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人教版八年级数学下册尖子生培优必刷题19.6一次函数与方程、不等式(原卷版+解析)
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八年级下册数学《第十九章 一次函数》19.6 一次函数与方程、不等式知识点一一次函数与一元一次方程的关系◆1、由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴交点的横坐标值．◆2、对于一次函数y＝ax+b（a≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来解.◆3、一元一次方程ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）与一次函数y＝ax+b（a，b为常数，a≠0）的关系如下：（1）ax+b＝0（a≠0）的解⇔函数y＝ax+b（a≠0）中，y=0时，x的值.（2）ax+b＝0（a≠0）的解⇔直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标.◆4、用一次函数的图象解一元一次方程的一般步骤：①转化：将一元一次方程转化为一次函数；②画图象：画出一次函数的图象；③找交点：找出一次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为一元一次方程的解.知识点二一次函数与一元一次不等式的关系◆1、一次函数与一元一次不等式的关系:从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．◆2、用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或kx+b＜0）对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（−bk，0）．当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞−bk，不等式kx+b＜0的解为：x＜−bk；当k＜0时，不等式kx+b＞0的解为：x＜−bk，不等式kx+b＜0的解为：x＞−bk．知识点三一次函数与二元一次方程（组）的关系◆一次函数与二元一次方程（组）的关系：一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应着一个一次函数，于是也对应着一条直线，这条直线上每个点的坐标（x, y）都是这个二元一次方程的解.因此，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组都对应两个一次函数，也就是两条直线.从“数”的角度看，解方程组，相当于当求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解方程组，相当于确定的两条直线的交点坐标.题型一 利用一次函数解一元一次方程【例题1】(2023秋•中卫期中）已知一次函数y＝2x+n的图象如图所示，则方程2x+n＝0的解可能是（ ）A．x＝1 B．x=−12 C．x=32 D．x＝﹣1【变式1-1】(2023春•武邑县校级期末）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点P（﹣3，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（ ）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．无法确定【变式1-2】(2023秋•淮北月考）如图，直线y＝ax+b过点（0，﹣2）和点（﹣3，0），则方程ax+b+1＝0的解是（ ）A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝﹣1.5 D．x＝﹣1【变式1-3】（2023•临渭区一模）已知直线y＝﹣3x与y＝kx+2相交于点P（m，3），则关于x的方程kx+2＝﹣3x的解是（ ）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3【变式1-4】(2023春•阜平县期末）若关于x的方程﹣2x+b＝0的解为x＝2，则直线y＝﹣2x+b一定经过点（ ）A．（2，0） B．（0，2） C．（4，0） D．（2，5）【变式1-5】(2023•海珠区校级二模）已知一次函数y＝ax+2的图象与x轴的交点坐标为（3，0），则一元一次方程ax+2＝0的解为（ ）A．x＝3 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝a【变式1-6】(2023春•凤山县期末）已知函数y＝kx+b的部分函数值如表所示，则关于x的方程kx+b﹣5＝0的解是（ ）A．1 B．32 C．﹣1 D．−52题型二 利用解一元一次方程确定一次函数与坐标轴交点坐标【例题2】(2023秋•丰顺县校级期末）已知方程kx+b＝0的解是x=32，则函数y＝kx+b的图象可能是（ ）A． B． C． D．【变式2-1】已知关于x的一元一次方程kx+b=0的解是x=﹣2，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，2），则这个一次函数的表达式是 ．【变式2-2】(2023春•建瓯市校级月考）已知一次函数y＝﹣2x+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，O为坐标原点．若S△AOB＝6，求一次函数解析式．【变式2-3】(2023春•甘井子区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，请根据函数图象回答下列问题：（1）与x轴交点A的坐标是 ，与y轴交点B的坐标是 ；（2）由函数图象可知，当﹣2x+4＝0时，x的值是 ，当﹣2x+4＞0时，x的取值范围是 ；（3）当y＝﹣1时，求x的值．【变式2-4】(2023春•聊城期末）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4）．（1）求点D的坐标；（2）求直线CE：y＝﹣2x﹣4与直线AB及y轴围成图形的面积；题型三 利用一次函数的图象解二元一次方程（组）【例题3】用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图）．则所解的二元一次方程组是（ ）A．y=2x+1y=x+2 B．y=3x+1y=x−5 C．y=−2x+1y=x−1 D．y=−x+3y=3x−5【变式3-1】下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程2x﹣y＝2的解的是（ ）A． B． C． D．【变式3-2】下面四条直线，其中直线上的每一个点的坐标都是二元一次方程2x﹣3y＝6的解的是（ ）A． B． C． D．【变式3-3】用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图所示，则所解的二元一次方程组是（ ）A．x+y−2=02x−y−1=0 B．2x+y−1=03x+2y−5=0 C．2x−y−1=03x−2y−1=0 D．x+y−2=03x−2y−1=0【变式3-4】如图中的两直线l1、l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解（ ）A．y=−13x−1y=−2x+4 B．y=13x−1y=−2x+4 C．y=−13x−1y=−2x−4 D．y=3x−1y=−2x+4【变式3-5】(2023秋•康定市期末）已知一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点A（0，2），与x轴交于点B（4，0），与正比例函数y＝mx的图象交于点C．（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；（2）若点C（2，a），请直接写出方程组mx−y=0kx−y=−b的解．题型四 方程组与两直线的交点坐标问题【例题4】（2011•百色）两条直线y＝k1x+b1和y＝k2x+b2相交于点A（﹣2，3），则方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解是（ ）A．x=2y=3 B．x=−2y=3 C．x=3y=−2 D．x=3y=2【变式5-1】(2023秋•余姚市校级期末）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是 ．【变式5-2】(2023春•赵县期末）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组y=ax+by=kx的解是（ ）A．x=−2y=−4 B．x=−4y=−2 C．x=2y=−4 D．x=−4y=2【变式5-3】（2023春•泰兴市月考）如果函数y＝2x﹣b（b为常数）与函数y＝x+4的图象的交点坐标是（1，5），那么关于x，y的二元一次方程组2x−y=bx−y=−4的解是 ．【变式5-4】(2023秋•礼泉县期末）如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点P（m，1），则关于x、y的二元一次方程组x+y=4y−kx=b的解是 ．【变式5-5】(2023秋•菏泽月考）如图，已知直线l1：y＝3x+1与y轴交于点A，且和直线l2：y＝mx+n交于点P（﹣2，a），根据以上信息解答下列问题：（1）求a的值；（2）不解关于x，y的方程组y=3x+1y=mx+n，请你直接写出它的解；（3）判断直线l3：y=−12nx﹣2m是否也经过点P？请说明理由；（4）若直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，求直线l2的函数解析式．题型五 用一次函数的图象解一元一次不等式【例题5】（2023•瑶海区模拟）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，2），则不等式kx+b＞2的解集为 ．【变式5-1】(2023春•岳麓区校级期末）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点（﹣1，3），则不等式kx+b≤3的解集为（ ）A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥3 D．x≤﹣1【变式5-2】(2023秋•邗江区校级期末）如图，函数y＝﹣3x和y＝kx+b的图象交于点A（m，4），则关于x的不等式kx+b+3x＜0的解集为 ．【变式5-3】(2023春•海港区期末）如图，直线y＝mx+n与x轴交于点（﹣2，0），与y轴交于点（0，5），则关于x的不等式mx+n＜0的解集为 ．【变式5-4】(2023春•秀屿区校级期末）直线y＝k2x和y＝k1x+b如图所示，则关于x的不等式k2x＜k1x+b的解集是 ．【变式5-5】作出函数y＝2x﹣4的图象，并根据图象回答下列问题：（1）当﹣2≤x≤4时，求函数y的取值范围；（2）当x取什么值时，y＜0，y＝0，y＞0；（3）当x取何值时，﹣4＜y＜2．【变式5-6】(2023春•岳麓区校级期末）如图，函数y＝﹣2x+3与y=−12x+m的图象交于P（n，﹣3）．（1）求出m、n的值；（2）结合函数图象，直接写出不等式−12x+m＞﹣2x+3的解集；（3）将函数y＝﹣2x+3的图象向左平移a个单位后得到直线l，若直线l与直线y=−12x+m的交点在y轴上，求a的值．题型六 比较一次函数值的大小【例题6】(2023秋•平桂区 期末）如图，已知一次函数y1＝kx﹣b与y2＝nx函数图象相交于点M，当kx﹣b＝nx时，x的值是 ，当y1＞y2时，x的取值范围是 ，当y1＜y2时，x的取值范围是 ．【变式6-1】(2023春•银川校级期中）函数y1＝2x+4，y2＝5x﹣10，使y1＜y2的x的范围是 ．【变式6-2】(2023春•城阳区期末）已知函数，y1＝﹣2x+3，y2＝3x+4，则当y1＞y2时，则x的取值范围是 ．【变式6-3】(2023春•自贡期末）已知一次函数y1＝x和y2=−x−2(x＜0)2x−2(x≥0)，当y1＞y2时，x的取值范围是 ．【变式6-4】(2023春•鱼台县期末）已知函数y1＝2x，y2＝x+2，试比较y1、y2的大小关系．【变式6-5】(2023秋•合肥期末）如图，过点B（3，0）的一次函数y1＝﹣x+b的图象与正比例函数y2＝kx的图象相交于点C，且点C的纵坐标是2．（1）求一次函数与正比例函数的解析式；（2）根据图象，写出当y1＞y2＞0时，x的取值范围．【变式6-6】(2023春•原州区期末）利用函数图象回答下列问题：（1）函数y1与函数y2的交点坐标为 ；（2）函数值y1＞y2的解集为 ；（3）函数值y1＜y2的解集为 ．题型七 两直线相交求面积问题【例题7】（1）在如图所示的平面直角坐标系中，用图象法求二元一次方程组x+y=42x−y=−1，的解；（2）求（1）中图象与x轴所围成的三角形的面积．【变式7-1】(2023春•兴庆区校级期中）如图，函数y＝﹣2x+3与y=−12x+m的图象交于点P（n，﹣2）．（1）求出m，n的值．（2）直接写出−12x+m≤−2x+3的解集．（3）求出△ABP的面积．【变式7-2】(2023春•遂溪县期末）如图，直线y1＝x+1交x轴、y轴于点A、B，直线y2＝﹣2x+4交x、y轴于点C、D，两直线交于点E．（1）求点E的坐标；（2）求△ACE的面积；（3）根据图象直接回答：当x为何值时，y1＜y2？【变式7-3】如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（2，b）．（1）求b的值；（2）直接写出关于x，y的方程组x−y+1=0，mx−y+n=0的值；（3）若l1交x轴于点A，l2交x轴于点B，且S△PAB＝9，求直线l2对应的函数表达式．题型八 用一次函数与一元一次不等式的实际应用【例题8】(2023春•固原期末）某单位需要用车，准备和一个体车主或一国有出租车公司其中的一家签订合同．设汽车每月行驶xkm，应付给个体车主的月租费是y1元，付给出租车公司的月租费是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系图象是如图的两条直线，观察图象，回答下列问题：（1）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？（2）每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的出租车合算？（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km，那么这个单位租哪家的车合算？【变式8-1】某电信公司推出甲、乙两种收费方式供手机用户选择：甲种方式：每月收月租费5元，每分钟通话费为0.2元；乙种方式：不收月租费，每分钟通话费为0.3元；（1）请分别写出甲乙两种收费方式每月付费y1、y2（元）与通话时间x（分钟）之间函数表达式；（2）如何根据通话时间的多少选择付费方式，请给出你的方案．【变式8-2】（2023•二道区校级一模）某工厂的销售部门提供两种薪酬计算方式：薪酬方式一：底薪+提成，其中底薪为3000元，每销售一件商品另外获得15元的提成；薪酬方式二：无底薪，每销售一件商品获得30元的提成．设销售人员一个月的销售量为x（件），方式一的销售人员的月收入为y1（元），方式二的销售人员的月收入为y2（元）．（1）请分别写出y1、y2与x之间的函数表达式；（2）哪种薪酬计算方式更适合销售人员？【变式8-3】(2023秋•大丰区期末）某中学计划寒假期间安排4名老师带领部分学生参加红色旅游．甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人1000元．经协商，甲旅行社的优惠条件是：老师、学生都按八折收费；乙旅行社的优惠条件是：四位老师全额收费，学生都按七折收费．（1）设参加这次红色旅游的老师和学生共有x名，y甲，y乙（单位：元）分别表示选择甲、乙两家旅行社所需的费用，求y甲，y乙关于x的函数解析式；（2）若该校共有30名老师和学生参加活动，则选择哪家旅行社支付的旅游费用较少？【变式8-4】(2023春•永川区期末）已知A、B两地的路程为240千米．某经销商每天都要用汽车或火车将x吨保鲜品一次性由A地运往B地．受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订．现有货运收费项目及收费标准表、行驶路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数图象（如图）等信息如下：货运收费项目及收费标准表（1）汽车的速度为多少？火车的速度为多少？（2）设每天用汽车和火车运输的总费用分别为y汽（元）和y火（元），分别求y汽、y火与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；（3）当x为何值时，y汽＞y火．（总费用＝运输费+冷藏费+固定费用）【变式8-5】（2023•中原区校级三模）为了积极助力脱贫攻坚工作，如期打赢脱贫攻坚战，某驻村干部带领村民种植草莓，在每年成熟期都会吸引很多人到果园去采摘．现有甲、乙两家果园可供采摘，这两家草莓的品质相同，售价均为每千克30元，这两家果园的采摘方案不同．甲果园：每人需购买20元的门票一张，采摘的草莓按6折优惠；乙果园：不需要购买门票，采摘的草莓按售价付款不优惠．设小明和爸爸妈妈三个人采摘的草莓数量为x千克，在甲、乙果园采摘所需总费用分别为y甲、y乙元，其函数图象如图所示．（1）请分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式；（2）请求出图中点A的坐标并说明点A表示的实际意义；（3）请根据函数图象，直接写出小明一家选择哪家果园采摘更合算．题型九 方程（组）、不等式（组）与一次函数性质的综合应用【例题9】已知一服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M，N两种型号的时装共80套．已知做一套M型号的时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利50元；做一套N型号的时装需用A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利45元．设生产M型号的时装套数为x，解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；（2）当生产M型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大？最大利润是多少？【变式9-1】（2023•秦都区校级模拟）某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示：（1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？（2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套（10≤m≤20），当把购进的两种多媒体全部售出，求购进A种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？【变式9-2】(2023•临渭区一模）2020年4月20日，国家主席习近平在陕西柞水县考察，点赞当地特产﹣﹣柞水木耳，称赞到“小木耳、大产业”，要将其发展成“帮助群众脱贫致富、推动乡村振兴”的特色产业．王师傅在政府的扶持下种植了A、B两个品种的木耳共3亩，两种木耳的成本（包括种植成本和设备成本）和售价如表：设种植A品种木耳x亩，若3亩地全部种植两种木耳共获得利润y万元．（利润＝售价﹣种植成本﹣设备成本）（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若A品种木耳的种植亩数不少于B品种木耳种植亩数的1.5倍，则种植A品种木耳种植多少亩时利润最大？并求最大利润．【变式9-3】(2023•开福区模拟）为加强校园文化建设，某校准备打造校园文化墙，需用甲、乙两种石材经市场调查，甲种石材的费用y（元）与使用面积x（m2）间的函数关系如图所示，乙种石材的价格为每平方米50元．（1）求y与x间的函数解析式；（2）若校园文化墙总面积共600m2，其中使用甲石材xm2，设购买两种石材的总费用为w元，请直接写出w与x间的函数解析式；（3）在（2）的前提下，若甲种石材使用面积多于300m2，且不超过乙种石材面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种石材的面积才能使总费用最少？最少总费用为多少元？ 解题技巧提炼解关于x 的一元一次方程ax+b＝0（a，b为常数，a≠0），从“数”的角度来看,相当于当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值；从“形”的角度来看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴交点的横坐标值．x…﹣1.5012…y…631﹣1…解题技巧提炼交点法：求一次函数的图象与坐标轴的交点，令y=0，解方程即得与x轴的交点；令x=0，解方程即得与y轴的交点 .解题技巧提炼用图象法解二元一次方程组的基本方法：（1）将方程组的两个方程转化为一次函数y＝kx+b 的形式；（2）在同一直角坐标系中画出两函数的图象；（3）利用图象直接确定交点坐标；（4）得出方程组的解.解题技巧提炼利用二元一次方程组的解可以确定两个一次函数图象的交点坐标，反之，根据两个一次函数图象的交点坐标，可以确定二元一次方程组的解.解题技巧提炼1、代数法：将题中信息转化为解不等式，可求出不等式的解集；2、图象法：先找出直线与坐标轴的交点，画出函数的图象，再观察图象，确定两直线的交点坐标，最后观察图象交点两侧直线的位置，直接得出不等式的解集.解题技巧提炼确定在自变量的某个取值范围内两个函数值的大小时，往往将问题转化到不等式中进行解决.解题技巧提炼1、本题运用一次函数与方程（组）的关系求出三角形三个顶点的坐标，然后利用坐标求出三角形的面积.2、运用一次函数与方程（组）的关系是求点的坐标常用的方法.解题技巧提炼本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与一元一次不等式关系的知识，充分利用图象中数据信息，正确应用待定系数法求解析式以及构造不等式是解题关键．运输工具运输费单价：元/（吨•千米）冷藏费单价：元/（吨时）固定费用：元/次汽车25200火车1.652280解题技巧提炼一次函数、二元一次方程（组）与不等式（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组）或不等式（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．AB进价（万元/套）32.4售价（万元/套）3.32.8品种种植成本（万元/亩）售价（万元/亩）设备成本（万元/亩）A1.53.50.2B24.30.3八年级下册数学《第十九章 一次函数》19.6 一次函数与方程、不等式知识点一一次函数与一元一次方程的关系◆1、由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴交点的横坐标值．◆2、对于一次函数y＝ax+b（a≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来解.◆3、一元一次方程ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）与一次函数y＝ax+b（a，b为常数，a≠0）的关系如下：（1）ax+b＝0（a≠0）的解⇔函数y＝ax+b（a≠0）中，y=0时，x的值.（2）ax+b＝0（a≠0）的解⇔直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标.◆4、用一次函数的图象解一元一次方程的一般步骤：①转化：将一元一次方程转化为一次函数；②画图象：画出一次函数的图象；③找交点：找出一次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为一元一次方程的解.知识点二一次函数与一元一次不等式的关系◆1、一次函数与一元一次不等式的关系:从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．◆2、用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或kx+b＜0）对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（−bk，0）．当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞−bk，不等式kx+b＜0的解为：x＜−bk；当k＜0时，不等式kx+b＞0的解为：x＜−bk，不等式kx+b＜0的解为：x＞−bk．知识点三一次函数与二元一次方程（组）的关系◆一次函数与二元一次方程（组）的关系：一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应着一个一次函数，于是也对应着一条直线，这条直线上每个点的坐标（x, y）都是这个二元一次方程的解.因此，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组都对应两个一次函数，也就是两条直线.从“数”的角度看，解方程组，相当于当求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解方程组，相当于确定的两条直线的交点坐标.题型一 利用一次函数解一元一次方程【例题1】(2023秋•中卫期中）已知一次函数y＝2x+n的图象如图所示，则方程2x+n＝0的解可能是（ ）A．x＝1 B．x=−12 C．x=32 D．x＝﹣1【分析】直接根据函数图象与x轴的交点进行解答即可．【解答】解：∵一次函数y＝2x+n的图象与x轴的交点在（0，0）和（﹣1，0）之间，∴方程2x+n＝0的解可能是在0和﹣1之间．观察选项，只有选项B符合题意．故选：B．【点评】本题考查的是一次函数与一元一次方程，能根据数形结合求出x的取值范围是解答此题的关键．【变式1-1】(2023春•武邑县校级期末）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点P（﹣3，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（ ）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．无法确定【分析】根据题意，可知当x＝﹣3时，y＝kx+b＝2，根据图象即可求解．【解答】解：根据题意，可知当x＝﹣3时，y＝kx+b＝2，∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝﹣3．故选：C．【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，结合图象解方程是解题的关键．【变式1-2】(2023秋•淮北月考）如图，直线y＝ax+b过点（0，﹣2）和点（﹣3，0），则方程ax+b+1＝0的解是（ ）A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝﹣1.5 D．x＝﹣1【分析】所求方程的解，即为函数y＝ax+b图象与直线y＝﹣1的交点横坐标，确定出解即可．【解答】解：把点（0，﹣2）和点（﹣3，0）代入y＝ax+b得，−3k+b=0b=−2，解得k=−23b=−2，∴y=−23x﹣2，当y＝﹣1时，即−23x﹣2＝﹣1，解得x=−32，故方程ax+b+1＝0的解是﹣1.5，故选：C．【点评】此题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．【变式1-3】（2023•临渭区一模）已知直线y＝﹣3x与y＝kx+2相交于点P（m，3），则关于x的方程kx+2＝﹣3x的解是（ ）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3【分析】先把点P（m，3）代入直线y＝﹣3x求出m的值，故可得出P点坐标，再根据交点坐标进行解答即可．【解答】解：∵直线y＝﹣3x和直线y＝kx+2的图象相交于点P（m，3），∴3＝﹣3m，解得m＝﹣1，∴P（﹣1，3），∴关于x的方程kx+2＝﹣3x的解是为x＝﹣1，故选：A．【点评】本题考查的是一次函数与一元一次方【变式1-4】(2023春•阜平县期末）若关于x的方程﹣2x+b＝0的解为x＝2，则直线y＝﹣2x+b一定经过点（ ）A．（2，0） B．（0，2） C．（4，0） D．（2，5）【分析】根据方程可知当x＝2，y＝0，从而可判断直线y＝﹣2x+b经过点（2，0）．【解答】解：由方程的解可知：当x＝2时，﹣2x+b＝0，即当x＝2，y＝0，∴直线y＝﹣2x+b的图象一定经过点（2，0），故选：A．【点评】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．程，熟知函数与方程的关系是解答此题的关键．【变式1-5】(2023•海珠区校级二模）已知一次函数y＝ax+2的图象与x轴的交点坐标为（3，0），则一元一次方程ax+2＝0的解为（ ）A．x＝3 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝a【分析】根据图象经过点（3，0），即把（3，0）代入函数解析式成立，即方程成立，据此即可判断．【解答】解：根据题意当x＝3时，y＝0，即方程ax+2＝0成立，则方程的解是x＝3．故选：A．【点评】本题考查了一次函数与方程的解的关系，函数图象上的点的坐标满足函数的解析式，即若把函数解析式作为方程，坐标对应的值就是方程的解．【变式1-6】(2023春•凤山县期末）已知函数y＝kx+b的部分函数值如表所示，则关于x的方程kx+b﹣5＝0的解是（ ）A．1 B．32 C．﹣1 D．−52【分析】根据表格把x＝0，y＝3和x＝1，y＝1分别代入y＝kx+b得出3=b1=k+b，求出k、b的值，再把k、b的值代入方程kx+b﹣5＝0，最后求出方程的解即可．【解答】解：把x＝0，y＝3和x＝1，y＝1分别代入y＝kx+b，得3=b1=k+b，解得：k＝﹣2，b＝3，即y＝﹣2x+3，∴方程kx+b﹣5＝0变形为﹣2x+3﹣5＝0，解得：x＝﹣1，即关于x的方程kx+b﹣5＝0的解是x＝﹣1，故选：C．【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程和一次函数的性质，能求出k、b的值是解此题的关键．题型二 利用解一元一次方程确定一次函数与坐标轴交点坐标【例题2】(2023秋•丰顺县校级期末）已知方程kx+b＝0的解是x=32，则函数y＝kx+b的图象可能是（ ）A． B． C． D．【分析】根据方程的解得出函数y＝kx+b与x轴的交点坐标，然后判断即可．【解答】解：∵方程kx+b＝0的解是x=32，∴函数y＝kx+b与x轴的交点坐标是(32，0)，满足条件的只有D．故选：D．【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，理解一元一次方程的解与函数图象和x轴交点坐标的关系是解题的关键．【变式2-1】已知关于x的一元一次方程kx+b=0的解是x=﹣2，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，2），则这个一次函数的表达式是 ．【分析】先根据方程的解得定义得到2k+b=0，再根据一次函数图象上点的坐标特征得到b=2，于是可计算出k=1，从而得到一次函数解析式．【解答】解：把x=﹣2代入kx+b=0得-2k+b=0， 把（0，2）代入y=kx+b得b=2， 所以-2k+2=0，解得k=1， 所以一次函数解析式为y=x+2． 故答案为y=x+2．【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a,b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．【变式2-2】(2023春•建瓯市校级月考）已知一次函数y＝﹣2x+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，O为坐标原点．若S△AOB＝6，求一次函数解析式．【分析】先根据一次函数的性质求出OA，OB的长，再根据S△AOB＝6建立方程，解方程可得b的值，由此即可得．【解答】解：对于一次函数y＝﹣2x+b，当y＝0时，x=b2，则A(b2，0)，OA=|b2|，当x＝0时，y＝b，则B（0，b），OB＝|b|，∵x轴⊥y轴，S△AOB＝6，∴12OA⋅OB=12×|b2|×|b|=6，即b2＝24，解得b=±26，则一次函数解析式为y=−2x+26或y=−2x−26．【点评】本题考查的是利用待定系数法求一次函数的解析式，根据一次函数的解析式，正确表示OA，OB的长是解题关键．【变式2-3】(2023春•甘井子区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，请根据函数图象回答下列问题：（1）与x轴交点A的坐标是 ，与y轴交点B的坐标是 ；（2）由函数图象可知，当﹣2x+4＝0时，x的值是 ，当﹣2x+4＞0时，x的取值范围是 ；（3）当y＝﹣1时，求x的值．【分析】（1）令y＝0，可解得A的坐标；令x＝0，可解得B的坐标；（2）﹣2x+4＝0，即y＝0，所以x的值就是A坐标的数值；﹣2x+4＞0，即y＞0，即函数图象在x轴上方时x的取值范围；（3）令y＝﹣1，可解得x的值．【解答】解：（1）令y＝0，即﹣2x+4＝0，解得：x＝2，即与x轴交点A的坐标是（2，0）；令x＝0，此时y＝4，即与y轴交点B的坐标是（0，4）；（2）由（1）可知，当﹣2x+4＝0时，x的值是2；由图象可知，结合函数图象与x轴的交点为（2，0），当﹣2x+4＞0时，x的取值范围是x＜2；（3）当y＝﹣1时，即﹣2x+4＝﹣1，解得：x=52．【点评】本题考查了一次函数的图象与一次函数的简单性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．【变式2-4】(2023春•聊城期末）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4）．（1）求点D的坐标；（2）求直线CE：y＝﹣2x﹣4与直线AB及y轴围成图形的面积；【分析】（1）利用待定系数法求一次函数y＝kx+b解析式，令x＝0求出y即可；（2）联立两直线解析式，解方程组即可得到点C的坐标，根据三角形的面积公式即可求出答案；【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4），∴−5k+b=0−k+b=4，解得k=1b=5，∴y＝x+5，当x＝0时，y＝5，∴点D的坐标为（0，5）；（2）∵若直线y＝﹣2x﹣4与直线AB相交于点C，∴y=−2x−4y=x+5，解得x=−3y=2，故点C（﹣3，2），∵y＝﹣2x﹣4与y＝x+5分别交y轴于点E和点D，∴D（0，5），E（0，﹣4），∴直线CE：y＝﹣2x﹣4与直线AB及y轴围成图形的面积为：12DE•|∁x|=12×9×3=272；【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象的交点，关键是正确从函数图象中获得正确信息．题型三 利用一次函数的图象解二元一次方程（组）【例题3】用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图）．则所解的二元一次方程组是（ ）A．y=2x+1y=x+2 B．y=3x+1y=x−5 C．y=−2x+1y=x−1 D．y=−x+3y=3x−5【分析】先利用待定系数求出两函数解析式，由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，则可判断所解的二元一次方程组为两解析式所组成的方程组．【解答】解：设过点（3，0）和（0，3）的直线解析式为y＝kx+b，则3k+b=0b=3，解得k=−1b=3，所以过点（3，0）和（0，3）的直线解析式为y＝﹣x+3；设过点（2，1）和（0，﹣5）的直线解析式为y＝mx+n，则2m+n=1n=−5，解得m=3n=−5，所以过点（2，1）和（0，﹣5）的直线解析式为y＝3x﹣5，所以所解的二元一次方程组为y=−x+3y=3x−5．故选：D．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．【变式3-1】下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程2x﹣y＝2的解的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据两点确定一条直线，当x＝0，求出y的值，再利用y＝0，求出x的值，即可得出一次函数图象与坐标轴交点，即可得出图象．【解答】解：∵2x﹣y＝2，∴y＝2x﹣2，∴当x＝0，y＝﹣2；当y＝0，x＝1，∴一次函数y＝2x﹣2，与y轴交于点（0，﹣2），与x轴交于点（1，0），即可得出选项B符合要求，故选：B．【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程的关系，将方程转化为函数关系进而得出与坐标轴交点坐标是解题关键．【变式3-2】下面四条直线，其中直线上的每一个点的坐标都是二元一次方程2x﹣3y＝6的解的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据两点确定一条直线，当x＝0，求出y的值，再利用y＝0，求出x的值，即可得出一次函数图象与坐标轴交点，即可得出图象．【解答】解：∵2x﹣3y＝6，∴y=23x﹣2，∴当x＝0，y＝﹣2；当y＝0，x＝3，∴一次函数y=23x﹣2的图象与y轴交于点（0，﹣2），与x轴交于点（3，0），即可得出选项D符合要求，故选：D．【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程的关系，将方程转化为函数关系进而得出与坐标轴交点坐标是解题关键．【变式3-3】用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图所示，则所解的二元一次方程组是（ ）A．x+y−2=02x−y−1=0 B．2x+y−1=03x+2y−5=0 C．2x−y−1=03x−2y−1=0 D．x+y−2=03x−2y−1=0【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此本题应先用待定系数法求出两条直线的解析式，联立两个函数解析式所组成的方程组即为所求的方程组．【解答】解：根据给出的图象上的点的坐标，（0，﹣1）、（1，1）、（0，2）；分别求出图中两条直线的解析式为y＝2x﹣1，y＝﹣x+2，因此所解的二元一次方程组是x+y−2=02x−y−1=0．故选：A．【点评】本题考查一次函数与二元一次方程，掌握方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题的关键．【变式3-4】如图中的两直线l1、l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解（ ）A．y=−13x−1y=−2x+4 B．y=13x−1y=−2x+4 C．y=−13x−1y=−2x−4 D．y=3x−1y=−2x+4【分析】因为函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此本题应该先用待定系数法求出两条直线的解析式，联立两直线解析式所组成的方程组即为所求的方程组．【解答】解：由于直线l1经过点（0，﹣1），（3，﹣2）；因此直线l1的解析式为y=−13x﹣1；同理可求得直线l2的解析式为y＝﹣2x+4；因此直线l1，l2的交点坐标可以看作方程组y=−13x−1y=−2x+4的解．故选：A．【点评】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．【变式3-5】(2023秋•康定市期末）已知一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点A（0，2），与x轴交于点B（4，0），与正比例函数y＝mx的图象交于点C．（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；（2）若点C（2，a），请直接写出方程组mx−y=0kx−y=−b的解．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）求得C点的坐标，根据函数与方程组的关系即可求解．【解答】解：（1）次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点A（0，2），与x轴交于点B（4，0），∴b=24k+b=0，解得k=−12b=2，∴一次函数y＝kx+b的表达式为y=−12x+2；（2）∵一次函数y=−12x+2过点C（2，a），∴a=−12×2+2＝1，∴C（2，1），∴方程组mx−y=0kx−y=−b的解为x=2y=1．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与二元一次方程的关系，熟练掌握待定系数法是解题的关键．题型四 方程组与两直线的交点坐标问题【例题4】（2011•百色）两条直线y＝k1x+b1和y＝k2x+b2相交于点A（﹣2，3），则方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解是（ ）A．x=2y=3 B．x=−2y=3 C．x=3y=−2 D．x=3y=2【分析】由题意，两条直线y＝kix+b1和y＝k2x+b2相交于点A（﹣2，3），所以x＝﹣2、y＝3就是方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解．【解答】解：∵两条直线y＝kix+b1和y＝k2x+b2相交于点A（﹣2，3），∴x＝﹣2、y＝3就是方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解．∴方程组的y=k1x+b1y=k2x+b2解为：x=−2y=3．故选：B．【点评】本题主要考查了二元一次方程（组）和一次函数的综合问题，两直线的交点就是两直线解析式所组成方程组的解，认真体会一次函数与一元一次方程之间的内在联系．【变式5-1】(2023秋•余姚市校级期末）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是 ．【分析】首先利用函数解析式y＝2x求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程kx+b＝2的解可得答案．【解答】解：∵直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），∴2＝2m，∴m＝1，∴P（1，2），∴当x＝1时，y＝kx+b＝2，∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝1，故答案为：x＝1．【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．【变式5-2】(2023春•赵县期末）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组y=ax+by=kx的解是（ ）A．x=−2y=−4 B．x=−4y=−2 C．x=2y=−4 D．x=−4y=2【分析】图可知：两个一次函数的交点坐标为（﹣4，﹣2）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【解答】解：函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣4，﹣2），即x＝﹣4，y＝﹣2同时满足两个一次函数的解析式．所以关于x，y的方程组y=ax+by=kx的解是x=−4y=−2．故选：B．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．【变式5-3】（2023春•泰兴市月考）如果函数y＝2x﹣b（b为常数）与函数y＝x+4的图象的交点坐标是（1，5），那么关于x，y的二元一次方程组2x−y=bx−y=−4的解是 ．【分析】根据两个一次函数图象的交点就是二元一次方程组的解，即可得到答案．【解答】解：根据已知条件，可知一次函数y＝2x﹣b和y＝x+4的图象交于点（1，5），所以关于x，y的方程组y=2x−by=x+4的解是x=1y=5，即关于x，y的方程组2x−y=bx−y=−4的解是x=1y=5，故答案为：x=1y=5．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值．而这一对未知数的值也可同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．【变式5-4】(2023秋•礼泉县期末）如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点P（m，1），则关于x、y的二元一次方程组x+y=4y−kx=b的解是 ．【分析】先利用y＝﹣x+4确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．【解答】解：把P（m，1）代入y＝﹣x+4得﹣m+4＝1，解得m＝3，所以P点坐标为（3，1），所以关于x、y的二元一次方程组x+y=4y−kx=b的解是x=3y=1，故答案为：x=3y=1．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．【变式5-5】(2023秋•菏泽月考）如图，已知直线l1：y＝3x+1与y轴交于点A，且和直线l2：y＝mx+n交于点P（﹣2，a），根据以上信息解答下列问题：（1）求a的值；（2）不解关于x，y的方程组y=3x+1y=mx+n，请你直接写出它的解；（3）判断直线l3：y=−12nx﹣2m是否也经过点P？请说明理由；（4）若直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，求直线l2的函数解析式．【分析】（1）因为点P（﹣2，a）在直线y＝3x+1上，可求出a＝﹣5；（2）因为直线y＝3x+1直线y＝mx+n交于点P，所以方程组y=3x+1y=mx+n的解就是P点的坐标；（3）把点P坐标代入直线l2，得到关于m、n的等式，再把点P代入直线l3，如果得到同样的m、n的关系式，则点P在直线l3上，否则不在．（4）因为直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，所以直线l2过点（3，0），又有直线l2过点P（﹣2，﹣5），可得关于m、n的方程组，解方程组即可．【解答】解：（1）∵（﹣2，a）在直线y＝3x+1上，∴当x＝﹣2时，a＝﹣5；（2）∵直线l1：y＝3x+1与y轴交于点A，且和直线l2：y＝mx+n交于点P（﹣2，﹣5），∴关于x，y的方程组y=3x+1y=mx+n的解为x=−2y=−5；（3）由（2）知点P（﹣2，﹣5），∵点P（﹣2，﹣5）在直线l2：y＝mx+n上，∴﹣2m+n＝﹣5，当x＝﹣2时，直线l3：y=−12nx﹣2m＝﹣2m+n＝﹣5，所以直线l3：y=−12nx﹣2m也经过点P（﹣2，5）；（4）∵直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，∴直线l2过点（3，0），又∵直线l2过点P（﹣2，﹣5），∴3m+n=0−2m+n=−5，解得m=1n=−3．∴直线l2的函数解析式为y＝x﹣3．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法，另外本题还渗透了数形结合的思想．题型五 用一次函数的图象解一元一次不等式【例题5】（2023•瑶海区模拟）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，2），则不等式kx+b＞2的解集为 ．【分析】根据一次函数的图象即可确定不等式kx+b＞2的解集．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，2），∴当x＝0时，kx+b＝2，由图象可知，不等式kx+b＞2的解集为x＜0，故答案为：x＜0．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．【变式5-1】(2023春•岳麓区校级期末）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点（﹣1，3），则不等式kx+b≤3的解集为（ ）A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥3 D．x≤﹣1【分析】根据一次函数的性质和函数图象，可以写出所求不等式的解集．【解答】解：由图象可得，当x＝﹣1时，y＝3，该函数y随x的增大而增大，∴不等式kx+b≤3的解集是x≤﹣1，故选：D．【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式5-2】(2023秋•邗江区校级期末）如图，函数y＝﹣3x和y＝kx+b的图象交于点A（m，4），则关于x的不等式kx+b+3x＜0的解集为 ．【分析】首先将点A的坐标代入正比例函数中求得m的值，然后结合图象直接写出不等式的解集即可．【解答】解：∵函数y＝﹣3x经过点A（m，4），∴﹣3m＝4，解得：m=−43，则关于x的不等式kx+b+3x＜0可以变形为kx+b＜﹣3x，由图象得：kx+b＜﹣3x的解集为x＜−43．故答案为：x＜−43．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是求得m的值，然后利用数形结合的方法确定不等式的解集．【变式5-3】(2023春•海港区期末）如图，直线y＝mx+n与x轴交于点（﹣2，0），与y轴交于点（0，5），则关于x的不等式mx+n＜0的解集为 ．【分析】一次函数y＝mx+n的图象落在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围即为不等式mx+n＜0的解集．【解答】解：∵直线y＝mx+n与x轴交于点（﹣2，0），∴关于x的不等式mx+n＜0的解集为x＜﹣2．故答案为：x＜﹣2．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．【变式5-4】(2023春•秀屿区校级期末）直线y＝k2x和y＝k1x+b如图所示，则关于x的不等式k2x＜k1x+b的解集是 ．【分析】根据一次函数的图象即可确定不等式的解集．【解答】解：根据图象，可知关于x的不等式k2x＜k1x+b的解集是x＜﹣1，故答案为：x＜﹣1．【点评】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．【变式5-5】作出函数y＝2x﹣4的图象，并根据图象回答下列问题：（1）当﹣2≤x≤4时，求函数y的取值范围；（2）当x取什么值时，y＜0，y＝0，y＞0；（3）当x取何值时，﹣4＜y＜2．【分析】本题要求利用图象求解各问题，先求得函数与坐标轴的交点后，画函数图象，根据图象观察，得出函数的增减性后，求得结论．【解答】解：当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝2，即y＝2x﹣4过点（0，﹣4）和点（2，0），过这两点作直线即为y＝2x﹣4的图象，从图象得出函数值随x的增大而增大；（1）当x＝﹣2时，y＝﹣8，当x＝4，y＝4，∴当﹣2≤x≤4时，函数y的取值范围为：﹣8≤y≤4；（2）由于当y＝0时，x＝2，∴当x＜2时，y＜0，当x＝2时，y＝0，当x＞2时，y＞0；（3）∵当y＝﹣4时，x＝0；当y＝2时，x＝3，∴当x的取值范围为：0＜x＜3时，有﹣4＜y＜2．【点评】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．【变式5-6】(2023春•岳麓区校级期末）如图，函数y＝﹣2x+3与y=−12x+m的图象交于P（n，﹣3）．（1）求出m、n的值；（2）结合函数图象，直接写出不等式−12x+m＞﹣2x+3的解集；（3）将函数y＝﹣2x+3的图象向左平移a个单位后得到直线l，若直线l与直线y=−12x+m的交点在y轴上，求a的值．【分析】（1）先把P（n，﹣3）代入y＝﹣2x+3求出n得到P（3，﹣3），然后把P点坐标代入y=−12x+m求出m；（2）写出直线y=−12x+m在直线y＝﹣2x+3的上方所对应的自变量的范围即可；（3）根据便宜点规律表示出直线l的解析式，然后求得直线y=−12x+m的与y轴的交点，代入直线l的解析式即可求得a．【解答】解：（1）把P（n，﹣3）代入y＝﹣2x+3得﹣2n+3＝﹣3，解得n＝3；∴P（3，﹣3），把P（3，﹣3）代入y=−12x+m得﹣3=−12×3+m，解得m=−32；（2）不等式−12x+m＞﹣2x+3的解集为x＞3；（3）在y=−12x−32中，令x＝0，则y=−32，∴直线y=−12x+m与y轴的交点为（0，−32），将函数y＝﹣2x+3的图象向左平移a个单位后得到直线l，则直线l为y＝﹣2（x+a）+3，∵直线l与直线y=−12x+m的交点在y轴上，∴−32=−2（0+a）+3，解得a=94．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合；也考查了一次函数图象与几何变换．题型六 比较一次函数值的大小【例题6】(2023秋•平桂区 期末）如图，已知一次函数y1＝kx﹣b与y2＝nx函数图象相交于点M，当kx﹣b＝nx时，x的值是 ，当y1＞y2时，x的取值范围是 ，当y1＜y2时，x的取值范围是 ．【分析】根据两条直线的交点、结合图象解答即可．【解答】解：由图象可知，当kx﹣b＝nx时，x的值是1，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜1，当y1＜y2时，x的取值范围是x＞1．故答案为：1，x＜1，x＞1．【点评】本题考查的是一次函数与一元一次方程、与一元一次不等式的关系，灵活运用数形结合思想是解题的关键．【变式6-1】(2023春•银川校级期中）函数y1＝2x+4，y2＝5x﹣10，使y1＜y2的x的范围是 ．【分析】先根据题意得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：y1＝2x+4，y2＝5x﹣10，当y1＜y2时，2x+4＜5x﹣10，解得x＞143，所以使y1＜y2的x的范围是x＞143．故答案为：x＞143．【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式的知识，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．【变式6-2】(2023春•城阳区期末）已知函数，y1＝﹣2x+3，y2＝3x+4，则当y1＞y2时，则x的取值范围是 ．【分析】由已知可得不等式﹣2x+3＞3x+4，解不等式即可求解．【解答】解：∵y1＝﹣2x+3，y2＝3x+4，y1＞y2，∴﹣2x+3＞3x+4，∴x＜−15，故答案为x＜−15．【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，理解一次函数与一元一次不等式之间的联系是解题的关键．【变式6-3】(2023春•自贡期末）已知一次函数y1＝x和y2=−x−2(x＜0)2x−2(x≥0)，当y1＞y2时，x的取值范围是 ．【分析】分别解不等式组x＞−x−2x＜0，以及x＞2x−2x≥0，进而得出x的取值范围．【解答】解：解不等式组x＞−x−2x＜0，得﹣1＜x＜0；解不等式组x＞2x−2x≥0，得0≤x＜2，综上可得，﹣1＜x＜2．故答案为：﹣1＜x＜2．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一元一次不等式组的解法，难度适中．此题还可以利用图象法求解．【变式6-4】(2023春•鱼台县期末）已知函数y1＝2x，y2＝x+2，试比较y1、y2的大小关系．【分析】解方程组求得直线y1＝2x与y2＝x+2的交点坐标为（2，4），于是得到结论．【解答】解：解y1=2xy2=x+2得，x=2y=4，∴直线y1＝2x与y2＝x+2的交点坐标为（2，4），∴当x≤2时，y1≤y2；当x＞2时，y1＞y2．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，求得直线y1＝2x与y2＝x+2的交点坐标是解题的关键．【变式6-5】(2023秋•合肥期末）如图，过点B（3，0）的一次函数y1＝﹣x+b的图象与正比例函数y2＝kx的图象相交于点C，且点C的纵坐标是2．（1）求一次函数与正比例函数的解析式；（2）根据图象，写出当y1＞y2＞0时，x的取值范围．【分析】（1）将点B的坐标代入y1＝﹣x+b求b，从而求得一次函数的解析式，然后将y＝2代入y1得到点C的坐标，再把点C的坐标代入正比例函数解析式求k，从而得到正比例函数的解析式；（2）根据图象即可求得．【解答】解：（1）将B（3，0）代入y1＝﹣x+b得，﹣3+b＝0，∴b＝3，∴一次函数的解析式为：y1＝﹣x+3，当y＝2时，x＝1，∴点C（1，2），将点C代入y2＝kx得，k＝2，∴正比例函数的解析式为：y2＝2x，（2）由图象可知，当y1＞y2＞0时，x的取值范围0＜x＜1．【点评】本题考查了一次函数和正比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．【变式6-6】(2023春•原州区期末）利用函数图象回答下列问题：（1）函数y1与函数y2的交点坐标为 ；（2）函数值y1＞y2的解集为 ；（3）函数值y1＜y2的解集为 ．【分析】（1）观察函数的图象y＝2x与y＝﹣x+3相交于点（1，2），从而求解；（2）观察函数的图象，从而求解；（3）观察函数的图象，从而求解；【解答】解：（1）观察图象可知，两函数图象相交于（1，2）．可求出方程组的解为x=1y=2．故答案为：（1，2）．（2）观察图象可知，函数值y1＞y2的解集为x＞1，故答案为：x＞1．（3）观察图象可知，函数值y1＜y2的解集为x＜1，故答案为：x＜1．【点评】此题主要考查一次函数与一元一次不等式，一次函数图形的性质，从图象入手解题较为简单．题型七 两直线相交求面积问题【例题7】（1）在如图所示的平面直角坐标系中，用图象法求二元一次方程组x+y=42x−y=−1，的解；（2）求（1）中图象与x轴所围成的三角形的面积．【分析】（1）作出函数y＝﹣x+4和函数y＝2x+1的图象，由二元一次方程组x+y=42x−y=−1，的解即函数y＝﹣x+4和函数y＝2x+1的图象的交点的横、纵坐标即可求解；（2）分别由图象得出两函数与x轴的交点坐标，代入三角形面积公式即可．【解答】解：（1）在平面直角坐标系中作出函数y＝﹣x+4和函数y＝2x+1的图象：∵二元一次方程组x+y=42x−y=−1，的解即函数y＝﹣x+4和函数y＝2x+1的图象的交点的横、纵坐标，∵由图象知：函数y＝﹣x+4和函数y＝2x+1的图象的交点坐标为（1，3），∴二元一次方程组x+y=42x−y=−1，的解为x=1y=3；（2）由图象知：函数y＝﹣x+4和函数y＝2x+1的图象与x轴的交点坐标分别为（4，0），（﹣0.5，0），∴（1）中图象与x轴所围成的三角形的面积为：12×|4−(−0.5)|×3=274．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．【变式7-1】(2023春•兴庆区校级期中）如图，函数y＝﹣2x+3与y=−12x+m的图象交于点P（n，﹣2）．（1）求出m，n的值．（2）直接写出−12x+m≤−2x+3的解集．（3）求出△ABP的面积．【分析】（1）根据凡是函数图象经过的点必能满足解析式把P点坐标代入y＝﹣2x+3可得n的值，进而可得P点坐标，再把P点坐标代入y=−12x+m可得m的值；（2）根据函数图象可直接得到答案；（3）首先求出A、B两点坐标，进而可得△ABP的面积．【解答】解：（1）∵y＝﹣2x+3过P（n，﹣2）．∴﹣2＝﹣2n+3，解得：n=52，∴P（52，﹣2），∵y=−12x+m的图象过P（52，﹣2）．∴﹣2=−12×52+m，解得：m=−34；（2）不等式−12x+m≤﹣2x+3的解集为x≤52；（3）∵当y＝﹣2x+3中，x＝0时，y＝3，∴A（0，3），∵当y=−12x−34中，x＝0时，y=−34，∴B（0，−34），∴AB＝334；∴△ABP的面积：12AB×52=12×154×52=7516．【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．【变式7-2】(2023春•遂溪县期末）如图，直线y1＝x+1交x轴、y轴于点A、B，直线y2＝﹣2x+4交x、y轴于点C、D，两直线交于点E．（1）求点E的坐标；（2）求△ACE的面积；（3）根据图象直接回答：当x为何值时，y1＜y2？【分析】（1）联立两函数解析式，解方程组可得；（2）先根据函数解析式求得点A、C的坐标，即可得线段AC的长，再根据三角形面积公式计算可得；（3）根据图象即可求得．【解答】解：（1）解y=x+1y=−2x+4得x=1y=2，∴E（1，2）；（2）当y1＝x+1＝0时，解得：x＝﹣1，∴A（﹣1，0），当y2＝﹣2x+4＝0时，解得：x＝2，∴C（2，0），∴AC＝2﹣（﹣1）＝3，∴S△ACE=12AC⋅yE=12×3×2=3；（3）由图象可知，当x＜1时，y1＜y2．【点评】本题主要考查两直线相交或平行的问题，解题的关键是根据两直线解析式求得两者交点的坐标及其与x轴的交点坐标．【变式7-3】如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（2，b）．（1）求b的值；（2）直接写出关于x，y的方程组x−y+1=0，mx−y+n=0的值；（3）若l1交x轴于点A，l2交x轴于点B，且S△PAB＝9，求直线l2对应的函数表达式．【分析】（1）已知点P在l1上，故将点P坐标代入l1函数解析式，即可求得b的值；（2）二元一次方程组的解为l1与l2的交点坐标，根据上问求解即可直接得到方程组的解；（3）在l1上，求出当y＝0时，对应点A的坐标，设出点B坐标，利用三角形面积公式，即可求得点B坐标，分别将点P与点B坐标代入l2函数式，即可求得对应函数表达式．【解答】解：（1）根据题意可知：点P（2，b）在直线y＝x+1上，则2+1＝b，解得b＝3；（2）因为b＝3，∴交点坐标是（2，3），∴方程组的解是x=2y=3；（3）直线l1中，当y＝0时，x＝﹣1，故点A坐标为（﹣1，0），设点B坐标为（t，0），故12×3×（t+1）＝9，解得：t＝5，故点B坐标为（5，0），将点B、点P坐标代入l2方程，可得：3=2m+n0=5m+n，解得：m＝﹣1，n＝5，故直线l2对应函数表达式为：y＝﹣x+5．【点评】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数与方程组之间的关系是解题的关键．题型八 用一次函数与一元一次不等式的实际应用【例题8】(2023春•固原期末）某单位需要用车，准备和一个体车主或一国有出租车公司其中的一家签订合同．设汽车每月行驶xkm，应付给个体车主的月租费是y1元，付给出租车公司的月租费是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系图象是如图的两条直线，观察图象，回答下列问题：（1）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？（2）每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的出租车合算？（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km，那么这个单位租哪家的车合算？【分析】根据图象可知（1）两直线的交点即为每月行驶的路程等于1500km时，租两家车的费用相同；（2）根据图象得到表示个体户的直线在出租公司的直线上时，即y2＜y1时对应的x的范围即可；（3）先判断2300km＞1500km，再结合图象判断哪条直线在下方，代表哪方合算．【解答】解：（1）两条直线在1500km处相交，故每月行驶的路程等于1500km时，租两家车的费用相同；（2）由图可知当y2＜y1时，对应的x的范围是x＜1500km；（3）由图象可知，当x＝2300km＞1500km，y1＜y2，即租用个体户的车合算．【点评】主要考查了一次函数的实际运用和读图能力．从图象中获得所需的信息是需要掌握的基本能力，要理解交点坐标和直线的上下关系在实际问题中的具体含义．【变式8-1】某电信公司推出甲、乙两种收费方式供手机用户选择：甲种方式：每月收月租费5元，每分钟通话费为0.2元；乙种方式：不收月租费，每分钟通话费为0.3元；（1）请分别写出甲乙两种收费方式每月付费y1、y2（元）与通话时间x（分钟）之间函数表达式；（2）如何根据通话时间的多少选择付费方式，请给出你的方案．【分析】（1）根据题意可以直接写出甲乙两种收费与t的关系，从而可以解答本题；（2）令两种收费一样多，求出相应的时间t，然后根据题意即可根据通话时间确定省钱的付费方式．【解答】解：（1）由题意可得，甲种方式的费用为y1＝5+0.2t，乙种方式的费用为y2＝0.3t，（2）当y1＝y2时，即5+0.2t＝0.3t，解得，t＝50，∴当t＜50分钟时，乙种收费方式省钱，当t＝50分钟时，两种收费方式一样，当t＞50分钟时，甲种收费方式省钱．【点评】本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，求出两种花费一样多的时间．【变式8-2】（2023•二道区校级一模）某工厂的销售部门提供两种薪酬计算方式：薪酬方式一：底薪+提成，其中底薪为3000元，每销售一件商品另外获得15元的提成；薪酬方式二：无底薪，每销售一件商品获得30元的提成．设销售人员一个月的销售量为x（件），方式一的销售人员的月收入为y1（元），方式二的销售人员的月收入为y2（元）．（1）请分别写出y1、y2与x之间的函数表达式；（2）哪种薪酬计算方式更适合销售人员？【分析】（1）根据已知直接可得y1、y2与x之间的函数表达式；（2）由（1）的表达式，分别列方程和不等式，即可解得答案．【解答】解：（1）根据题意得：y1与x之间的函数表达式为y1＝3000+15x，y2与x之间的函数表达式为y2＝30x；（2）由3000+15x＝30x，解得：x＝200，∴当x＝200时，选择两种薪酬计算方式对销售人员一样，当3000+15x＜30x时，解得x＞200，∴当x＞200时，薪酬方式二计算方式更适合销售人员．当3000+15x＞30x时，解得x＜200，∴当x＜200时薪酬方式一计算方式更适合销售人员，综上所述，当x＜200时薪酬方式一计算方式更适合销售人员，当x＝200时，选择两种薪酬计算方式对销售人员一样，当x＞200时，薪酬方式二计算方式更适合销售人员．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，通过方程（或不等式））解答．【变式8-3】(2023秋•大丰区期末）某中学计划寒假期间安排4名老师带领部分学生参加红色旅游．甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人1000元．经协商，甲旅行社的优惠条件是：老师、学生都按八折收费；乙旅行社的优惠条件是：四位老师全额收费，学生都按七折收费．（1）设参加这次红色旅游的老师和学生共有x名，y甲，y乙（单位：元）分别表示选择甲、乙两家旅行社所需的费用，求y甲，y乙关于x的函数解析式；（2）若该校共有30名老师和学生参加活动，则选择哪家旅行社支付的旅游费用较少？【分析】（1）甲旅行社需要的费用为：0.8×1000x，；乙旅行社的收费为：2×1000+0.75×1000×（x﹣2）；（2）将x＝30分别代入（1）求得的函数解析式，计算即可求解．【解答】解：（1）y甲＝0.8×1000x＝800x，y乙＝4×1000+0.7×1000×（x﹣4）＝700x+1200；（2）当x＝30时，y甲＝800x＝800×30＝24000，y乙＝700x+1200＝700×30+1200＝22200，y甲＞y乙，答：选择乙旅行社支付的旅游费用较少．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，得出相应的函数解析式．【变式8-4】(2023春•永川区期末）已知A、B两地的路程为240千米．某经销商每天都要用汽车或火车将x吨保鲜品一次性由A地运往B地．受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订．现有货运收费项目及收费标准表、行驶路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数图象（如图）等信息如下：货运收费项目及收费标准表（1）汽车的速度为多少？火车的速度为多少？（2）设每天用汽车和火车运输的总费用分别为y汽（元）和y火（元），分别求y汽、y火与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；（3）当x为何值时，y汽＞y火．（总费用＝运输费+冷藏费+固定费用）【分析】（1）根据函数图象可得汽车的速度为60千米/时，火车的速度100千米/时；（2）根据总费用＝运输费+冷藏费+固定费用可得y汽＝500x+200，y火＝396x+2280；（3）由500x+200＞396x+2280可解得答案．【解答】解：（1）根据函数图象可知：汽车的速度为120÷2＝60（千米/时），火车的速度为200÷2＝100（千米/时）；答：汽车的速度为60千米/时，火车的速度100千米/时；（2）根据表格可得：y汽＝240×2x+24060×5x+200＝500x+200，y火＝240×1.6x+240100×5x+2280＝396x+2280，答：每天用汽车运输的总费用分别为y汽＝500x+200，每天用火车运输的总费用y火＝396x+2280；（3）当y汽＞y火时，500x+200＞396x+2280，解得x＞20，答：当y汽＞y火时，x＞20．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．【变式8-5】（2023•中原区校级三模）为了积极助力脱贫攻坚工作，如期打赢脱贫攻坚战，某驻村干部带领村民种植草莓，在每年成熟期都会吸引很多人到果园去采摘．现有甲、乙两家果园可供采摘，这两家草莓的品质相同，售价均为每千克30元，这两家果园的采摘方案不同．甲果园：每人需购买20元的门票一张，采摘的草莓按6折优惠；乙果园：不需要购买门票，采摘的草莓按售价付款不优惠．设小明和爸爸妈妈三个人采摘的草莓数量为x千克，在甲、乙果园采摘所需总费用分别为y甲、y乙元，其函数图象如图所示．（1）请分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式；（2）请求出图中点A的坐标并说明点A表示的实际意义；（3）请根据函数图象，直接写出小明一家选择哪家果园采摘更合算．【分析】（1）根据函数图象和图象中的数据可以解答本题；（2）根据（1）的结论，联立方程组解答即可；（3）根据（1）的结论列不等式或方程解答即可．【解答】解：（1）根据题意得y甲＝30×0.6×x+20×3＝18x+60，设y乙＝k2x，∵点（10，30）在y乙上根据题意得，10k2＝300，解得k2＝30，∴y乙＝30x；（2）联立y=18x+60y=30x，解得x=5y=150，∴点A的坐标为（5，150），点A的实际意义是当采摘量为5千克时，到两家果园所需总费用相同均为150元；（3）由（2）知点A的坐标为（5，150），观察图象知：当采摘量大于5千克时，到甲果园更划算；当采摘量等于5千克时，两家果园所需总费用相同，所以到甲乙果园哪家都可以；当采摘量小于5千克时，到家乙果园更划算．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．题型九 方程（组）、不等式（组）与一次函数性质的综合应用【例题9】已知一服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M，N两种型号的时装共80套．已知做一套M型号的时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利50元；做一套N型号的时装需用A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利45元．设生产M型号的时装套数为x，解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；（2）当生产M型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得x的取值范围，然后即可得到相应的生产方案；（2）根据题意，可以得到利润与生产M型号的时装套数的函数关系，再根据x的取值范围和一次函数的性质，即可得到当生产M型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大，最大利润是多少．【解答】解：（1）设生产M型号的时装x套，则生产N型号的时装（80﹣x）套，1.1x+0.6(80−x)≤700.4x+0.9(80−x)≤52，解得40≤x≤44，∵x为整数，∴x＝40，41，42，43，44，∴有5种符合题意的生产方案；（2）设该厂所获利润为y元，由题意可得，y＝50x+45（80﹣x）＝5x+3600，∵k＝5，∴y随x的增大而增大，∵x＝40，41，42，43，44，∴当x＝44时，y取得最大值，此时y＝3820，答：当生产M型号的时装为44套时，能使该厂所获利润最大，最大利润是3820元．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．【变式9-1】（2023•秦都区校级模拟）某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示：（1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？（2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套（10≤m≤20），当把购进的两种多媒体全部售出，求购进A种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；（2）根据题意可以写出利润与m的函数关系式，然后根据m的取值范围和一次函数的性质，可以求得利润的最大值．【解答】解：（1）设购进A种多媒体a套，B种多媒体b套，由题意可得：a+b=503a+2.4b=132，解得a=20b=30，答：购进A种多媒体20套，B种多媒体30套；（2）设利润为w元，由题意可得：w＝（3.3﹣3）m+（2.8﹣2.4）×（50﹣m）＝﹣0.1m+20，∴w随m的增大而减小，∵10≤m≤20，∴当m＝10时，w取得最大值，此时w＝19，答：购进A种多媒体10套时，能获得最大利润，最大利润是19万元．【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．【变式9-2】(2023•临渭区一模）2020年4月20日，国家主席习近平在陕西柞水县考察，点赞当地特产﹣﹣柞水木耳，称赞到“小木耳、大产业”，要将其发展成“帮助群众脱贫致富、推动乡村振兴”的特色产业．王师傅在政府的扶持下种植了A、B两个品种的木耳共3亩，两种木耳的成本（包括种植成本和设备成本）和售价如表：设种植A品种木耳x亩，若3亩地全部种植两种木耳共获得利润y万元．（利润＝售价﹣种植成本﹣设备成本）（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若A品种木耳的种植亩数不少于B品种木耳种植亩数的1.5倍，则种植A品种木耳种植多少亩时利润最大？并求最大利润．【分析】（1）根据题意，可以写出y与x的函数关系式；（2）根据A品种木耳的种植亩数不少于B品种木耳种植亩数的1.5倍，可以求得x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到种植A品种木耳种植多少亩时利润最大，并求出此时的最大利润．【解答】解：（1）由题意可得，y＝（3.5﹣1.5﹣0.2）x+（4.3﹣2﹣0.3）×（3﹣x）＝﹣0.2x+6，即y与x的函数关系式为y＝﹣0.2x+6；（2）∵A品种木耳的种植亩数不少于B品种木耳种植亩数的1.5倍，∴x≥1.5（3﹣x），解得，x≥1.8，∵y＝﹣0.2x+6，k＝﹣0.2，∴y随x的增大而减小，∴当x＝1.8时，y取得最大值，此时y＝5.64，答：种植A品种木耳种植1.8亩时利润最大，最大利润是5.64万元．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．【变式9-3】(2023•开福区模拟）为加强校园文化建设，某校准备打造校园文化墙，需用甲、乙两种石材经市场调查，甲种石材的费用y（元）与使用面积x（m2）间的函数关系如图所示，乙种石材的价格为每平方米50元．（1）求y与x间的函数解析式；（2）若校园文化墙总面积共600m2，其中使用甲石材xm2，设购买两种石材的总费用为w元，请直接写出w与x间的函数解析式；（3）在（2）的前提下，若甲种石材使用面积多于300m2，且不超过乙种石材面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种石材的面积才能使总费用最少？最少总费用为多少元？【分析】（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．（2）根据（1）的结论，即可得出w与x间的函数解析式．（3）设甲种石材为 am2，则乙种石材（600﹣a）m2，根据实际意义可以确定a的范围，结合（2）的结论，利用一次函数的性质解答即可．【解答】解：（1）①0≤x≤300时，设y＝kx+b（k≠0），过（0，0），（300，24000），b=0300k+b=24000，解得k=80b=0，∴y＝80x，②x＞300时，设y＝kx+b（k≠0），过（300，24000），（500，30000），300k+b=24000500k+b=30000，解得k=30b=15000，∴y＝30x+15000，∴y=80x(0≤x≤300)30x+15000(x＞300)；（2）当0≤x≤300时，w＝80x+50（600﹣x）＝30x+30000；当300＜x＜600时，w＝30x+15000+50（600﹣x），即w＝﹣20x+45000；∴w=30+30000(0≤x≤300)−20x+45000(300＜x＜600)；（3）设甲种石材为 am2，则乙种石材（600﹣a）m2，x＞300x≤2(600−x)，∴300＜x≤400，由（2）知w＝﹣20x+45000，∵k＝﹣20＜0，∴W随x的增大而减小，即甲400m2，乙200m2时，Wmin＝﹣20×400+45000＝37000．答：甲种石材400m2，乙种石材200m2时，总费用最少，最少总费用为37000元．【点评】本题主要考查了一次函数的图象以及一元一次不等式组的应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键． 解题技巧提炼解关于x 的一元一次方程ax+b＝0（a，b为常数，a≠0），从“数”的角度来看,相当于当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值；从“形”的角度来看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴交点的横坐标值．x…﹣1.5012…y…631﹣1…解题技巧提炼交点法：求一次函数的图象与坐标轴的交点，令y=0，解方程即得与x轴的交点；令x=0，解方程即得与y轴的交点 .解题技巧提炼用图象法解二元一次方程组的基本方法：（1）将方程组的两个方程转化为一次函数y＝kx+b 的形式；（2）在同一直角坐标系中画出两函数的图象；（3）利用图象直接确定交点坐标；（4）得出方程组的解.解题技巧提炼利用二元一次方程组的解可以确定两个一次函数图象的交点坐标，反之，根据两个一次函数图象的交点坐标，可以确定二元一次方程组的解.解题技巧提炼1、代数法：将题中信息转化为解不等式，可求出不等式的解集；2、图象法：先找出直线与坐标轴的交点，画出函数的图象，再观察图象，确定两直线的交点坐标，最后观察图象交点两侧直线的位置，直接得出不等式的解集.解题技巧提炼确定在自变量的某个取值范围内两个函数值的大小时，往往将问题转化到不等式中进行解决.解题技巧提炼1、本题运用一次函数与方程（组）的关系求出三角形三个顶点的坐标，然后利用坐标求出三角形的面积.2、运用一次函数与方程（组）的关系是求点的坐标常用的方法.解题技巧提炼本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与一元一次不等式关系的知识，充分利用图象中数据信息，正确应用待定系数法求解析式以及构造不等式是解题关键．运输工具运输费单价：元/（吨•千米）冷藏费单价：元/（吨时）固定费用：元/次汽车25200火车1.652280解题技巧提炼一次函数、二元一次方程（组）与不等式（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组）或不等式（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．AB进价（万元/套）32.4售价（万元/套）3.32.8品种种植成本（万元/亩）售价（万元/亩）设备成本（万元/亩）A1.53.50.2B24.30.3
八年级下册数学《第十九章 一次函数》19.6 一次函数与方程、不等式知识点一一次函数与一元一次方程的关系◆1、由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴交点的横坐标值．◆2、对于一次函数y＝ax+b（a≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来解.◆3、一元一次方程ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）与一次函数y＝ax+b（a，b为常数，a≠0）的关系如下：（1）ax+b＝0（a≠0）的解⇔函数y＝ax+b（a≠0）中，y=0时，x的值.（2）ax+b＝0（a≠0）的解⇔直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标.◆4、用一次函数的图象解一元一次方程的一般步骤：①转化：将一元一次方程转化为一次函数；②画图象：画出一次函数的图象；③找交点：找出一次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为一元一次方程的解.知识点二一次函数与一元一次不等式的关系◆1、一次函数与一元一次不等式的关系:从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．◆2、用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或kx+b＜0）对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（−bk，0）．当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞−bk，不等式kx+b＜0的解为：x＜−bk；当k＜0时，不等式kx+b＞0的解为：x＜−bk，不等式kx+b＜0的解为：x＞−bk．知识点三一次函数与二元一次方程（组）的关系◆一次函数与二元一次方程（组）的关系：一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应着一个一次函数，于是也对应着一条直线，这条直线上每个点的坐标（x, y）都是这个二元一次方程的解.因此，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组都对应两个一次函数，也就是两条直线.从“数”的角度看，解方程组，相当于当求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解方程组，相当于确定的两条直线的交点坐标.题型一 利用一次函数解一元一次方程【例题1】(2023秋•中卫期中）已知一次函数y＝2x+n的图象如图所示，则方程2x+n＝0的解可能是（ ）A．x＝1 B．x=−12 C．x=32 D．x＝﹣1【变式1-1】(2023春•武邑县校级期末）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点P（﹣3，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（ ）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．无法确定【变式1-2】(2023秋•淮北月考）如图，直线y＝ax+b过点（0，﹣2）和点（﹣3，0），则方程ax+b+1＝0的解是（ ）A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝﹣1.5 D．x＝﹣1【变式1-3】（2023•临渭区一模）已知直线y＝﹣3x与y＝kx+2相交于点P（m，3），则关于x的方程kx+2＝﹣3x的解是（ ）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3【变式1-4】(2023春•阜平县期末）若关于x的方程﹣2x+b＝0的解为x＝2，则直线y＝﹣2x+b一定经过点（ ）A．（2，0） B．（0，2） C．（4，0） D．（2，5）【变式1-5】(2023•海珠区校级二模）已知一次函数y＝ax+2的图象与x轴的交点坐标为（3，0），则一元一次方程ax+2＝0的解为（ ）A．x＝3 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝a【变式1-6】(2023春•凤山县期末）已知函数y＝kx+b的部分函数值如表所示，则关于x的方程kx+b﹣5＝0的解是（ ）A．1 B．32 C．﹣1 D．−52题型二 利用解一元一次方程确定一次函数与坐标轴交点坐标【例题2】(2023秋•丰顺县校级期末）已知方程kx+b＝0的解是x=32，则函数y＝kx+b的图象可能是（ ）A． B． C． D．【变式2-1】已知关于x的一元一次方程kx+b=0的解是x=﹣2，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，2），则这个一次函数的表达式是 ．【变式2-2】(2023春•建瓯市校级月考）已知一次函数y＝﹣2x+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，O为坐标原点．若S△AOB＝6，求一次函数解析式．【变式2-3】(2023春•甘井子区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，请根据函数图象回答下列问题：（1）与x轴交点A的坐标是 ，与y轴交点B的坐标是 ；（2）由函数图象可知，当﹣2x+4＝0时，x的值是 ，当﹣2x+4＞0时，x的取值范围是 ；（3）当y＝﹣1时，求x的值．【变式2-4】(2023春•聊城期末）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4）．（1）求点D的坐标；（2）求直线CE：y＝﹣2x﹣4与直线AB及y轴围成图形的面积；题型三 利用一次函数的图象解二元一次方程（组）【例题3】用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图）．则所解的二元一次方程组是（ ）A．y=2x+1y=x+2 B．y=3x+1y=x−5 C．y=−2x+1y=x−1 D．y=−x+3y=3x−5【变式3-1】下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程2x﹣y＝2的解的是（ ）A． B． C． D．【变式3-2】下面四条直线，其中直线上的每一个点的坐标都是二元一次方程2x﹣3y＝6的解的是（ ）A． B． C． D．【变式3-3】用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图所示，则所解的二元一次方程组是（ ）A．x+y−2=02x−y−1=0 B．2x+y−1=03x+2y−5=0 C．2x−y−1=03x−2y−1=0 D．x+y−2=03x−2y−1=0【变式3-4】如图中的两直线l1、l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解（ ）A．y=−13x−1y=−2x+4 B．y=13x−1y=−2x+4 C．y=−13x−1y=−2x−4 D．y=3x−1y=−2x+4【变式3-5】(2023秋•康定市期末）已知一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点A（0，2），与x轴交于点B（4，0），与正比例函数y＝mx的图象交于点C．（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；（2）若点C（2，a），请直接写出方程组mx−y=0kx−y=−b的解．题型四 方程组与两直线的交点坐标问题【例题4】（2011•百色）两条直线y＝k1x+b1和y＝k2x+b2相交于点A（﹣2，3），则方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解是（ ）A．x=2y=3 B．x=−2y=3 C．x=3y=−2 D．x=3y=2【变式5-1】(2023秋•余姚市校级期末）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是 ．【变式5-2】(2023春•赵县期末）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组y=ax+by=kx的解是（ ）A．x=−2y=−4 B．x=−4y=−2 C．x=2y=−4 D．x=−4y=2【变式5-3】（2023春•泰兴市月考）如果函数y＝2x﹣b（b为常数）与函数y＝x+4的图象的交点坐标是（1，5），那么关于x，y的二元一次方程组2x−y=bx−y=−4的解是 ．【变式5-4】(2023秋•礼泉县期末）如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点P（m，1），则关于x、y的二元一次方程组x+y=4y−kx=b的解是 ．【变式5-5】(2023秋•菏泽月考）如图，已知直线l1：y＝3x+1与y轴交于点A，且和直线l2：y＝mx+n交于点P（﹣2，a），根据以上信息解答下列问题：（1）求a的值；（2）不解关于x，y的方程组y=3x+1y=mx+n，请你直接写出它的解；（3）判断直线l3：y=−12nx﹣2m是否也经过点P？请说明理由；（4）若直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，求直线l2的函数解析式．题型五 用一次函数的图象解一元一次不等式【例题5】（2023•瑶海区模拟）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，2），则不等式kx+b＞2的解集为 ．【变式5-1】(2023春•岳麓区校级期末）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点（﹣1，3），则不等式kx+b≤3的解集为（ ）A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥3 D．x≤﹣1【变式5-2】(2023秋•邗江区校级期末）如图，函数y＝﹣3x和y＝kx+b的图象交于点A（m，4），则关于x的不等式kx+b+3x＜0的解集为 ．【变式5-3】(2023春•海港区期末）如图，直线y＝mx+n与x轴交于点（﹣2，0），与y轴交于点（0，5），则关于x的不等式mx+n＜0的解集为 ．【变式5-4】(2023春•秀屿区校级期末）直线y＝k2x和y＝k1x+b如图所示，则关于x的不等式k2x＜k1x+b的解集是 ．【变式5-5】作出函数y＝2x﹣4的图象，并根据图象回答下列问题：（1）当﹣2≤x≤4时，求函数y的取值范围；（2）当x取什么值时，y＜0，y＝0，y＞0；（3）当x取何值时，﹣4＜y＜2．【变式5-6】(2023春•岳麓区校级期末）如图，函数y＝﹣2x+3与y=−12x+m的图象交于P（n，﹣3）．（1）求出m、n的值；（2）结合函数图象，直接写出不等式−12x+m＞﹣2x+3的解集；（3）将函数y＝﹣2x+3的图象向左平移a个单位后得到直线l，若直线l与直线y=−12x+m的交点在y轴上，求a的值．题型六 比较一次函数值的大小【例题6】(2023秋•平桂区 期末）如图，已知一次函数y1＝kx﹣b与y2＝nx函数图象相交于点M，当kx﹣b＝nx时，x的值是 ，当y1＞y2时，x的取值范围是 ，当y1＜y2时，x的取值范围是 ．【变式6-1】(2023春•银川校级期中）函数y1＝2x+4，y2＝5x﹣10，使y1＜y2的x的范围是 ．【变式6-2】(2023春•城阳区期末）已知函数，y1＝﹣2x+3，y2＝3x+4，则当y1＞y2时，则x的取值范围是 ．【变式6-3】(2023春•自贡期末）已知一次函数y1＝x和y2=−x−2(x＜0)2x−2(x≥0)，当y1＞y2时，x的取值范围是 ．【变式6-4】(2023春•鱼台县期末）已知函数y1＝2x，y2＝x+2，试比较y1、y2的大小关系．【变式6-5】(2023秋•合肥期末）如图，过点B（3，0）的一次函数y1＝﹣x+b的图象与正比例函数y2＝kx的图象相交于点C，且点C的纵坐标是2．（1）求一次函数与正比例函数的解析式；（2）根据图象，写出当y1＞y2＞0时，x的取值范围．【变式6-6】(2023春•原州区期末）利用函数图象回答下列问题：（1）函数y1与函数y2的交点坐标为 ；（2）函数值y1＞y2的解集为 ；（3）函数值y1＜y2的解集为 ．题型七 两直线相交求面积问题【例题7】（1）在如图所示的平面直角坐标系中，用图象法求二元一次方程组x+y=42x−y=−1，的解；（2）求（1）中图象与x轴所围成的三角形的面积．【变式7-1】(2023春•兴庆区校级期中）如图，函数y＝﹣2x+3与y=−12x+m的图象交于点P（n，﹣2）．（1）求出m，n的值．（2）直接写出−12x+m≤−2x+3的解集．（3）求出△ABP的面积．【变式7-2】(2023春•遂溪县期末）如图，直线y1＝x+1交x轴、y轴于点A、B，直线y2＝﹣2x+4交x、y轴于点C、D，两直线交于点E．（1）求点E的坐标；（2）求△ACE的面积；（3）根据图象直接回答：当x为何值时，y1＜y2？【变式7-3】如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（2，b）．（1）求b的值；（2）直接写出关于x，y的方程组x−y+1=0，mx−y+n=0的值；（3）若l1交x轴于点A，l2交x轴于点B，且S△PAB＝9，求直线l2对应的函数表达式．题型八 用一次函数与一元一次不等式的实际应用【例题8】(2023春•固原期末）某单位需要用车，准备和一个体车主或一国有出租车公司其中的一家签订合同．设汽车每月行驶xkm，应付给个体车主的月租费是y1元，付给出租车公司的月租费是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系图象是如图的两条直线，观察图象，回答下列问题：（1）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？（2）每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的出租车合算？（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km，那么这个单位租哪家的车合算？【变式8-1】某电信公司推出甲、乙两种收费方式供手机用户选择：甲种方式：每月收月租费5元，每分钟通话费为0.2元；乙种方式：不收月租费，每分钟通话费为0.3元；（1）请分别写出甲乙两种收费方式每月付费y1、y2（元）与通话时间x（分钟）之间函数表达式；（2）如何根据通话时间的多少选择付费方式，请给出你的方案．【变式8-2】（2023•二道区校级一模）某工厂的销售部门提供两种薪酬计算方式：薪酬方式一：底薪+提成，其中底薪为3000元，每销售一件商品另外获得15元的提成；薪酬方式二：无底薪，每销售一件商品获得30元的提成．设销售人员一个月的销售量为x（件），方式一的销售人员的月收入为y1（元），方式二的销售人员的月收入为y2（元）．（1）请分别写出y1、y2与x之间的函数表达式；（2）哪种薪酬计算方式更适合销售人员？【变式8-3】(2023秋•大丰区期末）某中学计划寒假期间安排4名老师带领部分学生参加红色旅游．甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人1000元．经协商，甲旅行社的优惠条件是：老师、学生都按八折收费；乙旅行社的优惠条件是：四位老师全额收费，学生都按七折收费．（1）设参加这次红色旅游的老师和学生共有x名，y甲，y乙（单位：元）分别表示选择甲、乙两家旅行社所需的费用，求y甲，y乙关于x的函数解析式；（2）若该校共有30名老师和学生参加活动，则选择哪家旅行社支付的旅游费用较少？【变式8-4】(2023春•永川区期末）已知A、B两地的路程为240千米．某经销商每天都要用汽车或火车将x吨保鲜品一次性由A地运往B地．受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订．现有货运收费项目及收费标准表、行驶路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数图象（如图）等信息如下：货运收费项目及收费标准表（1）汽车的速度为多少？火车的速度为多少？（2）设每天用汽车和火车运输的总费用分别为y汽（元）和y火（元），分别求y汽、y火与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；（3）当x为何值时，y汽＞y火．（总费用＝运输费+冷藏费+固定费用）【变式8-5】（2023•中原区校级三模）为了积极助力脱贫攻坚工作，如期打赢脱贫攻坚战，某驻村干部带领村民种植草莓，在每年成熟期都会吸引很多人到果园去采摘．现有甲、乙两家果园可供采摘，这两家草莓的品质相同，售价均为每千克30元，这两家果园的采摘方案不同．甲果园：每人需购买20元的门票一张，采摘的草莓按6折优惠；乙果园：不需要购买门票，采摘的草莓按售价付款不优惠．设小明和爸爸妈妈三个人采摘的草莓数量为x千克，在甲、乙果园采摘所需总费用分别为y甲、y乙元，其函数图象如图所示．（1）请分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式；（2）请求出图中点A的坐标并说明点A表示的实际意义；（3）请根据函数图象，直接写出小明一家选择哪家果园采摘更合算．题型九 方程（组）、不等式（组）与一次函数性质的综合应用【例题9】已知一服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M，N两种型号的时装共80套．已知做一套M型号的时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利50元；做一套N型号的时装需用A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利45元．设生产M型号的时装套数为x，解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；（2）当生产M型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大？最大利润是多少？【变式9-1】（2023•秦都区校级模拟）某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示：（1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？（2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套（10≤m≤20），当把购进的两种多媒体全部售出，求购进A种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？【变式9-2】(2023•临渭区一模）2020年4月20日，国家主席习近平在陕西柞水县考察，点赞当地特产﹣﹣柞水木耳，称赞到“小木耳、大产业”，要将其发展成“帮助群众脱贫致富、推动乡村振兴”的特色产业．王师傅在政府的扶持下种植了A、B两个品种的木耳共3亩，两种木耳的成本（包括种植成本和设备成本）和售价如表：设种植A品种木耳x亩，若3亩地全部种植两种木耳共获得利润y万元．（利润＝售价﹣种植成本﹣设备成本）（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若A品种木耳的种植亩数不少于B品种木耳种植亩数的1.5倍，则种植A品种木耳种植多少亩时利润最大？并求最大利润．【变式9-3】(2023•开福区模拟）为加强校园文化建设，某校准备打造校园文化墙，需用甲、乙两种石材经市场调查，甲种石材的费用y（元）与使用面积x（m2）间的函数关系如图所示，乙种石材的价格为每平方米50元．（1）求y与x间的函数解析式；（2）若校园文化墙总面积共600m2，其中使用甲石材xm2，设购买两种石材的总费用为w元，请直接写出w与x间的函数解析式；（3）在（2）的前提下，若甲种石材使用面积多于300m2，且不超过乙种石材面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种石材的面积才能使总费用最少？最少总费用为多少元？ 解题技巧提炼解关于x 的一元一次方程ax+b＝0（a，b为常数，a≠0），从“数”的角度来看,相当于当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值；从“形”的角度来看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴交点的横坐标值．x…﹣1.5012…y…631﹣1…解题技巧提炼交点法：求一次函数的图象与坐标轴的交点，令y=0，解方程即得与x轴的交点；令x=0，解方程即得与y轴的交点 .解题技巧提炼用图象法解二元一次方程组的基本方法：（1）将方程组的两个方程转化为一次函数y＝kx+b 的形式；（2）在同一直角坐标系中画出两函数的图象；（3）利用图象直接确定交点坐标；（4）得出方程组的解.解题技巧提炼利用二元一次方程组的解可以确定两个一次函数图象的交点坐标，反之，根据两个一次函数图象的交点坐标，可以确定二元一次方程组的解.解题技巧提炼1、代数法：将题中信息转化为解不等式，可求出不等式的解集；2、图象法：先找出直线与坐标轴的交点，画出函数的图象，再观察图象，确定两直线的交点坐标，最后观察图象交点两侧直线的位置，直接得出不等式的解集.解题技巧提炼确定在自变量的某个取值范围内两个函数值的大小时，往往将问题转化到不等式中进行解决.解题技巧提炼1、本题运用一次函数与方程（组）的关系求出三角形三个顶点的坐标，然后利用坐标求出三角形的面积.2、运用一次函数与方程（组）的关系是求点的坐标常用的方法.解题技巧提炼本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与一元一次不等式关系的知识，充分利用图象中数据信息，正确应用待定系数法求解析式以及构造不等式是解题关键．运输工具运输费单价：元/（吨•千米）冷藏费单价：元/（吨时）固定费用：元/次汽车25200火车1.652280解题技巧提炼一次函数、二元一次方程（组）与不等式（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组）或不等式（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．AB进价（万元/套）32.4售价（万元/套）3.32.8品种种植成本（万元/亩）售价（万元/亩）设备成本（万元/亩）A1.53.50.2B24.30.3八年级下册数学《第十九章 一次函数》19.6 一次函数与方程、不等式知识点一一次函数与一元一次方程的关系◆1、由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴交点的横坐标值．◆2、对于一次函数y＝ax+b（a≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来解.◆3、一元一次方程ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）与一次函数y＝ax+b（a，b为常数，a≠0）的关系如下：（1）ax+b＝0（a≠0）的解⇔函数y＝ax+b（a≠0）中，y=0时，x的值.（2）ax+b＝0（a≠0）的解⇔直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标.◆4、用一次函数的图象解一元一次方程的一般步骤：①转化：将一元一次方程转化为一次函数；②画图象：画出一次函数的图象；③找交点：找出一次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为一元一次方程的解.知识点二一次函数与一元一次不等式的关系◆1、一次函数与一元一次不等式的关系:从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．◆2、用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或kx+b＜0）对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（−bk，0）．当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞−bk，不等式kx+b＜0的解为：x＜−bk；当k＜0时，不等式kx+b＞0的解为：x＜−bk，不等式kx+b＜0的解为：x＞−bk．知识点三一次函数与二元一次方程（组）的关系◆一次函数与二元一次方程（组）的关系：一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应着一个一次函数，于是也对应着一条直线，这条直线上每个点的坐标（x, y）都是这个二元一次方程的解.因此，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组都对应两个一次函数，也就是两条直线.从“数”的角度看，解方程组，相当于当求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解方程组，相当于确定的两条直线的交点坐标.题型一 利用一次函数解一元一次方程【例题1】(2023秋•中卫期中）已知一次函数y＝2x+n的图象如图所示，则方程2x+n＝0的解可能是（ ）A．x＝1 B．x=−12 C．x=32 D．x＝﹣1【分析】直接根据函数图象与x轴的交点进行解答即可．【解答】解：∵一次函数y＝2x+n的图象与x轴的交点在（0，0）和（﹣1，0）之间，∴方程2x+n＝0的解可能是在0和﹣1之间．观察选项，只有选项B符合题意．故选：B．【点评】本题考查的是一次函数与一元一次方程，能根据数形结合求出x的取值范围是解答此题的关键．【变式1-1】(2023春•武邑县校级期末）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点P（﹣3，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（ ）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．无法确定【分析】根据题意，可知当x＝﹣3时，y＝kx+b＝2，根据图象即可求解．【解答】解：根据题意，可知当x＝﹣3时，y＝kx+b＝2，∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝﹣3．故选：C．【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，结合图象解方程是解题的关键．【变式1-2】(2023秋•淮北月考）如图，直线y＝ax+b过点（0，﹣2）和点（﹣3，0），则方程ax+b+1＝0的解是（ ）A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝﹣1.5 D．x＝﹣1【分析】所求方程的解，即为函数y＝ax+b图象与直线y＝﹣1的交点横坐标，确定出解即可．【解答】解：把点（0，﹣2）和点（﹣3，0）代入y＝ax+b得，−3k+b=0b=−2，解得k=−23b=−2，∴y=−23x﹣2，当y＝﹣1时，即−23x﹣2＝﹣1，解得x=−32，故方程ax+b+1＝0的解是﹣1.5，故选：C．【点评】此题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．【变式1-3】（2023•临渭区一模）已知直线y＝﹣3x与y＝kx+2相交于点P（m，3），则关于x的方程kx+2＝﹣3x的解是（ ）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3【分析】先把点P（m，3）代入直线y＝﹣3x求出m的值，故可得出P点坐标，再根据交点坐标进行解答即可．【解答】解：∵直线y＝﹣3x和直线y＝kx+2的图象相交于点P（m，3），∴3＝﹣3m，解得m＝﹣1，∴P（﹣1，3），∴关于x的方程kx+2＝﹣3x的解是为x＝﹣1，故选：A．【点评】本题考查的是一次函数与一元一次方【变式1-4】(2023春•阜平县期末）若关于x的方程﹣2x+b＝0的解为x＝2，则直线y＝﹣2x+b一定经过点（ ）A．（2，0） B．（0，2） C．（4，0） D．（2，5）【分析】根据方程可知当x＝2，y＝0，从而可判断直线y＝﹣2x+b经过点（2，0）．【解答】解：由方程的解可知：当x＝2时，﹣2x+b＝0，即当x＝2，y＝0，∴直线y＝﹣2x+b的图象一定经过点（2，0），故选：A．【点评】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．程，熟知函数与方程的关系是解答此题的关键．【变式1-5】(2023•海珠区校级二模）已知一次函数y＝ax+2的图象与x轴的交点坐标为（3，0），则一元一次方程ax+2＝0的解为（ ）A．x＝3 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝a【分析】根据图象经过点（3，0），即把（3，0）代入函数解析式成立，即方程成立，据此即可判断．【解答】解：根据题意当x＝3时，y＝0，即方程ax+2＝0成立，则方程的解是x＝3．故选：A．【点评】本题考查了一次函数与方程的解的关系，函数图象上的点的坐标满足函数的解析式，即若把函数解析式作为方程，坐标对应的值就是方程的解．【变式1-6】(2023春•凤山县期末）已知函数y＝kx+b的部分函数值如表所示，则关于x的方程kx+b﹣5＝0的解是（ ）A．1 B．32 C．﹣1 D．−52【分析】根据表格把x＝0，y＝3和x＝1，y＝1分别代入y＝kx+b得出3=b1=k+b，求出k、b的值，再把k、b的值代入方程kx+b﹣5＝0，最后求出方程的解即可．【解答】解：把x＝0，y＝3和x＝1，y＝1分别代入y＝kx+b，得3=b1=k+b，解得：k＝﹣2，b＝3，即y＝﹣2x+3，∴方程kx+b﹣5＝0变形为﹣2x+3﹣5＝0，解得：x＝﹣1，即关于x的方程kx+b﹣5＝0的解是x＝﹣1，故选：C．【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程和一次函数的性质，能求出k、b的值是解此题的关键．题型二 利用解一元一次方程确定一次函数与坐标轴交点坐标【例题2】(2023秋•丰顺县校级期末）已知方程kx+b＝0的解是x=32，则函数y＝kx+b的图象可能是（ ）A． B． C． D．【分析】根据方程的解得出函数y＝kx+b与x轴的交点坐标，然后判断即可．【解答】解：∵方程kx+b＝0的解是x=32，∴函数y＝kx+b与x轴的交点坐标是(32，0)，满足条件的只有D．故选：D．【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，理解一元一次方程的解与函数图象和x轴交点坐标的关系是解题的关键．【变式2-1】已知关于x的一元一次方程kx+b=0的解是x=﹣2，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，2），则这个一次函数的表达式是 ．【分析】先根据方程的解得定义得到2k+b=0，再根据一次函数图象上点的坐标特征得到b=2，于是可计算出k=1，从而得到一次函数解析式．【解答】解：把x=﹣2代入kx+b=0得-2k+b=0， 把（0，2）代入y=kx+b得b=2， 所以-2k+2=0，解得k=1， 所以一次函数解析式为y=x+2． 故答案为y=x+2．【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a,b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．【变式2-2】(2023春•建瓯市校级月考）已知一次函数y＝﹣2x+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，O为坐标原点．若S△AOB＝6，求一次函数解析式．【分析】先根据一次函数的性质求出OA，OB的长，再根据S△AOB＝6建立方程，解方程可得b的值，由此即可得．【解答】解：对于一次函数y＝﹣2x+b，当y＝0时，x=b2，则A(b2，0)，OA=|b2|，当x＝0时，y＝b，则B（0，b），OB＝|b|，∵x轴⊥y轴，S△AOB＝6，∴12OA⋅OB=12×|b2|×|b|=6，即b2＝24，解得b=±26，则一次函数解析式为y=−2x+26或y=−2x−26．【点评】本题考查的是利用待定系数法求一次函数的解析式，根据一次函数的解析式，正确表示OA，OB的长是解题关键．【变式2-3】(2023春•甘井子区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，请根据函数图象回答下列问题：（1）与x轴交点A的坐标是 ，与y轴交点B的坐标是 ；（2）由函数图象可知，当﹣2x+4＝0时，x的值是 ，当﹣2x+4＞0时，x的取值范围是 ；（3）当y＝﹣1时，求x的值．【分析】（1）令y＝0，可解得A的坐标；令x＝0，可解得B的坐标；（2）﹣2x+4＝0，即y＝0，所以x的值就是A坐标的数值；﹣2x+4＞0，即y＞0，即函数图象在x轴上方时x的取值范围；（3）令y＝﹣1，可解得x的值．【解答】解：（1）令y＝0，即﹣2x+4＝0，解得：x＝2，即与x轴交点A的坐标是（2，0）；令x＝0，此时y＝4，即与y轴交点B的坐标是（0，4）；（2）由（1）可知，当﹣2x+4＝0时，x的值是2；由图象可知，结合函数图象与x轴的交点为（2，0），当﹣2x+4＞0时，x的取值范围是x＜2；（3）当y＝﹣1时，即﹣2x+4＝﹣1，解得：x=52．【点评】本题考查了一次函数的图象与一次函数的简单性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．【变式2-4】(2023春•聊城期末）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4）．（1）求点D的坐标；（2）求直线CE：y＝﹣2x﹣4与直线AB及y轴围成图形的面积；【分析】（1）利用待定系数法求一次函数y＝kx+b解析式，令x＝0求出y即可；（2）联立两直线解析式，解方程组即可得到点C的坐标，根据三角形的面积公式即可求出答案；【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4），∴−5k+b=0−k+b=4，解得k=1b=5，∴y＝x+5，当x＝0时，y＝5，∴点D的坐标为（0，5）；（2）∵若直线y＝﹣2x﹣4与直线AB相交于点C，∴y=−2x−4y=x+5，解得x=−3y=2，故点C（﹣3，2），∵y＝﹣2x﹣4与y＝x+5分别交y轴于点E和点D，∴D（0，5），E（0，﹣4），∴直线CE：y＝﹣2x﹣4与直线AB及y轴围成图形的面积为：12DE•|∁x|=12×9×3=272；【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象的交点，关键是正确从函数图象中获得正确信息．题型三 利用一次函数的图象解二元一次方程（组）【例题3】用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图）．则所解的二元一次方程组是（ ）A．y=2x+1y=x+2 B．y=3x+1y=x−5 C．y=−2x+1y=x−1 D．y=−x+3y=3x−5【分析】先利用待定系数求出两函数解析式，由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，则可判断所解的二元一次方程组为两解析式所组成的方程组．【解答】解：设过点（3，0）和（0，3）的直线解析式为y＝kx+b，则3k+b=0b=3，解得k=−1b=3，所以过点（3，0）和（0，3）的直线解析式为y＝﹣x+3；设过点（2，1）和（0，﹣5）的直线解析式为y＝mx+n，则2m+n=1n=−5，解得m=3n=−5，所以过点（2，1）和（0，﹣5）的直线解析式为y＝3x﹣5，所以所解的二元一次方程组为y=−x+3y=3x−5．故选：D．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．【变式3-1】下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程2x﹣y＝2的解的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据两点确定一条直线，当x＝0，求出y的值，再利用y＝0，求出x的值，即可得出一次函数图象与坐标轴交点，即可得出图象．【解答】解：∵2x﹣y＝2，∴y＝2x﹣2，∴当x＝0，y＝﹣2；当y＝0，x＝1，∴一次函数y＝2x﹣2，与y轴交于点（0，﹣2），与x轴交于点（1，0），即可得出选项B符合要求，故选：B．【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程的关系，将方程转化为函数关系进而得出与坐标轴交点坐标是解题关键．【变式3-2】下面四条直线，其中直线上的每一个点的坐标都是二元一次方程2x﹣3y＝6的解的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据两点确定一条直线，当x＝0，求出y的值，再利用y＝0，求出x的值，即可得出一次函数图象与坐标轴交点，即可得出图象．【解答】解：∵2x﹣3y＝6，∴y=23x﹣2，∴当x＝0，y＝﹣2；当y＝0，x＝3，∴一次函数y=23x﹣2的图象与y轴交于点（0，﹣2），与x轴交于点（3，0），即可得出选项D符合要求，故选：D．【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程的关系，将方程转化为函数关系进而得出与坐标轴交点坐标是解题关键．【变式3-3】用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图所示，则所解的二元一次方程组是（ ）A．x+y−2=02x−y−1=0 B．2x+y−1=03x+2y−5=0 C．2x−y−1=03x−2y−1=0 D．x+y−2=03x−2y−1=0【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此本题应先用待定系数法求出两条直线的解析式，联立两个函数解析式所组成的方程组即为所求的方程组．【解答】解：根据给出的图象上的点的坐标，（0，﹣1）、（1，1）、（0，2）；分别求出图中两条直线的解析式为y＝2x﹣1，y＝﹣x+2，因此所解的二元一次方程组是x+y−2=02x−y−1=0．故选：A．【点评】本题考查一次函数与二元一次方程，掌握方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题的关键．【变式3-4】如图中的两直线l1、l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解（ ）A．y=−13x−1y=−2x+4 B．y=13x−1y=−2x+4 C．y=−13x−1y=−2x−4 D．y=3x−1y=−2x+4【分析】因为函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此本题应该先用待定系数法求出两条直线的解析式，联立两直线解析式所组成的方程组即为所求的方程组．【解答】解：由于直线l1经过点（0，﹣1），（3，﹣2）；因此直线l1的解析式为y=−13x﹣1；同理可求得直线l2的解析式为y＝﹣2x+4；因此直线l1，l2的交点坐标可以看作方程组y=−13x−1y=−2x+4的解．故选：A．【点评】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．【变式3-5】(2023秋•康定市期末）已知一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点A（0，2），与x轴交于点B（4，0），与正比例函数y＝mx的图象交于点C．（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；（2）若点C（2，a），请直接写出方程组mx−y=0kx−y=−b的解．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）求得C点的坐标，根据函数与方程组的关系即可求解．【解答】解：（1）次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点A（0，2），与x轴交于点B（4，0），∴b=24k+b=0，解得k=−12b=2，∴一次函数y＝kx+b的表达式为y=−12x+2；（2）∵一次函数y=−12x+2过点C（2，a），∴a=−12×2+2＝1，∴C（2，1），∴方程组mx−y=0kx−y=−b的解为x=2y=1．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与二元一次方程的关系，熟练掌握待定系数法是解题的关键．题型四 方程组与两直线的交点坐标问题【例题4】（2011•百色）两条直线y＝k1x+b1和y＝k2x+b2相交于点A（﹣2，3），则方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解是（ ）A．x=2y=3 B．x=−2y=3 C．x=3y=−2 D．x=3y=2【分析】由题意，两条直线y＝kix+b1和y＝k2x+b2相交于点A（﹣2，3），所以x＝﹣2、y＝3就是方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解．【解答】解：∵两条直线y＝kix+b1和y＝k2x+b2相交于点A（﹣2，3），∴x＝﹣2、y＝3就是方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解．∴方程组的y=k1x+b1y=k2x+b2解为：x=−2y=3．故选：B．【点评】本题主要考查了二元一次方程（组）和一次函数的综合问题，两直线的交点就是两直线解析式所组成方程组的解，认真体会一次函数与一元一次方程之间的内在联系．【变式5-1】(2023秋•余姚市校级期末）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是 ．【分析】首先利用函数解析式y＝2x求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程kx+b＝2的解可得答案．【解答】解：∵直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），∴2＝2m，∴m＝1，∴P（1，2），∴当x＝1时，y＝kx+b＝2，∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝1，故答案为：x＝1．【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．【变式5-2】(2023春•赵县期末）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组y=ax+by=kx的解是（ ）A．x=−2y=−4 B．x=−4y=−2 C．x=2y=−4 D．x=−4y=2【分析】图可知：两个一次函数的交点坐标为（﹣4，﹣2）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【解答】解：函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣4，﹣2），即x＝﹣4，y＝﹣2同时满足两个一次函数的解析式．所以关于x，y的方程组y=ax+by=kx的解是x=−4y=−2．故选：B．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．【变式5-3】（2023春•泰兴市月考）如果函数y＝2x﹣b（b为常数）与函数y＝x+4的图象的交点坐标是（1，5），那么关于x，y的二元一次方程组2x−y=bx−y=−4的解是 ．【分析】根据两个一次函数图象的交点就是二元一次方程组的解，即可得到答案．【解答】解：根据已知条件，可知一次函数y＝2x﹣b和y＝x+4的图象交于点（1，5），所以关于x，y的方程组y=2x−by=x+4的解是x=1y=5，即关于x，y的方程组2x−y=bx−y=−4的解是x=1y=5，故答案为：x=1y=5．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值．而这一对未知数的值也可同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．【变式5-4】(2023秋•礼泉县期末）如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点P（m，1），则关于x、y的二元一次方程组x+y=4y−kx=b的解是 ．【分析】先利用y＝﹣x+4确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．【解答】解：把P（m，1）代入y＝﹣x+4得﹣m+4＝1，解得m＝3，所以P点坐标为（3，1），所以关于x、y的二元一次方程组x+y=4y−kx=b的解是x=3y=1，故答案为：x=3y=1．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．【变式5-5】(2023秋•菏泽月考）如图，已知直线l1：y＝3x+1与y轴交于点A，且和直线l2：y＝mx+n交于点P（﹣2，a），根据以上信息解答下列问题：（1）求a的值；（2）不解关于x，y的方程组y=3x+1y=mx+n，请你直接写出它的解；（3）判断直线l3：y=−12nx﹣2m是否也经过点P？请说明理由；（4）若直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，求直线l2的函数解析式．【分析】（1）因为点P（﹣2，a）在直线y＝3x+1上，可求出a＝﹣5；（2）因为直线y＝3x+1直线y＝mx+n交于点P，所以方程组y=3x+1y=mx+n的解就是P点的坐标；（3）把点P坐标代入直线l2，得到关于m、n的等式，再把点P代入直线l3，如果得到同样的m、n的关系式，则点P在直线l3上，否则不在．（4）因为直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，所以直线l2过点（3，0），又有直线l2过点P（﹣2，﹣5），可得关于m、n的方程组，解方程组即可．【解答】解：（1）∵（﹣2，a）在直线y＝3x+1上，∴当x＝﹣2时，a＝﹣5；（2）∵直线l1：y＝3x+1与y轴交于点A，且和直线l2：y＝mx+n交于点P（﹣2，﹣5），∴关于x，y的方程组y=3x+1y=mx+n的解为x=−2y=−5；（3）由（2）知点P（﹣2，﹣5），∵点P（﹣2，﹣5）在直线l2：y＝mx+n上，∴﹣2m+n＝﹣5，当x＝﹣2时，直线l3：y=−12nx﹣2m＝﹣2m+n＝﹣5，所以直线l3：y=−12nx﹣2m也经过点P（﹣2，5）；（4）∵直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，∴直线l2过点（3，0），又∵直线l2过点P（﹣2，﹣5），∴3m+n=0−2m+n=−5，解得m=1n=−3．∴直线l2的函数解析式为y＝x﹣3．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法，另外本题还渗透了数形结合的思想．题型五 用一次函数的图象解一元一次不等式【例题5】（2023•瑶海区模拟）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，2），则不等式kx+b＞2的解集为 ．【分析】根据一次函数的图象即可确定不等式kx+b＞2的解集．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，2），∴当x＝0时，kx+b＝2，由图象可知，不等式kx+b＞2的解集为x＜0，故答案为：x＜0．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．【变式5-1】(2023春•岳麓区校级期末）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点（﹣1，3），则不等式kx+b≤3的解集为（ ）A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥3 D．x≤﹣1【分析】根据一次函数的性质和函数图象，可以写出所求不等式的解集．【解答】解：由图象可得，当x＝﹣1时，y＝3，该函数y随x的增大而增大，∴不等式kx+b≤3的解集是x≤﹣1，故选：D．【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式5-2】(2023秋•邗江区校级期末）如图，函数y＝﹣3x和y＝kx+b的图象交于点A（m，4），则关于x的不等式kx+b+3x＜0的解集为 ．【分析】首先将点A的坐标代入正比例函数中求得m的值，然后结合图象直接写出不等式的解集即可．【解答】解：∵函数y＝﹣3x经过点A（m，4），∴﹣3m＝4，解得：m=−43，则关于x的不等式kx+b+3x＜0可以变形为kx+b＜﹣3x，由图象得：kx+b＜﹣3x的解集为x＜−43．故答案为：x＜−43．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是求得m的值，然后利用数形结合的方法确定不等式的解集．【变式5-3】(2023春•海港区期末）如图，直线y＝mx+n与x轴交于点（﹣2，0），与y轴交于点（0，5），则关于x的不等式mx+n＜0的解集为 ．【分析】一次函数y＝mx+n的图象落在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围即为不等式mx+n＜0的解集．【解答】解：∵直线y＝mx+n与x轴交于点（﹣2，0），∴关于x的不等式mx+n＜0的解集为x＜﹣2．故答案为：x＜﹣2．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．【变式5-4】(2023春•秀屿区校级期末）直线y＝k2x和y＝k1x+b如图所示，则关于x的不等式k2x＜k1x+b的解集是 ．【分析】根据一次函数的图象即可确定不等式的解集．【解答】解：根据图象，可知关于x的不等式k2x＜k1x+b的解集是x＜﹣1，故答案为：x＜﹣1．【点评】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．【变式5-5】作出函数y＝2x﹣4的图象，并根据图象回答下列问题：（1）当﹣2≤x≤4时，求函数y的取值范围；（2）当x取什么值时，y＜0，y＝0，y＞0；（3）当x取何值时，﹣4＜y＜2．【分析】本题要求利用图象求解各问题，先求得函数与坐标轴的交点后，画函数图象，根据图象观察，得出函数的增减性后，求得结论．【解答】解：当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝2，即y＝2x﹣4过点（0，﹣4）和点（2，0），过这两点作直线即为y＝2x﹣4的图象，从图象得出函数值随x的增大而增大；（1）当x＝﹣2时，y＝﹣8，当x＝4，y＝4，∴当﹣2≤x≤4时，函数y的取值范围为：﹣8≤y≤4；（2）由于当y＝0时，x＝2，∴当x＜2时，y＜0，当x＝2时，y＝0，当x＞2时，y＞0；（3）∵当y＝﹣4时，x＝0；当y＝2时，x＝3，∴当x的取值范围为：0＜x＜3时，有﹣4＜y＜2．【点评】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．【变式5-6】(2023春•岳麓区校级期末）如图，函数y＝﹣2x+3与y=−12x+m的图象交于P（n，﹣3）．（1）求出m、n的值；（2）结合函数图象，直接写出不等式−12x+m＞﹣2x+3的解集；（3）将函数y＝﹣2x+3的图象向左平移a个单位后得到直线l，若直线l与直线y=−12x+m的交点在y轴上，求a的值．【分析】（1）先把P（n，﹣3）代入y＝﹣2x+3求出n得到P（3，﹣3），然后把P点坐标代入y=−12x+m求出m；（2）写出直线y=−12x+m在直线y＝﹣2x+3的上方所对应的自变量的范围即可；（3）根据便宜点规律表示出直线l的解析式，然后求得直线y=−12x+m的与y轴的交点，代入直线l的解析式即可求得a．【解答】解：（1）把P（n，﹣3）代入y＝﹣2x+3得﹣2n+3＝﹣3，解得n＝3；∴P（3，﹣3），把P（3，﹣3）代入y=−12x+m得﹣3=−12×3+m，解得m=−32；（2）不等式−12x+m＞﹣2x+3的解集为x＞3；（3）在y=−12x−32中，令x＝0，则y=−32，∴直线y=−12x+m与y轴的交点为（0，−32），将函数y＝﹣2x+3的图象向左平移a个单位后得到直线l，则直线l为y＝﹣2（x+a）+3，∵直线l与直线y=−12x+m的交点在y轴上，∴−32=−2（0+a）+3，解得a=94．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合；也考查了一次函数图象与几何变换．题型六 比较一次函数值的大小【例题6】(2023秋•平桂区 期末）如图，已知一次函数y1＝kx﹣b与y2＝nx函数图象相交于点M，当kx﹣b＝nx时，x的值是 ，当y1＞y2时，x的取值范围是 ，当y1＜y2时，x的取值范围是 ．【分析】根据两条直线的交点、结合图象解答即可．【解答】解：由图象可知，当kx﹣b＝nx时，x的值是1，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜1，当y1＜y2时，x的取值范围是x＞1．故答案为：1，x＜1，x＞1．【点评】本题考查的是一次函数与一元一次方程、与一元一次不等式的关系，灵活运用数形结合思想是解题的关键．【变式6-1】(2023春•银川校级期中）函数y1＝2x+4，y2＝5x﹣10，使y1＜y2的x的范围是 ．【分析】先根据题意得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：y1＝2x+4，y2＝5x﹣10，当y1＜y2时，2x+4＜5x﹣10，解得x＞143，所以使y1＜y2的x的范围是x＞143．故答案为：x＞143．【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式的知识，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．【变式6-2】(2023春•城阳区期末）已知函数，y1＝﹣2x+3，y2＝3x+4，则当y1＞y2时，则x的取值范围是 ．【分析】由已知可得不等式﹣2x+3＞3x+4，解不等式即可求解．【解答】解：∵y1＝﹣2x+3，y2＝3x+4，y1＞y2，∴﹣2x+3＞3x+4，∴x＜−15，故答案为x＜−15．【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，理解一次函数与一元一次不等式之间的联系是解题的关键．【变式6-3】(2023春•自贡期末）已知一次函数y1＝x和y2=−x−2(x＜0)2x−2(x≥0)，当y1＞y2时，x的取值范围是 ．【分析】分别解不等式组x＞−x−2x＜0，以及x＞2x−2x≥0，进而得出x的取值范围．【解答】解：解不等式组x＞−x−2x＜0，得﹣1＜x＜0；解不等式组x＞2x−2x≥0，得0≤x＜2，综上可得，﹣1＜x＜2．故答案为：﹣1＜x＜2．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一元一次不等式组的解法，难度适中．此题还可以利用图象法求解．【变式6-4】(2023春•鱼台县期末）已知函数y1＝2x，y2＝x+2，试比较y1、y2的大小关系．【分析】解方程组求得直线y1＝2x与y2＝x+2的交点坐标为（2，4），于是得到结论．【解答】解：解y1=2xy2=x+2得，x=2y=4，∴直线y1＝2x与y2＝x+2的交点坐标为（2，4），∴当x≤2时，y1≤y2；当x＞2时，y1＞y2．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，求得直线y1＝2x与y2＝x+2的交点坐标是解题的关键．【变式6-5】(2023秋•合肥期末）如图，过点B（3，0）的一次函数y1＝﹣x+b的图象与正比例函数y2＝kx的图象相交于点C，且点C的纵坐标是2．（1）求一次函数与正比例函数的解析式；（2）根据图象，写出当y1＞y2＞0时，x的取值范围．【分析】（1）将点B的坐标代入y1＝﹣x+b求b，从而求得一次函数的解析式，然后将y＝2代入y1得到点C的坐标，再把点C的坐标代入正比例函数解析式求k，从而得到正比例函数的解析式；（2）根据图象即可求得．【解答】解：（1）将B（3，0）代入y1＝﹣x+b得，﹣3+b＝0，∴b＝3，∴一次函数的解析式为：y1＝﹣x+3，当y＝2时，x＝1，∴点C（1，2），将点C代入y2＝kx得，k＝2，∴正比例函数的解析式为：y2＝2x，（2）由图象可知，当y1＞y2＞0时，x的取值范围0＜x＜1．【点评】本题考查了一次函数和正比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．【变式6-6】(2023春•原州区期末）利用函数图象回答下列问题：（1）函数y1与函数y2的交点坐标为 ；（2）函数值y1＞y2的解集为 ；（3）函数值y1＜y2的解集为 ．【分析】（1）观察函数的图象y＝2x与y＝﹣x+3相交于点（1，2），从而求解；（2）观察函数的图象，从而求解；（3）观察函数的图象，从而求解；【解答】解：（1）观察图象可知，两函数图象相交于（1，2）．可求出方程组的解为x=1y=2．故答案为：（1，2）．（2）观察图象可知，函数值y1＞y2的解集为x＞1，故答案为：x＞1．（3）观察图象可知，函数值y1＜y2的解集为x＜1，故答案为：x＜1．【点评】此题主要考查一次函数与一元一次不等式，一次函数图形的性质，从图象入手解题较为简单．题型七 两直线相交求面积问题【例题7】（1）在如图所示的平面直角坐标系中，用图象法求二元一次方程组x+y=42x−y=−1，的解；（2）求（1）中图象与x轴所围成的三角形的面积．【分析】（1）作出函数y＝﹣x+4和函数y＝2x+1的图象，由二元一次方程组x+y=42x−y=−1，的解即函数y＝﹣x+4和函数y＝2x+1的图象的交点的横、纵坐标即可求解；（2）分别由图象得出两函数与x轴的交点坐标，代入三角形面积公式即可．【解答】解：（1）在平面直角坐标系中作出函数y＝﹣x+4和函数y＝2x+1的图象：∵二元一次方程组x+y=42x−y=−1，的解即函数y＝﹣x+4和函数y＝2x+1的图象的交点的横、纵坐标，∵由图象知：函数y＝﹣x+4和函数y＝2x+1的图象的交点坐标为（1，3），∴二元一次方程组x+y=42x−y=−1，的解为x=1y=3；（2）由图象知：函数y＝﹣x+4和函数y＝2x+1的图象与x轴的交点坐标分别为（4，0），（﹣0.5，0），∴（1）中图象与x轴所围成的三角形的面积为：12×|4−(−0.5)|×3=274．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．【变式7-1】(2023春•兴庆区校级期中）如图，函数y＝﹣2x+3与y=−12x+m的图象交于点P（n，﹣2）．（1）求出m，n的值．（2）直接写出−12x+m≤−2x+3的解集．（3）求出△ABP的面积．【分析】（1）根据凡是函数图象经过的点必能满足解析式把P点坐标代入y＝﹣2x+3可得n的值，进而可得P点坐标，再把P点坐标代入y=−12x+m可得m的值；（2）根据函数图象可直接得到答案；（3）首先求出A、B两点坐标，进而可得△ABP的面积．【解答】解：（1）∵y＝﹣2x+3过P（n，﹣2）．∴﹣2＝﹣2n+3，解得：n=52，∴P（52，﹣2），∵y=−12x+m的图象过P（52，﹣2）．∴﹣2=−12×52+m，解得：m=−34；（2）不等式−12x+m≤﹣2x+3的解集为x≤52；（3）∵当y＝﹣2x+3中，x＝0时，y＝3，∴A（0，3），∵当y=−12x−34中，x＝0时，y=−34，∴B（0，−34），∴AB＝334；∴△ABP的面积：12AB×52=12×154×52=7516．【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．【变式7-2】(2023春•遂溪县期末）如图，直线y1＝x+1交x轴、y轴于点A、B，直线y2＝﹣2x+4交x、y轴于点C、D，两直线交于点E．（1）求点E的坐标；（2）求△ACE的面积；（3）根据图象直接回答：当x为何值时，y1＜y2？【分析】（1）联立两函数解析式，解方程组可得；（2）先根据函数解析式求得点A、C的坐标，即可得线段AC的长，再根据三角形面积公式计算可得；（3）根据图象即可求得．【解答】解：（1）解y=x+1y=−2x+4得x=1y=2，∴E（1，2）；（2）当y1＝x+1＝0时，解得：x＝﹣1，∴A（﹣1，0），当y2＝﹣2x+4＝0时，解得：x＝2，∴C（2，0），∴AC＝2﹣（﹣1）＝3，∴S△ACE=12AC⋅yE=12×3×2=3；（3）由图象可知，当x＜1时，y1＜y2．【点评】本题主要考查两直线相交或平行的问题，解题的关键是根据两直线解析式求得两者交点的坐标及其与x轴的交点坐标．【变式7-3】如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（2，b）．（1）求b的值；（2）直接写出关于x，y的方程组x−y+1=0，mx−y+n=0的值；（3）若l1交x轴于点A，l2交x轴于点B，且S△PAB＝9，求直线l2对应的函数表达式．【分析】（1）已知点P在l1上，故将点P坐标代入l1函数解析式，即可求得b的值；（2）二元一次方程组的解为l1与l2的交点坐标，根据上问求解即可直接得到方程组的解；（3）在l1上，求出当y＝0时，对应点A的坐标，设出点B坐标，利用三角形面积公式，即可求得点B坐标，分别将点P与点B坐标代入l2函数式，即可求得对应函数表达式．【解答】解：（1）根据题意可知：点P（2，b）在直线y＝x+1上，则2+1＝b，解得b＝3；（2）因为b＝3，∴交点坐标是（2，3），∴方程组的解是x=2y=3；（3）直线l1中，当y＝0时，x＝﹣1，故点A坐标为（﹣1，0），设点B坐标为（t，0），故12×3×（t+1）＝9，解得：t＝5，故点B坐标为（5，0），将点B、点P坐标代入l2方程，可得：3=2m+n0=5m+n，解得：m＝﹣1，n＝5，故直线l2对应函数表达式为：y＝﹣x+5．【点评】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数与方程组之间的关系是解题的关键．题型八 用一次函数与一元一次不等式的实际应用【例题8】(2023春•固原期末）某单位需要用车，准备和一个体车主或一国有出租车公司其中的一家签订合同．设汽车每月行驶xkm，应付给个体车主的月租费是y1元，付给出租车公司的月租费是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系图象是如图的两条直线，观察图象，回答下列问题：（1）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？（2）每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的出租车合算？（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km，那么这个单位租哪家的车合算？【分析】根据图象可知（1）两直线的交点即为每月行驶的路程等于1500km时，租两家车的费用相同；（2）根据图象得到表示个体户的直线在出租公司的直线上时，即y2＜y1时对应的x的范围即可；（3）先判断2300km＞1500km，再结合图象判断哪条直线在下方，代表哪方合算．【解答】解：（1）两条直线在1500km处相交，故每月行驶的路程等于1500km时，租两家车的费用相同；（2）由图可知当y2＜y1时，对应的x的范围是x＜1500km；（3）由图象可知，当x＝2300km＞1500km，y1＜y2，即租用个体户的车合算．【点评】主要考查了一次函数的实际运用和读图能力．从图象中获得所需的信息是需要掌握的基本能力，要理解交点坐标和直线的上下关系在实际问题中的具体含义．【变式8-1】某电信公司推出甲、乙两种收费方式供手机用户选择：甲种方式：每月收月租费5元，每分钟通话费为0.2元；乙种方式：不收月租费，每分钟通话费为0.3元；（1）请分别写出甲乙两种收费方式每月付费y1、y2（元）与通话时间x（分钟）之间函数表达式；（2）如何根据通话时间的多少选择付费方式，请给出你的方案．【分析】（1）根据题意可以直接写出甲乙两种收费与t的关系，从而可以解答本题；（2）令两种收费一样多，求出相应的时间t，然后根据题意即可根据通话时间确定省钱的付费方式．【解答】解：（1）由题意可得，甲种方式的费用为y1＝5+0.2t，乙种方式的费用为y2＝0.3t，（2）当y1＝y2时，即5+0.2t＝0.3t，解得，t＝50，∴当t＜50分钟时，乙种收费方式省钱，当t＝50分钟时，两种收费方式一样，当t＞50分钟时，甲种收费方式省钱．【点评】本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，求出两种花费一样多的时间．【变式8-2】（2023•二道区校级一模）某工厂的销售部门提供两种薪酬计算方式：薪酬方式一：底薪+提成，其中底薪为3000元，每销售一件商品另外获得15元的提成；薪酬方式二：无底薪，每销售一件商品获得30元的提成．设销售人员一个月的销售量为x（件），方式一的销售人员的月收入为y1（元），方式二的销售人员的月收入为y2（元）．（1）请分别写出y1、y2与x之间的函数表达式；（2）哪种薪酬计算方式更适合销售人员？【分析】（1）根据已知直接可得y1、y2与x之间的函数表达式；（2）由（1）的表达式，分别列方程和不等式，即可解得答案．【解答】解：（1）根据题意得：y1与x之间的函数表达式为y1＝3000+15x，y2与x之间的函数表达式为y2＝30x；（2）由3000+15x＝30x，解得：x＝200，∴当x＝200时，选择两种薪酬计算方式对销售人员一样，当3000+15x＜30x时，解得x＞200，∴当x＞200时，薪酬方式二计算方式更适合销售人员．当3000+15x＞30x时，解得x＜200，∴当x＜200时薪酬方式一计算方式更适合销售人员，综上所述，当x＜200时薪酬方式一计算方式更适合销售人员，当x＝200时，选择两种薪酬计算方式对销售人员一样，当x＞200时，薪酬方式二计算方式更适合销售人员．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，通过方程（或不等式））解答．【变式8-3】(2023秋•大丰区期末）某中学计划寒假期间安排4名老师带领部分学生参加红色旅游．甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人1000元．经协商，甲旅行社的优惠条件是：老师、学生都按八折收费；乙旅行社的优惠条件是：四位老师全额收费，学生都按七折收费．（1）设参加这次红色旅游的老师和学生共有x名，y甲，y乙（单位：元）分别表示选择甲、乙两家旅行社所需的费用，求y甲，y乙关于x的函数解析式；（2）若该校共有30名老师和学生参加活动，则选择哪家旅行社支付的旅游费用较少？【分析】（1）甲旅行社需要的费用为：0.8×1000x，；乙旅行社的收费为：2×1000+0.75×1000×（x﹣2）；（2）将x＝30分别代入（1）求得的函数解析式，计算即可求解．【解答】解：（1）y甲＝0.8×1000x＝800x，y乙＝4×1000+0.7×1000×（x﹣4）＝700x+1200；（2）当x＝30时，y甲＝800x＝800×30＝24000，y乙＝700x+1200＝700×30+1200＝22200，y甲＞y乙，答：选择乙旅行社支付的旅游费用较少．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，得出相应的函数解析式．【变式8-4】(2023春•永川区期末）已知A、B两地的路程为240千米．某经销商每天都要用汽车或火车将x吨保鲜品一次性由A地运往B地．受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订．现有货运收费项目及收费标准表、行驶路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数图象（如图）等信息如下：货运收费项目及收费标准表（1）汽车的速度为多少？火车的速度为多少？（2）设每天用汽车和火车运输的总费用分别为y汽（元）和y火（元），分别求y汽、y火与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；（3）当x为何值时，y汽＞y火．（总费用＝运输费+冷藏费+固定费用）【分析】（1）根据函数图象可得汽车的速度为60千米/时，火车的速度100千米/时；（2）根据总费用＝运输费+冷藏费+固定费用可得y汽＝500x+200，y火＝396x+2280；（3）由500x+200＞396x+2280可解得答案．【解答】解：（1）根据函数图象可知：汽车的速度为120÷2＝60（千米/时），火车的速度为200÷2＝100（千米/时）；答：汽车的速度为60千米/时，火车的速度100千米/时；（2）根据表格可得：y汽＝240×2x+24060×5x+200＝500x+200，y火＝240×1.6x+240100×5x+2280＝396x+2280，答：每天用汽车运输的总费用分别为y汽＝500x+200，每天用火车运输的总费用y火＝396x+2280；（3）当y汽＞y火时，500x+200＞396x+2280，解得x＞20，答：当y汽＞y火时，x＞20．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．【变式8-5】（2023•中原区校级三模）为了积极助力脱贫攻坚工作，如期打赢脱贫攻坚战，某驻村干部带领村民种植草莓，在每年成熟期都会吸引很多人到果园去采摘．现有甲、乙两家果园可供采摘，这两家草莓的品质相同，售价均为每千克30元，这两家果园的采摘方案不同．甲果园：每人需购买20元的门票一张，采摘的草莓按6折优惠；乙果园：不需要购买门票，采摘的草莓按售价付款不优惠．设小明和爸爸妈妈三个人采摘的草莓数量为x千克，在甲、乙果园采摘所需总费用分别为y甲、y乙元，其函数图象如图所示．（1）请分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式；（2）请求出图中点A的坐标并说明点A表示的实际意义；（3）请根据函数图象，直接写出小明一家选择哪家果园采摘更合算．【分析】（1）根据函数图象和图象中的数据可以解答本题；（2）根据（1）的结论，联立方程组解答即可；（3）根据（1）的结论列不等式或方程解答即可．【解答】解：（1）根据题意得y甲＝30×0.6×x+20×3＝18x+60，设y乙＝k2x，∵点（10，30）在y乙上根据题意得，10k2＝300，解得k2＝30，∴y乙＝30x；（2）联立y=18x+60y=30x，解得x=5y=150，∴点A的坐标为（5，150），点A的实际意义是当采摘量为5千克时，到两家果园所需总费用相同均为150元；（3）由（2）知点A的坐标为（5，150），观察图象知：当采摘量大于5千克时，到甲果园更划算；当采摘量等于5千克时，两家果园所需总费用相同，所以到甲乙果园哪家都可以；当采摘量小于5千克时，到家乙果园更划算．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．题型九 方程（组）、不等式（组）与一次函数性质的综合应用【例题9】已知一服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M，N两种型号的时装共80套．已知做一套M型号的时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利50元；做一套N型号的时装需用A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利45元．设生产M型号的时装套数为x，解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；（2）当生产M型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得x的取值范围，然后即可得到相应的生产方案；（2）根据题意，可以得到利润与生产M型号的时装套数的函数关系，再根据x的取值范围和一次函数的性质，即可得到当生产M型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大，最大利润是多少．【解答】解：（1）设生产M型号的时装x套，则生产N型号的时装（80﹣x）套，1.1x+0.6(80−x)≤700.4x+0.9(80−x)≤52，解得40≤x≤44，∵x为整数，∴x＝40，41，42，43，44，∴有5种符合题意的生产方案；（2）设该厂所获利润为y元，由题意可得，y＝50x+45（80﹣x）＝5x+3600，∵k＝5，∴y随x的增大而增大，∵x＝40，41，42，43，44，∴当x＝44时，y取得最大值，此时y＝3820，答：当生产M型号的时装为44套时，能使该厂所获利润最大，最大利润是3820元．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．【变式9-1】（2023•秦都区校级模拟）某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示：（1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？（2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套（10≤m≤20），当把购进的两种多媒体全部售出，求购进A种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；（2）根据题意可以写出利润与m的函数关系式，然后根据m的取值范围和一次函数的性质，可以求得利润的最大值．【解答】解：（1）设购进A种多媒体a套，B种多媒体b套，由题意可得：a+b=503a+2.4b=132，解得a=20b=30，答：购进A种多媒体20套，B种多媒体30套；（2）设利润为w元，由题意可得：w＝（3.3﹣3）m+（2.8﹣2.4）×（50﹣m）＝﹣0.1m+20，∴w随m的增大而减小，∵10≤m≤20，∴当m＝10时，w取得最大值，此时w＝19，答：购进A种多媒体10套时，能获得最大利润，最大利润是19万元．【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．【变式9-2】(2023•临渭区一模）2020年4月20日，国家主席习近平在陕西柞水县考察，点赞当地特产﹣﹣柞水木耳，称赞到“小木耳、大产业”，要将其发展成“帮助群众脱贫致富、推动乡村振兴”的特色产业．王师傅在政府的扶持下种植了A、B两个品种的木耳共3亩，两种木耳的成本（包括种植成本和设备成本）和售价如表：设种植A品种木耳x亩，若3亩地全部种植两种木耳共获得利润y万元．（利润＝售价﹣种植成本﹣设备成本）（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若A品种木耳的种植亩数不少于B品种木耳种植亩数的1.5倍，则种植A品种木耳种植多少亩时利润最大？并求最大利润．【分析】（1）根据题意，可以写出y与x的函数关系式；（2）根据A品种木耳的种植亩数不少于B品种木耳种植亩数的1.5倍，可以求得x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到种植A品种木耳种植多少亩时利润最大，并求出此时的最大利润．【解答】解：（1）由题意可得，y＝（3.5﹣1.5﹣0.2）x+（4.3﹣2﹣0.3）×（3﹣x）＝﹣0.2x+6，即y与x的函数关系式为y＝﹣0.2x+6；（2）∵A品种木耳的种植亩数不少于B品种木耳种植亩数的1.5倍，∴x≥1.5（3﹣x），解得，x≥1.8，∵y＝﹣0.2x+6，k＝﹣0.2，∴y随x的增大而减小，∴当x＝1.8时，y取得最大值，此时y＝5.64，答：种植A品种木耳种植1.8亩时利润最大，最大利润是5.64万元．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．【变式9-3】(2023•开福区模拟）为加强校园文化建设，某校准备打造校园文化墙，需用甲、乙两种石材经市场调查，甲种石材的费用y（元）与使用面积x（m2）间的函数关系如图所示，乙种石材的价格为每平方米50元．（1）求y与x间的函数解析式；（2）若校园文化墙总面积共600m2，其中使用甲石材xm2，设购买两种石材的总费用为w元，请直接写出w与x间的函数解析式；（3）在（2）的前提下，若甲种石材使用面积多于300m2，且不超过乙种石材面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种石材的面积才能使总费用最少？最少总费用为多少元？【分析】（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．（2）根据（1）的结论，即可得出w与x间的函数解析式．（3）设甲种石材为 am2，则乙种石材（600﹣a）m2，根据实际意义可以确定a的范围，结合（2）的结论，利用一次函数的性质解答即可．【解答】解：（1）①0≤x≤300时，设y＝kx+b（k≠0），过（0，0），（300，24000），b=0300k+b=24000，解得k=80b=0，∴y＝80x，②x＞300时，设y＝kx+b（k≠0），过（300，24000），（500，30000），300k+b=24000500k+b=30000，解得k=30b=15000，∴y＝30x+15000，∴y=80x(0≤x≤300)30x+15000(x＞300)；（2）当0≤x≤300时，w＝80x+50（600﹣x）＝30x+30000；当300＜x＜600时，w＝30x+15000+50（600﹣x），即w＝﹣20x+45000；∴w=30+30000(0≤x≤300)−20x+45000(300＜x＜600)；（3）设甲种石材为 am2，则乙种石材（600﹣a）m2，x＞300x≤2(600−x)，∴300＜x≤400，由（2）知w＝﹣20x+45000，∵k＝﹣20＜0，∴W随x的增大而减小，即甲400m2，乙200m2时，Wmin＝﹣20×400+45000＝37000．答：甲种石材400m2，乙种石材200m2时，总费用最少，最少总费用为37000元．【点评】本题主要考查了一次函数的图象以及一元一次不等式组的应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键． 解题技巧提炼解关于x 的一元一次方程ax+b＝0（a，b为常数，a≠0），从“数”的角度来看,相当于当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值；从“形”的角度来看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴交点的横坐标值．x…﹣1.5012…y…631﹣1…解题技巧提炼交点法：求一次函数的图象与坐标轴的交点，令y=0，解方程即得与x轴的交点；令x=0，解方程即得与y轴的交点 .解题技巧提炼用图象法解二元一次方程组的基本方法：（1）将方程组的两个方程转化为一次函数y＝kx+b 的形式；（2）在同一直角坐标系中画出两函数的图象；（3）利用图象直接确定交点坐标；（4）得出方程组的解.解题技巧提炼利用二元一次方程组的解可以确定两个一次函数图象的交点坐标，反之，根据两个一次函数图象的交点坐标，可以确定二元一次方程组的解.解题技巧提炼1、代数法：将题中信息转化为解不等式，可求出不等式的解集；2、图象法：先找出直线与坐标轴的交点，画出函数的图象，再观察图象，确定两直线的交点坐标，最后观察图象交点两侧直线的位置，直接得出不等式的解集.解题技巧提炼确定在自变量的某个取值范围内两个函数值的大小时，往往将问题转化到不等式中进行解决.解题技巧提炼1、本题运用一次函数与方程（组）的关系求出三角形三个顶点的坐标，然后利用坐标求出三角形的面积.2、运用一次函数与方程（组）的关系是求点的坐标常用的方法.解题技巧提炼本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与一元一次不等式关系的知识，充分利用图象中数据信息，正确应用待定系数法求解析式以及构造不等式是解题关键．运输工具运输费单价：元/（吨•千米）冷藏费单价：元/（吨时）固定费用：元/次汽车25200火车1.652280解题技巧提炼一次函数、二元一次方程（组）与不等式（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组）或不等式（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．AB进价（万元/套）32.4售价（万元/套）3.32.8品种种植成本（万元/亩）售价（万元/亩）设备成本（万元/亩）A1.53.50.2B24.30.3
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