人教版八年级数学下册尖子生培优必刷题19.3一次函数的图象与性质(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册尖子生培优必刷题19.3一次函数的图象与性质(原卷版+解析)，共61页。
八年级下册数学《第十九章 一次函数》19.3 一次函数的图象与性质知识点一一次函数的概念◆一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．【注意】①由一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．④当b=0时 , y＝kx+b即 y＝kx，一次函数转化为正比例函数，所以说正比例函数是特殊的一次函数．⑤若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数．知识点二一次函数的图象和性质◆1、一次函数的图象：一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象是经过（0，b）、（−bk，0）两点的一条直线，我们称它为直线y＝kx+b（k≠0）.◆2、一次函数的性质：当k＞0时，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；当k＜0时，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．◆3、一次函数图象与系数的关系直线y＝kx+b（k≠0）的位置由k和b的符号决定．其中k决定直线从左到右呈上升还是下降趋势；b决定直线与y轴的交点的位置是正半轴，负半轴，还是原点.当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．◆4、一次函数图象的画法：（1）两点法：经过两点（0，b）、（−bk，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．【注意】①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．平移法：将直线y＝kx（k≠0）沿着y轴平移|b|个单位得到直线y＝kx+b．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．【注意】①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；题型一 一次函数的概念【例题1】(2023秋•九江期末）下列关于x的函数是一次函数的是（　　）A．y＝x2+1 B．y=1x C．y＝x D．y＝x（x﹣1）【变式1-1】(2023春•松江区月考）下列关系式中，一次函数是（　　）A．y=2x−1 B．y＝x2+3 C．y＝kx+b（k、b是常数） D．y＝3x【变式1-2】(2023秋•任城区校级期末）下列函数中，一次函数是（　　）A．y=1x+2 B．y＝﹣2x C．y＝x2+2 D．y＝mx+n（m，n是常数）【变式1-3】(2023秋•东源县校级期末）下列函数中，不是一次函数的是（　　）A．y=7x B．y=25x C．y=12−3x D．y＝﹣x+4【变式1-4】(2023春•衡阳月考）下列函数关系式：①y＝x；②y＝11﹣2x；③y＝x2+2；④y=1x，其中一次函数的个数是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-5】(2023秋•陈仓区期中）已知下列函数：（1）y＝8x；（2）y=−8x；（3）y＝8x2；（4）s＝8t+1，其中是一次函数的有（　　）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式1-6】(2023春•南关区校级月考）下列函数中，y是x的一次函数的有（　　）①y＝x﹣6；②y＝2x2+3；③y=2x；④y=18x；⑤y=x．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型二 利用一次函数的定义求字母的值【例题2】(2023春•武山县校级月考）已知函数y＝（k﹣2）xk2−3+b是关于x的一次函数，则k的值为 　　 ．【变式2-1】(2023秋•亳州期中）已知函数y＝（m﹣1）x|m|﹣3是关于x的一次函数，则m的值为 　 　．【变式2-2】(2023春•微山县期末）已知函数y＝（m﹣3）xm2−8+4是关于x的一次函数，则m的值是（　　）A．m＝±3 B．m≠3 C．m＝3 D．m＝﹣3【变式2-3】(2023春•江汉区校级月考）函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1+m+2是关于x的一次函数，则m满足的条件是 　 　．【变式2-4】(2023秋•碑林区校级月考）一次函数y=(a−32)x|2−a|+a2+6的图象过一、二、三象限，则a＝　 　．【变式2-5】已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7．（1）当m为何值时，y是x的一次函数？（2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？【变式2-6】(2023春•乾安县期末）已知y＝（m﹣2）x+|m|﹣2．（1）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是一次函数？（2）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是正比例函数？题型三 画一次函数的图象【例题3】(2023春•上思县期末）在同一平面直角坐标系内，画出下列函数的图象．（1）y＝﹣3x+4． （2）y＝3x+4．【变式3-1】(2023秋•榆次区校级期末）下列图象中，表示直线y＝x﹣1的是（　　）A． B． C． D．【变式3-2】画出函数y＝﹣2x+1的图象．【变式3-3】在同一平面直角坐标系中作出下列两个函数的图象．y＝﹣2x+3，y＝2x﹣1．【变式3-4】(2023春•新乐市校级月考）已知函数y＝（m﹣2）x|m﹣1|+4是关于x的一次函数．（1）求m的值；（2）在如图中画出该函数图象；（3）y的值随x的值的增大而 　 　．（填“增大”或“减小”）【变式3-5】(2023春•天河区校级期中）求作y＝x﹣2的图象．（1）写出与x轴、y轴的交点A、B的坐标；（2）求三角形AOB的面积．题型四 一次函数的图象的位置与系数的关系【例题4】(2023秋•武侯区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（　　）A．k＞0，b＜0 B．k＜0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＞0【变式4-1】(2023秋•阜宁县期末）一次函数y＝kx+b如图，则下列结论正确的是（　　）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0【变式4-2】(2023秋•大丰区期末）已知一次函数y＝﹣mx+n﹣2的图象如图所示，则m、n的取值范围是（　　）A．m＞0，n＜2 B．m＜0，n＜2 C．m＜0，n＞2 D．m＞0，n＞2【变式4-3】(2023秋•市中区期末）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则k，b的取值范围是（　　）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0【变式4-4】(2023秋•锦江区校级期末）下列图象中，是一次函数y＝kx+b（其中k＞0，b＜0）的图象的是（　　）A． B． C． D．【变式4-5】(2023秋•济南期中）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+3（k＜0）的图象大致是（　　）A． B． C． D．【变式4-6】(2023秋•迎江区校级期末）一次函数y＝mx﹣m的图象可能是（　　）A． B． C． D．【变式4-7】(2023秋•沭阳县期末）直线y＝kx+b和y＝bx+k在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）A． B． C． D．【变式4-8】(2023秋•太仓市期末）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0），y随着x的增大而减小，且kb＜0，则该一次函数在直角坐标系内的大致图象是（　　）A． B． C． D．题型五 一次函数与正比例函数之间的关系【例题5】（2023•碑林区校级三模）将直线y＝kx向右平移3个单位得到直线y＝2x+b，则k，b的值分别为（　　）A．k＝2，b＝﹣6 B．k＝2，b＝6 C．k＝﹣2，b＝﹣6 D．k＝﹣2，b＝6【变式5-1】(2023秋•泗阳县期末）一次函数y＝2x+1的图象，可由函数y＝2x的图象（　　）A．向上平移1个单位长度而得到 B．向左平移1个单位长度而得到 C．向右平移1个单位长度而得到 D．向下平移1个单位长度而得到【变式5-2】（2023•雁塔区校级一模）在平面直角坐标系中，将直线y＝3x先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x轴的交点为（m，0），则m的值为 　 　．【变式5-3】(2023秋•烟台期末）将直线y＝﹣2x向下平移3个单位，得到一个一次函数的图象，这个一次函数的表达式是 　 　．【变式5-4】(2023春•白云区期末）函数y＝﹣3x+1的图象，可以看作直线y＝﹣3x向 　 　平移 　个单位长度而得到．【变式5-5】(2023秋•禅城区期末）将直线y＝2x向上平移6个单位长度后，该直线与坐标轴围成的三角形的面积是 　 ．【变式5-6】(2023秋•镇江期末）将正比例函数y＝3x的图象平移后经过点（1，4）．（1）求平移后的函数表达式；（2）求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．题型六 利用一次函数的性质解决问题【例题6】(2023秋•泗阳县期末）若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　）A．k＞2 B．k＜2 C．k＞0 D．k＜0【变式6-1】(2023秋•杭州期末）已知一次函数y＝kx﹣3，若y随x的增大而减小，则它的图象经过（　　）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限【变式6-2】(2023秋•蒲城县期末）若点（﹣2，y1），（5，y2）在一次函数y＝﹣4x﹣3的图象上，则y1，y2的大小关系是 　 ．（用“＜”连接）【变式6-3】(2023秋•东明县校级期末）已知一次函数y＝（a﹣2）x﹣3的图象上两个点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2．则a　 　2．（填＞，＜，＝）【变式6-4】(2023秋•玄武区期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣5x+1图象上的两个点，若x1﹣x2＜0，则y1　 　y2．（填“＞”“＜”或“＝”）【变式6-5】(2023秋•东平县校级期末）一次函数y＝kx+m（k＜0）的图象过点A（1−2，a），B（1，b），C（﹣1，c），则a，b，c的大小关系为（　　）A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c【变式6-6】（2023•南岸区校级开学）下列四个选项中，不符合直线y＝﹣x﹣3的性质特征的选项是（　　）A．经过第二、三、四象限 B．y随x的增大而减小 C．与x轴交于（3，0） D．与y轴交于（0，﹣3）【变式6-7】(2023秋•九龙坡区校级月考）已知一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3．（1）若这个函数的图象与y轴交于负半轴，求m的取值范围．（2）若这个函数的图象不经过第四象限，求m的取值范围．【变式6-8】已知：一次函数y＝（m﹣3）x+（2﹣m），（1）函数值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围；（2）函数图象与y轴的交点于x下方，求m的取值范围；（3）函数图象经过二、三、四象限，求m的取值范围；（4）当m＝4时，求该直线与两坐标轴所围成的面积．题型七 一次函数的平移【例题7】(2023秋•鄞州区期末）在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝﹣2x﹣2平移后得到直线l2：y＝﹣2x+4，则下列平移作法中，正确的是（　　）A．将直线l1向上平移6个单位 B．将直线l1向上平移3个单位 C．将直线l1向上平移2个单位 D．将直线l1向上平移4个单位【变式7-1】(2023秋•长安区校级期末）将直线y＝﹣2x+7向上平移2个单位后得到的直线表达式是（　　）A．y＝﹣2x+5 B．y＝﹣2x﹣5 C．y＝﹣2x+9 D．y＝﹣2x﹣9【变式7-2】(2023秋•碑林区校级期末）将直线y＝2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（　　）A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣3【变式7-3】(2023秋•沙坪坝区校级期末）将直线y＝﹣2x+6向左移1个单位，所得到的直线解析式为（　　）A．y＝﹣2x+7 B．y＝﹣2x+5 C．y＝﹣2x+8 D．y＝﹣2x+4【变式7-4】(2023秋•新城区校级期末）在平面直角坐标系中，将一次函数y＝2x+b的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后经过点（﹣1，0），则b的值为（　　）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【变式7-5】(2023秋•市中区校级期末）在平面直角坐标系中，直线是函数y＝6x﹣2的图象，将直线l平移后得到直线y＝6x+2，则下列平移方式正确的是（　　）A．将1向右平移4个单位长度 B．将1向左平移4个单位长度 C．将1向上平移4个单位长度 D．将1向下平移4个单位长度【变式7-6】(2023秋•汉台区期末）在平面直角坐标系中，将直线y＝2x+b沿y轴向上平移3个单位后恰好经过原点，则b的值为（　　）A．﹣3 B．2 C．﹣2 D．3【变式7-7】(2023•汉滨区四模）关于x的一次函数y＝kx+b的图象是由直线y＝2x+1左移2个单位再向上移3个单位得到的，则k+b的值是 　 　．【变式7-8】(2023秋•礼泉县期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数y＝x的图象向左平移m个单位长度得到，且经过点A（1，2）．（1）求m的值；（2）若这个一次函数的图象与x轴交于点B，求△AOB的面积．题型八 一次函数的图象上点的坐标特征【例题8】(2023秋•庐阳区校级期末）如图．在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=15x+b和x轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果点A（1，1），那么A2023的纵坐标是（　　）A．(32)2022 B．(32)2003 C．(43)2022 D．(42)2003【变式8-1】(2023秋•长兴县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y＝﹣4x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，若线段BC上的点D到直线AB的距离DE长为3，则点D的坐标为（　　）A．（1516，14） B．（3132，18） C．（34，1） D．（56，23）【变式8-2】(2023春•江汉区校级月考）点P（x，y）在第一象限，且x+y＝4，点A坐标（3，0），设△OPA面积为S．（1）用含x的式子表示S，写出x的取值范围；（2）并在图中网格中建立直角坐标系中画出函数S的图象；（3）当△OPA面积是5时，求点P的坐标．【变式8-3】(2023秋•徐州期末）已知一次函数y＝kx+4的图象经过点（﹣3，0）．（1）求k的值；（2）请在图中画出该函数的图象；（3）已知A（2，0），P为图象上的动点，连接AP，则AP的最小值为 　 　．【变式8-4】(2023秋•茂南区期末）已知，一次函数y=−12x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点的坐标；（2）画出该函数图象；（3）求AB的长．【变式8-5】如图，等边△OAB边长为4，过点A的直线y=−33x+m与x轴交于点E．（1）求点A、E的坐标及m的值；（2）求证：OA⊥AE．【变式8-6】(2023秋•宁波期末）已知一次函数y＝﹣x+5的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，求点C的坐标．解题技巧提炼判断函数式是否是一次函数的方法：先看函数式是否是整式的形式，再将函数式进行恒等变形，看它是否符合一次函数解析式y＝kx+b的结构特征：（1）k≠0；（2）自变量的次数为1；（3）常数项b可以为任意实数.解题技巧提炼根据一次函数求待定字母的值时，要注意：（1）函数的解析式是自变量的一次式，若含有一次以上的项，则其系数必为0；（2）注意隐含的条件：自变量（一次项）的系数不为0.解题技巧提炼一次函数的图象的画法是用“两点法”画：即经过两点（0，b）、（−bk，0）作直线y＝kx+b．解题技巧提炼一次函数图象与系数的关系：由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．解题技巧提炼一次函数与正比例函数图象之间的关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．解题技巧提炼1、当k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；当k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．2、当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．解题技巧提炼一次函数图象式平移规律：一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”. ①y=kx+b向左平移m个单位是y=k(x+m)+b, 向右平移m个单位是y=k(x﹣m)+b； ②y=kx+b向上平移n个单位是y=kx+b+n, 向下平移n个单位是y=kx+b﹣n.解题技巧提炼一次函数解析式y＝kx+b（k≠0，且k, b为常数）的图象是一条直线，它与x轴的交点坐标是（−bk，0），与y轴的交点坐标是（0，b），直线上任意一点的坐标都满足函数解析式y＝kx+b.八年级下册数学《第十九章 一次函数》19.3 一次函数的图象与性质知识点一一次函数的概念◆一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．【注意】①由一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．④当b=0时 , y＝kx+b即 y＝kx，一次函数转化为正比例函数，所以说正比例函数是特殊的一次函数．⑤若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数．知识点二一次函数的图象和性质◆1、一次函数的图象：一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象是经过（0，b）、（−bk，0）两点的一条直线，我们称它为直线y＝kx+b（k≠0）.◆2、一次函数的性质：当k＞0时，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；当k＜0时，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．◆3、一次函数图象与系数的关系直线y＝kx+b（k≠0）的位置由k和b的符号决定．其中k决定直线从左到右呈上升还是下降趋势；b决定直线与y轴的交点的位置是正半轴，负半轴，还是原点.当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．◆4、一次函数图象的画法：（1）两点法：经过两点（0，b）、（−bk，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．【注意】①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．平移法：将直线y＝kx（k≠0）沿着y轴平移|b|个单位得到直线y＝kx+b．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．【注意】①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；题型一 一次函数的概念【例题1】(2023秋•九江期末）下列关于x的函数是一次函数的是（　　）A．y＝x2+1 B．y=1x C．y＝x D．y＝x（x﹣1）【分析】根据一次函数的定义解答即可．【解答】解：A、y＝x2+1，是二次函数，故此选项不符合题意；B、x在分母中，不是一次函数，故此选项不符合题意；C、y＝x是一次函数，故此选项符合题意；D、y＝x（x﹣1）＝x2﹣x是二次函数，故此选项符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查一次函数，熟练掌握一次函数的定义是解决本题的关键．一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．【变式1-1】(2023春•松江区月考）下列关系式中，一次函数是（　　）A．y=2x−1 B．y＝x2+3 C．y＝kx+b（k、b是常数） D．y＝3x【分析】根据一次函数的定义逐个判断即可．【解答】解：A．等式的右边是分式，不是整式，不是一次函数，故本选项不符合题意；B．是二次函数，不是一次函数，故本选项不符合题意；C．当k＝0时，不是一次函数，故本选项不符合题意；D．是一次函数，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了一次函数的定义，注意：形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫一次函数．【变式1-2】(2023秋•任城区校级期末）下列函数中，一次函数是（　　）A．y=1x+2 B．y＝﹣2x C．y＝x2+2 D．y＝mx+n（m，n是常数）【分析】根据一次函数的定义：形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数逐一判断即可．【解答】解：A．y=1x+2右边不是整式，不是一次函数，不符合题意；B．y＝﹣2x是一次函数，符合题意；C．y＝x2+2中自变量的次数为2，不是一次函数，不符合题意；D．y＝mx+n（m，n是常数）中m＝0时，不是一次函数，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查一次函数的定义，解题的关键是掌握形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．【变式1-3】(2023秋•东源县校级期末）下列函数中，不是一次函数的是（　　）A．y=7x B．y=25x C．y=12−3x D．y＝﹣x+4【分析】直接根据一次函数的定义进行判断．【解答】解：y＝﹣x+4，y=25x，y=12−3x都是一次函数，而y=7x为反比例函数．故选：A．【点评】本题考查了一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数叫做一次函数．【变式1-4】(2023春•衡阳月考）下列函数关系式：①y＝x；②y＝11﹣2x；③y＝x2+2；④y=1x，其中一次函数的个数是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据一次函数的定义解答即可．【解答】解：①y＝x是一次函数；②y＝11﹣2x是一次函数；③y＝x2+2是二次函数；④y=1x是反比例函数．一次函数有2个，故选：B．【点评】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握定义是解题关键．一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．【变式1-5】(2023秋•陈仓区期中）已知下列函数：（1）y＝8x；（2）y=−8x；（3）y＝8x2；（4）s＝8t+1，其中是一次函数的有（　　）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据一次函数的定义（一次函数的一般形式为y＝kx+b，其中k，b为常数，k≠0）即可得．【解答】解：由一次函数的定义可知，函数y＝8x和s＝8t+1是一次函数，函数y=−8x和y＝8x2都不是一次函数，即一次函数有2个，故选：C．【点评】本题考查了一次函数，熟记定义是解题关键．【变式1-6】(2023春•南关区校级月考）下列函数中，y是x的一次函数的有（　　）①y＝x﹣6；②y＝2x2+3；③y=2x；④y=18x；⑤y=x．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．【解答】解：y是x的一次函数的有：①y＝x﹣6，④y=18x，共2个，故选：B．【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数解析式的结构特征为：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．题型二 利用一次函数的定义求字母的值【例题2】(2023春•武山县校级月考）已知函数y＝（k﹣2）xk2−3+b是关于x的一次函数，则k的值为 　　 ．【分析】根据一次函数的定义列出关于k的不等式组，求出k的值即可．【解答】解：∵函数y＝（k﹣2）xk2−3+b是关于x的一次函数，∴k−2≠0k2−3=1，∴k＝﹣2．故答案为：k＝﹣2．【点评】本题考查的是一次函数的定义，熟知一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数是解题的关键．【变式2-1】(2023秋•亳州期中）已知函数y＝（m﹣1）x|m|﹣3是关于x的一次函数，则m的值为 　 　．【分析】根据一次函数的定义条件：次数最高项是一次项，且一次项系数不等于0即可求解．【解答】解：根据题意得：m﹣1≠0且|m|＝1，则m＝﹣1．故答案是：﹣1．【点评】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，是解题关键．【变式2-2】(2023春•微山县期末）已知函数y＝（m﹣3）xm2−8+4是关于x的一次函数，则m的值是（　　）A．m＝±3 B．m≠3 C．m＝3 D．m＝﹣3【分析】根据一次函数的定义得出m2﹣8＝1且m﹣3≠0，再求出m即可．【解答】解：∵函数y＝（m﹣3）xm2−8+4是关于x的一次函数，∴m2﹣8＝1且m﹣3≠0，解得：m＝﹣3．故选：D．【点评】本题考查了一次函数的定义，能根据一次函数的定义得出m2﹣8＝1且m+3≠0是解此题的关键，注意：形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫一次函数．【变式2-3】(2023春•江汉区校级月考）函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1+m+2是关于x的一次函数，则m满足的条件是 　 　．【分析】根据一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，即可得出m的值．【解答】解：根据一次函数的定义可得：m﹣2≠0，|m|﹣1＝1，由|m|﹣1＝1，解得：m＝﹣2或2，又m﹣2≠0，m≠2，则m＝﹣2．故答案为：m＝﹣2．【点评】此题考查一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题关键，难度不大，注意基础概念的掌握．【变式2-4】(2023秋•碑林区校级月考）一次函数y=(a−32)x|2−a|+a2+6的图象过一、二、三象限，则a＝　 　．【分析】根据一次函数的定义和性质列式计算即可．【解答】解：∵一次函数y＝（a−32）x|2﹣a|+a2+6的图象过一、二、三象限，∴|2−a|=1a−32＞0a2+6＞0，解得：a＝1或a＝3，∵1−32=−12＜0，∴a＝1不符合题意舍去，∴a＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了一次函数的定义和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的定义和性质．【变式2-5】已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7．（1）当m为何值时，y是x的一次函数？（2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，可得答案；（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【解答】解：（1）由y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数，得3−|m|=1m−2≠0，解得m＝﹣2．故当m＝﹣2时，y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数；（2）当y＝3时，3＝﹣4x+5，解得x=12，故当x=12时，y的值为3．【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．【变式2-6】(2023春•乾安县期末）已知y＝（m﹣2）x+|m|﹣2．（1）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是一次函数？（2）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是正比例函数？【分析】（1）利用一次函数定义可得m﹣2≠0，再解不等式即可；（2）利用正比例函数定义可得：|m|﹣2＝0，且m﹣2≠0，再解方程可得m的值．【解答】解：（1）由题意得：m﹣2≠0，解得：m≠2；（2）由题意得：|m|﹣2＝0，且m﹣2≠0，解得：m＝﹣2．【点评】此题主要考查了正比例函数和一次函数定义，关键是掌握形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数．题型三 画一次函数的图象【例题3】(2023春•上思县期末）在同一平面直角坐标系内，画出下列函数的图象．（1）y＝﹣3x+4． （2）y＝3x+4．【分析】首先根据一次函数解析式计算出两个函数y＝﹣3x+4和y＝3x+4的图象分别经过的两点的坐标，再画出图象即可．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝0+4＝4，当y＝﹣2时，x＝2，因此一次函数y＝﹣3x+4的图象经过（2，﹣2）和（0，4）；（2）当x＝0时，y＝0+4＝4，当y＝﹣2时，x＝﹣2，因此一次函数y＝3x+4的图象经过（﹣2，﹣2）和（0，4）；如图所示：【点评】此题主要考查了一次函数的图象，关键是正确掌握计算两函数图象所经过的点坐标的方法．【变式3-1】(2023秋•榆次区校级期末）下列图象中，表示直线y＝x﹣1的是（　　）A． B． C． D．【分析】直接根据一次函数的性质即可得出结论．【解答】解：一次函数y＝x﹣1中，∵k＝1＞0，b＝﹣1＜0，∴函数图象经过一、三、四象限．故选：D．【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0，b＜0时，函数图象经过一、三、四象限是解题的关键．【变式3-2】画出函数y＝﹣2x+1的图象．【分析】根据一次函数的图象是直线，只需确定直线上两个特殊点即可．【解答】解：函数y＝﹣2x+1经过点（0，1），（12，0）．图象如图所示：【点评】本题考查一次函数的图象的作法，解题的关键是一次函数的图象是直线，确定两点即可画出直线，属于中考常考题型．【变式3-3】在同一平面直角坐标系中作出下列两个函数的图象．y＝﹣2x+3，y＝2x﹣1．【分析】先作得直线y＝﹣2x，再通过平移得到直线y＝﹣2x+3；先作得直线y＝2x，再通过平移得到直线y＝2x﹣1．【解答】解：方法一：作直线y＝﹣2x．当x＝0时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝2．则该直线经过点（0，0），（﹣1，2），由两点确定一条直线作图，如图所示．将直线y＝﹣2x向上平移3个单位得到直线y＝﹣2x+3；作直线y＝2x．当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝2．则该直线经过点（0，0），（1，2），由两点确定一条直线作图，如图所示．将直线y＝2x向下平移1个单位得到直线y＝2x﹣1．方法二：作直线y＝﹣2x+3．当x＝0时，y＝3；当x＝1时，y＝1．则该直线经过点（0，3），（1，1），由两点确定一条直线作图，如图所示．作直线y＝2x﹣1．当x＝0时，y＝﹣1；当x＝1时，y＝1．则该直线经过点（0，﹣1），（1，1），由两点确定一条直线作图，如图所示．【点评】本题考查了一次函数图象和正比例函数图象．掌握直线的平移规律（“上加下减、左加右减”）是解题的技巧所在．【变式3-4】(2023春•新乐市校级月考）已知函数y＝（m﹣2）x|m﹣1|+4是关于x的一次函数．（1）求m的值；（2）在如图中画出该函数图象；（3）y的值随x的值的增大而 　 　．（填“增大”或“减小”）【分析】（1）根据一次函数的定义，可得答案；（2）找出与x轴、y轴交点坐标，连线即可；（3）根据一次函数的性质解答即可．【解答】解：（1）由y＝（m﹣2）x|m﹣1|+4是关于x的一次函数，得m−2≠0|m−1|=1，解得m＝0，函数解析式为y＝﹣2x+4，（2）∵y＝﹣2x+4，当x＝0时，y＝4，当x＝2时，y＝0，过（0，4）和（2，0）画一条直线即可，〇（3）∵k＝﹣2，∴y的值随x的值的增大而减小，故答案为：减小．【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．【变式3-5】(2023春•天河区校级期中）求作y＝x﹣2的图象．（1）写出与x轴、y轴的交点A、B的坐标；（2）求三角形AOB的面积．【分析】（1）分别令y＝0和x＝0，即可找到A、B两点的坐标．（2）由图象易知△AOB为直角三角形，找到OA、OB的值即可计算出其面积．【解答】解：y＝x﹣2图象如下图所示：（1）当x＝0，则y＝﹣2；当y＝0，则x＝2；故A（2，0）、B（0，﹣2），（2）由图象可知：△AOB为直角三角形，其中OA＝OB＝2，∴S△AOB=12OA⋅OB=12×2×2=2．【点评】本题考查一次函数的图象特点，熟练一次函数性质以及数形结合是解决本题的关键．题型四 一次函数的图象的位置与系数的关系【例题4】(2023秋•武侯区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（　　）A．k＞0，b＜0 B．k＜0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＞0【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可确定k，b的取值范围．【解答】解：根据一次函数y＝kx+b的图象可知k＞0，b＜0，故选：A．【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．【变式4-1】(2023秋•阜宁县期末）一次函数y＝kx+b如图，则下列结论正确的是（　　）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．【解答】解：如图所示，一次函数y＝kx+b的图象，y随x的增大而减小，所以k＜0，直线与y轴负半轴相交，所以b＜0．故选：D．【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．【变式4-2】(2023秋•大丰区期末）已知一次函数y＝﹣mx+n﹣2的图象如图所示，则m、n的取值范围是（　　）A．m＞0，n＜2 B．m＜0，n＜2 C．m＜0，n＞2 D．m＞0，n＞2【分析】根据一次函数图象经过第一、二、三象限，即可得出﹣m＞0、n﹣2＞0，解之即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y＝﹣mx+n﹣2的图象经过第一、二、三象限，∴−m＞0n−2＞0，∴m＜0，n＞2．故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限”是解题的关键．【变式4-3】(2023秋•市中区期末）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则k，b的取值范围是（　　）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0【分析】由图象得y随x的增大而减小，那么自变量系数应小于0；图象与y轴的交点在y轴的负半轴可以确定b的符号．【解答】解：∵由图象得y随x的增大而减小，∴k＜0，∵图象与y轴交于y轴的负半轴，∴b＜0，故选：D．【点评】本题考查一次函数的图象性质：y随x的增大而减小，比例系数小于0，难度不大．【变式4-4】(2023秋•锦江区校级期末）下列图象中，是一次函数y＝kx+b（其中k＞0，b＜0）的图象的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据一次函数y＝kx+b中k＞0，b＜0可得出函数图象经过的象限，进而可得出结论．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b中k＞0，b＜0，∴函数图象经过一、三、四象限．故选：D．【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．【变式4-5】(2023秋•济南期中）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+3（k＜0）的图象大致是（　　）A． B． C． D．【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，本题得以解决．【解答】解：∵一次函数y＝kx+3（k＜0），b＝3，∴该函数图象经过第一、二、四象限，故选：B．【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．【变式4-6】(2023秋•迎江区校级期末）一次函数y＝mx﹣m的图象可能是（　　）A． B． C． D．【分析】利用一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数y＝mx﹣m的图象经过第一、三、四象限或一、二、四象限，此题得解．【解答】解：由A选项：由一次函数经过第一、三象限，则m＞0，则﹣m＜0，故图象经过第一、三、四象限，C选项图象经过原点，则m＝0，不合题意；由D选项一次函数经过第二、四象限，则m＜0，则﹣m＞0，故图象经过第一、二、四象限，故只有选项B符合题意．故选：B．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限”是解题的关键．【变式4-7】(2023秋•沭阳县期末）直线y＝kx+b和y＝bx+k在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）A． B． C． D．【分析】根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项，找k、b取值范围相同的即得答案．【解答】解：A、两条直线反映出k＞0和b＜0，一致，故本选项正确；B、一条直线反映b＞0，一条直线反映b＜0，故本选项错误；C、一条直线反映k＞0，一条直线反映k＜0，故本选项错误；D、一条直线反映k＞0，一条直线反映k＜0，故本选项错误．故选：A．【点评】此题考查了一次函数图象与k和b符号的关系，关键是掌握当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．【变式4-8】(2023秋•太仓市期末）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0），y随着x的增大而减小，且kb＜0，则该一次函数在直角坐标系内的大致图象是（　　）A． B． C． D．【分析】先根据题意判断出k、b的符号，进而可得出结论．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，y随x的增大而减小，∴k＜0．∵kb＜0，∴b＞0，∴此函数的图象经过一、二、四象限．故选：C．【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．题型五 一次函数与正比例函数之间的关系【例题5】（2023•碑林区校级三模）将直线y＝kx向右平移3个单位得到直线y＝2x+b，则k，b的值分别为（　　）A．k＝2，b＝﹣6 B．k＝2，b＝6 C．k＝﹣2，b＝﹣6 D．k＝﹣2，b＝6【分析】根据函数图象平移的法则得出平移后的解析式，求出k，b的值即可．【解答】解：直线y＝kx向右平移3个单位的解析式为y＝k（x﹣3）＝kx﹣3k，∵直线y＝kx向右平移3个单位得到直线y＝2x+b，∴k＝2，b＝﹣3k，∴b＝﹣6．故选：A．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．【变式5-1】(2023秋•泗阳县期末）一次函数y＝2x+1的图象，可由函数y＝2x的图象（　　）A．向上平移1个单位长度而得到 B．向左平移1个单位长度而得到 C．向右平移1个单位长度而得到 D．向下平移1个单位长度而得到【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把一次函数y＝2x的图象向上平移1个单位后所得直线的解析式为：y＝2x+1．故选：A．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．【变式5-2】（2023•雁塔区校级一模）在平面直角坐标系中，将直线y＝3x先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x轴的交点为（m，0），则m的值为 　 　．【分析】根据平移的规律求出平移后的直线解析式，然后代入（m，0），即可求出m的值．【解答】解：将直线y＝3x先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到y＝3（x+2）﹣3，即y＝3x+3，∵平移后的直线与x轴交于（m，0），∴0＝3m+3，解得m＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．【变式5-3】(2023秋•烟台期末）将直线y＝﹣2x向下平移3个单位，得到一个一次函数的图象，这个一次函数的表达式是 　 　．【分析】根据一次函数图象的平移规律“上加下减”即可确定平移后的函数表达式．【解答】解：根据题意，平移后的直线表达式为y＝﹣2x﹣3，故答案为：y＝﹣2x﹣3．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．【变式5-4】(2023春•白云区期末）函数y＝﹣3x+1的图象，可以看作直线y＝﹣3x向 　 　平移 　个单位长度而得到．【分析】根据平移中解析式的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减，可得出答案．【解答】解：函数y＝﹣3x+1的图象是由直线y＝﹣3x向上平移1个单位长度得到的．故答案为：上，1．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．【变式5-5】(2023秋•禅城区期末）将直线y＝2x向上平移6个单位长度后，该直线与坐标轴围成的三角形的面积是 　 ．【分析】根据函数图像“上加下减”的平移规律得到直线解析式，求出解析式与坐标轴交点，可得答案．【解答】解：直线y＝2x向上平移6个单位长度得到：y＝2x+6，令y＝0，即2x+6＝0，解得x＝﹣3，令x＝0，得y＝6，所以直线与x轴和y轴的交点坐标分别为：（﹣3，0）与（0，6），所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为：12×3×6=9．故答案为：9．【点评】本题考查了一次函数的几何变换，以及图像与坐标轴的交点求面积，解题的关键是掌握“左加右减，上加下减”．【变式5-6】(2023秋•镇江期末）将正比例函数y＝3x的图象平移后经过点（1，4）．（1）求平移后的函数表达式；（2）求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．【分析】（1）根据平移不改变k的值可设y＝3x+b，然后将点（1，4）代入即可得出直线的函数解析式；（2）根据坐标轴上点的坐标特征求得直线与坐标轴的交点，然后根据三角形面积公式求得即可．【解答】解：（1）设平移后的函数解析式为y＝3x+b，则由题意，得4＝3×1+b，解得：b＝1．∴函数解析式为：y＝3x+1．（2）令x＝0，则y＝1；令y＝0，则3x+1＝0，解得x=−13，∴直线y＝3x+1与坐标轴的交点坐标为（−13，0），（0，1）；∴平移后的函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积=12×13×1=16．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握平移的规律是解题的关键．题型六 利用一次函数的性质解决问题【例题6】(2023秋•泗阳县期末）若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　）A．k＞2 B．k＜2 C．k＞0 D．k＜0【分析】根据一次函数的性质，可得答案．【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，∴k﹣2＞0，解得k＞2，故选：A．【点评】本题考查了一次函数的性质，y＝kx+b，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大．【变式6-1】(2023秋•杭州期末）已知一次函数y＝kx﹣3，若y随x的增大而减小，则它的图象经过（　　）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限【分析】先根据一次函数y＝kx﹣3中，y随x的增大而减小判断出k的符号，再根据一次函数的性质判断出此函数的图象所经过的象限，进而可得出结论．【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣3中，y随x的增大而减小，∴k＜0，∴此函数图象必过二、四象限；∵b＝﹣3＜0，∴此函数图象与y轴相交于负半轴，∴此函数图象经过二、三、四象限．故选：D．【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0时，此函数图象经过二、四象限；当b＜0时，此函数图象交y轴于负半轴．【变式6-2】(2023秋•蒲城县期末）若点（﹣2，y1），（5，y2）在一次函数y＝﹣4x﹣3的图象上，则y1，y2的大小关系是 　 ．（用“＜”连接）【分析】由k＝﹣4＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣2＜5，即可得出y2＜y1．【解答】解：∵k＝﹣4＜0，∴y随x的增大而减小，又∵点（﹣2，y1），（5，y2）在一次函数y＝﹣4x﹣3的图象上，﹣2＜5，∴y2＜y1．故答案为：y2＜y1．【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．【变式6-3】(2023秋•东明县校级期末）已知一次函数y＝（a﹣2）x﹣3的图象上两个点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2．则a　 　2．（填＞，＜，＝）【分析】由当x1＜x2时，y1＞y2，可得出y随x的增大而减小，结合一次函数的性质，可得出a﹣2＜0，解之即可得出结论．【解答】解：∵当x1＜x2时，y1＞y2，∴y随x的增大而减小，∴a﹣2＜0，∴a＜2．故答案为：＜．【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．【变式6-4】(2023秋•玄武区期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣5x+1图象上的两个点，若x1﹣x2＜0，则y1　 　y2．（填“＞”“＜”或“＝”）【分析】由k＝﹣5＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合x1﹣x2＜0，可得出y1＞y2．【解答】解：∵k＝﹣5＜0，∴y随x的增大而减小，又∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣5x+1图象上的两个点，且x1﹣x2＜0，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．【变式6-5】(2023秋•东平县校级期末）一次函数y＝kx+m（k＜0）的图象过点A（1−2，a），B（1，b），C（﹣1，c），则a，b，c的大小关系为（　　）A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c【分析】由k＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣1＜1−2＜1，即可得出c＞a＞b．【解答】解：∵k＜0，∴y随x的增大而减小，又∵一次函数y＝kx+m的图象过点A（1−2，a），B（1，b），C（﹣1，c），且﹣1＜1−2＜1，∴c＞a＞b．故选：C．【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．【变式6-6】（2023•南岸区校级开学）下列四个选项中，不符合直线y＝﹣x﹣3的性质特征的选项是（　　）A．经过第二、三、四象限 B．y随x的增大而减小 C．与x轴交于（3，0） D．与y轴交于（0，﹣3）【分析】根据一次函数的性质解答即可．【解答】解：直线y＝﹣x﹣3中，k＝﹣1＜0，b＝﹣3＜0，A、∵k＝﹣1＜0，b＝﹣3＜0，∴函数图象经过第二、三、四象限，正确，故本选项不符合题意；B、∵k＝﹣1＜0，∴y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；C、∵当y＝0时，x＝﹣3，∴与x轴交于（﹣3，0），原说法错误，故本选项符合题意；D、∵当x＝0时，y＝﹣3，∴与y轴交于（0，﹣3），正确，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0时，y随x的增大而减小是解题的关键．【变式6-7】(2023秋•九龙坡区校级月考）已知一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3．（1）若这个函数的图象与y轴交于负半轴，求m的取值范围．（2）若这个函数的图象不经过第四象限，求m的取值范围．【分析】（1）若这个函数的图象与y轴交于负半轴，可得m﹣3＜0且2m+1≠0，依此即可求解；（2）根据图象不经过第四象限，说明图象经过第一、三象限或第一、二、三象限，要分情况讨论．【解答】解：（1）由已知得，m﹣3＜0且2m+1≠0，解得m＜3且m≠−12．m的取值范围是m＜3且m≠−12；（2）若图象经过第一、三象限，得2m+1＞0且m﹣3＝0，解得m＝3；若图象经过第一、二、三象限，则2m+1＞0m−3＞0，解得m＞3．故m的取值范围是m≥3．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，需熟练掌握①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．【变式6-8】已知：一次函数y＝（m﹣3）x+（2﹣m），（1）函数值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围；（2）函数图象与y轴的交点于x下方，求m的取值范围；（3）函数图象经过二、三、四象限，求m的取值范围；（4）当m＝4时，求该直线与两坐标轴所围成的面积．【分析】根据一次函数图象的性质来求确定系数的符号．【解答】解：（1）∵函数值y随自变量x的增大而减小，∴m﹣3＜0，解得，m＜3；（2）∵函数图象与y轴的交点于x下方，∴2﹣m＜0，解得，m＞2．又m﹣3≠0即m≠3．综上所述，m的取值范围是m＞2且m≠3；（3）∵函数图象经过二、三、四象限，∴m−3＜02−m＜0，解得，2＜m＜3；（4）当m＝4时，该函数解析式为y＝x﹣2．当x＝0时，y＝﹣2；当y＝0时，x＝2，则该直线与两坐标轴所围成的面积是：12×|﹣2|×2＝2．【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．题型七 一次函数的平移【例题7】(2023秋•鄞州区期末）在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝﹣2x﹣2平移后得到直线l2：y＝﹣2x+4，则下列平移作法中，正确的是（　　）A．将直线l1向上平移6个单位 B．将直线l1向上平移3个单位 C．将直线l1向上平移2个单位 D．将直线l1向上平移4个单位【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．【解答】解：设直线l1：y＝﹣2x﹣2平移后的解析式为y＝﹣2x﹣2+k，∵将直线l1：y＝﹣2x﹣2平移后，得到直线l2：y＝﹣2x+4，∴﹣2x﹣2+k＝﹣2x+4，解得：k＝6，故将l1向是平移6个单位长度．故选：A．【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．【变式7-1】(2023秋•长安区校级期末）将直线y＝﹣2x+7向上平移2个单位后得到的直线表达式是（　　）A．y＝﹣2x+5 B．y＝﹣2x﹣5 C．y＝﹣2x+9 D．y＝﹣2x﹣9【分析】根据一次函数图象的平移规律“上+下﹣”即可确定．【解答】解：将直线y＝﹣2x+7向上平移2个单位后，可得y＝﹣2x+7+2＝﹣2x+9，故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．【变式7-2】(2023秋•碑林区校级期末）将直线y＝2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（　　）A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣3【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可．【解答】解：直线y＝2x向右平移2个单位后所得图象对应的函数解析式为y＝2（x﹣2）+1，即y＝2x﹣3．故选：D．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．【变式7-3】(2023秋•沙坪坝区校级期末）将直线y＝﹣2x+6向左移1个单位，所得到的直线解析式为（　　）A．y＝﹣2x+7 B．y＝﹣2x+5 C．y＝﹣2x+8 D．y＝﹣2x+4【分析】根据“左加右减、上加下减”的函数图象平移规律来解答．【解答】解：根据题意，将直线y＝﹣2x+6向左平移了1个单位后，得：y＝﹣2（x+1）+6＝﹣2x﹣2+6＝﹣2x+4，即该直线的解析式为：y＝﹣2x+4．故选：D．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键．【变式7-4】(2023秋•新城区校级期末）在平面直角坐标系中，将一次函数y＝2x+b的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后经过点（﹣1，0），则b的值为（　　）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【分析】将点（﹣1，0），先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到平移后的点，该点一次函数y＝2x+b的图象上，利用待定系数法求出b的值即可．【解答】解：将点（﹣1，0），先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点（﹣1+3，0+2），即（2，2），由题意，得：（2，2）在一次函数y＝2x+b的图象上，∴2＝2×2+b，∴b＝﹣2．故选：B．【点评】本题考查一次函数图象的平移．将图象的平移，转化为点的平移，利用待定系数法求解析式是解题的关键．【变式7-5】(2023秋•市中区校级期末）在平面直角坐标系中，直线是函数y＝6x﹣2的图象，将直线l平移后得到直线y＝6x+2，则下列平移方式正确的是（　　）A．将1向右平移4个单位长度 B．将1向左平移4个单位长度 C．将1向上平移4个单位长度 D．将1向下平移4个单位长度【分析】利用一次函数图象的平移规律，右加左减，上加下减，即可得出答案．【解答】解：设将直线y＝6x﹣2向左平移a个单位后得到直线y＝6x+2（a＞0），∴6（x+a）﹣2＝6x+2，解得：a=23，故将直线y＝6x﹣2向左平移23个单位后得到直线y＝6x+2，同理可得，将直线y＝6x﹣2向上平移4个单位后得到直线y＝6x+2，观察选项，只有选项C符合题意．故选：C．【点评】本题考查一次函数图象与平移变换，解题的关键是掌握一次函数图象的平移规律：右加左减，上加下减．【变式7-6】(2023秋•汉台区期末）在平面直角坐标系中，将直线y＝2x+b沿y轴向上平移3个单位后恰好经过原点，则b的值为（　　）A．﹣3 B．2 C．﹣2 D．3【分析】根据平移规律得到平移后的直线为y＝2x+b+3，然后把（0，0）代入解得即可．【解答】解：将直线y＝2x+b沿y轴向上平移3个单位后得到y＝2x+b+3，∵经过原点，∴b+3＝0，解得b＝﹣3，故选：A．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象变换的法则“左加右减，上加下减”是解答此题的关键．【变式7-7】(2023•汉滨区四模）关于x的一次函数y＝kx+b的图象是由直线y＝2x+1左移2个单位再向上移3个单位得到的，则k+b的值是 　 　．【分析】根据一次函数图象平移的性质即可得出平移后的解析式，从而求得k、b的值．【解答】解：∵一次函数y＝2x+1的左移2个单位，再向上移3个单位后所得图象的解析式是：y＝2（x+2）+1+3，即y＝2x+8，∴k＝2，b＝8，∴k+b＝10．故答案为：10．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键．【变式7-8】(2023秋•礼泉县期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数y＝x的图象向左平移m个单位长度得到，且经过点A（1，2）．（1）求m的值；（2）若这个一次函数的图象与x轴交于点B，求△AOB的面积．【分析】（1）根据平移的性质可设一次函数的表达式为y＝x+m，再把点A（1，2）代入求出m的值即可；（2）求出B点坐标，利用三角形的面积公式解答即可．【解答】解：（1）∵一次函数的图象由函数y＝x向左平移m个单位长度得到，∴设一次函数的表达式为y＝x+m．∵一次函数的图象经过点A（1，2），∴2＝1+m，解得m＝1；（2）由（1）得一次函数的表达式为y＝x+1，∵一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点B，令y＝0，则x＝﹣1，∴B（﹣1，0），∴SAOB=12×1×2=1，∴△AOB的面积为1．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，三角形的面积，数形结合是解题的关键．题型八 一次函数的图象上点的坐标特征【例题8】(2023秋•庐阳区校级期末）如图．在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=15x+b和x轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果点A（1，1），那么A2023的纵坐标是（　　）A．(32)2022 B．(32)2003 C．(43)2022 D．(42)2003【分析】设点A2，A3，A4…，A2023坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题．【解答】解：如图，∵A1（1，1）在直线y=15x+b上，∴b=45，∴y=15x+45，设A2（x2，y2），A3（x3，y3），A4（x4，y4），…，A2022（x2022，y2022）， 则有y2=15x2+45，y3=15x3+45，…y2021=15x2021+45，又∵△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，∴x2＝2y1+y2，x3＝2y1+2y2+y3，…x2023＝2y1+2y2+2y3+…+2y2022+y2023，将点坐标依次代入直线解析式得到：y2=12y1+1， y3=12y1+12y2+1=32y2， y4=32y3， …y2022=32y2021，又∵y1＝1，∴y2=32， y3＝（32）2， y4＝（32）3，…y2023＝（32）2022，故选：A．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，通过运算发现纵坐标的规律是解题的关键．【变式8-1】(2023秋•长兴县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y＝﹣4x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，若线段BC上的点D到直线AB的距离DE长为3，则点D的坐标为（　　）A．（1516，14） B．（3132，18） C．（34，1） D．（56，23）【分析】根据解析式，可得函数与坐标轴的交点坐标，根据勾股定理，可得AB的长，根据S△ABC＝△ABD+△ACD，可得点D到x轴的距离，代入直线y＝﹣4x+4，可得答案．【解答】解：∵直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴当x＝0时，y＝4，当y＝0时，0=43x+4，解得x＝﹣3，∴A（﹣3，0），B（0，4），∴AB=32+42=5，∵直线y＝﹣4x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，∴当y＝0时，0＝﹣4x+4，解得x＝1，∴C（1，0），∴AC＝4，过点D作DH⊥x轴于H，∵S△ABC＝△ABD+△ACD，点D到直线AB的距离DE长为3，∴12×4×4=12×5×3+12×4DH，∴DH=14，∴点D的纵坐标为14，∵点D在线段BC：y＝﹣4x+4上，∴14=−4x+4，解得x=1516，∴点D的坐标为（1516，14）．故选：A．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用了勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．【变式8-2】(2023春•江汉区校级月考）点P（x，y）在第一象限，且x+y＝4，点A坐标（3，0），设△OPA面积为S．（1）用含x的式子表示S，写出x的取值范围；（2）并在图中网格中建立直角坐标系中画出函数S的图象；（3）当△OPA面积是5时，求点P的坐标．【分析】（1）根据题得出OA＝3，点P的纵坐标为y＝4﹣x，然后根据三角形面积公式得到S与x的关系，然后利用x＞0，y＞0确定x的范围；（2）利用两点法画出函数图象即可；（3）把S＝5代入解析式即可求得点P的横坐标，进而求得纵坐标．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（3，0）．∴OA＝3，∵x+y＝4，∴y＝4﹣x，∴S=12×3×y=32（4﹣x），即S=−32x+6 （0＜x＜4）；（2）画出函数S的图象如图：（3）∵△OPA面积是5，−32x+6＝5，解得x=23，∴y＝4−23=103，∴点P的坐标为(23，103)．【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．【变式8-3】(2023秋•徐州期末）已知一次函数y＝kx+4的图象经过点（﹣3，0）．（1）求k的值；（2）请在图中画出该函数的图象；（3）已知A（2，0），P为图象上的动点，连接AP，则AP的最小值为 　 　．【分析】（1）根据待定系数法求得即可；（2）利用两点画出函数的图象；（3）线段OP的最小值，就是原点到已知直线的距离，可以根据所构建的三角形面积一样来求OP；【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+4的图象经过点（﹣3，0）．∴﹣3k+4＝0，∴k=43；（2）由函数y＝kx+4可知直线与y轴的交点为（0，4），（3）作AP⊥BC于P，此时AP是最小值，∵A（2，0），B（0，4），C（3，0），∴BC＝5，AC＝5，∵12CA•OB=12AB⋅AP，∴5×4＝5AP，∴AP＝4．∴AP的最小值是4，故答案为：4．【点评】本题考查一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征，熟练运用两点之间的距离公式以及面积法是解决本题的关键．【变式8-4】(2023秋•茂南区期末）已知，一次函数y=−12x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点的坐标；（2）画出该函数图象；（3）求AB的长．【分析】（1）分别令y＝0，x＝0求解即可；（2）根据两点确定一条直线作出函数图象即可；（3）根据勾股定理求解．【解答】解：（1）令y＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝3，∴点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，3）；（2）如图：（3）∵点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，3），∴OA＝6，OB＝3，在Rt△ABC中，AB=OA2+OB2=32+62=35．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点坐标的求解方法是解题的关键．【变式8-5】如图，等边△OAB边长为4，过点A的直线y=−33x+m与x轴交于点E．（1）求点A、E的坐标及m的值；（2）求证：OA⊥AE．【分析】（1）根据题意和图形，可以求得点A、点E的坐标和m的值；（2）根据（1）中的结果，可以求得OA、AE、OE的长，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题．【解答】解：（1）作AD⊥x轴于点D，∵等边△OAB边长为4，∴OB＝4，∴OD＝BD＝2，∴AD=42−22=23，∴点A（2，23），∵点A在直线y=−33x+m上，∴23=−33×2+m，解得，m=833，∴y=−33x+833，当y＝0时，x＝8，∴点E（8，0），即点A（2，23），点E（8，0），m=833；（2）证明：∵点D（2，0），点E（8，0），∴OD＝2，OE＝8，∴DE＝OE﹣OD＝6，∵AD＝23，∴AE=AD2+DE2=(23)2+62=43，∵OA＝4，OE＝8，∴OA2+AE2=42+(43)2=64，OE2＝82＝64，∴OA2+AE2＝OE2，∴△OAE是直角三角形，∠OAE＝90°，∴OA⊥AE．【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．【变式8-6】(2023秋•宁波期末）已知一次函数y＝﹣x+5的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，求点C的坐标．【分析】（1）根据直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B，即可求点A、B的坐标；（2）根据△ABC是等腰三角形，分三种情况求点C的坐标即可．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B，当y＝0时，x＝5，当x＝0时，y＝5，∴点A，B的坐标为A（5，0）和B（0，5）；（2）∵A（5，0），B（0，5），∴OA＝5，OB＝5，∴AB=52+52=25，∵点C在x轴上，且△ABC是等腰三角形，①当AC＝BC时，∴C（0，0），②当AB＝AC时，∵AC＝25，∴C（25−5，0）或（25+5，0），③当AB＝BC时，∵OC＝OA＝5，∴C（﹣5，0），综上所述：点C的坐标为（﹣5，0）或（25−5，0）或（25+5，0）或（0，0）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，解答此题的关键是熟知一次函数与坐标轴的交点坐标的求法．解题技巧提炼判断函数式是否是一次函数的方法：先看函数式是否是整式的形式，再将函数式进行恒等变形，看它是否符合一次函数解析式y＝kx+b的结构特征：（1）k≠0；（2）自变量的次数为1；（3）常数项b可以为任意实数.解题技巧提炼根据一次函数求待定字母的值时，要注意：（1）函数的解析式是自变量的一次式，若含有一次以上的项，则其系数必为0；（2）注意隐含的条件：自变量（一次项）的系数不为0.解题技巧提炼一次函数的图象的画法是用“两点法”画：即经过两点（0，b）、（−bk，0）作直线y＝kx+b．解题技巧提炼一次函数图象与系数的关系：由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．解题技巧提炼一次函数与正比例函数图象之间的关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．解题技巧提炼1、当k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；当k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．2、当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．解题技巧提炼一次函数图象式平移规律：一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”. ①y=kx+b向左平移m个单位是y=k(x+m)+b, 向右平移m个单位是y=k(x﹣m)+b； ②y=kx+b向上平移n个单位是y=kx+b+n, 向下平移n个单位是y=kx+b﹣n.解题技巧提炼一次函数解析式y＝kx+b（k≠0，且k, b为常数）的图象是一条直线，它与x轴的交点坐标是（−bk，0），与y轴的交点坐标是（0，b），直线上任意一点的坐标都满足函数解析式y＝kx+b.