°，根据三角形的外角的性质得到∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°，于是得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DCB＝90°，
∴∠F＝∠ECB＝20°，
∴∠GAF＝∠F＝20°，
∴∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°，
∴∠ACB＝∠ACG+∠ECB＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对边平行；两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
【变式2-4】(2023春•洪泽区校级月考）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ACB＝36°，求∠E的度数．
【分析】由矩形的性质得AC＝BD，而CE＝BD，则AC＝CE，所以∠CAE＝∠E，则∠ACB＝∠CAE+∠E＝2∠E＝36°，即可求得∠E＝18°．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∵CE＝BD，
∴AC＝CE，
∴∠CAE＝∠E，
∴∠ACB＝∠CAE+∠E＝2∠E，
∵∠ACB＝36°，
∴2∠E＝36°，
∴∠E＝18°，
∴∠E的度数是18°．
【点评】此题重点考查矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明AC＝CE是解题的关键．
【变式2-5】(2023秋•芗城区校级期中）长方形ABCD中，AB＝12，AD＝17，E，F分别在边BC，CD上，BE＝5，DF＝7，则∠AEB+∠AFD等于（ ）
A．105°B．120°C．90°D．135°
【分析】根据题意画出图形，证明△ABE≌△ECF（SAS），可得∠EAB＝∠CEF，AE＝FE，∠AEB＝∠EFC，然后证明△AEF是等腰直角三角形，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，连接EF，
在长方形ABCD中，DC＝AB＝12，BC＝AD＝17，
∵BE＝5，DF＝7，
∴CE＝12，CF＝5，
∴AB＝EC，BE＝CF，
∵∠B＝∠C＝90°，
在△ABE和△ECF中，
AB=EC∠B=∠C=90°BE=CE，
∴△ABE≌△ECF（SAS），
∴∠EAB＝∠CEF，AE＝FE，∠AEB＝∠EFC，
∵∠EAB+∠AEB＝90°，
∴∠CEF+∠AEB＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AFE＝45°，
∴∠AEB+∠AFD＝∠EFC+∠AFD＝180°﹣45°＝135°．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，解决本题的关键是得到△ABE≌△ECF．
题型三 利用矩形的性质求面积
【例题3】如图，在长方形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接ED，若ED＝5，EC＝3，则长方形的面积为（ ）
A．22B．24C．26D．28
【分析】直接利用勾股定理得出DC的长，再利用角平分线的定义以及等腰三角形的性质得出BE的长，进而得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，
∵ED＝5，EC＝3，
∴DC=ED2−EC2=52−32=4，
则AB＝4，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝4，
∴BC=BE+EC＝4+3=7
∴长方形的面积为：4×7＝28．
故选：D．
【点评】此题主要考查了矩形的性质以及角平分线的定义，正确得出AB＝BE是解题关键．
【变式3-1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB＝30°，BD＝4，则矩形ABCD的面积是 ．
【分析】根据题意和矩形的性质，可以得到AC的长，然后根据直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理，可以得到AB和BC的长，从而可以求得矩形ABCD的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BD＝4，
∴AC＝BD＝4，∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝30°，
∴AB＝2，BC=AC2−AB2=42−22=23，
∴矩形ABCD的面积是：2×23=43，
故答案为：43．
【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式3-2】(2023•鼓楼区校级二模）如图，点O是矩形ABCD的对角线BD的中点，点E是BC的中点，连接OA，OE．若OA＝2，OE＝1，则矩形ABCD的面积为 ．
【分析】由三角形中位线定理求出OA＝2，由勾股定理求出AD的长，则可得出答案．
【解答】解：∵O为BD的中点，E是BC的中点，
∴OE=12DC，
∵OE＝1，
∴DC＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，∠BAD＝90°，
∵OA＝2，
∴BD＝2OA＝4，
∴AD=BD2−AB2=42−22=23，
∴矩形ABCD的面积＝AD•DC＝23×2=43．
故答案为：43．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
【变式3-3】如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（ ）
A．23B．33C．4D．43
【分析】因为DE是AC的垂直的平分线，所以D是AC的中点，F是AB的中点，所以DF∥BC，所以∠C＝90°，所以四边形BCDE是矩形，因为∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，能求出AB的长，根据勾股定理求出AC的长，从而求出DC的长，从而求出面积．
【解答】解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，
∴DF∥BC，
∴∠C＝90°，
∴四边形BCDE是矩形．
∵∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，
∴AB＝4，
∴AC=42−22=23．
∴BE＝CD=3．
∴四边形BCDE的面积为：2×3=23．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的判定定理，矩形的面积的求法，以及中位线定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质等．
【变式3-4】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
【分析】（1）由矩形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，证出OE＝OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE＝CF；
（2）证出△AOB是等边三角形，得出OA＝AB＝6，AC＝2OA＝12，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC=AC2−AB2=63，即可得出矩形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
在△AOE和△COF中，OA=OC∠AOE=∠COFOE=OF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF；
（2）解：∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝6，
∴AC＝2OA＝12，
在Rt△ABC中，BC=AC2−AB2=63，
∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝6×63=363．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和求出BC是解决问题的关键．
题型四 利用矩形的性质证明
【例题4】(2023春•江西月考）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若∠AOB＝60°，求证：△OBE是等腰三角形．
【分析】根据矩形的性质可得△AOB为等边三角形．然后根据角平分线可得△ABE是等腰直角三角形，进而可以解决问题．
【解答】证明：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OB，
又∵∠AOB＝60°，
∴△AOB为等边三角形．
∴OA＝OD＝OB＝AB＝OC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴∠BAE＝45°，
∴AB＝BE，
∴BE＝OB，
∴△OBE是等腰三角形．
【点评】此题考查矩形的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和等腰三角形的判定解答．
【变式4-1】在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：DF＝AB；
（2）若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD．
【分析】（1）利用“AAS”证△ADF≌△EAB即可得；
（2）由∠ADF+∠FDC＝90°、∠DAF+∠ADF＝90°得∠FDC＝∠DAF＝30°，据此知AD＝2DF，根据DF＝AB可得答案．
【解答】证明：（1）在矩形ABCD中，∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
又∵DF⊥AE，
∴∠DFA＝90°，
∴∠DFA＝∠B，
又∵AD＝EA，
∴△ADF≌△EAB，
∴DF＝AB．
（2）∵∠ADF+∠FDC＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠FDC＝∠DAF＝30°，
∴AD＝2DF，
∵DF＝AB，
∴AD＝2AB＝8．
【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质．
【变式4-2】(2023春•姜堰区校级月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在AB的延长线上找一点E，连接EC，使得EC＝AC．
（1）求证：四边形BDCE是平行四边形；
（2）若AB＝6，BC＝8，求点E到AC的距离．
【分析】（1）由矩形的性质得∠ABC＝90°，DB＝AC，AB＝DC，由BC⊥AE，EC＝AC，得AB＝EB，则DB＝EC，EB＝DC，即可证明四边形BDCE是平行四边形；
（2）设点E到AC的距离是h，由勾股定理求得AC=AB2+BC2=10，再由12×10h=12×12×8＝S△AEC求出h的值即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，DB＝AC，AB＝DC，
∴BC⊥AE，
∵EC＝AC，
∴DB＝EC，AB＝EB，
∴EB＝DC，
∴四边形BDCE是平行四边形．
（2）解：设点E到AC的距离是h，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC=AB2+BC2=62+82=10，AE＝2AB＝12，
∵12AC•h=12AE•BC＝S△AEC，
∴12×10h=12×12×8，
解得h=485，
∴点E到AC的距离为485．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理、根据面积等式求点到直线的距离等知识与方法，正确地列出表示△AEC面积的代数式是解题的关键．
【变式4-3】(2023•安顺模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB，CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为O．
（1）求证：△AOM≌△CON；
（2）若AD＝8，CD＝4，求AE的长．
【分析】（1）根据矩形的性质得出AB∥CD，求出∠M＝∠N，AO＝CO，再根据全等三角形的判定定理AAS推出即可；
（2）根据矩形的性质得出AB＝CD＝4，根据线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，再根据勾股定理求出即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠M＝∠N，
∵AC的垂直平分线是MN，
∴AO＝CO，
在△AOM和△CON中，
∠AOM=∠CON∠M=∠NAO=CO，
∴△AOM≌△CON（AAS）；
（2）解：连接CE，设AE＝x，则DE＝8﹣x，
∵AC的垂直平分线是MN，
∴AE＝CE＝x，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，
∴DC＝AB＝4，∠ADC＝90°，
由勾股定理得：DE2+DC2＝CE2，
∴（8﹣x）2+42＝x2，
解得：x＝5，
即AE＝5．
【点评】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定等知识点，能熟记矩形的性质和线段垂直平分线的性质是解此题的关键．
【变式4-4】(2023秋•石阡县期中）如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC，分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若AE+BF＝16，求BC的长．
【分析】（1）根据矩形的性质，由“ASA”可证△AOE≌△COF；
（2）根据△AOE≌△COF，可得AE＝CF，然后利用线段的和差即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵点O是AC的中点，
∴AO＝CO，
在△AOE和△COF中，
∠DAC=∠ACBAO=CO∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）解：∵△AOE≌△COF，
∴AE＝CF，
∵AE+BF＝16，
∴CF+BF＝16，
∴BC＝16．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
【变式4-5】(2023秋•南岸区校级期中）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F．过点C作CG⊥AF于点G，连接DG、BG、CG．
（1）求证：BG＝DG；
（2）连接BD，求∠BDG的度数．
【分析】（1）由BF平分∠BAD，得∠DAF＝∠BAF＝45°，则∠F＝∠DAF＝45°，可证明DF＝DA＝BC，由CG⊥AF于点G，得∠GCF＝∠F＝45°，则∠BCG＝∠F＝45°，CG＝FG，即可证明△BCG≌△DFG，得BG＝DG；
（2）由∠CBG＝∠FDG，推导出∠GBD+∠BDG＝∠CBD+∠CDB＝90°，则∠GBD＝∠BDG＝45°．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝DA，BC∥DA，∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠BCF＝∠BCD＝90°，
∵BF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAF＝45°，
∴∠F＝∠DAF＝45°，
∴DF＝DA，
∴BC＝DF，
∵CG⊥AF于点G，
∴∠CGF＝90°，
∴∠GCF＝∠F＝45°，
∴∠BCG＝∠F＝45°，CG＝FG，
在△BCG和△DFG中，
BC=DF∠BCG=∠FCG=FG，
∴△BCG≌△DFG（SAS），
∴BG＝DG．
（2）解：∵△BCG≌△DFG，
∴∠CBG＝∠FDG，
∴∠GBD+∠BDG＝∠CBD+∠CBG+∠BDG＝∠CBD+∠FDG+∠BDG＝∠CBD+∠CDB＝90°，
∵∠GBD＝∠BDG，
∴∠BDG＝45°，
∴∠BDG的度数是45．
【点评】此题重点考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，证明△BCG≌△DFG是解题的关键．
题型五 直角三角形斜边上的中线的性质
【例题5】(2023秋•沭阳县期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点E，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若∠ECB+∠DBC＝45°，DE＝10，求MN的长．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD＝ME=12BC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD＝ME＝BM＝CM，进而得到∠DBM＝∠BDM，∠MEC＝∠MCE，由三角形外角定理及∠ECB+∠DBC＝45°得到∠EMB+∠DMC＝90°，即∠EMD＝90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得MN．
【解答】（1）证明：连接EM、DM，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
∵在Rt△DBC中和Rt△EBC中，M是BC的中点，
∴DM=12BC，EM=12BC，
∴DM＝EM，
∵N是DE的中点，
∴MN⊥ED；
（2）解：在Rt△DBC中，M是BC的中点，
∴DM=12BC＝BM，
∴∠DBM＝∠BDM，
同理∠MEC＝∠MCE，
∵∠ECB+∠DBC＝45°，
∴∠EMB+∠DMC＝2（∠ECB+∠DBC）＝90°，
∴∠EMD＝90°，
∵N是DE的中点，DE＝10，
∴MN=12DE＝5．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键．
【变式5-1】(2023•宁南县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，点F为DE的中点，连结BF．若AB＝10，则BF的长为 ．
【分析】先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度，结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF=12CD．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，
∵CD为中线，
∴CD=12AB＝5．
∵F为DE中点，BE＝BC，
∴点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，
∴BF=12CD＝2.5．
故答案为：2.5．
【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
【变式5-2】(2023秋•新田县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm，AM是BC上的高，MN∥AC，MN交AB于点N，BC＝6cm，求△BMN的周长．
【分析】先根据等腰三角形的性质得出∠CAM＝∠BAM，求出BM，再根据平行线的性质得出∠BAM＝∠AMN，进而得出MN＝AN，最后根据△BMN＝BM+AB求出答案．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，AM是BC上的高，
∴∠CAM＝∠BAM，BM=12BC=12×6=3（cm）（三线合一），
∵MN∥AC，
∴∠AMN＝∠CAM，
∴∠BAM＝∠AMN（等量代换），
∴MN＝AN（等角对等边），
∴△BMN的周长＝BM+BN+MN，
＝BM+BN+AN＝BM+AB＝3+8＝11（cm）．
答：△BMN的周长为11cm．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质等，将三角形的周长转化为两条线段的和是解题的关键．
【变式5-3】(2023秋•莲都区期末）已知：如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝45°，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线．
（1）求证：AE＝CD；
（2）求∠ACE的度数．
【分析】（1）连接DE，根据垂直定义可得∠ADC＝∠ADB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BAD＝60°，∠DAC＝45°，进而可得AD＝CD，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得BE＝DE＝AE，从而可得△AED是等边三角形，进而可得AD＝AE，最后利用等量代换即可解答；
（2）利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠EDB＝30°，从而可得∠DEC+∠DCE＝30°，再利用（1）的结论可得DE＝DC，然后利用等腰三角形的性质可得∠DEC＝∠DCE＝15°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接DE，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵∠B＝30°，∠ACB＝45°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝60°，∠DAC＝90°﹣∠ACD＝45°，
∴∠DAC＝∠ACD＝45°，
∴AD＝CD，
∵点E是AB的中点，∠ADB＝90°，
∴BE＝DE＝AE=12AB，
∴△AED是等边三角形，
∴AD＝AE，
∴AE＝DC；
（2）解：∵DE＝EB，
∴∠B＝∠EDB＝30°，
∴∠DEC+∠DCE＝30°，
∵DE＝AD，AD＝CD，
∴DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE＝15°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝30°，
∴∠ACE的度数为30°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
【变式5-4】(2023秋•大名县期末）如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE．
（1）求证：∠AEC＝∠C；
（2）求证：BD＝2AC；
（3）若AE＝6.5，AD＝5，求△ABE的周长．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质得出AE＝BE，再由等边对等角及三角形外角的性质即可证明；
（2）根据（1）中结论及直角三角形斜边上的中线的性质即可证明；
（3）根据直角三角形斜边上的中线的性质及勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵AD⊥AB，
∴△ABD为直角三角形．
又∵点E是BD的中点，
∴AE=12BD，
又∵BE=12BD，
∴AE＝BE，
∴∠B＝∠BAE．
又∵∠AEC＝∠B+∠BAE，
∴∠AEC＝∠B+∠B＝2∠B．
又∵∠C＝2∠B，
∴∠AEC＝∠C．
（2）证明：由（1）可得AE＝AC，
又∵AE=12BD，
∴12BD=AC，
∴BD＝2AC．
（3）解：在Rt△ABD中，
∵AD＝5，BD＝2AE＝2×6.5＝13，
∴AB=BD2−AD2=132−52=12，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝12+6.5+6.5＝25．
【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理解三角形及等腰三角形的性质与判定等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
【变式5-5】(2023秋•兴化市校级期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点．
（1）求证：△MEF是等腰三角形；
（2）若∠EBC＝30°，BC＝10cm，求CE的长度．
【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线的性质即可得出结论．
（2）利用直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半即可得出．
【解答】（1）证明：∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴△BFC与△BEC都为直角三角形，
∵M为BC的中点，
∴FM、EM为斜边BC的中点，
∴EM=12BC，FM=12BC，
∴EM＝FM，
∴△MEF是等腰三角形；
（2）在Rt△EBC中，∵∠EBC＝30°，
∴CE=12BC=12×10=5（cm）．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
题型六 判断四边形是矩形
【例题6】(2023秋•天府新区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
求证：四边形ADCE为矩形；
【分析】根据三个角是直角是四边形是矩形即可证明；
【解答】证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．
∴∠ADC＝90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN．
∴∠DAE＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°．
∴四边形ADCE为矩形．
【点评】本题考查矩形的判定、等腰三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式6-1】(2023秋•中牟县期末）检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（ ）
A．测量两条对角线，是否相等
B．测量两条对角线，是否互相平分
C．测量门框的三个角，是否都是直角
D．测量两条对角线，是否互相垂直
【分析】对角线相等的平行四边形是矩形或有三个角是直角的四边形是矩形的原理即可突破此题．
【解答】解：根据“三个角是直角的四边形是矩形”可以得到测量门框的三个角，是否都是直角即可检验该四边形是不是矩形，
故选：C．
【点评】此题考查学生对矩形的判定的理解和掌握，要求学生熟练掌握矩形的判定方法，并学会在实际生活中灵活运用，学以致用．
【变式6-2】(2023春•新市区校级期末）四边形ABCD的对角线AC、BD于点O，下列各组条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
B．∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＝∠B
C．OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90°
D．∠A＝∠C，∠B+∠C＝180°，∠AOB＝∠BOC
【分析】矩形的判定定理有：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）有三个角是直角的四边形是矩形．
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此利用排除法可判断．
【解答】解；A、AB＝CD，AD＝BC，可以判定为平行四边形，又有AC＝BD，可判定为矩形，故此选项错误；
B、∠A＝∠C，∠B＝∠D，可以判定为平行四边形，又有∠A＝∠B，可得到∠A＝90°，可判定为矩形，故此选项错误；
C、OA＝OC，OB＝OD，可以判定为平行四边形，又有∠BAD＝90°可判定为矩形，故此选项错误；
D、A，B，C都错误，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了矩形的判定定理，同学们一定要熟练掌握矩形的判定方法．
【变式6-3】已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DF、DE分别是△BDC、△ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形．
【分析】利用等腰△ADC“三合一”的性质证得DE⊥AC，同理得DF⊥BC，根据有三个角是直角的四边形是矩形，证四边形DECF是矩形．
【解答】证明：如图，
∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴AD＝CD，
∵DE是∠ADC的角平分线，
∴DE⊥AC．
∴∠DEC＝90°，
同理得∠CFD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形DECF是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定．此题是根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形推知四边形DECF是矩形的．
【变式6-4】如图，MN∥PQ，直线l分别交MN、PQ于点A、C，同旁内角的平分线AB、CB相交于点B，AD、CD相交于点D．试证明四边形ABCD是矩形．
【分析】首先推出∠BAC＝∠DCA，继而推出AB∥CD；推出∠BCA＝∠DAC，进而推出AD∥CB，因此四边形ABCD平行四边形，再证明∠ABC＝90°，可得平行四边形ABCD是矩形．
【解答】证明：∵MN∥PQ，
∴∠MAC＝∠ACQ、∠ACP＝∠NAC，
∵AB、CD分别平分∠MAC和∠ACQ，
∴∠BAC=12∠MAC、∠DCA=12∠ACQ，
又∵∠MAC＝∠ACQ，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，
∵AD、CB分别平分∠ACP和∠NAC，
∴∠BCA=12∠ACP、∠DAC=12∠NAC，
又∵∠ACP＝∠NAC，
∴∠BCA＝∠DAC，
∴AD∥CB，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD平行四边形，
∵∠BAC=12∠MAC，∠ACB=12∠ACP，
又∵∠MAC+∠ACP＝180°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【变式6-5】(2023春•西吉县期末）已知：如图，在▱ABCD中，AF、BH、CH、DF分别是∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH是矩形．
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的性质可得∠AFD＝∠BHC＝∠HGF＝∠HEF＝90°，由此可证四边形EFGH为矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°．
∵AF，BF分别平分∠DAB，∠ABC，
∴∠EAB+∠EBA=12（∠DAB+∠ABC）=12×180°＝90°．
∴∠AEB＝90°，
同理可得：∠AFD＝90°，∠BHC＝90°，∠DGC＝90°，
∵∠HGF＝∠DGC＝90°，∠HEF＝∠AEB＝90°，
∴∠AFD＝∠HGF＝∠HEF＝90°，
∴四边形EGFH是矩形．
【点评】此题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，关键是掌握三个角是直角的四边形是矩形．
题型七 判断平行四边形是矩形
【例题7】如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD，CF⊥AB，垂足分别为E，F．求证：四边形AFCE是矩形．
【分析】由平行四边形的性质得出∠AFC＝∠AEC＝90°，则∠FCE＝∠EAF＝90°，可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AE⊥CD，CF⊥AB，
∴∠AFC＝∠AEC＝90°，
∴∠FCE＝∠EAF＝90°，
∴四边形AFCE是矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质及矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
【变式7-1】(2023春•南票区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．
求证：四边形BECD是矩形．
【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC＝90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形．
【解答】证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD＝CD．
∵四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，BE＝AD，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形．
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴▱BECD是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【变式7-2】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG．
（1）求证：AD∥CF；
（2）求证：四边形ADCF是矩形．
【分析】（1）先证EG是△ACD的中位线，得EG∥AD，再由∠FCA＝∠CEG证出EG∥CF，即可得出结论；
（2）先证△ADE≌△CFE（AAS），得AD＝CF，则四边形ADCF是平行四边形，再由等腰三角形的在得∠ADC＝90°，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵E，G分别是AC，DC的中点，
∴EG是△ACD的中位线，
∴EG∥AD，
∵∠FCA＝∠CEG，
∴EG∥CF，
∴AD∥CF；
（2）由（1）得：AD∥CF，
∴∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠CFE，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
又∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCF是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
【变式7-3】已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．且BE＝CF．求证：平行四边形ABCD是矩形．
【分析】由平行四边形的性质得出OB=12BD，OC=12AC，由AAS证明△BEO≌△CFO，得出对应边相等OB＝OC，得出BD＝AC，即可得出结论．
【解答】证明：∵BE⊥AC，CF⊥BD，
∴∠OEB＝∠OFC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=12BD，OC=12AC，
在△BEO和△CFO中，
∠OEB=∠OFC∠BOE=∠COFBE=CF，
∴△BEO≌△CFO（AAS），
∴OB＝OC，
∴BD＝AC，
∴平行四边形是矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定方法，证明三角形全等得出OB＝OC是解决问题的关键.
【变式7-4】如图，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求证：四边形ABCD是矩形．
【分析】连接EO，首先根据O为BD和AC的中点，得出四边形ABCD是平行四边形，在Rt△AEC中EO=12AC，在Rt△EBD中，EO=12BD，得到AC＝BD，可证出结论．
【解答】证明：连接EO，如图所示：
∵O是AC、BD的中点，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
在Rt△EBD中，
∵O为BD中点，
∴EO=12BD，
在Rt△AEC中，∵O为AC中点，
∴EO=12AC，
∴AC＝BD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【变式7-5】如图所示，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形EGCF是矩形．
【分析】（1）由AAS证明△ABE≌△CDF即可；
（2）由全等三角形的性质得AE＝CF，证出EG＝CF，则四边形EGCF是平行四边形，由∠GEF＝90°，即可得出四边形EGCF是矩形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴AE∥CF，∠GEF＝∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，∠ABE=∠CDF∠AEB=∠CFDAB=CD，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）由（1）得：△ABE≌△CDF，AE∥CF，
∴AE＝CF，
∵EG＝AE，
∴EG＝CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，
又∵∠GEF＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
【变式7-6】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AB中点，点F在CB的延长线上，且EF∥BD．
（1）求证：四边形OBFE是平行四边形；
（2）当线段AD和BD之间满足什么条件时，四边形OBFE是矩形？并说明理由．
【分析】（1）首先证明OE是△ABC的中位线，推出OE∥BC，由EF∥OB，推荐可提出四边形OBFE是平行四边形．
（2）当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形． 只要证明∠EOB＝90°即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是AC的中点．
又∵点E是边AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥BC，
又∵点F在CB的延长线上，
∴OE∥BF．
∵EF∥BD，即EF∥OB，
∴四边形OBFE是平行四边形．
（2）当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形．
理由：由（1）可知四边形OBFE是平行四边形，
又∵AD⊥BD，AD∥BC，且点F在BC的延长线上，
∴FC⊥BD，
∴∠OBF＝90°，
∴四边形OBFE是矩形．
【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、矩形的判定、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定，掌握矩形的判定方法，属于中考常考题型．
题型八 利用矩形的性质解决折叠问题
【例题8】(2023春•三台县月考）如图，长方形ABCD中将△ABF沿AF翻折至△AB'F处，若AB'∥BD，∠1＝26°，则∠BAF的度数为（ ）
A．57°B．58°C．59°D．60°
【分析】由矩形的性质得∠ABC＝90°，AD∥BC，则∠AFB＝∠DAF，由翻折得∠B′＝∠ABF＝90°，∠AFB′＝∠AFB，所以∠AFB′＝∠DAF，由AB'∥BD，∠B′AM＝∠1＝26°，则∠AFB′+∠DAF＝2∠DAF＝∠AMB′＝64°，所以∠DAF＝32°，即可求得∠BAF＝∠B′AF＝58°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠DAF，
由翻折得∠B′＝∠ABF＝90°，∠AFB′＝∠AFB，
∴∠AFB′＝∠DAF，
∵AB'∥BD，
∴∠B′AM＝∠1＝26°，
∴∠AMB′＝90°﹣∠B′AM＝64°，
∴∠AFB′+∠DAF＝2∠DAF＝∠AMB′＝64°，
∴∠DAF＝32°，
∴∠BAF＝∠B′AF＝∠B′AM+∠DAF＝26°+32°＝58°，
故选：B．
【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，根据翻折的性质和平行线的性质证明∠AFB′＝∠DAF是解题的关键．
【变式8-1】(2023秋•金山区期末）如图，在长方形ABCD中，点E在边DC上，联结AE，将△AED沿折痕AE翻折，使点D落在边BC上的D1处，如果∠DEA＝76°，那么∠D1EC＝ 度．
【分析】利用翻折不变性求出∠DED1即可解决问题；
【解答】解：由翻折不变性可知，
∠AED＝∠AED1＝76°，
∴∠DED1＝152°，
∴∠CED1＝180°﹣152°＝28°，
故答案为：28．
【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质及直角三角形的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键
【变式8-2】(2023秋•管城区校级月考）如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，把长方形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F，则AF的长为多少？
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，再根据折叠的方法可得△ABC≌△AEC，△ADF≌△CEF，进而可得到可知AE＝AB＝8cm，CE＝BC＝AD＝6cm，再设AF＝xcm，则EF＝DF＝（8﹣x）cm，在Rt△ADF中利用勾股定理可得62+（8﹣x）2＝x2，再解方程即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝8cm，AD＝6cm，
∴BC＝AD＝6cm，AB＝CD＝8cm，
∴AC=AB2+BC2=10cm，
矩形纸片沿直线AC折叠，则△ABC≌△AEC，
可知AE＝AB＝8cm，CE＝BC＝AD＝6cm，∠E＝∠B＝∠D＝90°，
在△ADF和△CEF中，
∠AFD=∠CFE∠D=∠EAD=CE，
∴△ADF≌△CEF（AAS），
∴DF＝EF，
设AF＝xcm，则EF＝DF＝（8﹣x）cm，
在Rt△ADF中，
AD2+DF2＝AF2，
即：62+（8﹣x）2＝x2，
解得x=254．
即：AF的长为254cm．
【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理列出方程是本题的关键．
【变式8-3】如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，结果发现F点恰好是DC的中点，若BC＝26，则AB的长 .
【分析】连接EF，由折叠性质得AE＝EG，∠A＝∠EGB＝90°，BG＝AB，则∠EGF＝90°，易证EG＝DE，由矩形的性质得AB＝CD，∠C＝∠D＝90°，推出∠EGF＝∠D＝90°，由HL证得Rt△EGF≌Rt△EDF，得出FG＝FD，求得CF＝DF＝FG=12CD=12AB，BF＝BG+FG=32AB，由勾股定理得出BC2+CF2＝BF2，即可得出结果．
【解答】解：连接EF，如图所示：
由折叠性质得：AE＝EG，∠A＝∠EGB＝90°，BG＝AB，
∴∠EGF＝90°，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∴EG＝DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠C＝∠D＝90°，
∴∠EGF＝∠D＝90°，
在Rt△EGF与Rt△EDF中，EG=EDEF=EF，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），
∴FG＝FD，
∵F点恰好是DC的中点，
∴CF＝DF＝FG=12CD=12AB，
∴BF＝BG+FG＝AB+12AB=32AB，
在Rt△BCF中，BC2+CF2＝BF2，
即：（26）2+（12AB）2＝（32AB）2，
解得：AB＝23．
故答案为：23．
【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【变式8-4】(2023春•工业园区校级期末）已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于O，且OE＝OD，求AP的长．
【分析】由折叠的性质得出EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP＝OG，PD＝GE，设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x，根据勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：设CD与BE交于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8，
由翻折的性质得：△ABP≌△EBP，
∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，
在△ODP和△OEG中，∠D=∠EOD=OE∠DOP=∠EOG，
∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP＝OG，PD＝GE，
∴DG＝EP，
∴AP＝EP＝DG，
设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x，
∴CG＝8﹣x，BG＝8﹣（6﹣x）＝2+x，
在Rt△BCG中，根据勾股定理得：BC2+CG2＝BG2，
即62+（8﹣x）2＝（x+2）2，
解得：x＝4.8，
∴AP＝4.8．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
解题技巧提炼
在利用矩形的性质计算线段长度时，常常与特殊三角形的性质和勾股定理结合起来应用.
解题技巧提炼
矩形内求角度的问题主要是利用矩形的性质和结合题中的条件求解，有时要利用等腰三角形的性质.
解题技巧提炼
求矩形的面积问题，主要是利用矩形的性质求出矩形的长和宽，再根据面积的计算公式求解即可，有时与勾股定理结合起来用.
解题技巧提炼
与矩形有关的问题，常与全等三角形和特殊三角形等知识融为一体进行探索，利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可.
解题技巧提炼
在直角三角形中，遇到斜边的中点常作斜边的中线，从而利用直角三角形斜边中线的性质解决问题.
解题技巧提炼
如果已知四边形的两个角是直角，此时可以选择“有三个角是直角的四边形是矩形”证明比较简单.
解题技巧提炼
已知四边形是平行四边形时，判定矩形的方法只需再证有一个角为直角（定义法），或再证明对角线相等.当已知对角线相等时，只需证这个四边形是平行四边形即可.
解题技巧提炼
求解关于矩形的折叠问题时往往通过找出折叠部分的线段或角与原图形之间的关系，从而得到折叠部分与原图形或其它图形之间的关系，有时要用到三角形全等、勾股定理等知识.
知识点一
矩形的定义
●●定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
【注意】（1）由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形.
（2）矩形必须具备两个条件：①它是一个平行四边形；②它有一个角是直角，这两个条件缺一不可.
（3）矩形的定义既可以作为矩形的性质运用，又可作为矩形的判定运用.
知识点二
矩形的性质
●●性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.
几何语言：
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD.
◆1、矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质.
◆2、矩形是轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条对称轴，分别是对边所在中点连线的直线.
◆3、矩形的四个角都是直角，常把矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决，同时，矩形被两条对角线分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，也常常用到等腰三角形的性质.
◆4、矩形的面积 = 长×宽，矩形的面积=被对角线分成的四个面积相等的小三角形（等腰三角形）面积之和.
知识点三
直角三角形斜边上的中线
◆1、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
几何语言：∵ 在Rt△ABC中，点O是AB的中点，
∴ OB=AO=CO=AC.
◆3、直角三角形的这条性质与直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半、三角形的中位线定理都是证明线段倍分关系的重要依据．“三角形的中位线定理”适用于任何三角形；“直角三角形斜边上的中线性质适用于任何直角三角形”；“含30°角的直角三角形性质”仅适用于含30°角的特殊直角三角形.
知识点四
矩形的判定
●矩形的判定方法：
方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)，
∴ 四边形ABCD是矩形.
方法二：对角线相等的平行四边形是矩形；
几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，
∴ 四边形ABCD是矩形.
方法三：有三个角是直角的四边形是矩形；
几何语言：∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴ 四边形ABCD是矩形.
◆思路总结：判定一个四边形是矩形要分两种情况：一是在平行四边形的基础上判定矩形，只要证出有一个角是直角或对角线相等即可；二是在四边形的基础上判定矩形，可以直接证出三个角是直角或先证出四边形是平行四边形，再进一步证明有一个角是直角或对角线相等.
题型一 利用矩形的性质求线段长
【例题1】(2023秋•滕州市校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC＝4，∠BOA＝120°，则AB的长是（ ）
A．3B．2C．23D．4
【变式1-1】(2023秋•锦江区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．对角线AC，BD相交于点O．点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则△AEF的周长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式1-2】(2023秋•峰峰矿区校级期末）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，则DE的长为（ ）
A．22−2B．22−1C．3−1D．22
【变式1-3】(2023春•余干县期末）已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（ ）
A．6 cm和9 cmB．5 cm和10 cm
C．4 cm和11 cmD．7 cm和8 cm
【变式1-4】(2023•香坊区模拟）在矩形ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分线BE交AD所在的直线于点E，若DE＝2，则AD的长为 ．
【变式1-5】(2023春•碑林区校级期末）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）
A．125B．65C．245D．不确定
题型二 利用矩形的性质求角度
【例题2】(2023秋•衡南县期末）如图，分别在长方形ABCD的边DC，BC上取两点E，F，使得AE平分∠DAF，若∠BAF＝60°，则∠DAE＝（ ）
A．45°B．30°C．15°D．60°
【变式2-1】(2023春•承德县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，DF⊥AC于F点，若∠ADF＝3∠FDC，则∠DEC的度数是（ ）
A．30°B．45°C．50°D．55°
【变式2-2】(2023春•抚顺期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC＝3：2，则∠BDF＝ ．
【变式2-3】如图，四边形ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，CF交AB于点E，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠ECB＝20°，则∠ACD的度数是 ．
【变式2-4】(2023春•洪泽区校级月考）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ACB＝36°，求∠E的度数．
【变式2-5】(2023秋•芗城区校级期中）长方形ABCD中，AB＝12，AD＝17，E，F分别在边BC，CD上，BE＝5，DF＝7，则∠AEB+∠AFD等于（ ）
A．105°B．120°C．90°D．135°
题型三 利用矩形的性质求面积
【例题3】如图，在长方形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接ED，若ED＝5，EC＝3，则长方形的面积为（ ）
A．22B．24C．26D．28
【变式3-1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB＝30°，BD＝4，则矩形ABCD的面积是 ．
【变式3-2】(2023•鼓楼区校级二模）如图，点O是矩形ABCD的对角线BD的中点，点E是BC的中点，连接OA，OE．若OA＝2，OE＝1，则矩形ABCD的面积为 ．
【变式3-3】如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（ ）
A．23B．33C．4D．43
【变式3-4】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
题型四 利用矩形的性质证明
【例题4】(2023春•江西月考）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若∠AOB＝60°，求证：△OBE是等腰三角形．
【变式4-1】在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：DF＝AB；
（2）若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD．
【变式4-2】(2023春•姜堰区校级月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在AB的延长线上找一点E，连接EC，使得EC＝AC．
（1）求证：四边形BDCE是平行四边形；
（2）若AB＝6，BC＝8，求点E到AC的距离．
【变式4-3】(2023•安顺模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB，CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为O．
（1）求证：△AOM≌△CON；
（2）若AD＝8，CD＝4，求AE的长．
【变式4-4】(2023秋•石阡县期中）如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC，分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若AE+BF＝16，求BC的长．
【变式4-5】(2023秋•南岸区校级期中）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F．过点C作CG⊥AF于点G，连接DG、BG、CG．
（1）求证：BG＝DG；
（2）连接BD，求∠BDG的度数．
题型五 直角三角形斜边上的中线的性质
【例题5】(2023秋•沭阳县期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点E，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若∠ECB+∠DBC＝45°，DE＝10，求MN的长．
【变式5-1】(2023•宁南县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，点F为DE的中点，连结BF．若AB＝10，则BF的长为 ．
【变式5-2】(2023秋•新田县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm，AM是BC上的高，MN∥AC，MN交AB于点N，BC＝6cm，求△BMN的周长．
【变式5-3】(2023秋•莲都区期末）已知：如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝45°，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线．
（1）求证：AE＝CD；
（2）求∠ACE的度数．
【变式5-4】(2023秋•大名县期末）如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE．
（1）求证：∠AEC＝∠C；
（2）求证：BD＝2AC；
（3）若AE＝6.5，AD＝5，求△ABE的周长．
【变式5-5】(2023秋•兴化市校级期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点．
（1）求证：△MEF是等腰三角形；
（2）若∠EBC＝30°，BC＝10cm，求CE的长度．
题型六 判断四边形是矩形
【例题6】(2023秋•天府新区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
求证：四边形ADCE为矩形；
【变式6-1】(2023秋•中牟县期末）检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（ ）
A．测量两条对角线，是否相等
B．测量两条对角线，是否互相平分
C．测量门框的三个角，是否都是直角
D．测量两条对角线，是否互相垂直
【变式6-2】(2023春•新市区校级期末）四边形ABCD的对角线AC、BD于点O，下列各组条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
B．∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＝∠B
C．OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90°
D．∠A＝∠C，∠B+∠C＝180°，∠AOB＝∠BOC
【变式6-3】已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DF、DE分别是△BDC、△ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形．
【变式6-4】如图，MN∥PQ，直线l分别交MN、PQ于点A、C，同旁内角的平分线AB、CB相交于点B，AD、CD相交于点D．试证明四边形ABCD是矩形．
【变式6-5】(2023春•西吉县期末）已知：如图，在▱ABCD中，AF、BH、CH、DF分别是∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH是矩形．
题型七 判断平行四边形是矩形
【例题7】如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD，CF⊥AB，垂足分别为E，F．求证：四边形AFCE是矩形．
【变式7-1】(2023春•南票区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．
求证：四边形BECD是矩形．
【变式7-2】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG．
（1）求证：AD∥CF；
（2）求证：四边形ADCF是矩形．
【变式7-3】已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．且BE＝CF．求证：平行四边形ABCD是矩形．
【变式7-4】如图，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求证：四边形ABCD是矩形．
【变式7-5】如图所示，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形EGCF是矩形．
【变式7-6】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AB中点，点F在CB的延长线上，且EF∥BD．
（1）求证：四边形OBFE是平行四边形；
（2）当线段AD和BD之间满足什么条件时，四边形OBFE是矩形？并说明理由．
题型八 利用矩形的性质解决折叠问题
【例题8】(2023春•三台县月考）如图，长方形ABCD中将△ABF沿AF翻折至△AB'F处，若AB'∥BD，∠1＝26°，则∠BAF的度数为（ ）
A．57°B．58°C．59°D．60°
【变式8-1】(2023秋•金山区期末）如图，在长方形ABCD中，点E在边DC上，联结AE，将△AED沿折痕AE翻折，使点D落在边BC上的D1处，如果∠DEA＝76°，那么∠D1EC＝ 度．
【变式8-2】(2023秋•管城区校级月考）如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，把长方形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F，则AF的长为多少？
【变式8-3】如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，结果发现F点恰好是DC的中点，若BC＝26，则AB的长 .
【变式8-4】(2023春•工业园区校级期末）已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于O，且OE＝OD，求AP的长．
解题技巧提炼
在利用矩形的性质计算线段长度时，常常与特殊三角形的性质和勾股定理结合起来应用.
解题技巧提炼
矩形内求角度的问题主要是利用矩形的性质和结合题中的条件求解，有时要利用等腰三角形的性质.
解题技巧提炼
求矩形的面积问题，主要是利用矩形的性质求出矩形的长和宽，再根据面积的计算公式求解即可，有时与勾股定理结合起来用.
解题技巧提炼
与矩形有关的问题，常与全等三角形和特殊三角形等知识融为一体进行探索，利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可.
解题技巧提炼
在直角三角形中，遇到斜边的中点常作斜边的中线，从而利用直角三角形斜边中线的性质解决问题.
解题技巧提炼
如果已知四边形的两个角是直角，此时可以选择“有三个角是直角的四边形是矩形”证明比较简单.
解题技巧提炼
已知四边形是平行四边形时，判定矩形的方法只需再证有一个角为直角（定义法），或再证明对角线相等.当已知对角线相等时，只需证这个四边形是平行四边形即可.
解题技巧提炼
求解关于矩形的折叠问题时往往通过找出折叠部分的线段或角与原图形之间的关系，从而得到折叠部分与原图形或其它图形之间的关系，有时要用到三角形全等、勾股定理等知识.
八年级下册数学《第十八章 平行四边形》
18.3 矩形的性质与判定
知识点一
矩形的定义
●●定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
【注意】（1）由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形.
（2）矩形必须具备两个条件：①它是一个平行四边形；②它有一个角是直角，这两个条件缺一不可.
（3）矩形的定义既可以作为矩形的性质运用，又可作为矩形的判定运用.
知识点二
矩形的性质
●●性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.
几何语言：
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD.
◆1、矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质.
◆2、矩形是轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条对称轴，分别是对边所在中点连线的直线.
◆3、矩形的四个角都是直角，常把矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决，同时，矩形被两条对角线分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，也常常用到等腰三角形的性质.
◆4、矩形的面积 = 长×宽，矩形的面积=被对角线分成的四个面积相等的小三角形（等腰三角形）面积之和.
知识点三
直角三角形斜边上的中线
◆1、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
几何语言：∵ 在Rt△ABC中，点O是AB的中点，
∴ OB=AO=CO=AC.
◆3、直角三角形的这条性质与直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半、三角形的中位线定理都是证明线段倍分关系的重要依据．“三角形的中位线定理”适用于任何三角形；“直角三角形斜边上的中线性质适用于任何直角三角形”；“含30°角的直角三角形性质”仅适用于含30°角的特殊直角三角形.
知识点四
矩形的判定
●矩形的判定方法：
方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)，
∴ 四边形ABCD是矩形.
方法二：对角线相等的平行四边形是矩形；
几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，
∴ 四边形ABCD是矩形.
方法三：有三个角是直角的四边形是矩形；
几何语言：∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴ 四边形ABCD是矩形.
◆思路总结：判定一个四边形是矩形要分两种情况：一是在平行四边形的基础上判定矩形，只要证出有一个角是直角或对角线相等即可；二是在四边形的基础上判定矩形，可以直接证出三个角是直角或先证出四边形是平行四边形，再进一步证明有一个角是直角或对角线相等.
题型一 利用矩形的性质求线段长
【例题1】(2023秋•滕州市校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC＝4，∠BOA＝120°，则AB的长是（ ）
A．3B．2C．23D．4
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO＝CO＝BO＝DO=12AC＝2，再根据邻角互补求出∠AOD的度数，然后得到△AOD是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得解．
【解答】解：在矩形ABCD中，AO＝CO＝BO＝DO=12AC＝2，
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOD＝180°﹣120°＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD＝AO＝2，
∴AB=3AD＝23，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，判定出△AOD是等边三角形是解题的关键．
【变式1-1】(2023秋•锦江区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．对角线AC，BD相交于点O．点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则△AEF的周长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】因为四边形ABCD是矩形，所以AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，OB＝OD＝OA＝OC，在Rt△BAD中，可得BD＝10，推出OD＝OA＝OB＝5，因为E．F分别是AO．AD中点，根据三角形中位线定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，OB＝OD＝OA＝OC，
在Rt△BAD中，∵BD=AB2+AD2=62+82=10，
∴OD＝OA＝OB＝5，
∵E．F分别是AO，AD中点，
∴EF=12OD=52，AE=52，AF＝4，
∴△AEF的周长为9，
故选：D．
【点评】本题考查三角形中位线定理、矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
【变式1-2】(2023秋•峰峰矿区校级期末）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，则DE的长为（ ）
A．22−2B．22−1C．3−1D．22
【分析】在Rt△ABE中可求得BE的长，由角平分线的定义和平行的性质可证得BC＝BE，则可求得AD的长，则可求得DE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠A＝90°，
∵AB＝2，∠ABE＝45°，
∴AE＝AB＝2，
∴BE=AB2+AE2=22，
∵AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ECB，
∵EC平分∠BED，
∴∠BEC＝∠DEC，
∴∠BEC＝∠ECB，
∴BC＝BE＝22，
∴AD＝22，
∴DE＝AD﹣AE＝22−2，
故选：A．
【点评】本题主要考查矩形的性质，根据条件证得BC＝BE是解题的关键．
【变式1-3】(2023春•余干县期末）已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（ ）
A．6 cm和9 cmB．5 cm和10 cm
C．4 cm和11 cmD．7 cm和8 cm
【分析】根据已知条件以及矩形性质证△ABE为等腰三角形得到AB＝AE，注意“长和宽分别为15cm和10cm”说明有2种情况，需要分类讨论．
【解答】解：如图，∵矩形ABCD中，BE是角平分线．
∴∠ABE＝∠EBC．
∵AD∥BC．
∴∠AEB＝∠EBC．
∴∠AEB＝∠ABE
∴AB＝AE．
当AB＝15cm时：则AE＝15cm，不满足题意．
当AB＝10cm时：AE＝10cm，则DE＝5cm．
故选：B．
【点评】此题考查了矩形的性质与等腰三角形的判定与性质．注意出现角平分线，出现平行线时，一般出现等腰三角形，需注意等腰三角形相等边的不同．
【变式1-4】(2023•香坊区模拟）在矩形ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分线BE交AD所在的直线于点E，若DE＝2，则AD的长为 ．
【分析】当点E在AD上时，根据平行线的性质和角平分线的定义可得AE＝AB＝3，可得AD的长；当点E在AD的延长线上时，同理可求出AD的长．
【解答】解：如图1，当点E在AD上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
∵DE＝2，
∴AD＝AE+DE＝3+2＝5；
如图2，当点E在AD的延长线上时，同理AE＝3，
∴AD＝AE﹣DE＝3﹣2＝1．
故答案为：5或1．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确画出两种图形．
【变式1-5】(2023春•碑林区校级期末）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）
A．125B．65C．245D．不确定
【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得OA＝OD＝2.5，△AOD的面积，然后由S△AOD＝S△AOP+S△DOP=12OA•PE+OD•PF求得答案．
【解答】解：连接OP，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝5，
∴OA＝OD＝2.5，
∴S△ACD=12S矩形ABCD＝6，
∴S△AOD=12S△ACD＝3，
∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP=12OA•PE+12OD•PF=12×2.5×PE+12×2.5×PF=54（PE+PF）＝3，
解得：PE+PF=125．
故选：A．
【点评】此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
题型二 利用矩形的性质求角度
【例题2】(2023秋•衡南县期末）如图，分别在长方形ABCD的边DC，BC上取两点E，F，使得AE平分∠DAF，若∠BAF＝60°，则∠DAE＝（ ）
A．45°B．30°C．15°D．60°
【分析】长方形内角为90°，已知∠BAF＝60°，所以可以得到∠DAF，又因为AE平分∠DAF，所以∠DAE便可求出．
【解答】解：在长方形ABCD中，∠BAD＝90°
∵∠BAF＝60°
∴∠DAF＝90°﹣∠BAF＝30°
又AE平分∠DAF
所以∠DAE=12∠DAF＝15°
故选：C．
【点评】运用了长方形的四个角都是直角以及角平分线的概念即可解决．
【变式2-1】(2023春•承德县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，DF⊥AC于F点，若∠ADF＝3∠FDC，则∠DEC的度数是（ ）
A．30°B．45°C．50°D．55°
【分析】根据∠ADC＝90°，求出∠CDF和∠ADF，根据矩形性质求出ED＝EC，推出∠BDC＝∠DCE，求出∠BDC，即可求出答案．
【解答】解：设∠ADF＝3x°，∠FDC＝x°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴x+3x＝90，
x＝22.5°，
即∠FDC＝x°＝22.5°，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2EC，BD＝2ED，AC＝BD，
∴ED＝EC，
∴∠BDC＝∠DCE＝67.5°，
∴∠BDF＝∠BDC﹣∠CDF＝67.5°﹣22.5°＝45°，
∴∠DEC＝90°﹣45°＝45°
故选：B．
【点评】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理的应用，关键是求出∠BDC和∠CDF的度数，注意：矩形的对角线互相平分且相等．
【变式2-2】(2023春•抚顺期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC＝3：2，则∠BDF＝ ．
【分析】根据∠ADC＝90°，求出∠CDF和∠ADF，根据矩形性质求出OD＝OC，推出∠BDC＝∠DCO，求出∠BDC，即可求出答案．
【解答】解：设∠ADF＝3x°，∠FDC＝2x°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴2x+3x＝90，
x＝18°，
即∠FDC＝2x°＝36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DMC＝90°，
∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2OC，BD＝2OD，AC＝BD，
∴OD＝OC，
∴∠BDC＝∠DCO＝54°，
∴∠BDF＝∠BDC﹣∠CDF＝54°﹣36°＝18°，
故答案为：18°．
【点评】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理的应用，关键是求出∠BDC和∠CDF的度数，注意：矩形的对角线互相平分且相等．
【变式2-3】如图，四边形ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，CF交AB于点E，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠ECB＝20°，则∠ACD的度数是 ．
【分析】根据矩形的性质得到AD∥BC，∠DCB＝90°，根据平行线的性质得到∠F＝∠ECB＝20°，根据三角形的外角的性质得到∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°，于是得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DCB＝90°，
∴∠F＝∠ECB＝20°，
∴∠GAF＝∠F＝20°，
∴∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°，
∴∠ACB＝∠ACG+∠ECB＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对边平行；两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
【变式2-4】(2023春•洪泽区校级月考）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ACB＝36°，求∠E的度数．
【分析】由矩形的性质得AC＝BD，而CE＝BD，则AC＝CE，所以∠CAE＝∠E，则∠ACB＝∠CAE+∠E＝2∠E＝36°，即可求得∠E＝18°．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∵CE＝BD，
∴AC＝CE，
∴∠CAE＝∠E，
∴∠ACB＝∠CAE+∠E＝2∠E，
∵∠ACB＝36°，
∴2∠E＝36°，
∴∠E＝18°，
∴∠E的度数是18°．
【点评】此题重点考查矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明AC＝CE是解题的关键．
【变式2-5】(2023秋•芗城区校级期中）长方形ABCD中，AB＝12，AD＝17，E，F分别在边BC，CD上，BE＝5，DF＝7，则∠AEB+∠AFD等于（ ）
A．105°B．120°C．90°D．135°
【分析】根据题意画出图形，证明△ABE≌△ECF（SAS），可得∠EAB＝∠CEF，AE＝FE，∠AEB＝∠EFC，然后证明△AEF是等腰直角三角形，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，连接EF，
在长方形ABCD中，DC＝AB＝12，BC＝AD＝17，
∵BE＝5，DF＝7，
∴CE＝12，CF＝5，
∴AB＝EC，BE＝CF，
∵∠B＝∠C＝90°，
在△ABE和△ECF中，
AB=EC∠B=∠C=90°BE=CE，
∴△ABE≌△ECF（SAS），
∴∠EAB＝∠CEF，AE＝FE，∠AEB＝∠EFC，
∵∠EAB+∠AEB＝90°，
∴∠CEF+∠AEB＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AFE＝45°，
∴∠AEB+∠AFD＝∠EFC+∠AFD＝180°﹣45°＝135°．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，解决本题的关键是得到△ABE≌△ECF．
题型三 利用矩形的性质求面积
【例题3】如图，在长方形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接ED，若ED＝5，EC＝3，则长方形的面积为（ ）
A．22B．24C．26D．28
【分析】直接利用勾股定理得出DC的长，再利用角平分线的定义以及等腰三角形的性质得出BE的长，进而得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，
∵ED＝5，EC＝3，
∴DC=ED2−EC2=52−32=4，
则AB＝4，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝4，
∴BC=BE+EC＝4+3=7
∴长方形的面积为：4×7＝28．
故选：D．
【点评】此题主要考查了矩形的性质以及角平分线的定义，正确得出AB＝BE是解题关键．
【变式3-1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB＝30°，BD＝4，则矩形ABCD的面积是 ．
【分析】根据题意和矩形的性质，可以得到AC的长，然后根据直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理，可以得到AB和BC的长，从而可以求得矩形ABCD的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BD＝4，
∴AC＝BD＝4，∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝30°，
∴AB＝2，BC=AC2−AB2=42−22=23，
∴矩形ABCD的面积是：2×23=43，
故答案为：43．
【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式3-2】(2023•鼓楼区校级二模）如图，点O是矩形ABCD的对角线BD的中点，点E是BC的中点，连接OA，OE．若OA＝2，OE＝1，则矩形ABCD的面积为 ．
【分析】由三角形中位线定理求出OA＝2，由勾股定理求出AD的长，则可得出答案．
【解答】解：∵O为BD的中点，E是BC的中点，
∴OE=12DC，
∵OE＝1，
∴DC＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，∠BAD＝90°，
∵OA＝2，
∴BD＝2OA＝4，
∴AD=BD2−AB2=42−22=23，
∴矩形ABCD的面积＝AD•DC＝23×2=43．
故答案为：43．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
【变式3-3】如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（ ）
A．23B．33C．4D．43
【分析】因为DE是AC的垂直的平分线，所以D是AC的中点，F是AB的中点，所以DF∥BC，所以∠C＝90°，所以四边形BCDE是矩形，因为∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，能求出AB的长，根据勾股定理求出AC的长，从而求出DC的长，从而求出面积．
【解答】解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，
∴DF∥BC，
∴∠C＝90°，
∴四边形BCDE是矩形．
∵∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，
∴AB＝4，
∴AC=42−22=23．
∴BE＝CD=3．
∴四边形BCDE的面积为：2×3=23．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的判定定理，矩形的面积的求法，以及中位线定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质等．
【变式3-4】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
【分析】（1）由矩形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，证出OE＝OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE＝CF；
（2）证出△AOB是等边三角形，得出OA＝AB＝6，AC＝2OA＝12，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC=AC2−AB2=63，即可得出矩形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
在△AOE和△COF中，OA=OC∠AOE=∠COFOE=OF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF；
（2）解：∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝6，
∴AC＝2OA＝12，
在Rt△ABC中，BC=AC2−AB2=63，
∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝6×63=363．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和求出BC是解决问题的关键．
题型四 利用矩形的性质证明
【例题4】(2023春•江西月考）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若∠AOB＝60°，求证：△OBE是等腰三角形．
【分析】根据矩形的性质可得△AOB为等边三角形．然后根据角平分线可得△ABE是等腰直角三角形，进而可以解决问题．
【解答】证明：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OB，
又∵∠AOB＝60°，
∴△AOB为等边三角形．
∴OA＝OD＝OB＝AB＝OC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴∠BAE＝45°，
∴AB＝BE，
∴BE＝OB，
∴△OBE是等腰三角形．
【点评】此题考查矩形的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和等腰三角形的判定解答．
【变式4-1】在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：DF＝AB；
（2）若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD．
【分析】（1）利用“AAS”证△ADF≌△EAB即可得；
（2）由∠ADF+∠FDC＝90°、∠DAF+∠ADF＝90°得∠FDC＝∠DAF＝30°，据此知AD＝2DF，根据DF＝AB可得答案．
【解答】证明：（1）在矩形ABCD中，∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
又∵DF⊥AE，
∴∠DFA＝90°，
∴∠DFA＝∠B，
又∵AD＝EA，
∴△ADF≌△EAB，
∴DF＝AB．
（2）∵∠ADF+∠FDC＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠FDC＝∠DAF＝30°，
∴AD＝2DF，
∵DF＝AB，
∴AD＝2AB＝8．
【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质．
【变式4-2】(2023春•姜堰区校级月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在AB的延长线上找一点E，连接EC，使得EC＝AC．
（1）求证：四边形BDCE是平行四边形；
（2）若AB＝6，BC＝8，求点E到AC的距离．
【分析】（1）由矩形的性质得∠ABC＝90°，DB＝AC，AB＝DC，由BC⊥AE，EC＝AC，得AB＝EB，则DB＝EC，EB＝DC，即可证明四边形BDCE是平行四边形；
（2）设点E到AC的距离是h，由勾股定理求得AC=AB2+BC2=10，再由12×10h=12×12×8＝S△AEC求出h的值即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，DB＝AC，AB＝DC，
∴BC⊥AE，
∵EC＝AC，
∴DB＝EC，AB＝EB，
∴EB＝DC，
∴四边形BDCE是平行四边形．
（2）解：设点E到AC的距离是h，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC=AB2+BC2=62+82=10，AE＝2AB＝12，
∵12AC•h=12AE•BC＝S△AEC，
∴12×10h=12×12×8，
解得h=485，
∴点E到AC的距离为485．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理、根据面积等式求点到直线的距离等知识与方法，正确地列出表示△AEC面积的代数式是解题的关键．
【变式4-3】(2023•安顺模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB，CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为O．
（1）求证：△AOM≌△CON；
（2）若AD＝8，CD＝4，求AE的长．
【分析】（1）根据矩形的性质得出AB∥CD，求出∠M＝∠N，AO＝CO，再根据全等三角形的判定定理AAS推出即可；
（2）根据矩形的性质得出AB＝CD＝4，根据线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，再根据勾股定理求出即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠M＝∠N，
∵AC的垂直平分线是MN，
∴AO＝CO，
在△AOM和△CON中，
∠AOM=∠CON∠M=∠NAO=CO，
∴△AOM≌△CON（AAS）；
（2）解：连接CE，设AE＝x，则DE＝8﹣x，
∵AC的垂直平分线是MN，
∴AE＝CE＝x，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，
∴DC＝AB＝4，∠ADC＝90°，
由勾股定理得：DE2+DC2＝CE2，
∴（8﹣x）2+42＝x2，
解得：x＝5，
即AE＝5．
【点评】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定等知识点，能熟记矩形的性质和线段垂直平分线的性质是解此题的关键．
【变式4-4】(2023秋•石阡县期中）如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC，分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若AE+BF＝16，求BC的长．
【分析】（1）根据矩形的性质，由“ASA”可证△AOE≌△COF；
（2）根据△AOE≌△COF，可得AE＝CF，然后利用线段的和差即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵点O是AC的中点，
∴AO＝CO，
在△AOE和△COF中，
∠DAC=∠ACBAO=CO∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）解：∵△AOE≌△COF，
∴AE＝CF，
∵AE+BF＝16，
∴CF+BF＝16，
∴BC＝16．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
【变式4-5】(2023秋•南岸区校级期中）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F．过点C作CG⊥AF于点G，连接DG、BG、CG．
（1）求证：BG＝DG；
（2）连接BD，求∠BDG的度数．
【分析】（1）由BF平分∠BAD，得∠DAF＝∠BAF＝45°，则∠F＝∠DAF＝45°，可证明DF＝DA＝BC，由CG⊥AF于点G，得∠GCF＝∠F＝45°，则∠BCG＝∠F＝45°，CG＝FG，即可证明△BCG≌△DFG，得BG＝DG；
（2）由∠CBG＝∠FDG，推导出∠GBD+∠BDG＝∠CBD+∠CDB＝90°，则∠GBD＝∠BDG＝45°．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝DA，BC∥DA，∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠BCF＝∠BCD＝90°，
∵BF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAF＝45°，
∴∠F＝∠DAF＝45°，
∴DF＝DA，
∴BC＝DF，
∵CG⊥AF于点G，
∴∠CGF＝90°，
∴∠GCF＝∠F＝45°，
∴∠BCG＝∠F＝45°，CG＝FG，
在△BCG和△DFG中，
BC=DF∠BCG=∠FCG=FG，
∴△BCG≌△DFG（SAS），
∴BG＝DG．
（2）解：∵△BCG≌△DFG，
∴∠CBG＝∠FDG，
∴∠GBD+∠BDG＝∠CBD+∠CBG+∠BDG＝∠CBD+∠FDG+∠BDG＝∠CBD+∠CDB＝90°，
∵∠GBD＝∠BDG，
∴∠BDG＝45°，
∴∠BDG的度数是45．
【点评】此题重点考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，证明△BCG≌△DFG是解题的关键．
题型五 直角三角形斜边上的中线的性质
【例题5】(2023秋•沭阳县期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点E，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若∠ECB+∠DBC＝45°，DE＝10，求MN的长．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD＝ME=12BC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD＝ME＝BM＝CM，进而得到∠DBM＝∠BDM，∠MEC＝∠MCE，由三角形外角定理及∠ECB+∠DBC＝45°得到∠EMB+∠DMC＝90°，即∠EMD＝90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得MN．
【解答】（1）证明：连接EM、DM，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
∵在Rt△DBC中和Rt△EBC中，M是BC的中点，
∴DM=12BC，EM=12BC，
∴DM＝EM，
∵N是DE的中点，
∴MN⊥ED；
（2）解：在Rt△DBC中，M是BC的中点，
∴DM=12BC＝BM，
∴∠DBM＝∠BDM，
同理∠MEC＝∠MCE，
∵∠ECB+∠DBC＝45°，
∴∠EMB+∠DMC＝2（∠ECB+∠DBC）＝90°，
∴∠EMD＝90°，
∵N是DE的中点，DE＝10，
∴MN=12DE＝5．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键．
【变式5-1】(2023•宁南县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，点F为DE的中点，连结BF．若AB＝10，则BF的长为 ．
【分析】先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度，结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF=12CD．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，
∵CD为中线，
∴CD=12AB＝5．
∵F为DE中点，BE＝BC，
∴点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，
∴BF=12CD＝2.5．
故答案为：2.5．
【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
【变式5-2】(2023秋•新田县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm，AM是BC上的高，MN∥AC，MN交AB于点N，BC＝6cm，求△BMN的周长．
【分析】先根据等腰三角形的性质得出∠CAM＝∠BAM，求出BM，再根据平行线的性质得出∠BAM＝∠AMN，进而得出MN＝AN，最后根据△BMN＝BM+AB求出答案．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，AM是BC上的高，
∴∠CAM＝∠BAM，BM=12BC=12×6=3（cm）（三线合一），
∵MN∥AC，
∴∠AMN＝∠CAM，
∴∠BAM＝∠AMN（等量代换），
∴MN＝AN（等角对等边），
∴△BMN的周长＝BM+BN+MN，
＝BM+BN+AN＝BM+AB＝3+8＝11（cm）．
答：△BMN的周长为11cm．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质等，将三角形的周长转化为两条线段的和是解题的关键．
【变式5-3】(2023秋•莲都区期末）已知：如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝45°，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线．
（1）求证：AE＝CD；
（2）求∠ACE的度数．
【分析】（1）连接DE，根据垂直定义可得∠ADC＝∠ADB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BAD＝60°，∠DAC＝45°，进而可得AD＝CD，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得BE＝DE＝AE，从而可得△AED是等边三角形，进而可得AD＝AE，最后利用等量代换即可解答；
（2）利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠EDB＝30°，从而可得∠DEC+∠DCE＝30°，再利用（1）的结论可得DE＝DC，然后利用等腰三角形的性质可得∠DEC＝∠DCE＝15°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接DE，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵∠B＝30°，∠ACB＝45°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝60°，∠DAC＝90°﹣∠ACD＝45°，
∴∠DAC＝∠ACD＝45°，
∴AD＝CD，
∵点E是AB的中点，∠ADB＝90°，
∴BE＝DE＝AE=12AB，
∴△AED是等边三角形，
∴AD＝AE，
∴AE＝DC；
（2）解：∵DE＝EB，
∴∠B＝∠EDB＝30°，
∴∠DEC+∠DCE＝30°，
∵DE＝AD，AD＝CD，
∴DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE＝15°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝30°，
∴∠ACE的度数为30°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
【变式5-4】(2023秋•大名县期末）如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE．
（1）求证：∠AEC＝∠C；
（2）求证：BD＝2AC；
（3）若AE＝6.5，AD＝5，求△ABE的周长．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质得出AE＝BE，再由等边对等角及三角形外角的性质即可证明；
（2）根据（1）中结论及直角三角形斜边上的中线的性质即可证明；
（3）根据直角三角形斜边上的中线的性质及勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵AD⊥AB，
∴△ABD为直角三角形．
又∵点E是BD的中点，
∴AE=12BD，
又∵BE=12BD，
∴AE＝BE，
∴∠B＝∠BAE．
又∵∠AEC＝∠B+∠BAE，
∴∠AEC＝∠B+∠B＝2∠B．
又∵∠C＝2∠B，
∴∠AEC＝∠C．
（2）证明：由（1）可得AE＝AC，
又∵AE=12BD，
∴12BD=AC，
∴BD＝2AC．
（3）解：在Rt△ABD中，
∵AD＝5，BD＝2AE＝2×6.5＝13，
∴AB=BD2−AD2=132−52=12，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝12+6.5+6.5＝25．
【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理解三角形及等腰三角形的性质与判定等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
【变式5-5】(2023秋•兴化市校级期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点．
（1）求证：△MEF是等腰三角形；
（2）若∠EBC＝30°，BC＝10cm，求CE的长度．
【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线的性质即可得出结论．
（2）利用直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半即可得出．
【解答】（1）证明：∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴△BFC与△BEC都为直角三角形，
∵M为BC的中点，
∴FM、EM为斜边BC的中点，
∴EM=12BC，FM=12BC，
∴EM＝FM，
∴△MEF是等腰三角形；
（2）在Rt△EBC中，∵∠EBC＝30°，
∴CE=12BC=12×10=5（cm）．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
题型六 判断四边形是矩形
【例题6】(2023秋•天府新区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
求证：四边形ADCE为矩形；
【分析】根据三个角是直角是四边形是矩形即可证明；
【解答】证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．
∴∠ADC＝90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN．
∴∠DAE＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°．
∴四边形ADCE为矩形．
【点评】本题考查矩形的判定、等腰三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式6-1】(2023秋•中牟县期末）检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（ ）
A．测量两条对角线，是否相等
B．测量两条对角线，是否互相平分
C．测量门框的三个角，是否都是直角
D．测量两条对角线，是否互相垂直
【分析】对角线相等的平行四边形是矩形或有三个角是直角的四边形是矩形的原理即可突破此题．
【解答】解：根据“三个角是直角的四边形是矩形”可以得到测量门框的三个角，是否都是直角即可检验该四边形是不是矩形，
故选：C．
【点评】此题考查学生对矩形的判定的理解和掌握，要求学生熟练掌握矩形的判定方法，并学会在实际生活中灵活运用，学以致用．
【变式6-2】(2023春•新市区校级期末）四边形ABCD的对角线AC、BD于点O，下列各组条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
B．∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＝∠B
C．OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90°
D．∠A＝∠C，∠B+∠C＝180°，∠AOB＝∠BOC
【分析】矩形的判定定理有：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）有三个角是直角的四边形是矩形．
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此利用排除法可判断．
【解答】解；A、AB＝CD，AD＝BC，可以判定为平行四边形，又有AC＝BD，可判定为矩形，故此选项错误；
B、∠A＝∠C，∠B＝∠D，可以判定为平行四边形，又有∠A＝∠B，可得到∠A＝90°，可判定为矩形，故此选项错误；
C、OA＝OC，OB＝OD，可以判定为平行四边形，又有∠BAD＝90°可判定为矩形，故此选项错误；
D、A，B，C都错误，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了矩形的判定定理，同学们一定要熟练掌握矩形的判定方法．
【变式6-3】已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DF、DE分别是△BDC、△ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形．
【分析】利用等腰△ADC“三合一”的性质证得DE⊥AC，同理得DF⊥BC，根据有三个角是直角的四边形是矩形，证四边形DECF是矩形．
【解答】证明：如图，
∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴AD＝CD，
∵DE是∠ADC的角平分线，
∴DE⊥AC．
∴∠DEC＝90°，
同理得∠CFD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形DECF是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定．此题是根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形推知四边形DECF是矩形的．
【变式6-4】如图，MN∥PQ，直线l分别交MN、PQ于点A、C，同旁内角的平分线AB、CB相交于点B，AD、CD相交于点D．试证明四边形ABCD是矩形．
【分析】首先推出∠BAC＝∠DCA，继而推出AB∥CD；推出∠BCA＝∠DAC，进而推出AD∥CB，因此四边形ABCD平行四边形，再证明∠ABC＝90°，可得平行四边形ABCD是矩形．
【解答】证明：∵MN∥PQ，
∴∠MAC＝∠ACQ、∠ACP＝∠NAC，
∵AB、CD分别平分∠MAC和∠ACQ，
∴∠BAC=12∠MAC、∠DCA=12∠ACQ，
又∵∠MAC＝∠ACQ，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，
∵AD、CB分别平分∠ACP和∠NAC，
∴∠BCA=12∠ACP、∠DAC=12∠NAC，
又∵∠ACP＝∠NAC，
∴∠BCA＝∠DAC，
∴AD∥CB，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD平行四边形，
∵∠BAC=12∠MAC，∠ACB=12∠ACP，
又∵∠MAC+∠ACP＝180°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【变式6-5】(2023春•西吉县期末）已知：如图，在▱ABCD中，AF、BH、CH、DF分别是∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH是矩形．
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的性质可得∠AFD＝∠BHC＝∠HGF＝∠HEF＝90°，由此可证四边形EFGH为矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°．
∵AF，BF分别平分∠DAB，∠ABC，
∴∠EAB+∠EBA=12（∠DAB+∠ABC）=12×180°＝90°．
∴∠AEB＝90°，
同理可得：∠AFD＝90°，∠BHC＝90°，∠DGC＝90°，
∵∠HGF＝∠DGC＝90°，∠HEF＝∠AEB＝90°，
∴∠AFD＝∠HGF＝∠HEF＝90°，
∴四边形EGFH是矩形．
【点评】此题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，关键是掌握三个角是直角的四边形是矩形．
题型七 判断平行四边形是矩形
【例题7】如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD，CF⊥AB，垂足分别为E，F．求证：四边形AFCE是矩形．
【分析】由平行四边形的性质得出∠AFC＝∠AEC＝90°，则∠FCE＝∠EAF＝90°，可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AE⊥CD，CF⊥AB，
∴∠AFC＝∠AEC＝90°，
∴∠FCE＝∠EAF＝90°，
∴四边形AFCE是矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质及矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
【变式7-1】(2023春•南票区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．
求证：四边形BECD是矩形．
【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC＝90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形．
【解答】证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD＝CD．
∵四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，BE＝AD，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形．
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴▱BECD是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【变式7-2】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG．
（1）求证：AD∥CF；
（2）求证：四边形ADCF是矩形．
【分析】（1）先证EG是△ACD的中位线，得EG∥AD，再由∠FCA＝∠CEG证出EG∥CF，即可得出结论；
（2）先证△ADE≌△CFE（AAS），得AD＝CF，则四边形ADCF是平行四边形，再由等腰三角形的在得∠ADC＝90°，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵E，G分别是AC，DC的中点，
∴EG是△ACD的中位线，
∴EG∥AD，
∵∠FCA＝∠CEG，
∴EG∥CF，
∴AD∥CF；
（2）由（1）得：AD∥CF，
∴∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠CFE，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
又∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCF是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
【变式7-3】已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．且BE＝CF．求证：平行四边形ABCD是矩形．
【分析】由平行四边形的性质得出OB=12BD，OC=12AC，由AAS证明△BEO≌△CFO，得出对应边相等OB＝OC，得出BD＝AC，即可得出结论．
【解答】证明：∵BE⊥AC，CF⊥BD，
∴∠OEB＝∠OFC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=12BD，OC=12AC，
在△BEO和△CFO中，
∠OEB=∠OFC∠BOE=∠COFBE=CF，
∴△BEO≌△CFO（AAS），
∴OB＝OC，
∴BD＝AC，
∴平行四边形是矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定方法，证明三角形全等得出OB＝OC是解决问题的关键.
【变式7-4】如图，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求证：四边形ABCD是矩形．
【分析】连接EO，首先根据O为BD和AC的中点，得出四边形ABCD是平行四边形，在Rt△AEC中EO=12AC，在Rt△EBD中，EO=12BD，得到AC＝BD，可证出结论．
【解答】证明：连接EO，如图所示：
∵O是AC、BD的中点，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
在Rt△EBD中，
∵O为BD中点，
∴EO=12BD，
在Rt△AEC中，∵O为AC中点，
∴EO=12AC，
∴AC＝BD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【变式7-5】如图所示，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形EGCF是矩形．
【分析】（1）由AAS证明△ABE≌△CDF即可；
（2）由全等三角形的性质得AE＝CF，证出EG＝CF，则四边形EGCF是平行四边形，由∠GEF＝90°，即可得出四边形EGCF是矩形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴AE∥CF，∠GEF＝∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，∠ABE=∠CDF∠AEB=∠CFDAB=CD，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）由（1）得：△ABE≌△CDF，AE∥CF，
∴AE＝CF，
∵EG＝AE，
∴EG＝CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，
又∵∠GEF＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
【变式7-6】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AB中点，点F在CB的延长线上，且EF∥BD．
（1）求证：四边形OBFE是平行四边形；
（2）当线段AD和BD之间满足什么条件时，四边形OBFE是矩形？并说明理由．
【分析】（1）首先证明OE是△ABC的中位线，推出OE∥BC，由EF∥OB，推荐可提出四边形OBFE是平行四边形．
（2）当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形． 只要证明∠EOB＝90°即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是AC的中点．
又∵点E是边AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥BC，
又∵点F在CB的延长线上，
∴OE∥BF．
∵EF∥BD，即EF∥OB，
∴四边形OBFE是平行四边形．
（2）当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形．
理由：由（1）可知四边形OBFE是平行四边形，
又∵AD⊥BD，AD∥BC，且点F在BC的延长线上，
∴FC⊥BD，
∴∠OBF＝90°，
∴四边形OBFE是矩形．
【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、矩形的判定、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定，掌握矩形的判定方法，属于中考常考题型．
题型八 利用矩形的性质解决折叠问题
【例题8】(2023春•三台县月考）如图，长方形ABCD中将△ABF沿AF翻折至△AB'F处，若AB'∥BD，∠1＝26°，则∠BAF的度数为（ ）
A．57°B．58°C．59°D．60°
【分析】由矩形的性质得∠ABC＝90°，AD∥BC，则∠AFB＝∠DAF，由翻折得∠B′＝∠ABF＝90°，∠AFB′＝∠AFB，所以∠AFB′＝∠DAF，由AB'∥BD，∠B′AM＝∠1＝26°，则∠AFB′+∠DAF＝2∠DAF＝∠AMB′＝64°，所以∠DAF＝32°，即可求得∠BAF＝∠B′AF＝58°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠DAF，
由翻折得∠B′＝∠ABF＝90°，∠AFB′＝∠AFB，
∴∠AFB′＝∠DAF，
∵AB'∥BD，
∴∠B′AM＝∠1＝26°，
∴∠AMB′＝90°﹣∠B′AM＝64°，
∴∠AFB′+∠DAF＝2∠DAF＝∠AMB′＝64°，
∴∠DAF＝32°，
∴∠BAF＝∠B′AF＝∠B′AM+∠DAF＝26°+32°＝58°，
故选：B．
【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，根据翻折的性质和平行线的性质证明∠AFB′＝∠DAF是解题的关键．
【变式8-1】(2023秋•金山区期末）如图，在长方形ABCD中，点E在边DC上，联结AE，将△AED沿折痕AE翻折，使点D落在边BC上的D1处，如果∠DEA＝76°，那么∠D1EC＝ 度．
【分析】利用翻折不变性求出∠DED1即可解决问题；
【解答】解：由翻折不变性可知，
∠AED＝∠AED1＝76°，
∴∠DED1＝152°，
∴∠CED1＝180°﹣152°＝28°，
故答案为：28．
【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质及直角三角形的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键
【变式8-2】(2023秋•管城区校级月考）如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，把长方形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F，则AF的长为多少？
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，再根据折叠的方法可得△ABC≌△AEC，△ADF≌△CEF，进而可得到可知AE＝AB＝8cm，CE＝BC＝AD＝6cm，再设AF＝xcm，则EF＝DF＝（8﹣x）cm，在Rt△ADF中利用勾股定理可得62+（8﹣x）2＝x2，再解方程即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝8cm，AD＝6cm，
∴BC＝AD＝6cm，AB＝CD＝8cm，
∴AC=AB2+BC2=10cm，
矩形纸片沿直线AC折叠，则△ABC≌△AEC，
可知AE＝AB＝8cm，CE＝BC＝AD＝6cm，∠E＝∠B＝∠D＝90°，
在△ADF和△CEF中，
∠AFD=∠CFE∠D=∠EAD=CE，
∴△ADF≌△CEF（AAS），
∴DF＝EF，
设AF＝xcm，则EF＝DF＝（8﹣x）cm，
在Rt△ADF中，
AD2+DF2＝AF2，
即：62+（8﹣x）2＝x2，
解得x=254．
即：AF的长为254cm．
【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理列出方程是本题的关键．
【变式8-3】如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，结果发现F点恰好是DC的中点，若BC＝26，则AB的长 .
【分析】连接EF，由折叠性质得AE＝EG，∠A＝∠EGB＝90°，BG＝AB，则∠EGF＝90°，易证EG＝DE，由矩形的性质得AB＝CD，∠C＝∠D＝90°，推出∠EGF＝∠D＝90°，由HL证得Rt△EGF≌Rt△EDF，得出FG＝FD，求得CF＝DF＝FG=12CD=12AB，BF＝BG+FG=32AB，由勾股定理得出BC2+CF2＝BF2，即可得出结果．
【解答】解：连接EF，如图所示：
由折叠性质得：AE＝EG，∠A＝∠EGB＝90°，BG＝AB，
∴∠EGF＝90°，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∴EG＝DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠C＝∠D＝90°，
∴∠EGF＝∠D＝90°，
在Rt△EGF与Rt△EDF中，EG=EDEF=EF，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），
∴FG＝FD，
∵F点恰好是DC的中点，
∴CF＝DF＝FG=12CD=12AB，
∴BF＝BG+FG＝AB+12AB=32AB，
在Rt△BCF中，BC2+CF2＝BF2，
即：（26）2+（12AB）2＝（32AB）2，
解得：AB＝23．
故答案为：23．
【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【变式8-4】(2023春•工业园区校级期末）已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于O，且OE＝OD，求AP的长．
【分析】由折叠的性质得出EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP＝OG，PD＝GE，设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x，根据勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：设CD与BE交于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8，
由翻折的性质得：△ABP≌△EBP，
∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，
在△ODP和△OEG中，∠D=∠EOD=OE∠DOP=∠EOG，
∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP＝OG，PD＝GE，
∴DG＝EP，
∴AP＝EP＝DG，
设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x，
∴CG＝8﹣x，BG＝8﹣（6﹣x）＝2+x，
在Rt△BCG中，根据勾股定理得：BC2+CG2＝BG2，
即62+（8﹣x）2＝（x+2）2，
解得：x＝4.8，
∴AP＝4.8．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
解题技巧提炼
在利用矩形的性质计算线段长度时，常常与特殊三角形的性质和勾股定理结合起来应用.
解题技巧提炼
矩形内求角度的问题主要是利用矩形的性质和结合题中的条件求解，有时要利用等腰三角形的性质.
解题技巧提炼
求矩形的面积问题，主要是利用矩形的性质求出矩形的长和宽，再根据面积的计算公式求解即可，有时与勾股定理结合起来用.
解题技巧提炼
与矩形有关的问题，常与全等三角形和特殊三角形等知识融为一体进行探索，利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可.
解题技巧提炼
在直角三角形中，遇到斜边的中点常作斜边的中线，从而利用直角三角形斜边中线的性质解决问题.
解题技巧提炼
如果已知四边形的两个角是直角，此时可以选择“有三个角是直角的四边形是矩形”证明比较简单.
解题技巧提炼
已知四边形是平行四边形时，判定矩形的方法只需再证有一个角为直角（定义法），或再证明对角线相等.当已知对角线相等时，只需证这个四边形是平行四边形即可.
解题技巧提炼
求解关于矩形的折叠问题时往往通过找出折叠部分的线段或角与原图形之间的关系，从而得到折叠部分与原图形或其它图形之间的关系，有时要用到三角形全等、勾股定理等知识.
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