人教版八年级下册19.3 课题学习 选择方案同步训练题

这是一份人教版八年级下册19.3 课题学习 选择方案同步训练题，共64页。试卷主要包含了7 课题学习 方案选择，9倍和1，8万元．，2x+32．等内容，欢迎下载使用。


知识点
一次根函数的应用---方案的选择与设计
◆1、选择方案是指某一问题中，符合条件的方案有多种，一般要利用数学知识经过分析、猜想、判断筛选出最佳方案的过程，此类问题往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语，解题时常常与函数、不等式、几何知识联系在一起.
◆2、在实际问题中，运用一次函数选择最佳方案的一般步骤为：
①从数学的角度分析实际问题，建立函数模型（往往有两个及两个以上模型）；
②列出关系式，在自变量取不同值时比较对应函数值的大小关系；
③结合实际需求,选择最佳方案.
◆3、一次函数可以解决生产实践、日常生活中的很多实际问题：
①应用一次函数和一元一次方程可以解决行程、面积等实际问题；
②应用一次函数和一元一次不等式(组)可以解决生产安排、分工、运输等实际问题；
③应用一次函数和二元一次方程组可以解决实际问题中评估、方案选择、决策等问题.
题型一 租车方案
【例题1】(2023春•罗源县期中）有A、B两种型号的货车：用2辆A型货车和1辆B型货车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型货车和2辆B型货车装满货物一次可运货11吨．请用学过的方程（组）知识解答下列问题：
（1）求A型、B型两种货车装满货物每辆分别能运货多少吨？
（2）现某物流公司有31吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型货车每辆需租金100元/次，B型货车每辆需租金120元/次．请你帮该物流公司选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用．
【变式1-1】(2023春•东洲区期末）某公司需要租赁货车运回一批货物，经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运载力和租金如下表：
（1）若该公司计划租用大、小货车共8辆，其中大货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，若这批货物共290箱，所租用的8辆货车可一次将货物全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
【变式1-2】(2023秋•简阳市期末）今年夏天成都突发新冠疫情，“巴蜀儿女，命运与共；'疫'无反顾，共克时艰．”按照成都市应对新型冠状病毒肺炎疫情应急指挥部统一部署，我市将组织435名医务工作者前往支援，计划租用8辆客车，现有甲、乙两种型马客车，它们的载客量和租金如表：
（1）如果恰好一次性将435名医务工作者送往成都，应安排租用甲、乙两种车各几辆？
（2）设租用甲种客车m辆，租车总费用为w元．
①求出w（元）与m（辆）之间的函数表达式；
②当甲种客车有多少辆时，能保障所有的医务工作者都能被送往成都且租车费用最少，最少费用是多少元？
【变式1-3】(2023春•渠县校级月考）2020年由于疫情发生，某市伸出友爱之手，现计划把甲种医疗物资1240吨和乙种医疗物资880吨用一列货车运往某地支援，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，B型车厢每节费用为8000元．
（1）设运送这批医疗物资的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y与x之间的关系式
（2）如果每节A型车厢最多能装甲种医疗物资35吨和乙种医疗物资15吨，每节B型车厢最多能装甲种医疗物资25吨和乙种医疗物资35吨，那么共有哪几种安排车厢的方案？
（3）上述方案中，哪个方案运费最少？最少运费为多少万元？
【变式1-4】(2023秋•吴兴区期末）依靠国家强有力的政策引导和全国人民的共同努力，我国的新冠疫情态势得到了有效控制．但当前疫情发展形势依旧严峻，常态化防控工作仍然不能松懈．为了打赢这场没有硝烟的战争，某公司积极响应国家号召，采购了口罩、防护服、消毒剂等医疗物资若干箱，进行物资援助．该公司计划租用某货运公司的A、B型两种货车共6辆完成物资运送，它们的载货量和租金如表：
设租用A型货车x辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含有x的式子填写下表：
（2）若保证租车费用不超过4550元，求x的最大值；
（3）若该公司援助防疫物资共200箱，设这批物资的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并求出最少运费为多少元？
【变式1-5】某学校计划在总费用为3200元的限额内，租用汽车送312名学生和8名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师；现有甲乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表：
（1）通过计算与分析后，直接写出共需租用 辆汽车；
（2）求出有哪几种租车方案；
（3）求出最节省的租车费用是多少元．
题型二 选择方案
【例题2】（2023•秦都区校级一模）尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和（x+10）本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为y1元，选择第二种方案购买所需费用为y2元．
（1）请分别写出y1，y2与x之间的关系式；
（2）若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠．
【变式2-1】（2023•二道区校级一模）某工厂的销售部门提供两种薪酬计算方式：
薪酬方式一：底薪+提成，其中底薪为3000元，每销售一件商品另外获得15元的提成；
薪酬方式二：无底薪，每销售一件商品获得30元的提成．
设销售人员一个月的销售量为x（件），方式一的销售人员的月收入为y1（元），方式二的销售人员的月收入为y2（元）．
（1）请分别写出y1、y2与x之间的函数表达式；
（2）哪种薪酬计算方式更适合销售人员？
【变式2-2】(2023秋•大丰区期末）某中学计划寒假期间安排4名老师带领部分学生参加红色旅游．甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人1000元．经协商，甲旅行社的优惠条件是：老师、学生都按八折收费；乙旅行社的优惠条件是：四位老师全额收费，学生都按七折收费．
（1）设参加这次红色旅游的老师和学生共有x名，y甲，y乙（单位：元）分别表示选择甲、乙两家旅行社所需的费用，求y甲，y乙关于x的函数解析式；
（2）若该校共有30名老师和学生参加活动，则选择哪家旅行社支付的旅游费用较少？
【变式2-3】(2023秋•海曙区期末）随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
（2）求出入园多少次时，两者花费一样？费用是多少？
（3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？
【变式2-4】(2023•太康县校级模拟）为迎接中招体育考试，某校决定采购一批足球以供学生业余训练
使用．某体育用品超市推出以下两种优惠方案：方案一，一律打八折；方案二，当购买量不超过80个
时，按原价销售，当购买量超过80个时，超过的部分打六折．已知一个足球的原价为50元，设学校
计划购买x个足球．
（1）设方案一的总费用为y1，方案二的总费用为y2，请分别写出y1，y2（元）与x（个）之间的函数关系式；
（2）若派学生代表去采购足球，他们应该选择哪种方案更省钱？并说明理由．
【变式2-5】(2023春•潼南区期末）某校组队参加庆祝中国共青团成立100周年经典诵读比赛，需要为参赛选手每人配备一个朗诵文件夹．已知甲、乙两家店铺销售同款文件夹，原价相同，但销售方式不同，在甲店铺，无论一次性购买多少个文件夹，一律打8.5折；在乙店铺，当购买数量不超过30个时，按原价出售，当购买数量超过30个时，超过的部分打7折．设该校需购买x个朗诵文件夹，在甲店铺购买所需的费用为y1元，在乙店铺购买所需的费用为y2元，y1，y2关于x的函数图象如图所示．
（1）分别求出y1，y2关于x的函数解析式；
（2）求图中m的值，并说明m的实际意义；
（3）若该学校一次性购买朗诵文件夹的数最超过40个，但不超过90个，到哪家店铺购买更优惠？
题型三 购买方案
【例题3】(2023秋•市中区期末）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗100棵．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买甲树苗不少于25棵，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？最少费用是多少元？
【变式3-1】(2023春•临沭县期末）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援．”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）求出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；
（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于50千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？最少是多少元？
【变式3-2】（2023•雁塔区校级模拟）今年的春节假期是文旅行业近三年来最火爆的一年，西安作为十三朝古都，由于其悠久的历史无疑成为最具吸引力的旅游城市之一．西安某景点的A、B两种纪念品深受广大游客们的喜爱，经过了解发现，A种纪念品的进价为11元/件，B种纪念品的进价为13元/件．若某商店决定要购进A、B两种纪念品共300件，设购进A种纪念品x件，购进这300件纪念品所需总费用为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该店进货时，厂家要求A种纪念品的数量不超过B种纪念品的一半，试问如何购进A、B两种纪念品使得所需总费用最低，并说明理由．
【变式3-3】（2023•衢州模拟）三八节即将到来，小红打算买一束康乃馨和百合组合的鲜花送给妈妈，已知买2支康乃馨和3支百合需21元，3支康乃馨和2支百合需19元．
（1）买1支康乃馨和1支百合各需多少元？
（2）小红准备买康乃馨和百合共12支，且百合花的支数不少于康乃馨的12，设买这束鲜花所需费用w元，康乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并直接写出满足上述条件且费用最少的买花方案．
【变式3-4】(2023秋•长安区期末）某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品不少于20件，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【变式3-5】(2023秋•东阳市期末）某校为“防疫知识小竞赛”准备奖品，购进A，B两种文具共40件作为奖品，设购进A种文具x件，总费用为y元．已知A、B文具的费用与x的部分对应数据如下表．
（1）将表格补充完整：a＝ ；b＝ ；
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）当A种文具的费用不大于B种文具的费用时，求总费用y的最小值．
题型四 采购方案
【例题4】(2023秋•秦都区期末）为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元，单价不变，第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，共花费265元．求：
（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？
（2）若计划再购买A、B两种花草共30棵，设购买A种花草m棵，购买花草的总费用为W元，求出W关于m的函数表达式，并计算当m＝9时，购买花草的总费用为多少元？
【变式4-1】(2023春•黄陵县期末）暑假过后将迎来新学期，为保障教学硬件设施的完善，某校后勤部决定对松动、损坏的课桌椅进行检修和置换，已知在供应商处购买，一张课桌价格是120元，一把座椅价格是30元．若该校准备购买课桌和座椅共216件，设购买座椅a把．
（1）因学校购买数量多，且可以长期合作，供应商给出了如下优惠：课桌打七五折，座椅打八折，求该校按此优惠购买这些课桌椅的总费用W与a之间的函数关系式；
（2）若该校购买的课桌不少于70张，且座椅的数量不少于课桌的2倍，则本次购买课桌椅有哪些购买方案？求出花费最少的方案及其对应的总费用．
【变式4-2】某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．
（1）设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．
（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．
【变式4-3】今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B
种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B
种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．
（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？
（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．
【变式4-4】(2023春•江津区期末）中考临近，某商家抓住商机，采购了一批考试用笔套装（记为A套装，包括有黑色签字笔和涂卡铅笔）和作图工具套装（记为B套装，包括有圆规和直尺）进行售卖，出售时两种套装都是整套出售，且全部售出．已知购进的两种套装A、B共500套，A、B两种套装进价与售价如表所示．设采购A种套装x套，获得的总利润为y元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）如果该商家采购的A套装的套数不少于100套，且不超过B套装的套数，那么该商家应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？
题型五 利润方案
【例题5】已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产甲、乙两种型号的时装共80套．已知做一套甲种型号的时装或一套乙种型号的时装所需A、B两种布料如下表：
若销售一套甲种型号的时装可获利润45元，销售一套乙种型号的时装可获利润50元．设生产乙种型号的时装为x套，用这批布料生产这两种型号的时装利润为y元．
（1）写出y（元）与x（套）的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）雅美服装厂在生产这批时装中，当生产两种型号的时装各多少套时，获得的总利润最大，最大利润是多少元？
【变式5-1】(2023秋•章贡区校级期末）某地允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺外摆”“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售甲、乙两种特价商品，两种商品的进价与售价如表所示：
小王计划购进甲、乙两种商品共100件进行销售，设小王购进甲商品x件，甲、乙两种商品全部销售完后获得的利润为y元．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）若购进乙商品的件数不少于甲商品件数的3倍，当购进甲、乙两种商品各多少件时，可使得甲、乙两种商品全部销售完后获得的利润最大？
【变式5-2】（2023•秦都区校级模拟）某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示：
（1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？
（2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套（10≤m≤20），当把购进的两种多媒体全部售出，求购进A种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？
【变式5-3】(2023秋•无为市月考）某蔬菜生产基地组织10辆汽车装运黄瓜、西红柿、卷心菜三种蔬菜共60吨去外地销售，要求10辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种蔬菜，且装运每种蔬菜的车辆均不少于2辆，其他信息如下表所示：
（1）设装运黄瓜的车辆为x辆，装运西红柿的车辆为y辆，求y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围．
（2）怎样安排车辆能使此次销售利润w最大？并求出w的最大值．
【变式5-4】(2023春•茌平区期末）北京冬奥会期间，某商店为专注冬奥的商机决定购进A、B两款“冰墩墩、雪容融”纪念品，若购进A款纪念品4件，B款纪念品6件，需要960元；若购进A款纪念品2件，B款纪念品5件，需要640元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进两种纪念品共100件，考虑到资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不能超过9920元，那么该商店最多可购进A纪念品多少件．
（3）若销售每件A种纪念品每件可获利润30元，B种纪念品每件可获利润20元，在（2）中的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【变式5-5】某书店决定用不多于20000元的资金购进甲、乙两种图书共1200本进行销售．已知甲、乙两种图书的进价分别为20元/本、14元/本，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在书店购买甲种图书，其购买本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本．
（1）列方程求解：甲、乙两种图书的售价分别为每本多少元？
（2）书店为了促销，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，设甲种图书进货数量为n本，两种图书全部售完后，所获总利润为W元．
①求W与n的函数关系式．
②书店应该如何进货，才能使购进的两种图书全部售完后，所获利润最大？
题型六 进货方案
【例题6】(2023秋•泰兴市期末）某体育用品店计划花7000元购进篮球和足球，已知足球比篮球进价贵20元．若花3000元购买篮球，4000元购买足球，则可以够买到相同数量的篮球和足球．
（1）求篮球和足球的进价；
（2）篮球的销售单价为100元，足球的销售单价为120元，求该商店将购进的篮球和足球全部售出后能获取的利润w（元）与购买的篮球的数量m（只）之间的函数关系式，并直接写出w最大时的进货方案．
【变式6-1】(2023秋•敦煌市期中）进入8月以来某些海鱼的价格逐渐上涨，某农贸市场水产商户老王在进货数量上作出调整，8月份前两周两种海鱼的价格情况如下表：
（1）老王第一周购进了一批鲅鱼和带鱼，总货款是1700元，且购进的鲅鱼千克数是带鱼的2倍，求老王第一周购进的鲅鱼和带鱼分别是多少千克？
（2）若第二周将这两种鱼的进货总量减少到120千克，且购进鲅鱼a千克，需要支付的货款为w元，则w与a的函数关系式为 ．
（3）在（2）的条件下，若购进鲅鱼不超过80千克，则第二周老王购进这两种鱼的总货款最少应是多少元？
【变式6-2】(2023秋•仪征市期末）某药店出售普通口罩和N95口罩．如表为两次销售记录：
（1）求普通口罩和N95口罩的销售单价分别是多少？
（2）该药店计划再次购进1000个口罩，根据市场实际需求，普通口罩的数量不低于N95口罩数量的4倍．已知普通口罩的进价为1元/个，N95口罩的进价为6元/个．设购买普通口罩x个，获得的利润为W元；
①求W关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
②该药店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．
【变式6-3】(2023秋•义乌市期末）12月、浙江突发疫情，我市立即启动疫情应急处置模拟演练．为配合演练顺利开展，某校需要购进A、B两款体温枪共100只．已知购进A型体温枪花费1000元，B型体温枪花费1500元，A型体温枪的价格比B型高50元，B型体温枪的数量是A型的两倍．
（1）求每只A型、B型体温枪的价格；
（2）若购进B型体温枪的数量不超过A型体温枪的2倍，设购进A型体温枪x只．这100只体温枪的总费用为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②某校实际购买时，发现某店对A型体温枪进行降价处理，比原价降低a元出售（10＜a＜100），且限定一次性最多购买A型体温枪50只，当a满足什么条件时，能使该校购进这100只体温枪总费用最小．
【变式6-4】(2023•东坡区校级模拟）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．
（1）求表中a的值；
（2）若该商场购进餐椅的数量比餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过260张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，按照（2）中获得最大利润的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出后，所得利润比（2）中的最大利润少了2250元．请问本次成套的销售量为多少？
题型七 调运方案
【例题6】A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城运往C、
D两乡运肥料的费用分别是每吨20元和25元，从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现在C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，设A城运往C乡的肥料量为x吨，总运费为y元．
（1）写出总运费y元关于与x之间的关系式；
（2）当总费用为10200元，求从A、B城分别调运C、D两乡各多少吨？
（3）怎样调运化肥，可使总运费最少？最少运费是多少？
【变式7-1】(2023•雨花区校级开学）2021年是中国“十四五”开局之年，站在“两个一百年”奋斗目标的历史交汇点上，优先发展农业农村、全面推进乡村振兴是重中之重．湖南为了落实党的“中央一号”文件，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A，B两城共有肥料1000吨，其中B城肥料比A城肥料多200吨，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和20元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为10元/吨和18元/吨．现C乡需要肥料480吨，D乡需要肥料520吨．
（1）A城和B城各有多少吨肥料？
（2）设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元，求总运费y（元）关于x（吨）的函数关系式，并写出x的取值范围，并求出最少总运费．
【变式7-2】(2023春•青秀区校级期末）为了贯彻落实市委市政府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶 A、B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到 A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往 A、B两村的运费如下表：
（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？
（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往 A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）在 （2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．
【变式7-3】(2023秋•平湖市期末）要从甲、乙两仓库向A，B两工地运送水泥，已知甲、乙两个仓库分别可运出800吨和1200吨水泥；A，B两工地分别需要水泥1300吨和700吨，从两仓库运往A，B两工地的运费单价如表：
（1）设甲仓库运往A工地水泥x吨，求总运费y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
（2）当甲仓库运往A工地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少元？
（3）若甲仓库运往A工地的运费下降了a元/吨（2≤a≤6），则最省的总运费为多少元？
【变式7-4】(2023春•黄山期末）为了落实党的“精准扶贫”政策，A，B两城决定向C，D两乡运送肥料以支持农村生产．已知A，B两城分别有肥料210吨和290吨，从A城往C，D两乡运送肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C，D两乡运送肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨．设从A城运往C乡的肥料有x吨，总运费为y元．
（1）①用含x的代数式完成表；
②请写出总运费y与x的函数关系式，并求出最少总运费．
（2）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，这时A城运往C乡的肥料有多少吨时总运费最少？
型号
运载力（箱/辆）
租金（元/辆）
大货车
40
380
小货车
30
300
甲种客车
乙种客车
载客量（座/辆）
60
45
租金（元/辆）
1080
900
A
B
载货量（箱/辆）
45
30
租金（元/辆）
800
550
车辆数（辆）
载货量（箱）
租金（元）
A
x
45x
800x
B



甲种客车
乙种客车
载客量（单位：人/辆）
45
30
租金（单位：元/辆）
400
280
x（件）
8
10
12
A种文具费用（元）
120
150
b
B种文具费用（元）
640
a
560
套装
购进价格（元/套）
售出价格（元/套）
A
12
15
B
16
20
时装布料
甲
乙
A种（米）
0.6
1.1
B种（米）
0.9
0.4
甲商品
乙商品
进价（元/件）
35
5
售价（元/件）
45
8
A
B
进价（万元/套）
3
2.4
售价（万元/套）
3.3
2.8
黄瓜
西红柿
卷心菜
每辆汽车载货量（吨）
7
6
5
每吨蔬菜获利（万元）
0.15
0.2
0.1
鲅鱼价格
带鱼价格
第一周
8元/千克
18元/千克
第二周
10元/千克
20元/千克
普通口罩/个
N95口罩
总销售额/元
500
400
5000
600
300
4200
原进价（元/张）
零售价（元/张）
成套售价（元/套）
餐桌
a
270
500
餐椅
a﹣110
70
目的地车型
A村（元/辆）
B村（元/辆）
大货车
800
900
小货车
400
600
A工地（元/吨）
B工地（元/吨）
甲仓库
12
15
乙仓库
10
18
C乡（吨）
D乡（吨）
A城
x

B城


八年级下册数学《第十九章 一次函数》
19.7 课题学习 方案选择
知识点
一次根函数的应用---方案的选择与设计
◆1、选择方案是指某一问题中，符合条件的方案有多种，一般要利用数学知识经过分析、猜想、判断筛选出最佳方案的过程，此类问题往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语，解题时常常与函数、不等式、几何知识联系在一起.
◆2、在实际问题中，运用一次函数选择最佳方案的一般步骤为：
①从数学的角度分析实际问题，建立函数模型（往往有两个及两个以上模型）；
②列出关系式，在自变量取不同值时比较对应函数值的大小关系；
③结合实际需求,选择最佳方案.
◆3、一次函数可以解决生产实践、日常生活中的很多实际问题：
①应用一次函数和一元一次方程可以解决行程、面积等实际问题；
②应用一次函数和一元一次不等式(组)可以解决生产安排、分工、运输等实际问题；
③应用一次函数和二元一次方程组可以解决实际问题中评估、方案选择、决策等问题.
题型一 租车方案
【例题1】(2023春•罗源县期中）有A、B两种型号的货车：用2辆A型货车和1辆B型货车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型货车和2辆B型货车装满货物一次可运货11吨．请用学过的方程（组）知识解答下列问题：
（1）求A型、B型两种货车装满货物每辆分别能运货多少吨？
（2）现某物流公司有31吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型货车每辆需租金100元/次，B型货车每辆需租金120元/次．请你帮该物流公司选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用．
【分析】（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）由（1）的结论结合某物流公司现有31吨货物，即可得出3m+4n＝31，即n=31−3m4，由m、n均为正数即可得出各租车方案．根据租车总费用＝每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，分别求出三种租车方案所需租车费，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，
依题意，得：2x+y=10x+2y=11，
解得：x=3y=4．
答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨．
（2）由题意可得：3m+4n＝31，即n=31−3m4，
∵m，n均为整数，
∴共有m=1n=7，m=5n=4和m=9n=1三种情况．
设租车费用为W元，
则W＝100m+120n
＝100m+120•31−3m4
＝10m+930，
∵10＞0，
∴W随m的增大而减小，
∴当m＝1时，W最小，此时W＝10×1+930＝940．
∴当租用A型车1辆，B型车7辆，最少租车费用为940元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组；（2）由（1）的结论结合共运货31吨，找出3m+4n=31．
【变式1-1】(2023春•东洲区期末）某公司需要租赁货车运回一批货物，经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运载力和租金如下表：
（1）若该公司计划租用大、小货车共8辆，其中大货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，若这批货物共290箱，所租用的8辆货车可一次将货物全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
【分析】（1）根据题意得：y＝380x+300（8﹣x）＝80x+2400；
（2）由这批货物共290箱，可得x≥5，由一次函数的性质可得租用大货车5辆，小货车3辆，租车最低，最低费用为2800元．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝380x+300（8﹣x）＝80x+2400，
答：y与x的函数关系式为y＝80x+2400；
（2）∵这批货物共290箱，
∴40x+30（8﹣x）≥290，
解得x≥5，
在y＝80x+2400中，
∵80＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴x＝5时，y取最小值，最小值为80×5+2400＝2800（元），
此时8﹣x＝8﹣5＝3，
答：租用大货车5辆，小货车3辆，租车最低，最低费用为2800元．
【点评】本题考查一次函数，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元一次不等式．
【变式1-2】(2023秋•简阳市期末）今年夏天成都突发新冠疫情，“巴蜀儿女，命运与共；'疫'无反顾，共克时艰．”按照成都市应对新型冠状病毒肺炎疫情应急指挥部统一部署，我市将组织435名医务工作者前往支援，计划租用8辆客车，现有甲、乙两种型马客车，它们的载客量和租金如表：
（1）如果恰好一次性将435名医务工作者送往成都，应安排租用甲、乙两种车各几辆？
（2）设租用甲种客车m辆，租车总费用为w元．
①求出w（元）与m（辆）之间的函数表达式；
②当甲种客车有多少辆时，能保障所有的医务工作者都能被送往成都且租车费用最少，最少费用是多少元？
【分析】（1）根据题意先设未知数，然后根据题中的等量关系列出方程组，解出方程的解即可；
（2）①根据题意先写出租用的乙车数量，然后根据能保障所有的医务工作者都能被送往成都，可列出不等式组，解出m的取值范围，再根据两种客车的租金即可写出w（元）与m（辆）之间的函数表达式；
②根据一次函数的增减性即可求出w的最小值．
【解答】解：（1）设租用甲种客车x辆，乙种可车y辆，
根据题意可列方程组为：x+y=860x+45y=435，解得：x=5y=3，
答：租用甲种客车5辆，乙种可车3辆；
（2）①根据题意可得：租用乙种客车（8﹣m）辆，
且8−m≥060m+45(8−m)≥435，解得：5≤m≤8，
根据图表可得：w＝1080m+900（8﹣m），
整理得：w＝180m+7200，
∴w（元）与m（辆）之间的函数表达式为：w＝180m+7200（5≤m≤8）；
②由①可知w＝180m+7200，
∵180＞0，
∴w随m的增大而减小，
∵5≤m≤8，
∴当m＝5，w有最小值，此时最小值＝8100，
答：当甲车租用5辆时，能保障所有的医务工作者都能被送往成都且租车费用最少，最少费用为8100元．
【点评】本题考查的是一次函数的应用，解题关键：一是根据等量关系列出方程组，二是掌握函数的增减性．
【变式1-3】(2023春•渠县校级月考）2020年由于疫情发生，某市伸出友爱之手，现计划把甲种医疗物资1240吨和乙种医疗物资880吨用一列货车运往某地支援，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，B型车厢每节费用为8000元．
（1）设运送这批医疗物资的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y与x之间的关系式
（2）如果每节A型车厢最多能装甲种医疗物资35吨和乙种医疗物资15吨，每节B型车厢最多能装甲种医疗物资25吨和乙种医疗物资35吨，那么共有哪几种安排车厢的方案？
（3）上述方案中，哪个方案运费最少？最少运费为多少万元？
【分析】（1）根据总费用＝A型车厢费用+B型车厢费用，即可列出y与x之间的关系式，需要化单位；
（2）根据题意列不等式组，解不等式组可得x的范围，即可得到答案；
（3）结合（1）（2），用一次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝0.6x+0.8（40﹣x）＝﹣0.2x+32，
∴y与x之间的关系式为y＝﹣0.2x+32；
（2）∵每节A型车厢最多能装甲种医疗物资35吨和乙种医疗物资15吨，每节B型车厢最多能装甲种医疗物资25吨和乙种医疗物资35吨，
∴35x+25(40−x)≥124015x+35(40−x)≥880，
解得24≤x≤26，
∵x是正整数，
∴x可取24，25，26，
∴一共有三种方案：①A型车厢24节，B型车厢16节；②A型车厢25节，B型车厢15节；③A型车厢26节，B型车厢14节；
（3）在y＝﹣0.2x+32中，
∵﹣0.2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴x＝26时，y取最小值，最小值为﹣0.2×26+32＝26.8，
答：A型车厢26节，B型车厢14节，运费最少，最少运费为26.8万元．
【点评】本题考查一次函数，一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和不等式组．
【变式1-4】(2023秋•吴兴区期末）依靠国家强有力的政策引导和全国人民的共同努力，我国的新冠疫情态势得到了有效控制．但当前疫情发展形势依旧严峻，常态化防控工作仍然不能松懈．为了打赢这场没有硝烟的战争，某公司积极响应国家号召，采购了口罩、防护服、消毒剂等医疗物资若干箱，进行物资援助．该公司计划租用某货运公司的A、B型两种货车共6辆完成物资运送，它们的载货量和租金如表：
设租用A型货车x辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含有x的式子填写下表：
（2）若保证租车费用不超过4550元，求x的最大值；
（3）若该公司援助防疫物资共200箱，设这批物资的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并求出最少运费为多少元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以将表格补充完整；
（2）根据题意，可以列出相应的不等式组，从而可以求得x的取值范围；
（3）根据题意和题目中的数据，可以写出y与x之间的函数关系式，并求出最少运费．
【解答】解：（1）由题意可得，
故答案为：6﹣x，30（6﹣x），550（6﹣x）；
（2）由题意可知：800x+550（6﹣x）≤4550，
解得x≤5，
∴x的最大值是5；
（3）由题意可得，
y＝800x+550（6﹣x）＝250x+3300，
∴y随x的增大而增大，
∵45x+30（6﹣x）≥200，
解得x≥43，
又∵x为整数，
∴当x＝2时，y取得最小值，此时y＝3800，
答：y与x之间的函数关系式是y＝250x+3300，最少运费为3800元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，列出相应的不等式，利用一次函数的性质求最值．
【变式1-5】某学校计划在总费用为3200元的限额内，租用汽车送312名学生和8名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师；现有甲乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表：
（1）通过计算与分析后，直接写出共需租用 辆汽车；
（2）求出有哪几种租车方案；
（3）求出最节省的租车费用是多少元．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以得到需要租用多少辆汽车，本题得以解决；
（2）根据（1）中的结果和表格中的数据可以得到有几种租车方案，并写出相应的租车方案；
（3）根据题意可以得到租车费用和租用甲种客车的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得到最节省的租车费用是多少元．
【解答】解：（1）如果全部租用甲种客车，则需要（312+8）÷45＝719（辆），
如果全部租用乙种客车，则需要（312+8）÷30＝1023（辆），
∵汽车辆数为整数，且有8名教师，每辆汽车上至少要有1名教师，
∴共租用8辆汽车，
故答案为：8；
（2）设租用x辆甲种客车，则租用乙种客车（8﹣x）辆，
则租车费用y＝400x+280（8﹣x）＝120x+2240，
∵45x+30(8−x)≥320400x+280(8−x)≤3200，
解得，513≤x≤8，
∵x为整数，
∴x＝6或7或8，
∴共有3种租车方案，
方案一：6辆甲种客车，2辆乙种客车；
方案二：7辆甲种客车，1辆乙种客车；
方案三：8辆甲种客车；
（3）∵y＝120x+2240中，k＝120＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝6时，y有最小值，最节省的租车费用是2960元，
答：最节省的租车费用是2960元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
题型二 选择方案
【例题2】（2023•秦都区校级一模）尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和（x+10）本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为y1元，选择第二种方案购买所需费用为y2元．
（1）请分别写出y1，y2与x之间的关系式；
（2）若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠．
【分析】（1）根据题意直接写出y1，y2与x之间的关系式；
（2）把x＝10代入（1）中解析式求出y的值进行比较即可．
【解答】解：（1）根据题意得：方案①：y₁＝15x+4×（x+10﹣x）＝15x+40；
方案②：y₂＝{15x+4（x+10）]×80%＝15.2x+32．
∴y₁与x之间的关系式为y1＝15x+40，y2与x之间的关系式为y2＝15.2x+32；
（2）当x＝10时，y1＝15×10+40＝190；
y2＝15.2×10+32＝184，
∵190＞184，
∴选择方案②更为优惠．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是求出y1，y2与x之间的关系式．
【变式2-1】（2023•二道区校级一模）某工厂的销售部门提供两种薪酬计算方式：
薪酬方式一：底薪+提成，其中底薪为3000元，每销售一件商品另外获得15元的提成；
薪酬方式二：无底薪，每销售一件商品获得30元的提成．
设销售人员一个月的销售量为x（件），方式一的销售人员的月收入为y1（元），方式二的销售人员的月收入为y2（元）．
（1）请分别写出y1、y2与x之间的函数表达式；
（2）哪种薪酬计算方式更适合销售人员？
【分析】（1）根据已知直接可得y1、y2与x之间的函数表达式；
（2）由（1）的表达式，分别列方程和不等式，即可解得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：
y1与x之间的函数表达式为y1＝3000+15x，
y2与x之间的函数表达式为y2＝30x；
（2）由3000+15x＝30x，解得：x＝200，
∴当x＝200时，选择两种薪酬计算方式对销售人员一样，
当3000+15x＜30x时，解得x＞200，
∴当x＞200时，薪酬方式二计算方式更适合销售人员．
当3000+15x＞30x时，解得x＜200，
∴当x＜200时薪酬方式一计算方式更适合销售人员，
综上所述，当x＜200时薪酬方式一计算方式更适合销售人员，当x＝200时，选择两种薪酬计算方式对销售人员一样，当x＞200时，薪酬方式二计算方式更适合销售人员．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，通过方程（或不等式））解答．
【变式2-2】(2023秋•大丰区期末）某中学计划寒假期间安排4名老师带领部分学生参加红色旅游．甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人1000元．经协商，甲旅行社的优惠条件是：老师、学生都按八折收费；乙旅行社的优惠条件是：四位老师全额收费，学生都按七折收费．
（1）设参加这次红色旅游的老师和学生共有x名，y甲，y乙（单位：元）分别表示选择甲、乙两家旅行社所需的费用，求y甲，y乙关于x的函数解析式；
（2）若该校共有30名老师和学生参加活动，则选择哪家旅行社支付的旅游费用较少？
【分析】（1）甲旅行社需要的费用为：0.8×1000x，；乙旅行社的收费为：2×1000+0.75×1000×（x﹣2）；
（2）将x＝30分别代入（1）求得的函数解析式，计算即可求解．
【解答】解：（1）y甲＝0.8×1000x＝800x，
y乙＝4×1000+0.7×1000×（x﹣4）＝700x+1200；
（2）当x＝30时，
y甲＝800x＝800×30＝24000，
y乙＝700x+1200＝700×30+1200＝22200，
y甲＞y乙，
答：选择乙旅行社支付的旅游费用较少．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，得出相应的函数解析式．
【变式2-3】(2023秋•海曙区期末）随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
（2）求出入园多少次时，两者花费一样？费用是多少？
（3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？
【分析】（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式；
（2）根据（1）的结论联立方程组解答即可；
（3）分别令（1）中的y＝240，求出对应的x的值，再比较即可．
【解答】解：（1）设y甲＝k1x，
根据题意得4k1＝80，解得k1＝20，
∴y甲＝20x；
设y乙＝k2x+80，
根据题意得：12k2+80＝200，
解得k2＝10，
∴y乙＝10x+80；
（2）解方程组y=20xy=10x+80
解得：x=8y=160，
∴出入园8次时，两者花费一样，费用是160元；
（3）当y＝240时，y甲＝20x＝240，
∴x＝12；
当y＝240时，y乙＝10x+80＝240，
解得x＝16；
∵12＜16，
∴选择乙种更合算．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键．
【变式2-4】(2023•太康县校级模拟）为迎接中招体育考试，某校决定采购一批足球以供学生业余训练使用．某体育用品超市推出以下两种优惠方案：方案一，一律打八折；方案二，当购买量不超过80个时，按原价销售，当购买量超过80个时，超过的部分打六折．已知一个足球的原价为50元，设学校计划购买x个足球．
（1）设方案一的总费用为y1，方案二的总费用为y2，请分别写出y1，y2（元）与x（个）之间的函数关系式；
（2）若派学生代表去采购足球，他们应该选择哪种方案更省钱？并说明理由．
【分析】（1）利用两种优惠方案的优惠方式分别列式计算即可；
（2）利用分类讨论的方法和（1）中的结论分三种情形讨论解答即可．
【解答】解：（1）方案一的总费用为y1＝0.8×50x＝40x；
当x≤80时，方案二的总费用为y2＝50x，
当x＞80时，方案二的总费用为y2＝50×80+50（x﹣80）×0.6＝30x+1600，
∴方案二的总费用为y2=50x(x≤80)30x+1600(x＞80)；
（2）当x＜160时，选择方案一更省钱，当x＝160时，选择两种购买方式花费相同，当x＞160时，选择方案二更省钱．理由：
①当x≤80时，
∵40x＜50x，
∴y1＜y2，
∴选择方案一更省钱；
当80＜x＜160时，
∵40x＜30x+1600，
∴y1＜y2，
∴选择方案一更省钱；
②当x＝160时，
∵40x＝30x+1600，
∴y1＝y2，
∴两种购买方式花费相同；
③当x＞160时，
∵40x＞30x+1600，
∴y1＞y2，
∴选择方案二更省钱．
综上，当x＜160时，选择方案一更省钱，当x＝160时，选择两种购买方式花费相同，当x＞160时，选择方案二更省钱．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，利用分类讨论的方法解答是解题的关键．
【变式2-5】(2023春•潼南区期末）某校组队参加庆祝中国共青团成立100周年经典诵读比赛，需要为参赛选手每人配备一个朗诵文件夹．已知甲、乙两家店铺销售同款文件夹，原价相同，但销售方式不同，在甲店铺，无论一次性购买多少个文件夹，一律打8.5折；在乙店铺，当购买数量不超过30个时，按原价出售，当购买数量超过30个时，超过的部分打7折．设该校需购买x个朗诵文件夹，在甲店铺购买所需的费用为y1元，在乙店铺购买所需的费用为y2元，y1，y2关于x的函数图象如图所示．
（1）分别求出y1，y2关于x的函数解析式；
（2）求图中m的值，并说明m的实际意义；
（3）若该学校一次性购买朗诵文件夹的数最超过40个，但不超过90个，到哪家店铺购买更优惠？
【分析】（1）根据甲、乙商店的不同销售方案，可得关系式，注意乙商店的；
（2）根据等量关系：甲商店所需费用＝乙商店所需费用，列出方程并求解即可；
（3）注意分情况讨论，当172m＝7m+90时，当172m＜7m+90时，当172m＞7m+90时，解之即可．
【解答】解：（1）文件夹的原价：300÷30＝10（元），30个文件夹的价格：30×10×0.85＝255（元），
由题意得，设y1＝kx，
把（30，255）代入得，k=172，
∴y1=172x；
当0≤x≤30时，设y2＝kx，把（30，300）代入得，k＝10，
∴y2＝10x；
当x＞30时，y2＝10×30+10×0.7×（x﹣30）＝7x+90，
∴y2=10x(0≤x≤30)7x+90(x＞30)，
答：y1关于x的函数解析式是y1=172x，y2关于x的函数解析式是y2=10x(0≤x≤30)7x+90(x＞30)．
（2）当172m＝7m+90时，m＝60，
m的实际意义是当购买60个朗诵文件夹时，甲乙两家商店花费相同．
（3）当172x＝7x+90时，即x＝60，两家店铺所需费用相同；
当172x＜7x+90时，即40＜x＜60，选择甲店铺更合算；
当172x＞7x+90时，即60＜x≤90，选择乙店铺更合算．
【点评】本题考查了一次函数和一元一次方程的应用．题目难度不大．理解两个店铺不同的销售方案是解决本题的关键．
题型三 购买方案
【例题3】(2023秋•市中区期末）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗100棵．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买甲树苗不少于25棵，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？最少费用是多少元？
【分析】（1）根据购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）根据题意可以写出花费与购买甲种树苗数量之间的函数解析式，再根据购买甲树苗不少于25棵和一次函数的性质，即可得到最低费用．
【解答】解：（1）设甲种树苗每棵x元，乙种树苗每棵y元，
由题意可得：20x+16y=1280x−y=10，
解得x=40y=30，
答：甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵30元；
（2）设购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（100﹣a）棵，所需费用为w元，
由题意可得：w＝40a+30（100﹣a）＝10a+3000，
∴w随a的增大而增大，
∵购买甲树苗不少于25棵，
∴a≥25，
∴当a＝25时，w取得最小值，此时w＝3250，100﹣a＝75，
答：购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵时花费最少，最少费用是3250元．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
【变式3-1】(2023春•临沭县期末）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援．”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）求出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；
（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于50千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？最少是多少元？
【分析】（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．
（2）购进甲种水果为x千克，则购进乙种水果（100﹣x）千克，根据实际意义可以确定x的范围，结合付款总金额（元）与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少．
【解答】解：（1）当0≤x≤50时，设y＝k1x（k1≠0），根据题意得50k1＝1500，
解得k1＝30；
∴y＝30x；
当x＞50时，设y＝k2x+b（k2≠0），
根据题意得，50k2+b=150070k2+b=1980，
解得：k2=24b=300，
∴y＝24x+300．
∴y=30x(0≤x≤50)24x+300(x＞50)；
（2）购进甲种水果为x千克，则购进乙种水果（100﹣x）千克，
∴50≤x≤60，
w＝24x+300+25（100﹣x）＝﹣x+2800．
∵﹣1＜0
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝60时，wmin＝2740元，
此时乙种水果100﹣60＝40（千克）．
答：购进甲种水果为60千克，购进乙种水果40千克，才能使经销商付款总金额w（元）最少，最少是2740元．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象以及一元一次不等式组的应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．
【变式3-2】（2023•雁塔区校级模拟）今年的春节假期是文旅行业近三年来最火爆的一年，西安作为十三朝古都，由于其悠久的历史无疑成为最具吸引力的旅游城市之一．西安某景点的A、B两种纪念品深受广大游客们的喜爱，经过了解发现，A种纪念品的进价为11元/件，B种纪念品的进价为13元/件．若某商店决定要购进A、B两种纪念品共300件，设购进A种纪念品x件，购进这300件纪念品所需总费用为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该店进货时，厂家要求A种纪念品的数量不超过B种纪念品的一半，试问如何购进A、B两种纪念品使得所需总费用最低，并说明理由．
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出y与x之间的函数关系式；
（2）根据厂家要求A种纪念品的数量不超过B种纪念品的一半，可以得到x的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到如何购进A、B两种纪念品使得所需总费用最低．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝11x+13（300﹣x）＝﹣2x+3900，
即y与x之间的函数关系式是y＝﹣2x+3900；
（2）当购进A种纪念品100件，B种纪念品200件时，所需总费用最低，
理由：由（1）可得，y＝﹣2x+3900，
∴y随x的增大而减小，
∵厂家要求A种纪念品的数量不超过B种纪念品的一半，
∴x≤12（300﹣x），
解得x≤100，
∴当x＝100时，y取得最小值，此时y＝3700，300﹣x＝200，
∴当购进A种纪念品100件，B种纪念品200件时，所需总费用最低．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，列出相应的不等式，利用一次函数的性质求最值．
【变式3-3】（2023•衢州模拟）三八节即将到来，小红打算买一束康乃馨和百合组合的鲜花送给妈妈，已知买2支康乃馨和3支百合需21元，3支康乃馨和2支百合需19元．
（1）买1支康乃馨和1支百合各需多少元？
（2）小红准备买康乃馨和百合共12支，且百合花的支数不少于康乃馨的12，设买这束鲜花所需费用w元，康乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并直接写出满足上述条件且费用最少的买花方案．
【分析】（1）根据买2支康乃馨和3支百合需21元，3支康乃馨和2支百合需19元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）根据题意和题目中的数据，可以写出w与x之间的函数关系式，然后根据百合花的支数不少于康乃馨的12，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到w的最小值及此时对应的买花方案．
【解答】解：（1）设买1支康乃馨需要a元，买1支百合需要b元，
由题意可得：2a+3b=213a+2b=19，
解得a=3b=5，
答：买1支康乃馨需要3元，买1支百合需要5元；
（2）由题意可得，
w＝3x+5（12﹣x）＝﹣2x+60，
∴w随x的增大而减小，
∵百合花的支数不少于康乃馨的12，
∴12﹣x≥12x，
解得x≤8，
∴当x＝8时，w取得最小值，此时w＝44，12﹣x＝4，
答：w与x之间的函数关系式是w＝﹣2x+60，费用最少的买花方案是买康乃馨8支，买百合4支．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
【变式3-4】(2023秋•长安区期末）某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品不少于20件，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【分析】（1）设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，根据“购买1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，购买2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（60﹣m）件，设购买两种奖品的总费用为w，由甲种奖品不少于20件，可得出关于m的取值范围，再由总价＝单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，
依题意，得：x+2y=402x+3y=70，
解得x=20y=10，
答：甲种奖品的单价为20元/件，乙种奖品的单价为10元/件．
（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（60﹣m）件，设购买两种奖品的总费用为w元，
∵甲种奖品不少于20件，
∴m≥20．
依题意，得：w＝20m+10（60﹣m）＝10m+600，
∵10＞0，
∴w随m值的增大而增大，
∴当学校购买20件甲种奖品、40件乙种奖品时，总费用最少，最少费用是800元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的一次函数关系式．
【变式3-5】(2023秋•东阳市期末）某校为“防疫知识小竞赛”准备奖品，购进A，B两种文具共40件作为奖品，设购进A种文具x件，总费用为y元．已知A、B文具的费用与x的部分对应数据如下表．
（1）将表格补充完整：a＝ ；b＝ ；
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）当A种文具的费用不大于B种文具的费用时，求总费用y的最小值．
【分析】（1）根据表格中的数据，可以先计算出A种文具的单价，然后再计算出B种文具的单价，再计算a和b的值即可；
（2）根据题意和（1）中两种文具的单价，可以写出y与x的函数关系式；
（3）根据题意，可以得到相应的不等式，然后求出x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到y的最小值．
【解答】解：（1）由表格可得，
A种文具每件的价格为：120÷8＝15（元），
B种文具每件的价格为：640÷（40﹣8）＝20（元），
则a＝20×（40﹣10）＝600，b＝12×15＝180，
故答案为：600，180；
（2）设购进A种文具x件，则购进B种文具（40﹣x）件，
由题意可得：y＝15x+20（40﹣x）＝﹣5x+800，
即y关于x的函数表达式是y＝﹣5x+800；
（3）∵A种文具的费用不大于B种文具的费用，
∴15x≤20（40﹣x），
解得x≤2267，
∵y＝﹣5x+800，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝22时，y取得最小值，此时y＝690，
答：总费用y的最小值是690．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式和不等式，利用一次函数的性质求最值．
题型四 采购方案
【例题4】(2023秋•秦都区期末）为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元，单价不变，第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，共花费265元．求：
（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？
（2）若计划再购买A、B两种花草共30棵，设购买A种花草m棵，购买花草的总费用为W元，求出W关于m的函数表达式，并计算当m＝9时，购买花草的总费用为多少元？
【分析】（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意可列出相应的二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）购买A种花草的数量为m株，则购买B种花草的数量为（30﹣m）株，根据题意列出W关于m的函数表达式，当m＝9时，求出W的值即可．
【解答】解：（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，
根据题意得，30x+15y=67512x+5y=265，
解得x=20y=5，
答：A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元；
（2）∵购买A种花草的数量为m株，则购买B种花草的数量为（30﹣m）株，
根据题意得：W＝20m+5（30﹣m）＝15m+150，
当m＝9时，W＝15×9+150＝285（元），
∴当m＝9时，购买化草的总费用为285元．
【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出二元一次方程组和求出一次函数的表达式．
【变式4-1】(2023春•黄陵县期末）暑假过后将迎来新学期，为保障教学硬件设施的完善，某校后勤部决定对松动、损坏的课桌椅进行检修和置换，已知在供应商处购买，一张课桌价格是120元，一把座椅价格是30元．若该校准备购买课桌和座椅共216件，设购买座椅a把．
（1）因学校购买数量多，且可以长期合作，供应商给出了如下优惠：课桌打七五折，座椅打八折，求该校按此优惠购买这些课桌椅的总费用W与a之间的函数关系式；
（2）若该校购买的课桌不少于70张，且座椅的数量不少于课桌的2倍，则本次购买课桌椅有哪些购买方案？求出花费最少的方案及其对应的总费用．
【分析】（1）根据题目中的数据，可以写出W与a之间的函数关系式；
（2）根据该校购买的课桌不少于70张，且座椅的数量不少于课桌的2倍，可以列出相应的不等式组，从而可以求得购买座椅数量的取值范围，再根据①中的函数解析式和一次函数的性质，可以求得最少花费的方案及其相应的费用．
【解答】解：（1）由题意可得：
W＝30a×0.8+120（216﹣a）×0.75＝﹣66a+19440，
答：该校按此优惠购买这些课桌椅的总费用W与a之间的函数关系式是W＝﹣66a+19440；
（2）∵该校购买的课桌不少于70张，且座椅的数量不少于课桌的2倍，
∴216−a≥70a≥2(216−a)，
解得：144≤a≤146，
∵a为整数，
∴a可取144，145，146，
∴符合条件的购买方案有：144把座椅和72张课桌或145把座椅71张课桌或146把座椅和70张课桌，
而W＝﹣66a+19440，
∵﹣66＜0，
∴W随a的增大而减小，
∴当a＝146时，W取得最小值，此时W＝9804，
答：本次购买课桌椅方案有：购买方案有：144把座椅和72张课桌或145把座椅71张课桌或146把座椅和70张课桌，其中方案：146把座椅和70张课桌花费最少，最少费用为9804元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．
【变式4-2】某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．
（1）设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．
（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．
【分析】（1）根据利润等于每台电脑的利润乘以台数列得函数关系式即可；
（2）根据题意列不等式组，求出解集，根据解集即可得到四种采购方案，由（1）的函数关系式得到当x取最小值时，y有最大值，将x＝12代入函数解析式求出结果即可．
【解答】解：（1）由题意得：y＝（2000﹣1600）x+（3000﹣2500）（20﹣x）＝﹣100x+10000，
∴全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式为y＝﹣100x+10000；
（2）由题意得：1600x+2500(20−x)≤39200400x+500(20−x)≥8500，
解得12≤x≤15，
∵x为正整数，
∴x＝12、13、14、15，
共有四种采购方案：
①甲型电脑12台，乙型电脑8台，
②甲型电脑13台，乙型电脑7台，
③甲型电脑14台，乙型电脑6台，
④甲型电脑15台，乙型电脑5台，
∵y＝﹣100x+10000，且﹣100＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x取最小值时，y有最大值，
即x＝12时，y最大值＝﹣100×12+10000＝8800，
∴采购甲型电脑12台，乙型电脑8台时商店获得最大利润，最大利润是8800元．
【点评】此题考查了一次函数的实际应用，不等式组的应用，方案问题的解决方法，正确理解题意，根据
题意列出对应的函数关系式或是不等式组解答问题是解题的关键．
【变式4-3】今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B
种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B
种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．
（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？
（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．
【分析】（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列方程解答即可；
（2）分别求出A种树苗每棵的价格与B种树苗每棵的价格，设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，根据题意求出w与t的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列方程，得：
6300.9x−6001.2x=10，
解这个方程，得x＝20，
经检验，x＝20是原分式方程的解，并符合题意，
答：这一批树苗平均每棵的价格是20元；
（2）由（1）可知A种树苗每棵的价格为：20×0.9＝18（元），B种树苗每棵的价格为：20×1.2＝24（元），
设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，则：
w＝18t+24（5500﹣t）＝﹣6t+132000，
∵w是t的一次函数，k＝﹣6＜0，
∴w随t的增大而减小，
又∵t≤3500，
∴当t＝3500棵时，w最小，
此时，B种树苗有：5500﹣3500＝2000（棵），w＝﹣6×3500+132000＝111000，
答：购进A种树苗3500棵，B种树苗2000棵时，能使得购进这批树苗的费用最低，最低费用为111000元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
【变式4-4】(2023春•江津区期末）中考临近，某商家抓住商机，采购了一批考试用笔套装（记为A套装，包括有黑色签字笔和涂卡铅笔）和作图工具套装（记为B套装，包括有圆规和直尺）进行售卖，出售时两种套装都是整套出售，且全部售出．已知购进的两种套装A、B共500套，A、B两种套装进价与售价如表所示．设采购A种套装x套，获得的总利润为y元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）如果该商家采购的A套装的套数不少于100套，且不超过B套装的套数，那么该商家应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题意，可以写出y与x的函数关系式；
（2）设该商家购进A套装m套，则购进B套装（500﹣m）套，根据采购的A套装的套数不少于100套，且不超过B套装的套数，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设套装全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每套的利润×购进数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝（15﹣12）x+（20﹣16）（500﹣x）＝﹣x+2000，
即y＝﹣x+2000；
（2）设该商家购进A套装m套，则购进B套装（500﹣m）套，
依题意得：m≥100m≤500−m，
解得：100≤m≤250，
设套装全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（15﹣12）m+（20﹣16）（500﹣m）＝﹣m+2000．
∵﹣1＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵100≤m≤250，
∴当m＝100时，w取得最大值，最大值＝﹣100+2000＝1900，此时500﹣m＝500﹣100＝400，
答：当商家购进A套装100套，B套装400套时，才能获利最大，最大利润为1900元．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用、列代数式以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
题型五 利润方案
【例题5】已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产甲、乙两种型号的时装共80套．已知做一套甲种型号的时装或一套乙种型号的时装所需A、B两种布料如下表：
若销售一套甲种型号的时装可获利润45元，销售一套乙种型号的时装可获利润50元．设生产乙种型号的时装为x套，用这批布料生产这两种型号的时装利润为y元．
（1）写出y（元）与x（套）的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）雅美服装厂在生产这批时装中，当生产两种型号的时装各多少套时，获得的总利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）生产这两种时装的利润＝生产甲的利润+生产乙时装的利润，然后化简得出函数关系式，再根据有A种布料70米，B种布料52米来判断出自变量的取值范围；
（2）跟（1）中得出的函数式的性质来判定出哪种方案最好．
【解答】解：（1）y＝50x+（80﹣x）×45
y＝5x+3600
1.1x+0.6×（80﹣x）≤70
0.4x+0.9×（80﹣x）≤52
故40≤x≤44；
（2）y＝5x+3600图象成直线，是增函数，
所以当x取最大值44时y有最大值，
y＝5×44+3600＝3820．
该服装厂在生产这批服装中，当生产乙型号44套，甲型号36套时，所获利润最多，最多是3820元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
【变式5-1】(2023秋•章贡区校级期末）某地允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺外摆”“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售甲、乙两种特价商品，两种商品的进价与售价如表所示：
小王计划购进甲、乙两种商品共100件进行销售，设小王购进甲商品x件，甲、乙两种商品全部销售完后获得的利润为y元．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）若购进乙商品的件数不少于甲商品件数的3倍，当购进甲、乙两种商品各多少件时，可使得甲、乙两种商品全部销售完后获得的利润最大？
【分析】（1）由y＝甲商品利润+乙商品利润，可得解析式；
（2）根据购进乙商品的件数不少于甲商品件数的3倍列出不等式，求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性解决最大值问题．
【解答】解：（1）由题意可得：y＝（45﹣35）x+（8﹣5）（100﹣x）＝7x+300，
∴y与x之间的函数关系式为y＝7x+300；
（2）由题意，得100﹣x≥3x，
解得x≤25．
∵y＝7x+300，
∴k＝7＞0，
∴y随x增大而增大，
∴x＝25时，y的值最大，
100﹣25＝75，
答：当购进甲种商品25件，乙种商品75件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，学会利用一次函数的性质解决实际问题中的最值问题．
【变式5-2】（2023•秦都区校级模拟）某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示：
（1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？
（2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套（10≤m≤20），当把购进的两种多媒体全部售出，求购进A种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意可以写出利润与m的函数关系式，然后根据m的取值范围和一次函数的性质，可以求得利润的最大值．
【解答】解：（1）设购进A种多媒体a套，B种多媒体b套，
由题意可得：a+b=503a+2.4b=132，
解得a=20b=30，
答：购进A种多媒体20套，B种多媒体30套；
（2）设利润为w元，
由题意可得：w＝（3.3﹣3）m+（2.8﹣2.4）×（50﹣m）＝﹣0.1m+20，
∴w随m的增大而减小，
∵10≤m≤20，
∴当m＝10时，w取得最大值，此时w＝19，
答：购进A种多媒体10套时，能获得最大利润，最大利润是19万元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
【变式5-3】(2023秋•无为市月考）某蔬菜生产基地组织10辆汽车装运黄瓜、西红柿、卷心菜三种蔬菜共60吨去外地销售，要求10辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种蔬菜，且装运每种蔬菜的车辆均不少于2辆，其他信息如下表所示：
（1）设装运黄瓜的车辆为x辆，装运西红柿的车辆为y辆，求y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围．
（2）怎样安排车辆能使此次销售利润w最大？并求出w的最大值．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出y与x之间的函数表达式，再根据每辆汽车只能装运同一种蔬菜，且装运每种蔬菜的车辆均不少于2辆，即可得到x的取值范围；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以写出w与x的函数关系式，再根据一次函数的性质，即可得到怎样安排车辆能使此次销售利润w最大，并求出w的最大值．
【解答】解：（1）由题意可得，
7x+6y+5（10﹣x﹣y）＝60，
化简，得：y＝10﹣2x，
∵装运每种蔬菜的车辆均不少于2辆，
∴2≤x≤10−42≤10−2x≤10−4，
解得2≤x≤4，
即y与x的函数关系式为y＝10﹣2x（2≤x≤4）；
（2）由题意可得，
w＝0.15×7x+0.2×6（10﹣2x）+0.1×5[10﹣x﹣（10﹣2x）]＝﹣0.85x+12，
∴w随x的增大而减小，
∵2≤x≤4，
∴当x＝2时，w取得最大值，此时w＝10.3，10﹣2x＝6，10﹣2﹣6＝2，
答：安排装运黄瓜的车2辆，装运西红柿的车6辆，装运卷心菜的车2辆销售利润w最大，w的最大值为10.3．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
【变式5-4】(2023春•茌平区期末）北京冬奥会期间，某商店为专注冬奥的商机决定购进A、B两款“冰墩墩、雪容融”纪念品，若购进A款纪念品4件，B款纪念品6件，需要960元；若购进A款纪念品2件，B款纪念品5件，需要640元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进两种纪念品共100件，考虑到资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不能超过9920元，那么该商店最多可购进A纪念品多少件．
（3）若销售每件A种纪念品每件可获利润30元，B种纪念品每件可获利润20元，在（2）中的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据购进A款纪念品4件，B款纪念品6件，需要960元；购进A款纪念品2件，B款纪念品5件，需要640元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据用于购买这100件纪念品的资金不能超过9920元和（1）中的结果，可以列出相应的不等式，从而可以得到该商店最多可购进A纪念品多少件；
（3）根据题意和（2）中的结果，可以写出利润和购进A种纪念品数量的函数关系式，再根据一次函数的性质，即可得到在（2）中的各种进货方案中，哪一种方案获利最大，最大利润是多少元．
【解答】解：（1）设购进A种纪念品每件a元，购进B种纪念品每件b元，
由题意可得：4a+6b=9602a+5b=640，
解得a=120b=80，
答：购进A种纪念品每件120元，购进B种纪念品每件80元；
（2）设购进A种纪念品x件，则购进B种纪念品（100﹣x）件，
∵用于购买这100件纪念品的资金不能超过9920元，
∴120x+80（100﹣x）≤9920，
解得x≤48，
∴x的最大取值为48，
答：该商店最多可购进A纪念品48件；
（3）设购进A种纪念品x件，利润为w元，
由题意可得：w＝30x+20（100﹣x）＝10x+2000，
∴w随x的增大而增大，
∵x≤48，
∴当x＝48时，w取得最大值，此时w＝2480，100﹣x＝52，
答：当购进A种纪念品48件，B种纪念品52件时获利最大，最大利润是2480元．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．
【变式5-5】某书店决定用不多于20000元的资金购进甲、乙两种图书共1200本进行销售．已知甲、乙两种图书的进价分别为20元/本、14元/本，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在书店购买甲种图书，其购买本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本．
（1）列方程求解：甲、乙两种图书的售价分别为每本多少元？
（2）书店为了促销，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，设甲种图书进货数量为n本，两种图书全部售完后，所获总利润为W元．
①求W与n的函数关系式．
②书店应该如何进货，才能使购进的两种图书全部售完后，所获利润最大？
【分析】（1）设乙种书售价为每本x元，可得1400x−16801.4x=10，解方程并检验可得甲种图书售价为每本28元，乙种图书售价为每本20 元；
（2）①根据题意得W＝n+4800；根据用不多于20000元的资金购进甲、乙两种图书，有n≤16003；即得W＝n+4800（n≤16003且n整数）；
②由一次函数的性质可得书店应该甲种图书进货533本，乙种图书进货 667 本，才能使购进的两种图书全部售完后，所获利润最大．
【解答】解：（1）设乙种书售价为每本x元，则甲种书售价为每本 1.4x 元，
由题意得1400x−16801.4x=10，
解得x＝20，
经检验：x＝20 是原方程的解，且符合题意，
∴1.4x＝1.4×20＝28 （元），
答：甲种图书售价为每本28元，乙种图书售价为每本20 元；
（2）①根据题意得：W＝（28﹣3﹣20）n+（20﹣14﹣2）（1200﹣n）＝n+4800；
∵用不多于20000元的资金购进甲、乙两种图书，
∴20n+14（1200﹣n）≤20000，
解得n≤16003；
∴W＝n+4800（n≤16003且n整数）；
②在W＝n+4800中，
∵1＞0，
∴W随n的增大而增大，
∴n＝533时，W取最大值，最大值为533+4800＝5333（元），
此时1200﹣n＝1200﹣533＝667（本），
答：书店应该甲种图书进货533本，乙种图书进货 667 本，才能使购进的两种图书全部售完后，所获利润最大．
【点评】本题考查分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
题型六 进货方案
【例题6】(2023秋•泰兴市期末）某体育用品店计划花7000元购进篮球和足球，已知足球比篮球进价贵20元．若花3000元购买篮球，4000元购买足球，则可以够买到相同数量的篮球和足球．
（1）求篮球和足球的进价；
（2）篮球的销售单价为100元，足球的销售单价为120元，求该商店将购进的篮球和足球全部售出后能获取的利润w（元）与购买的篮球的数量m（只）之间的函数关系式，并直接写出w最大时的进货方案．
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意要检验；
（2）根据题意和题目中的数据，可以写出w与m的函数关系式，然后根据（1）中的结果和一次函数的性质，可以求得使得w最大时的进货方案．
【解答】解：（1）设篮球进价为x元/只，则足球的进价为（x+20）元/只，
由题意可得：3000x=4000x+20，
解得x＝60，
经检验x＝60是方程的解，
∴x+20＝80，
答：篮球进价为60元/只，足球的进价为80元/只；
（2）由题意可得，
w＝（100﹣60）m+（120﹣80）×7000−60m80=10m+3500，
∴w随m的增大而增大，
∵60m＜7000，
∴m＜11623，
又∵7000−60m80为整数，
∴m的最大值为114，此时7000−60m80=2，
∴当m＝114时，利润w最大，对应的方案是购买篮球114只，足球2只，
答：该商店将购进的篮球和足球全部售出后能获取的利润w（元）与购买的篮球的数量m（只）之间的函数关系式w＝10m+3500，w最大时的进货方案是购买篮球114只，足球2只．
【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
【变式6-1】(2023秋•敦煌市期中）进入8月以来某些海鱼的价格逐渐上涨，某农贸市场水产商户老王在进货数量上作出调整，8月份前两周两种海鱼的价格情况如下表：
（1）老王第一周购进了一批鲅鱼和带鱼，总货款是1700元，且购进的鲅鱼千克数是带鱼的2倍，求老王第一周购进的鲅鱼和带鱼分别是多少千克？
（2）若第二周将这两种鱼的进货总量减少到120千克，且购进鲅鱼a千克，需要支付的货款为w元，则w与a的函数关系式为 ．
（3）在（2）的条件下，若购进鲅鱼不超过80千克，则第二周老王购进这两种鱼的总货款最少应是多少元？
【分析】（1）设老王第一周购进带鱼x千克，购进鲅鱼2x千克，根据“总货款是1700元，列方程解答即可；
（2）根据总价＝单价×购进数量，即可得出w关于a的函数关系式；
（3）根据购进鲅鱼不超过80千克，可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设老王第一周购进带鱼x千克，购进鲅鱼2x千克，
根据题意，18x+8×2x＝1700，
解得x＝答：老王第一周购进鲅鱼100千克，购进带鱼50千克；
（2）由题意，得w＝10a+20（120﹣a）＝﹣10a+2400；
故答案为：w＝﹣10a+2400；
（3）根据题意，得a≤80，由（2）得，w＝﹣10a+2400，
∵﹣10＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝80时，w有最小值，w最小＝﹣10×80+2400＝1600（元），
答：第二周老王购进这两种鱼的总货款最少应是1600元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．
【变式6-2】(2023秋•仪征市期末）某药店出售普通口罩和N95口罩．如表为两次销售记录：
（1）求普通口罩和N95口罩的销售单价分别是多少？
（2）该药店计划再次购进1000个口罩，根据市场实际需求，普通口罩的数量不低于N95口罩数量的4倍．已知普通口罩的进价为1元/个，N95口罩的进价为6元/个．设购买普通口罩x个，获得的利润为W元；
①求W关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
②该药店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得普通口罩和N95口罩的销售单价；
（2）根据题意，可以得到利润与购进普通口罩数量的函数关系式，再根据普通口罩的数量不低于N95口罩数量的4倍．可以求得普通口罩数量的取值范围；（3）根据一次函数的性质，即可解答本题．
【解答】解：（1）设普通口罩的销售单价为a元/个，N95口罩的销售单价为b元/个，
由题意得：500a+400b=5000600a+300b=4200，
解得，a=2b=10，
答：普通口罩和N95口罩的销售单价分别是2元/个，10元/个；
（2）设购买普通口罩x个，获得的利润为W元，
由题意得：W＝（2﹣1）x+（10﹣6）×（1000﹣x）＝﹣3x+4000，
∵普通口罩的数量不低于N95口罩数量的4倍．
∴x≥4×（1000﹣x），
解得，x≥800，
∴W＝﹣3x+4000（800≤x≤1000）；
（3）W＝﹣3x+4000（800≤x≤1000），
∵﹣3＜0，
∴W随x的增大而减小，
，∴当x＝800时，W取得最大值，此时W＝1600，1000﹣x＝200，
答：该药店购进普通口罩800个，N95口罩200个才能使销售总利润最大，最大利润是1600元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
【变式6-3】(2023秋•义乌市期末）12月、浙江突发疫情，我市立即启动疫情应急处置模拟演练．为配合演练顺利开展，某校需要购进A、B两款体温枪共100只．已知购进A型体温枪花费1000元，B型体温枪花费1500元，A型体温枪的价格比B型高50元，B型体温枪的数量是A型的两倍．
（1）求每只A型、B型体温枪的价格；
（2）若购进B型体温枪的数量不超过A型体温枪的2倍，设购进A型体温枪x只．这100只体温枪的总费用为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②某校实际购买时，发现某店对A型体温枪进行降价处理，比原价降低a元出售（10＜a＜100），且限定一次性最多购买A型体温枪50只，当a满足什么条件时，能使该校购进这100只体温枪总费用最小．
【分析】（1）设每只A型体温枪的价格为m元，则每只B型体温枪的价格（m﹣50）元，根据B型体温枪的数量是A型的两倍列方程求解即可；
（2）①设购进A型体温枪x只，则购进B型体温枪（100﹣x）只，根据题意列不等式组求得x的取值范围，再根据总费用＝A型费用+B型费用即可求解；
②根据y关于x的函数关系式以及一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设每只A型体温枪的价格为m元，则每只B型体温枪的价格（m﹣50）元，根据题意得，
1000m×2=1500m−50，
解得m＝200，
经检验：m＝200是原分式方程的解，且符合题意，
m﹣50＝200﹣50＝150，
答：每只A型体温枪的价格为200元，每只B型体温枪的价格150元；
（2）①设购进A型体温枪x只，则购进B型体温枪（100﹣x）只，根据题意得，
100−x≤2xx≤100，
解得3313≤x≤100，
设这100只体温枪的总费用为y元，根据题意得，
y＝200x+150（100﹣x），即y＝50x+15000，
∴y关于x的函数关系式为y＝50x+15000（3313≤x≤100，且x为整数）；
②∵限定一次性最多购买A型体温枪50只，
∴3313≤x≤50，且x为非负整数，
∵某店对A型体温枪进行降价处理，比原价降低a元出售（10＜a＜100），
∴y＝（200﹣a）x+150（100﹣x），即y＝（50﹣a）x+15000，
当10＜a＜50时，50﹣a＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵3313≤x≤50，且x为非负整数，
∴当x＝34，a＝49时，y取最小值，即该校购进这100只体温枪总费用最小，最小费用为y＝34（50﹣a）+15000，
即y＝34+15000＝15034；
当a＝50时，y＝15000，即该校购进这100只体温枪总费用为15000元，
当50＜a＜100时，50﹣a＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵3313≤x≤50，且x为非负整数，
∴当x＝50时，a＝99时，y取最小值，即该校购进这100只体温枪总费用最小，最小费用为y＝50（50﹣a）+15000，
即y＝（50﹣99）×50+15000＝12550，
∵12250＜15000＜15034，
∴当a＝99时，能使该校购进这100只体温枪总费用最小．
答：当a＝99时，能使该校购进这100只体温枪总费用最小．
【点评】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理清题中的数量关系，正确列出方程，不等式以及一次函数表达式是解题的关键．
【变式6-4】(2023•东坡区校级模拟）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．
（1）求表中a的值；
（2）若该商场购进餐椅的数量比餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过260张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，按照（2）中获得最大利润的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出后，所得利润比（2）中的最大利润少了2250元．请问本次成套的销售量为多少？
【分析】（1）根据餐桌和餐椅数量相等列出方程求解即可；
（2）设购进餐桌x张，餐椅（5x+20）张，销售利润为W元．根据购进总数量不超过260张，得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据“总利润＝成套销售的利润+零售餐桌的利润+零售餐椅的利润”即可得出W关于x的一次函数，根据一次函数的性质即可解决最值问题；
（3）设本次成套销售量为m套，先算出涨价后每张餐桌及餐椅的进价，再根据利润间的关系找出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论．（1）根据餐桌和餐椅数量相等列出方程求解即可；
（2）设购进餐桌x张，餐椅（5x+20）张，销售利润为W元．根据购进总数量不超过260张，得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据“总利润＝成套销售的利润+零售餐桌的利润+零售餐椅的利润”即可得出W关于x的一次函数，根据一次函数的性质即可解决最值问题；
（3）设本次成套销售量为m套，先算出涨价后每张餐桌及餐椅的进价，再根据利润间的关系找出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得600a=160a−1，
解得a＝150，
经检验，a＝150是原分式方程的解；
（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，销售利润为W元．
由题意得：x+5x+20≤260，
解得：x≤40．
∵a＝150，
∴餐桌的进价为150元/张，餐椅的进价为40元/张．
依题意可知：
W=12x•（500﹣150﹣4×40）+12x•（270﹣150）+（5x+20−12x•4）•（70﹣40）＝245x+600，
∵k＝245＞0，
∴W关于x的函数单调递增，
∴当x＝40时，W取最大值，最大值为．
故购进餐桌40张、餐椅220张时，才能获得最大利润，最大利润是10400元．
（3）涨价后每张餐桌的进价为160元，每张餐椅的进价为50元，
设本次成套销售量为m套．
依题意得：（500﹣160﹣4×50）m+（40﹣m）×（270﹣160）+（220﹣4m）×（70﹣50）＝10400﹣2250，
即8800﹣50m＝8150，解得：m＝13．
答：本次成套的销售量为13套．
【点评】本题考查了一次函数的应用，涉及分式方程和一元一次不等式等，理解题意，并能根据题意建立相应关系式是解题的关键．
题型七 调运方案
【例题6】A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城运往C、
D两乡运肥料的费用分别是每吨20元和25元，从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现在C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，设A城运往C乡的肥料量为x吨，总运费为y元．
（1）写出总运费y元关于与x之间的关系式；
（2）当总费用为10200元，求从A、B城分别调运C、D两乡各多少吨？
（3）怎样调运化肥，可使总运费最少？最少运费是多少？
【分析】（1）设总运费为y元，A城运往C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为（200﹣x）吨；B城运往C、D乡的肥料量分别为（240﹣x）吨和（60+x）吨，然后根据总运费和运输量的关系列出方程式，就可以求出解析式；
（2）将y＝10200代入（1）中的函数关系式可求得x的值；
（3）根据（1）的解析式，由一次函数的性质就看由求出结论．
【解答】解：（1）设总运费为y元，A城运往C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为（200﹣x）吨；B城运往C、D乡的肥料量分别为（240﹣x）吨和[260﹣（200﹣x）]＝（60+x）吨．由总运费与各运输量的关系可知，反映y与x之间的函数关系为
y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）
化简，得y＝4x+10040（0≤x≤200）
（2）将y＝10200代入得：4x+10040＝10200，解得：x＝40，
∴200﹣x＝200﹣40＝160，240﹣x＝200，60+x＝100，
∴从A城运往C乡的肥料量为40吨，A城运往D乡的肥料量为160吨，B城运往C的肥料量分别为200吨，B城运往D的肥料量分别为100吨．
（3）∵y＝4x+10040，
∴k＝4＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝0时，y最小＝10040
∴从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，总运费最小值是10040元．
【点评】本题考查了一次函数的解析式的运用，一次函数的性质的运用．解答时求出一次函数的解析式是关键．
【变式7-1】(2023•雨花区校级开学）2021年是中国“十四五”开局之年，站在“两个一百年”奋斗目标的历史交汇点上，优先发展农业农村、全面推进乡村振兴是重中之重．湖南为了落实党的“中央一号”文件，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A，B两城共有肥料1000吨，其中B城肥料比A城肥料多200吨，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和20元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为10元/吨和18元/吨．现C乡需要肥料480吨，D乡需要肥料520吨．
（1）A城和B城各有多少吨肥料？
（2）设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元，求总运费y（元）关于x（吨）的函数关系式，并写出x的取值范围，并求出最少总运费．
【分析】（1）根据A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，列方程或方程组得答案；
（2）设从A城运往C乡肥料x吨，用含x的代数式分别表示出从A运往运往D乡的肥料吨数，从B城运往C乡肥料吨数，及从B城运往D乡肥料吨数，根据：运费＝运输吨数×运输费用，得一次函数解析式；并求出自变量x的取值范围；再利用一次函数的性质求最值．
【解答】解：（1）设A城有化肥a吨，B城有化肥b吨
根据题意，得a+b=1000a+200=b，
解得a=400b=600，
答：A城和B城分别有400吨和600吨肥料；
（2）∵从A城运往C乡肥料x吨，
∴从A城运往D乡（400﹣x）吨，
从B城运往C乡肥料（480﹣x）吨，则从B城运往D乡（120+x）吨，
根据题意，得：y＝15x+20（400﹣x）+10（480﹣x）+18（120+x）＝3x+14960，
∵x≥0400−x≥0480−x≥0，
解得：0≤x≤400，
∵y＝3x+14960是一次函数，k＝3＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝0时，运费最少，最少运费是14960元，
∴当从A城运往D乡400吨，从B城运往C乡肥料480吨，则从B城运往D乡120吨时总运费最少，最少运费是14960元．
【点评】本题考查了二元一次方程组及一次函数的应用．根据题意列出一次函数解析式是关键．
【变式7-2】(2023春•青秀区校级期末）为了贯彻落实市委市政府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶 A、B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到 A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往 A、B两村的运费如下表：
（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？
（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往 A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）在 （2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．
【分析】（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据大、小两种货车共15辆，运输152箱鱼苗，列方程组求解；
（2）设前往A村的大货车为x辆，则前往B村的大货车为（8﹣x）辆，前往A村的小货车为（10﹣x）辆，前往B村的小货车为[7﹣（10﹣x）]辆，根据表格所给运费，求出y与x的函数关系式；
（3）结合已知条件，求x的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案．
【解答】解：（1）设大货车用a辆，小货车用b辆，
根据题意得：a+b=1512a+8b=152
解得：a=8b=7，
∴大货车用8辆，小货车用7辆；
（2）设前往A村的大货车为x辆，则前往B村的大货车为（8﹣x）辆，前往A村的小货车为（10﹣x）辆，前往B村的小货车为[7﹣（10﹣x）]辆，
根据题意得：y＝800x+900（8﹣x）+400（10﹣x）+600[7﹣（10﹣x）]＝100x+9400，
∴y与x的函数解析式为y＝100x+9400，（3≤x≤8，且x为整数）；
（3）由题意得：12x+8（10﹣x）≥100，
解得：x≥5，
又∵3≤x≤8，
∴5≤x≤8且为整数，
∵y＝100x+9400，
k＝100＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝5时，y最小，最小值为y＝100×5+9400＝9900，
答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；3辆大货车、2辆小货车前往B村．最少运费为9900元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用．关键是根据题意，得出安排各地的大、小货车数与前往B村的大货车数x的关系．
【变式7-3】(2023秋•平湖市期末）要从甲、乙两仓库向A，B两工地运送水泥，已知甲、乙两个仓库分别可运出800吨和1200吨水泥；A，B两工地分别需要水泥1300吨和700吨，从两仓库运往A，B两工地的运费单价如表：
（1）设甲仓库运往A工地水泥x吨，求总运费y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
（2）当甲仓库运往A工地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少元？
（3）若甲仓库运往A工地的运费下降了a元/吨（2≤a≤6），则最省的总运费为多少元？
【分析】（1）设甲仓库运往A工地水泥x吨，则甲仓库运往B工地水泥（800﹣x）吨，乙仓库运往A工地水泥（1300﹣x）吨，乙仓库运往B工地水泥（x﹣100）吨，根据两仓库运往A，B两工地的运费即可求解．
（2）根据一次函数的性质结合自变量x的取值范围即可解答；
（3）若甲仓库运往A工地的运费下降了a元/吨，则y＝（5﹣a）x+23200，当2≤a≤5，即5﹣a≥0时，根据一次函数的性质和自变量的取值范围求出此时y的最小值，当5＜a≤0，即5﹣a＜0时，根据一次函数的性质和自变量的取值范围求出此时y的最小值，以此即可求解．
【解答】解：（1）设甲仓库运往A工地水泥x吨，则甲仓库运往B工地水泥（800﹣x）吨，乙仓库运往A工地水泥（1300﹣x）吨，乙仓库运往B工地水泥（x﹣100）吨，
∴y＝12x+15（800﹣x）+10（1300﹣x）+18（x﹣100）
＝12x+12000﹣15x+13000﹣10x+18x﹣1800
＝5x+23200，
由题意可得，x≥0800−x≥01300−x≥0x−100≥0，
∴100≤x≤800，
∴总运费y关于x的函数表达式为y＝5x+23200（100≤x≤800）；
（2）∵y＝5x+23200（100≤x≤800），k＝5＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝100时，y最小，最小值为23700，
故甲仓库运往A工地100吨水泥时，总运费最省，最省的总运费是23700元；
（3）若甲仓库运往A工地的运费下降了a元/吨，
则y＝（12﹣a）x+15（800﹣x）+10（1300﹣x）+18（x﹣100）
＝（5﹣a）x+23200，
当2≤a≤5，即5﹣a≥0时，
∴当a＝5，x＝100时，y取得最小值为23200，
当5＜a≤0，即5﹣a＜0时，
此时，y随x的增大而减小，且5﹣a越小，y随x的增大而减小得越多，
∴当a＝6，x＝800时，y取得最小值，最小值为（5﹣6）×800+23200＝22700，
综上，若甲仓库运往A工地的运费下降了a元/吨（2≤a≤6），则最省的总运费为22700元．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
【变式7-4】(2023春•黄山期末）为了落实党的“精准扶贫”政策，A，B两城决定向C，D两乡运送肥料以支持农村生产．已知A，B两城分别有肥料210吨和290吨，从A城往C，D两乡运送肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C，D两乡运送肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨．设从A城运往C乡的肥料有x吨，总运费为y元．
（1）①用含x的代数式完成表；
②请写出总运费y与x的函数关系式，并求出最少总运费．
（2）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，这时A城运往C乡的肥料有多少吨时总运费最少？
【分析】（1）①根据题意即可完成表格；
②用含x的代数式分别表示出A城运往C、D乡的肥料吨数，从B城运往C乡肥料吨数，及从B城运往D乡肥料吨数，根据：运费＝运输吨数×运输费用，得一次函数解析式，利用一次函数的性质得结论；
（2）列出当A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元时的一次函数解析式，利用一次函数的性质讨论，并得结论．
【解答】解：（1）①由从A城运往C乡肥料x吨，可得从A城运往D乡肥料为（210﹣x）吨；从B城运往C乡肥料（240﹣x）吨，从B城运往D乡肥料290﹣（240﹣x）＝（50+x）吨；
故答案为：210﹣x；240﹣x；50+x；
②y＝20x+25（210﹣x）+15（240﹣x）+24（x+50）
＝4x+10050，
∵y＝4x+10050是一次函数，k＝4＞0，
∴y随x的增大而增大．
∵x≥0210−x≥0x+50≥0，
∴0≤x≤210，
∴当x＝0时，运费最少，最少运费是10050元；
（2）设更换车型后，总费用为y'元，从A城运往C乡肥料x吨，由于A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，
∴y'＝（20﹣a）x+25（210﹣x）+15（240﹣x）+24（x+50）
＝（4﹣a）x+10050，
①当0＜a＜4时，4﹣a＞0，y'随x的增大而增大，
∴当x＝0时，运费最少是10050元，即从A城运往C乡0吨，总费用最少；
②当a＝4时，不管A城运往C乡多少吨（不超过210吨），运费都是10050元．
③当4＜a＜6时，4﹣a＜0，y'随x的增大而减小，
∴当x＝210时，运费最少，即从A城运往C乡210吨，总费用最少．
答：当0＜a＜4时，从A城运往C乡0吨，总费用最少；
当a＝4时，不管A城运往乡C多少吨（不超过210吨），运费都是10050元．
当4＜a＜6时，从A城运往C乡210吨，总费用最少．
【点评】本题考查了一次函数的应用．根据题意列出一次函数解析式是关键．注意到（2）需分类讨论．
型号
运载力（箱/辆）
租金（元/辆）
大货车
40
380
小货车
30
300
甲种客车
乙种客车
载客量（座/辆）
60
45
租金（元/辆）
1080
900
A
B
载货量（箱/辆）
45
30
租金（元/辆）
800
550
车辆数（辆）
载货量（箱）
租金（元）
A
x
45x
800x
B



车辆数（辆）
载货量（箱）
租金（元）
A
x
45x
800x
B
6﹣x
30（6﹣x）
550（6﹣x）
甲种客车
乙种客车
载客量（单位：人/辆）
45
30
租金（单位：元/辆）
400
280
x（件）
8
10
12
A种文具费用（元）
120
150
b
B种文具费用（元）
640
a
560
套装
购进价格（元/套）
售出价格（元/套）
A
12
15
B
16
20
时装布料
甲
乙
A种（米）
0.6
1.1
B种（米）
0.9
0.4
甲商品
乙商品
进价（元/件）
35
5
售价（元/件）
45
8
A
B
进价（万元/套）
3
2.4
售价（万元/套）
3.3
2.8
黄瓜
西红柿
卷心菜
每辆汽车载货量（吨）
7
6
5
每吨蔬菜获利（万元）
0.15
0.2
0.1
鲅鱼价格
带鱼价格
第一周
8元/千克
18元/千克
第二周
10元/千克
20元/千克
普通口罩/个
N95口罩
总销售额/元
500
400
5000
600
300
4200
原进价（元/张）
零售价（元/张）
成套售价（元/套）
餐桌
a
270
500
餐椅
a﹣110
70
目的地车型
A村（元/辆）
B村（元/辆）
大货车
800
900
小货车
400
600
A工地（元/吨）
B工地（元/吨）
甲仓库
12
15
乙仓库
10
18
C乡（吨）
D乡（吨）
A城
x

B城