华东师大版七年级数学下册压轴题攻略专题02一元一次方程的实际应用(一)压轴题六种模型全攻略(原卷版+解析)

这是一份华东师大版七年级数学下册压轴题攻略专题02一元一次方程的实际应用(一)压轴题六种模型全攻略(原卷版+解析)，共52页。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc26814" 【典型例题】 PAGEREF _Tc26814 \h 1
\l "_Tc21407" 【考点一 用一元一次方程解决行程问题 】 PAGEREF _Tc21407 \h 1
\l "_Tc5730" 【考点二 用一元一次方程解决配套问题】 PAGEREF _Tc5730 \h 4
\l "_Tc16153" 【考点三 用一元一次方程解决工程问题】 PAGEREF _Tc16153 \h 7
\l "_Tc16481" 【考点四 用一元一次方程解决销售盈亏问题】 PAGEREF _Tc16481 \h 10
\l "_Tc7922" 【考点五 用一元一次方程解决比赛问题】 PAGEREF _Tc7922 \h 16
\l "_Tc7672" 【考点六 用一元一次方程解决方案选择问题】 PAGEREF _Tc7672 \h 18
\l "_Tc19179" 【过关检测】 PAGEREF _Tc19179 \h 25
【典型例题】
【考点一 用一元一次方程解决行程问题 】
例题：(2023·湖南省隆回县第二中学七年级阶段练习）已知A，B两地相距400千米，甲、乙两车从A地向B地运送货物．甲车的速度为每小时60千米，乙车的速度为每小时80千米，甲车先出发0.5小时后乙车才开始出发．
(1)乙车出发几小时后，才能追上甲车？
(2)追上乙车时，距离B地还有多远？
【变式训练】
1．(2023·全国·七年级专题练习）一辆货轮往返于上下两个码头，逆流而上需用38小时，顺流而下需用32小时，若水流速度为8千米/时，则下列求两码头距离的方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）甲、乙两人分别从相距2000米的A，B两地步行出发相向而行，两人速度保持不变，若两人同时出发，则他们10分钟之后相遇；若乙比甲先出发4分钟，则甲出发8分钟之后，甲乙两人相遇，则甲的速度为（ ）
A．70米/分钟B．80米/分钟C．90米/分钟D．100米/分钟
3．(2023·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级阶段练习）两地相距450千米，甲、乙两车分别从两地同时出发，相向而行．甲车速度120千米/时，乙车速度为105千米/时，经过_____小时两车相遇．
4．(2023·四川·西昌市川兴中学七年级阶段练习）一列火车匀速通过长500m隧道，若火车从开始进入隧道到完全开出隧道共用30秒，而整列火车完全在隧道里的时间是20秒，求这列火车的长为________．
5．(2023·湖南·平江县龙门镇龙门中学七年级期中）小明和小刚从学校出发，去敬老院送水果．小明带着东西先走2.5分钟后，小刚才出发．若小明每分钟行80米，小刚每分钟行120米，
(1)设小刚出发经过x分钟后，小刚走了__________米，小明走了__________米，（用含有x的代数式表示）
(2)则小刚用几分钟可以追上小明？
6．(2023·黑龙江·鸡西市第四中学七年级期中）数轴上A在原点的左侧，A表示的数是a，距离原点18个单位，B在原点右侧，B所表示的数是b，距离A点24个单位．
(1)______，______．
(2)P，Q是数轴上的两个动点，P点从A出发，速度2个单位每秒，同时Q点从B点出发，速度1个单位每秒，若两点相向而行，经过一段时间在C点相遇，求出点C表示数．
(3)在（2）的条件下，经过几秒钟，P，Q两点相距6个单位长度．
【考点二 用一元一次方程解决配套问题】
例题：(2023·黑龙江·哈尔滨市松雷中学校七年级阶段练习）用白铁皮制作罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一个罐头盒，现有150张铁皮，用______张铁皮制作盒身，正好使得这150张铁皮制作出来的盒身和盒底全部配套．
【变式训练】
1．(2023·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）某车间有28名工人生产螺丝和螺母，每人每天生产1200个螺丝或1800个螺母，现有x个工人生产螺丝，恰好每天生产的螺母和螺丝按2：1配套．为求x，可列方程（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·全国·七年级单元测试）一张方桌由一个桌面、四条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面40个或做桌腿240条，现有6m3木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好配套？设用x立方米木料做桌面，由题意列方程，得__________．
3．(2023·全国·七年级专题练习）某车间每天能制作甲种零件400只，或者制作乙种零件200只，1只甲种零件需要和3只乙种零件配成一套．现要在49天内制作最多的成套产品，则甲乙两种零件各应制作多少天．
4．(2023·全国·七年级专题练习）某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底120个．
(1)该工厂有男工、女工各多少人？
(2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？
5．(2023·浙江·七年级专题练习）某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需3个甲种零件和5个乙种零件，已知车间每天能生产甲种零件450个或乙种零件300个，现要在21天中使所生产的零件刚好配套，那么应安排多少天生产甲种零件，安排多少乙天生产乙种零件恰好配套？
小明在解决这个问题时设应安排天生产甲零件．填出表格①②③的表达式，并列方程解决这个问题．
【考点三 用一元一次方程解决工程问题】
例题：(2023·海南·儋州川绵中学七年级阶段练习）师傅和徒弟两人检修一条长300米的管道，师傅每小时检修17米，徒弟每小时检修13米，现两人同时合作，用多少时间可以完成检修？
【变式训练】
1．(2023·全国·九年级专题练习）某项工程由甲队单独做需要20天完成，由乙队单独做只需甲队的一半时间就能完成．设两队合作需要x天完成，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国·七年级专题练习）已知一项工程，甲单独完成需要5天，乙单独完成需要10天，现先由甲单独做2天，然后再安排乙与甲合作完成剩下的部分，则完成这项工程共耗时( )
A．1天B．2天C．3天D．4天
3．(2023·全国·七年级课时练习）一项工程甲单独做要20小时，乙单独做要12小时．现在先由甲单独做5小时，然后乙加入进来合做完成了整个工程．完成整个工程其中乙一共用了多少小时？若设乙一共用了x小时，则所列的方程为______．
4．(2023·全国·七年级课时练习）有9个人用14天完成了一件工作的，而剩下的工作要求在4天内完成，在他们工作效率不变的前提下，则至少需要增加______人．
5．(2023·广东·中山市黄圃华洋学校七年级阶段练习）将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲单独完成需要4小时，乙单独完成需要6小时．
(1)如果让甲、乙合作，需几小时完成这项工作任务的一半？
(2)如果乙先做90分钟，然后甲、乙合作，还需多长时间才能完成这项工作？
【考点四 用一元一次方程解决销售盈亏问题】
例题：(2023·上海市梅陇中学期中）某种商品按成本提高后标价，节假日期间又以标价打八折销售，结果这种商品每件亏损了64元，问这件商品成本多少元？（亏损=成本售价）
【变式训练】
1．(2023·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级阶段练习）某商品的原价为x元，降价25%后，售价是120元，则原价是__________元．
2．(2023·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）某商品标价100元，现在打6折出售仍可获利，则这件商品的进价是___________元．
3．(2023·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级期中）一刀书法毛边练习纸，按成本价提高40%后标价，促销活动中按标价的九折出售，每刀售12.6元，则每刀书法毛边练习纸的成本价为______元．
4．(2023·全国·七年级课时练习）某超市出售一种礼品混合糖是由两种糖果按一定比例配制而成，其中A糖果的进价为15元/千克，糖果的进价为10元/千克，按现行价格销售每千克获得56%的利润率．物价上涨，A糖果进价上涨20%，糖果进价上涨10%，配制后的总进价增加了12%，公司为了拓展市场，打算再投入现总进价的25%做广告宣传，如果要保证每千克利润不变，则此时这种礼品糖果的利润率是____．
5．(2023·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级阶段练习）某商场在“十一”黄金周投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：
(1)该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
(2)为了促销，该商场将甲种矿泉水打九折，乙种矿泉水打八五折出售，这样，500箱矿泉水在“十一”黄金周结束时全部售完，该商场可获得利润多少元？
6．(2023·全国·七年级专题练习）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元．
(1)甲种商品每件售价为 元，每件乙种商品利润率为 ；
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲乙两种商品各多少件？
(3)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：
按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款360元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
7．(2023·全国·七年级专题练习）某商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，加价50%作为售价；乙种商品每件进价50元，售价80元．
(1)甲种商品每件售价为_____元，乙种商品每件的利润为 元，利润率为 ％．
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲、乙两种商品各多少件？
(3)按以下优惠条件，若小梅一次性购买乙种商品实际付款504元，则此次小梅在该商场最多购买乙种商品多少件？
8．(2023·浙江·七年级专题练习）丹尼斯经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润20元；乙种商品每件进价50元，售价80元．
(1)甲种商品每件进价为 元，每件乙种商品利润率为 ；
(2)丹尼斯同时购进甲、乙两种商品共50件，总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？
(3)在“春节”期间，该商场对所有商品进行如下的优患促销话动：
按上述优惠条件，若小丽一次性购买乙种商品实际付款504元，求小丽购买商品的原价是多少？
【考点五 用一元一次方程解决比赛问题】
例题：(2023·湖南·衡阳市船山英文学校七年级阶段练习）足球比赛的记分规则：胜一场得分，平一场得分，负一场得分．某队打了场，负场，共得分，那么这个队平了（ ）
A．场B．场C．场D．场
【变式训练】
1．(2023·广东惠州·七年级期末）某次数学测试共20道选择题，答对一道得5分，答错或不答倒扣2分．小明在这次考试中得了79分，则他答对了____道题．
2．(2023·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校七年级阶段练习）甲、乙两个足球队连续进打对抗赛，规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，共赛10场，甲队保持不败，得22分，甲队胜___________场．
3．(2023·全国·七年级专题练习）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．答对一题得x分，答错一题扣2分．在此次竞赛中，有一位参赛者答对14道题，答错6道题，这位参赛者的最终得分为72分．则x＝________．
4．(2023·全国·七年级专题练习）一次足球赛11轮(即每队均需赛11场)，胜一场记2分，平一场记1分，负一场记0分，北京国安队所胜场数是所负场数的2倍，结果共得14分，求国安队共胜了__________场．
5．(2023·全国·七年级专题练习）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度重视学生的体育锻炼，并不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分，求该队获胜的场数．
【考点六 用一元一次方程解决方案选择问题】
例题：(2023·河北保定·七年级期末）周末，某校七年级准备组织观看电影《长津湖》，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张20元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两个优惠方案可选择：
方案1：全体人员可打8折；方案2：若打9折，有5人可以免票．
(1)七年级二班有48名学生，他该选择哪个方案比较省钱？请说明理由；
(2)一班班长思考一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的”．请求出一班的人数．
【变式训练】
1．(2023·四川省内江市第六中学七年级期中）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一套西装送一条领带；②西装和领带都按定价的付款．现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x（）．
(1)若该客户按方案①购买，需付款_________元（用含x的代数式表示）；若该客户按方案②购买，需付款________元（用含x的代数式表示）；
(2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
(3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．
2．(2023·湖南·平江县龙门镇龙门中学七年级期中）两种移动电话记费方式表
(1)一个月内本地通话多少分钟时，两种通讯方式的费用相同？
(2)若某人预计一个月内使用本地通话费180元，则应该选择哪种通讯方式较合算？
3．(2023·全国·七年级专题练习）某校准备利用寒假期间走访慰问贫困家庭学生，并给每位贫困家庭学生赠送一份学习用品（计划购买40份以上），学习用品每份售价60元，某商场给出了两种团购（40份以上）优惠方案：方案一：5份学习用品享受爱心免费赠送，剩下的学习用品按售价打九折；方案二：所购买的学习用品全部按售价打八折．
(1)该校采购老师发现：该校无论选择哪种团购方案，要付的钱都是一样的，问该校需要购买多少份学习用品？
(2)若该校改变计划，需购买学习用品50份，选择哪种方案优惠？请说明理由．
4．(2023·江苏·泰州中学附属初中七年级期中）“双11”天猫商城推出各种优惠活动进行促销．今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在两家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条，店铺在活动期间分别给予以下优惠：
A店铺：“双11”当天购买可以享受8折优惠；
B店铺：商品每满1000元可使用店铺优惠券80元． 同时每满500元可使用商城双11购物津贴券50元，同时“双11”当天购买还可立减100元．(例如：购买2条被子需支付
元)．
(1)若张阿姨想在“双11”当天购买4条被子，她选择哪家店铺购买?请说明理由；
(2)若张阿姨在“双11”当天购买a条被子，请分别用含a的代数式表示在这两家店铺购买的费用；
(3)张阿姨在双11当天购买几条被子，两家店铺的费用相同?
5．(2023·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校七年级阶段练习）十七中学刚完成校舍的修建，有一些相同的办公室需要粉刷墙面；一天5名一级技工去粉刷了8个办公室外还多粉刷了60平方米的展示厅墙面；同样时间内4名二级技工粉刷了7个办公室，结果有10平方米的墙面未来得及粉刷完，已知每名一级技工比二级技工一天多粉刷10平方米的墙面．
(1)求每个办公室需要粉刷的墙面面积．
(2)已知每天需要给每名一级技工支付费用180元，每天需要给每名二级技工支付费用160元．十七中学有40个办公室的墙面和600平方米的展览墙需要粉刷，现有5名一级技工的甲工程队，4名二级技工的乙工程队，要来粉刷墙面．十七中学有两个选择方案，方案一：全部由甲工程队粉刷；方案二：全部由乙工程队粉刷；若使得总费用最少，十七中学应如何选择方案，请通过计算说明．
6．(2023·吉林·农安县第一中学七年级阶段练习）某乳制品厂有鲜牛奶10吨，若直接销售，每吨可获利500元；若制成酸奶销售，每吨可获利1200元；若制成奶粉销售，每吨可获利2000元，该工厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工鲜牛奶3吨；若制成奶粉，每天可加工鲜牛奶1吨（两种加工方式不能同时进行）．受气温条件限制，这批鲜牛奶必须在4天内全部销售或加工完成．为此该厂设计了以下两种可行方案：
方案一：4天时间全部用来生产奶粉，剩余鲜牛奶直接销售；
方案二：将一部分鲜牛奶制成奶粉，剩余的制成酸奶，并恰好4天完成．
你认为哪种方案获利较多，为什么？
7．(2023·广东惠州·七年级期末）下表中有两种移动电话计费方式：
（月使用费固定收；主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费）
(1)若张聪某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需____元，按方式二计费需____元；李华某月按方式二计费需110元，则李华该月主叫通话时间为_____分钟；
(2)是否存在某主叫通话时间t（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
(3)直接写出当月主叫通话时间t（分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱．
【过关检测】
1．（2023秋·广东揭阳·七年级统考期末）一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以的速度前进，突然，1号队员以的速度独自行进，行进后掉转车头，仍以的速度往回骑，直到与其他队员会合．1号队员从离队开始到与其他队员重新会合，经过了多长时间？
2．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，要求每天生产的螺柱和螺母刚好配套．
(1)若1个螺柱需要配2个螺母，应安排生产螺柱的工人有多少名？
(2)若3个螺柱需要配5个螺母，则安排生产螺柱的工人有多少名？
3．(2023秋·河北保定·七年级校联考阶段练习）已知，某工地施工队，其中一部分工人挑土，一部分工人抬土，共有60根扁担和80个筐（已知挑土的是一个工人挑一根扁担，挂两个筐，抬土的是两个工人抬一根扁担，中间挂一个筐）．
(1)施工队中挑土工人有多少人？
(2)若挑土工人一天的工资为90元，抬土工人一天的工资为50元，则施工队一天该付工资多少钱？
(3)由于人工成本较高，而且施工队欲提高工作效率，故将抬土工人全部转为挑土，请问后勤部门要多购进多少根扁担、多少个筐？
4．（2023秋·江西宜春·七年级统考期末）为争创文明城市，某学校举行创文知识竞赛，学校打印室有A、B两台机器可以印刷试卷，单独用A机器需要45分钟能印刷完，单独用B机器需要30分钟能印刷完，为保密起见不能过早印刷试卷，为学生按时开始竞赛，需要监考教师提前5分钟领取到试卷，学校决定在考试前由两台机器同时印刷．
(1)两台机器同时印刷，共需多少分钟才能印刷完；
(2)两台机器同时印刷，10分钟后，A机器发生故障暂时不能印刷，经过抢修2分钟后恢复正常印刷，此时离开始竞赛只剩下13分钟（老师领卷的时间忽略不计），试问这次竞赛能否正常开始？请说明理由．
5．（2023秋·广东深圳·七年级统考期末）某小区便利店老板到厂家购进、两种香油共100瓶，花去了680元．
其进价和售价如下表：
(1)该店购进、两种香油各多少瓶？
(2)将购进的100瓶香油全部销售完，可获利多少元？
6．（2023秋·陕西西安·七年级校考期末）为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目．某公司计划建设一座小型光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，每周耗资8万元，若由乙工程队单独施工需要6周，每周耗资3万元．
(1)若甲、乙两工程队全程合作施工，需要几周完成？共需耗资多少万元？
(2)若由甲、乙两工程队先合作施工，剩下的由乙工程队单独完成，恰好用了4周完成建设任务，求甲工程队施工了几周？这样安排与两工程队全程合作相比，哪种方案更省钱？（时间按整周计算）
7．（2023秋·广东广州·七年级统考期末）我校在科技节的系列活动中举行了“王中王”知识竞赛，共设道选择题，各题分值及得分标准相同，每题必答，未作答视为答错．下表记录了其中个参赛者的得分情况．
(1)参赛者答对一题得______分，答错一题得______分；
(2)参赛者小红得了分，她答对了几道题？
(3)参赛者小明说他得了分，你认为可能吗？为什么？
8．（2023秋·湖南长沙·七年级湖南师大附中校考期末）为了进一步加强学校文化建设，满足学生在不同场合着装的需求，培养孩子的社会规范性，积极发挥好校服育人的功能，在参考国内普遍做法的基础上，征求教师、家长、学生代表意见，结合学校的办学理念和文化，本着自愿征订原则，师大附中准备为学生量身设计个性化礼服.现从某服装公司了解到：西装外套300元/套，领带50元/条.有两种优惠方案：方案一：买一套西装外套，送一条领带；方案二：西装外套和领带都按定价的九折付款.
(1)因艺术节表演需要，七年级计划购买20套西装外套和30条领带，通过计算说明按哪种方案购买较为合算.
(2)某年级准备在该服装厂购买西装20套，领带条.当为多少时，两种优惠方案所付的钱数相同.
9．（2023秋·河北邢台·七年级金华中学校考期末）葡萄加工厂现收购10吨葡萄，该葡萄的出原汁率80%（原汁含皮带籽）．若在市场上直接销售原汁，每吨可获利润500元；制成葡萄汁（葡萄汁不含皮不带籽）销售，每加工1吨原汁可获利润1200元；制成葡萄饮料销售，每加工1吨原汁可获利润2000元．该厂的生产能力是：若制葡萄汁，每天可加工3吨原汁；若制葡萄饮料，每天可加工1吨原汁；受人员和设备限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批葡萄必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该厂设计了两种可行方案：（将葡萄榨成原汁时间忽略不计）
方案一：尽可能多的制成葡萄饮料，其余直接销售原汁；
方案二：将一部分制成葡萄饮料，其余制成葡萄汁销售，并恰好4天完成．
(1)请计算方案一的获利情况．
(2)方案二应如何安排原汁的使用．
(3)上述两种方案中哪一种方案获利较多，请计算说明．
10．(2023秋·福建福州·七年级校考期中）某超市在国庆期间进行优惠大酬宾，具体方案如表．
(1)本期优惠活动期间，若小明一次性购物的货款是450元，则他实际需付款______元；
(2)本期优惠活动期间，若小亮在该超市一次性购物x元，当时，他实际付款（______）元（用含x的代数式表示）；
(3)本期优惠活动期间，陈先生在该超市购物两次，两次购物的货款共850元．若第一次购物的货款超过200元，但小于300元，已知陈先生这两次购物的总优惠金额为97元，求第一次购物的货款．
11．（2023秋·江西宜春·七年级统考期末）如图1，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，O为原点，且a，b满足．
(1)则A、B两点的距离是______；
(2)点P是数轴上一个动点，其表示的数是x，当时，求x；
(3)如图2，E，F为线段OB上两点，且满足，，动点M从点A，动点N从点F同时出发，分别以3个单位/秒，1个单位/秒的速度沿直线AB向右运动，是否存在某个时刻，点M和点N相距一个单位？若存在，求此时点M表示的数；若不存在，请说明理由．
工效（个/天）
天数（天）
数量（个）
甲种零件
450
x
②
乙种零件
300
①
③
类别/单价
成本价
销售价（元/箱）
甲
24
36
乙
33
48
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过380元
不优惠
超过380元，但不超过500元
售价打九折
超过500元
售价打八折
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过450元
不优惠
超过450元，但不超过600元
售价打九折
超过600元
其中600元部分打8.2折优惠超过600元部分3折优惠
打折前一次性购物总金额
优惠措施
少于等于450元
不优惠
超过450元但不超过600元
按售价打九折
超过600元
其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠
全球通
神州行
月租费
50元
0
本地通话费
0.40元/分
0.60元/分
月使用费
主叫限定时间（分钟）
主叫超时费（元／分钟）
被叫
方式一
65
160
0.20
免费
方式二
100
380
0.25
免费
进价（元/瓶）
售价（元/瓶）
A种香油
6
9
B种香油
8
12
参赛者
答对题数
答错题数
得分
一次性购物的贷款
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专题02 一元一次方程的实际应用(一)压轴题六种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc26814" 【典型例题】 PAGEREF _Tc26814 \h 1
\l "_Tc21407" 【考点一 用一元一次方程解决行程问题 】 PAGEREF _Tc21407 \h 1
\l "_Tc5730" 【考点二 用一元一次方程解决配套问题】 PAGEREF _Tc5730 \h 4
\l "_Tc16153" 【考点三 用一元一次方程解决工程问题】 PAGEREF _Tc16153 \h 7
\l "_Tc16481" 【考点四 用一元一次方程解决销售盈亏问题】 PAGEREF _Tc16481 \h 10
\l "_Tc7922" 【考点五 用一元一次方程解决比赛问题】 PAGEREF _Tc7922 \h 16
\l "_Tc7672" 【考点六 用一元一次方程解决方案选择问题】 PAGEREF _Tc7672 \h 18
\l "_Tc19179" 【过关检测】 PAGEREF _Tc19179 \h 25
【典型例题】
【考点一 用一元一次方程解决行程问题 】
例题：(2023·湖南省隆回县第二中学七年级阶段练习）已知A，B两地相距400千米，甲、乙两车从A地向B地运送货物．甲车的速度为每小时60千米，乙车的速度为每小时80千米，甲车先出发0.5小时后乙车才开始出发．
(1)乙车出发几小时后，才能追上甲车？
(2)追上乙车时，距离B地还有多远？
【答案】(1)1.5小时
(2)280千米
【分析】（1）设乙车出发x小时后，根据题意列出方程即可求出答案．
（2）先求出相遇时，乙车走的路程，再用400减去该路程即可求解．
（1）
解：设乙车出发x小时后，才能追上甲车．
依题意得：60×0.5+60x＝80x，
解得：x＝1.5．
答：乙车出发1.5小时后，才能追上甲车．
（2）
解：400﹣80×1.5
＝400﹣120
＝280（千米）．
故追上乙车时，距离B地还有280千米远．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
【变式训练】
1．(2023·全国·七年级专题练习）一辆货轮往返于上下两个码头，逆流而上需用38小时，顺流而下需用32小时，若水流速度为8千米/时，则下列求两码头距离的方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据顺水速度－水流速度=静水速度，逆水速度+水流速度=静水速度，列出方程即可．
【详解】解：设两码头距离x，根据题意得出：
，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握静水速度与逆水速度和顺水速度以及与水速之间的关系．
2．(2023·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）甲、乙两人分别从相距2000米的A，B两地步行出发相向而行，两人速度保持不变，若两人同时出发，则他们10分钟之后相遇；若乙比甲先出发4分钟，则甲出发8分钟之后，甲乙两人相遇，则甲的速度为（ ）
A．70米/分钟B．80米/分钟C．90米/分钟D．100米/分钟
【答案】D
【分析】根据题意可算出甲、乙两人的速度之和，设甲的速度为米分，可表达出乙的速度，根据题意可列出方程，从而求解即可．
【详解】解：根据题意可知，甲、乙两人的速度之和为（米分），
设甲的速度为米分，则乙的速度为米分，
根据题意可知，，
解得．
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用行程问题，解题的关键是根据相遇问题得出甲、乙的速度和．
3．(2023·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级阶段练习）两地相距450千米，甲、乙两车分别从两地同时出发，相向而行．甲车速度120千米/时，乙车速度为105千米/时，经过_____小时两车相遇．
【答案】2
【分析】根据两车相向而行的等量关系，列出方程得出两车相遇的时间即可．
【详解】解：设经过x小时两车相遇，可得：
，
解得： ．
故答案为：2
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键史以路程作为等量关系列方程求解．
4．(2023·四川·西昌市川兴中学七年级阶段练习）一列火车匀速通过长500m隧道，若火车从开始进入隧道到完全开出隧道共用30秒，而整列火车完全在隧道里的时间是20秒，求这列火车的长为________．
【答案】100m
【分析】设火车的长度为xm，可用火车从开始进入隧道到完全开出隧道共用30秒和整列火车完全在隧道里的时间是20秒表示火车的速度列方程求解．
【详解】解：设火车的长度为xm，根据题意得：
解得：x=100，
所以这列火车的长是100m．
故答案为：100m
【点睛】此题考查的知识点是一元一次方程的应用，关键是用两个时间表示出火车的速度列方程．
5．(2023·湖南·平江县龙门镇龙门中学七年级期中）小明和小刚从学校出发，去敬老院送水果．小明带着东西先走2.5分钟后，小刚才出发．若小明每分钟行80米，小刚每分钟行120米，
(1)设小刚出发经过x分钟后，小刚走了__________米，小明走了__________米，（用含有x的代数式表示）
(2)则小刚用几分钟可以追上小明？
【答案】(1)，
(2)小刚用5分钟可以追上小明．
【分析】（1）根据路程速度时间可解决问题；
（2）设小刚x分钟可以追上小明，根据路程速度×时间即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：小刚出发经过x分钟后，小刚走了米，小明走了米，
故答案为：，；
（2）解：设小刚用x分钟可以追上小明，
根据题意得：，
解得：．
答：小刚用5分钟可以追上小明．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系路程速度时间列出关于x的一元一次方程是解题的关键．
6．(2023·黑龙江·鸡西市第四中学七年级期中）数轴上A在原点的左侧，A表示的数是a，距离原点18个单位，B在原点右侧，B所表示的数是b，距离A点24个单位．
(1)______，______．
(2)P，Q是数轴上的两个动点，P点从A出发，速度2个单位每秒，同时Q点从B点出发，速度1个单位每秒，若两点相向而行，经过一段时间在C点相遇，求出点C表示数．
(3)在（2）的条件下，经过几秒钟，P，Q两点相距6个单位长度．
【答案】(1)，
(2)
(3)经过6秒或10秒时，P，Q两点相距6个单位长度
【分析】（1）根据数轴上两点距离公式进行求解即可；
（2）设经过t秒P、Q两点相遇，根据P、Q相遇时，P、Q所走的路程即为的长列出方程求解即可；
（3）设经过t秒，P，Q两点相距6个单位长度，则点P表示的数为，点Q表示的数为，则，据此建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵数轴上A在原点的左侧，A表示的数是a，距离原点18个单位，
∴；
∵B在原点右侧，B所表示的数是b，距离A点24个单位，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：设经过t秒P、Q两点相遇，
由题意得，
解得，
∴点C表示的数为；
（3）解：设经过t秒，P，Q两点相距6个单位长度，
由题意得，
∴，
∴或，
解得或，
∴经过6秒或10秒时，P，Q两点相距6个单位长度．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值方程，一元一次方程的应用，正确理解题意熟知数轴上两点距离公式是解题的关键．
【考点二 用一元一次方程解决配套问题】
例题：(2023·黑龙江·哈尔滨市松雷中学校七年级阶段练习）用白铁皮制作罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一个罐头盒，现有150张铁皮，用______张铁皮制作盒身，正好使得这150张铁皮制作出来的盒身和盒底全部配套．
【答案】90
【分析】设用x张铁皮制作盒身，则用张铁皮制作盒底，根据一个盒身与两个盒底配成一个罐头盒，可以得出盒底的数量等于盒身数量的2倍，列出方程求解即可．
【详解】解：设用x张铁皮制作盒身，则用张铁皮制作盒底，得，
，
解得，
所以用90张铁皮制作盒身，
故答案为：90．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系列出方程是本题的关键．
【变式训练】
1．(2023·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）某车间有28名工人生产螺丝和螺母，每人每天生产1200个螺丝或1800个螺母，现有x个工人生产螺丝，恰好每天生产的螺母和螺丝按2：1配套．为求x，可列方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】要列方程首先要根据题意找出题中存在的等量关系：每天生产的螺母=每天生产的螺丝的2倍，从而列出方程．
【详解】解：设x名工人生产螺丝，则生产螺母的工人为名．
每天生产螺丝个，生产螺母；
根据“恰好每天生产的螺丝和螺母按1：2配套”，
得出方程：．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，有的题目所含的等量关系比较隐藏，要注意仔细审题，耐心寻找．
2．(2023·全国·七年级单元测试）一张方桌由一个桌面、四条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面40个或做桌腿240条，现有6m3木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好配套？设用x立方米木料做桌面，由题意列方程，得__________．
【答案】
【分析】设用x立方米木料做桌面，则用立方米木料作桌腿，根据一个桌面配四个桌腿列出方程即可．
【详解】解：设用x立方米木料做桌面，则用立方米木料作桌腿，
由题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意是解题的关键．
3．(2023·全国·七年级专题练习）某车间每天能制作甲种零件400只，或者制作乙种零件200只，1只甲种零件需要和3只乙种零件配成一套．现要在49天内制作最多的成套产品，则甲乙两种零件各应制作多少天．
【答案】甲种零件应制作7天，乙种零件应制作42天．
【分析】可设甲种零件应制作x天，则乙种零件应制作（49﹣x）天，本题的等量关系为：3×甲种零件数=乙零件数．由此可得出方程求解．
【详解】解：甲种零件应制作天，则乙种零件制作天．
解这个方程，得
．
答：甲种零件应制作7天，乙种零件应制作42天．
【点睛】考查了一元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，找出合适的等量关系列出方程．
4．(2023·全国·七年级专题练习）某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底120个．
(1)该工厂有男工、女工各多少人？
(2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？
【答案】(1)该工厂有男工36人，有女工52人
(2)调12名女工帮男工制作盒底
【分析】（1）设该工厂有男工x人，则女工有人，利用总人数是88人列方程求解即可．
（2）设调y名女工帮男工制作盒底，利用盒底是盒身的二倍列方程求解即可．
【详解】（1）解：设该工厂有男工x人，则女工有人，
由题意得：，
解得：，
女工：（人），
答：该工厂有男工36人，有女工52人．
（2）设调y名女工帮男工制作盒底，
由题意得：，
解得．
答：调12名女工帮男工制作盒底，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，掌握利用等量关系列方程是解题的关键．
5．(2023·浙江·七年级专题练习）某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需3个甲种零件和5个乙种零件，已知车间每天能生产甲种零件450个或乙种零件300个，现要在21天中使所生产的零件刚好配套，那么应安排多少天生产甲种零件，安排多少乙天生产乙种零件恰好配套？
小明在解决这个问题时设应安排天生产甲零件．填出表格①②③的表达式，并列方程解决这个问题．
【答案】①，②，③；安排6天生产甲零件，安排15天生产乙零件．
【分析】设应安排天生产甲零件，根据题意求得安排天生产乙种零件，共生产甲种零件，生产乙种零件，根据每台豆浆机需3个甲种零件和5个乙种零件，使得恰好配套，则甲种零件的数量乘以5等于乙种零件的数量乘以3，据此列出一元一次方程即可求解．
【详解】解：设应安排天生产甲零件，根据题意求得安排天生产乙种零件，共生产甲种零件，生产乙种零件，
依题意得方程
解得：
答：安排6天生产甲零件，安排15天生产乙零件．
故答案为：①，②，③
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
【考点三 用一元一次方程解决工程问题】
例题：(2023·海南·儋州川绵中学七年级阶段练习）师傅和徒弟两人检修一条长300米的管道，师傅每小时检修17米，徒弟每小时检修13米，现两人同时合作，用多少时间可以完成检修？
【答案】用10小时可以完成检修．
【分析】首先设两人合作x小时可以完成整条管道的检修，由题意得等量关系：师傅x小时的工作量+徒弟x小时的工作量=300米，再根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：设用x小时可以完成检修，
17x+13x=300
x=10．
答：用10小时可以完成检修．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．
【变式训练】
1．(2023·全国·九年级专题练习）某项工程由甲队单独做需要20天完成，由乙队单独做只需甲队的一半时间就能完成．设两队合作需要x天完成，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】运用工作效率乘工作时间等于工作量列代数式，甲队工作量加乙队工作量等于1列方程．
【详解】两队合作需要x天完成，由题意得，，即（）x=1．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了工程问题，解决问题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，甲乙两队的工作量与总工作量的关系．
2．(2023·全国·七年级专题练习）已知一项工程，甲单独完成需要5天，乙单独完成需要10天，现先由甲单独做2天，然后再安排乙与甲合作完成剩下的部分，则完成这项工程共耗时( )
A．1天B．2天C．3天D．4天
【答案】D
【分析】设完成这项工程共耗时x天，则甲工作了x天，乙工作了（x﹣2）天，根据总工作量＝甲完成的工作量+乙完成的工作量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设完成这项工程共耗时x天，则甲工作了x天，乙工作了（x﹣2）天，
根据题意得：1，
解得：x＝4．
即完成这项工程共耗时4天．
故选：D
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
3．(2023·全国·七年级课时练习）一项工程甲单独做要20小时，乙单独做要12小时．现在先由甲单独做5小时，然后乙加入进来合做完成了整个工程．完成整个工程其中乙一共用了多少小时？若设乙一共用了x小时，则所列的方程为______．
【答案】
【分析】首先根据题意，知甲、乙的工作效率分别是、．再根据先由甲单独做5小时，然后乙加入进来合做完成工程，来列方程即可．
【详解】解：根据题意，得
甲先做了，
然后甲、乙合做了．
则有方程：．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是掌握：工作量工作效率工作时间．
4．(2023·全国·七年级课时练习）有9个人用14天完成了一件工作的，而剩下的工作要求在4天内完成，在他们工作效率不变的前提下，则至少需要增加______人．
【答案】12
【分析】设至少需要增加人，由题意得：，计算求解即可．
【详解】解：设至少需要增加人
由题意得：
解得：
∴至少需要增加12人．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于根据题意列方程．
5．(2023·广东·中山市黄圃华洋学校七年级阶段练习）将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲单独完成需要4小时，乙单独完成需要6小时．
(1)如果让甲、乙合作，需几小时完成这项工作任务的一半？
(2)如果乙先做90分钟，然后甲、乙合作，还需多长时间才能完成这项工作？
【答案】(1)需小时完成这项工作任务的一半
(2)还需小时才能完成这项工作
【分析】（1）将总工作量看作“1”，然后由工作时间=÷工作效率和作答；
（2）设甲、乙合作，还需x小时才能完成这项工作，根据“乙做90分钟的工作量+甲、乙合作工作x小时的工作量=1”列出方程并解答．
（1）
解：
＝
＝
＝（小时）．
故需小时完成这项工作任务的一半；
（2）
解：设甲、乙合作，还需x小时才能完成这项工作，依题意有：
，
解得x=．
故还需小时才能完成这项工作．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，利用效率×时间=工作量1得出是解题关键．
【考点四 用一元一次方程解决销售盈亏问题】
例题：(2023·上海市梅陇中学期中）某种商品按成本提高后标价，节假日期间又以标价打八折销售，结果这种商品每件亏损了64元，问这件商品成本多少元？（亏损=成本售价）
【答案】1600元
【分析】首先设这件商品的进价是x元，根据题意可得等量关系：×进价×打折＝进价+利润，根据等量关系代入相应数据可得方程，再解方程即可．
【详解】解：设这件商品进价x元，依题意有：
，
，
解得．
答：这件商品进价1600元．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
【变式训练】
1．(2023·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级阶段练习）某商品的原价为x元，降价25%后，售价是120元，则原价是__________元．
【答案】160
【分析】设原价是x元，根据等量关系，列出一元一次方程，即可求解．
【详解】解：设原价是x元，
由题意得：，
解得：，
故答案为：160．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，列出方程是关键．
2．(2023·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）某商品标价100元，现在打6折出售仍可获利，则这件商品的进价是___________元．
【答案】
【分析】设这件商品的进价为x元，根据利润=销售价格进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设这件商品的进价为x元，
根据题意得：，
解得：．
答：这件商品的进价为元．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，由售价找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
3．(2023·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级期中）一刀书法毛边练习纸，按成本价提高40%后标价，促销活动中按标价的九折出售，每刀售12.6元，则每刀书法毛边练习纸的成本价为______元．
【答案】
【分析】设每刀书法毛边练习纸的成本价为x元，利用按成本价提高40%后标价得出标价，再利用标价的九折出售列出方程求解即可．
【详解】解：设每刀书法毛边练习纸的成本价为x元，
则标价为：，
列方程得：，
解得．
故答案为：10．
【点睛】本题考查一元一次方程的问题——销售问题，根据问题找到等量关系列方程是解题的关键．
4．(2023·全国·七年级课时练习）某超市出售一种礼品混合糖是由两种糖果按一定比例配制而成，其中A糖果的进价为15元/千克，糖果的进价为10元/千克，按现行价格销售每千克获得56%的利润率．物价上涨，A糖果进价上涨20%，糖果进价上涨10%，配制后的总进价增加了12%，公司为了拓展市场，打算再投入现总进价的25%做广告宣传，如果要保证每千克利润不变，则此时这种礼品糖果的利润率是____．
【答案】40%
【分析】先根据A糖果进价上涨20%，糖果进价上涨10%，配制后的总进价增加了12%，求出配制比例，从而求出涨价前的利润，再求出涨价后的成本，继而求出利润率．
【详解】解：A糖果的进价为15元/千克，糖果的进价为10元/千克，
涨价后，A糖果进价上涨20%，变为18元；糖果进价上涨10%，变为11元，总成本上涨12%，
设每100千克成品中，原料A占x千克，B占（100-x）千克，
则涨价前每100千克成本为15x+10（100-x），
涨价后每100千克成本为18x+11（100-x），
解得：x=千克，
100-x=千克，
即二者的比例是：A：B=1：6，
则涨价前每千克的成本为元，销售价为元，
利润为6元，
原料涨价后，每千克成本变为元，成本的25%=3元，保证利润为6元，
则利润率为：6÷（12+3）=40%．
故答案为40%．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用——销售盈亏问题，求出两种糖果的配比是解题的关键．
5．(2023·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级阶段练习）某商场在“十一”黄金周投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：
(1)该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
(2)为了促销，该商场将甲种矿泉水打九折，乙种矿泉水打八五折出售，这样，500箱矿泉水在“十一”黄金周结束时全部售完，该商场可获得利润多少元？
【答案】(1)该商场购进甲种矿泉水300箱，则购进乙种矿泉水200箱
(2)该商场可获得利润4080元
【分析】（1）投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，可设该商场购进甲种矿泉水x箱，则购进乙种矿泉水箱，再根据总成本=单成本×数量列方程计算即可；
（2）利用总利润=（售价-成本）×数量的等量关系列式计算即可．
【详解】（1）解：设该商场购进甲种矿泉水x箱，则购进乙种矿泉水箱，
，
，
解得，
，
答：该商场购进甲种矿泉水300箱，则购进乙种矿泉水200箱；
（2）解：（元）
答：该商场可获得利润4080元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，如何根据等量关系列方程是解题的关键．
6．(2023·全国·七年级专题练习）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元．
(1)甲种商品每件售价为 元，每件乙种商品利润率为 ；
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲乙两种商品各多少件？
(3)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：
按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款360元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
【答案】(1)60，
(2)购进甲商品40件，乙商品10件
(3)13或14件
【分析】（1）根据题意直接列式计算即可；
（2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，然后根据题意列一元一次方程求解即可；
（3）设第一天购买乙种商品a件，设第二天购买甲种商品b件，然后分别列方程求得，最后求和即可．
【详解】（1）解：（元），
所以甲种商品每件售价为60元，每件乙种商品利润率为．
故答案为：60，．
（2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，
由题意得，，
解得：，则．
答：购进甲商品40件，乙商品10件．
（3）解：设第一天购买乙种商品a件，
依题意得，，
解得或4.5（舍去），
所以第一天购买乙种商品5件．
设第二天购买甲种商品b件，
依题意得，，
解得或9（舍去），
所以第二天购买甲种商品8或9件，
（件）或（件）．
答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共13或14件．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意、找准等量关系、正确列出方程是解答本题的关键．
7．(2023·全国·七年级专题练习）某商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，加价50%作为售价；乙种商品每件进价50元，售价80元．
(1)甲种商品每件售价为_____元，乙种商品每件的利润为 元，利润率为 ％．
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲、乙两种商品各多少件？
(3)按以下优惠条件，若小梅一次性购买乙种商品实际付款504元，则此次小梅在该商场最多购买乙种商品多少件？
【答案】(1)60， 30， 60
(2)购进甲种商品40件，则购进甲种商品10件
(3)此次小梅在该商场最多购买乙种商品8件
【分析】(1) 根据甲种商品每件进价40元，加价50%作为售价，所以售价=进价×（1+50%）乙种商品每件的利润为售价-进价，求出售价和利润率；
(2)设购进甲种商品x件，则购进乙种商品(50-x)件，再由总进价是2100元，列出方程求解即可； .
(3)分两种情况讨论，①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，②打折前购物金额超过600元，分别列方程求解即可．
（1）
由题意得，
甲种商品每件售价为：
40×(1 + 50%) = 60(元)，
乙种商品每件的利润为80 - 50 = 30(元)，
乙种商品的利润率为×100% = 60%，
故答案为： 60， 30， 60．
（2）
设购进甲种商品x件，则购进甲种商品(50-x)件，根据题意，得
40x+ 50(50- x) = 2100，
解得x=40，
乙种商品件数为50- x= 50- 40= 10(件)
答：购进甲种商品40件，则购进甲种商品10件．
（3）
设小梅购买乙种商品a件，则共需(80a)元，
①当80a≤450时，不符合题意，舍去；
②当450 < 80a≤600时，0.9×80a= 504
解得：a= 7，经检验，符合题意；
③当80a > 600时，
600×0.82+0.3(80a-600)=504，
解得： a=8，经检验，符合题意；
∵8> 7，
∴此次小梅在该商场最多购买乙种商品8件．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解．
8．(2023·浙江·七年级专题练习）丹尼斯经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润20元；乙种商品每件进价50元，售价80元．
(1)甲种商品每件进价为 元，每件乙种商品利润率为 ；
(2)丹尼斯同时购进甲、乙两种商品共50件，总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？
(3)在“春节”期间，该商场对所有商品进行如下的优患促销话动：
按上述优惠条件，若小丽一次性购买乙种商品实际付款504元，求小丽购买商品的原价是多少？
【答案】(1)40，60%；
(2)购进甲种商品40件；
(3)小丽购买商品的原价是560元或640元
【分析】（1）根据进价＝售价利润，利润率＝利润÷进价，列式计算即可；
（2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，再由总进价是2100元，列出方程求解即可；
（3）设小丽购买商品的原价是y元，分两种情况讨论，①小丽购买商品的原价超过450元，但不超过600元，②小丽购买商品的原价超过600元，分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：甲种商品每件进价为；
乙种商品的利润率为，
故答案为：40，60%；
（2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，
由题意得：，
解得：，
答：购进甲种商品40件；
（3）解：设小丽购买商品的原价是y元，
①若小丽购买商品的原价超过450元，但不超过600元，
由题意得：，解得：，
②若小丽购买商品的原价超过600元，
由题意得：，
解得：，
答：小丽购买商品的原价是560元或640元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，正确列出一元一次方程．
【考点五 用一元一次方程解决比赛问题】
例题：(2023·湖南·衡阳市船山英文学校七年级阶段练习）足球比赛的记分规则：胜一场得分，平一场得分，负一场得分．某队打了场，负场，共得分，那么这个队平了（ ）
A．场B．场C．场D．场
【答案】B
【分析】设共胜了场，本题的等量关系为：胜的场数平的场数负的场数总得分，解方程即可得出答案．
【详解】解：设共胜了场，则平了场，
由题意得：，
解得：，即这个队胜了场．
则平了场，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，解答本题的关键是要掌握胜的场数平的场数负的场数总得分，难度一般．
【变式训练】
1．(2023·广东惠州·七年级期末）某次数学测试共20道选择题，答对一道得5分，答错或不答倒扣2分．小明在这次考试中得了79分，则他答对了____道题．
【答案】17
【分析】设小明答对y道题，根据得分79分，构建方程求解．
【详解】解：设小明答对y道题，根据题意得
5y-（20-y）×2=79，
解得y=17，
答：小明答对17道题．
故答案为：17．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确寻找等量关系，构建方程解决问题．
2．(2023·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校七年级阶段练习）甲、乙两个足球队连续进打对抗赛，规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，共赛10场，甲队保持不败，得22分，甲队胜___________场．
【答案】6
【分析】设甲胜了x场，则平了场，根据“共赛10场，甲队保持不败，得22分”列出方程并解答．
【详解】解：设甲队胜了x场，
由题意得：，
解得，
答：甲队胜了6场，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出方程．
3．(2023·全国·七年级专题练习）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．答对一题得x分，答错一题扣2分．在此次竞赛中，有一位参赛者答对14道题，答错6道题，这位参赛者的最终得分为72分．则x＝________．
【答案】6
【分析】根据题意可直接进行列方程进行求解．
【详解】解：由题意得：
，
解得：；
故答案为：6
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
4．(2023·全国·七年级专题练习）一次足球赛11轮(即每队均需赛11场)，胜一场记2分，平一场记1分，负一场记0分，北京国安队所胜场数是所负场数的2倍，结果共得14分，求国安队共胜了__________场．
【答案】6
【分析】设国安队所胜场数为x场，则负场数为x场，平场数为（11-x-x）场，由题意：胜一场记2分，平一场记1分，负一场记0分，结果共得14分，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设国安队所胜场数为x场，则负场数为x场，平场数为（11-x-x）场，
依题意得：2x+x×0+（11-x-x）×1=14，
解得：x=6，
答：国安队共胜了6场．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找准等量关系，列出一元一次方程．
5．(2023·全国·七年级专题练习）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度重视学生的体育锻炼，并不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分，求该队获胜的场数．
【答案】7场
【分析】设该队获胜x场，则平场，利用总得分 获胜场次数 打平场次数，即可得出一元一次方程，解方程即可求得答案．
【详解】设该队获胜x场，则平场，
依题意得：，解得：．
答：该队获胜7场．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【考点六 用一元一次方程解决方案选择问题】
例题：(2023·河北保定·七年级期末）周末，某校七年级准备组织观看电影《长津湖》，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张20元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两个优惠方案可选择：
方案1：全体人员可打8折；方案2：若打9折，有5人可以免票．
(1)七年级二班有48名学生，他该选择哪个方案比较省钱？请说明理由；
(2)一班班长思考一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的”．请求出一班的人数．
【答案】(1)方案1比较省钱，详见解析
(2)一班的人数为45人，详见解析
【分析】（1）根据题意，直接进行计算即可；
（2）设一班的人数为a人，根据所付钱数一样，可列方程：，解方程即可．
（1）
解：由题意可知，方案1费用为：（元），
方案2费用为：（元），
综上所述，方案1比较省钱；
（2）
设一班的人数为a人，
由题意列方程为：，
解得：a=45，
答：一班的人数为45人．
【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的应用，重点在于根据题意列出方程．
【变式训练】
1．(2023·四川省内江市第六中学七年级期中）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一套西装送一条领带；②西装和领带都按定价的付款．现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x（）．
(1)若该客户按方案①购买，需付款_________元（用含x的代数式表示）；若该客户按方案②购买，需付款________元（用含x的代数式表示）；
(2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
(3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．
【答案】(1)，
(2)方案①
(3)先按方案①购买20套西装（送20条领带），再按方案②购买10条领带
【分析】（1）根据题意分别列出代数式并整理即可得到答案；
（2）把分别代入（1）中的两个代数式，求出结果后比较即可；
（3）综合运用两种优惠方案，得出更加省钱的方案，即先按方案①购买20套西装（送20条领带），再按方案②购买10条领带，算出费用即可．
【详解】（1）解：按方案①购买需付费为：元；
按方案②购买需付费为：元．
（2）解：由题意得当时，
方案①需付费为：元，
方案②需付费为：元，
，
按方案①购买较为合算．
（3）解：先按方案①购买20套西装（送20条领带），再按方案②购买10条领带，
共需费用为：元，
，
当时，此方案更省钱．
【点睛】本题主要考查了列代数式以及最佳方案选择问题，理解方案①中买一套西装送一条领带是解题的关键．
2．(2023·湖南·平江县龙门镇龙门中学七年级期中）两种移动电话记费方式表
(1)一个月内本地通话多少分钟时，两种通讯方式的费用相同？
(2)若某人预计一个月内使用本地通话费180元，则应该选择哪种通讯方式较合算？
【答案】(1)一个月内本地通话250分钟时，两种通讯方式的费用相同；
(2)若某人预计一个月内使用本地通话费180元，则选择全球通较合算
【分析】（1）设一个月内本地通话x分钟时，两种通讯方式的费用相同，根据两种通讯方式的收费标准，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据两种通讯方式的收费标准结合本地通话费180元，即可分别求出选择两种通讯方式的可通话时间，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设一个月内本地通话x分钟时，两种通讯方式的费用相同，
根据题意得：，
解得：．
答：一个月内本地通话250分钟时，两种通讯方式的费用相同；
（2）解：选择全球通的可通话时间为（分钟），
选择神州行的可通话时间为（分钟）．
∵，
∴选择全球通较合算．
答：若某人预计一个月内使用本地通话费180元，则选择全球通较合算．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据两种通讯方式的收费标准结合本地通话费180元，分别求出选择两种通讯方式的可通话时间．
3．(2023·全国·七年级专题练习）某校准备利用寒假期间走访慰问贫困家庭学生，并给每位贫困家庭学生赠送一份学习用品（计划购买40份以上），学习用品每份售价60元，某商场给出了两种团购（40份以上）优惠方案：方案一：5份学习用品享受爱心免费赠送，剩下的学习用品按售价打九折；方案二：所购买的学习用品全部按售价打八折．
(1)该校采购老师发现：该校无论选择哪种团购方案，要付的钱都是一样的，问该校需要购买多少份学习用品？
(2)若该校改变计划，需购买学习用品50份，选择哪种方案优惠？请说明理由．
【答案】(1)45份
(2)方案二，理由见解析
【分析】（1）设该校需要购买x份学习用品，根据两种方案付款相同列出方程，解方程即可；
（2）分别求出方案一和方案二的花费，然后进行对比即可．
【详解】（1）解：设该校需要购买x份学习用品，由题意得：，
解得：．
答：该校需要购买45份学习用品．
（2）解：方案一：（元），
方案二：（元），
∵，
∴选择方案二，
答：选择方案二优惠．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程．
4．(2023·江苏·泰州中学附属初中七年级期中）“双11”天猫商城推出各种优惠活动进行促销．今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在两家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条，店铺在活动期间分别给予以下优惠：
A店铺：“双11”当天购买可以享受8折优惠；
B店铺：商品每满1000元可使用店铺优惠券80元． 同时每满500元可使用商城双11购物津贴券50元，同时“双11”当天购买还可立减100元．(例如：购买2条被子需支付
元)．
(1)若张阿姨想在“双11”当天购买4条被子，她选择哪家店铺购买?请说明理由；
(2)若张阿姨在“双11”当天购买a条被子，请分别用含a的代数式表示在这两家店铺购买的费用；
(3)张阿姨在双11当天购买几条被子，两家店铺的费用相同?
【答案】(1)她选择B店铺购买，理由见解析
(2)A店铺：元，B店铺：元
(3)张阿姨在双11”当天购买5条被子，两家店铺的费用相同
【分析】（1）分别计算出去两个店铺购买被子的费用即可得到答案；
（2）根据两个店铺的优惠方案列出对应的代数式即可；
（3）令（2）中所求的2个代数式相等得到关于a的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：由题意得，去A店铺需付款：元，
去B店铺需付款：元，
∵，
∴她选择B店铺购买；
（2）解：由题意得，去A店铺需付款：元，
去B店铺需付款：元；
（3）解：由题意得，
解得，
答：张阿姨在双11当天购买5条被子，两家店铺的费用相同．
【点睛】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，有理数四则混合计算的应用，正确理解题意列出对应的式子是解题的关键．
5．(2023·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校七年级阶段练习）十七中学刚完成校舍的修建，有一些相同的办公室需要粉刷墙面；一天5名一级技工去粉刷了8个办公室外还多粉刷了60平方米的展示厅墙面；同样时间内4名二级技工粉刷了7个办公室，结果有10平方米的墙面未来得及粉刷完，已知每名一级技工比二级技工一天多粉刷10平方米的墙面．
(1)求每个办公室需要粉刷的墙面面积．
(2)已知每天需要给每名一级技工支付费用180元，每天需要给每名二级技工支付费用160元．十七中学有40个办公室的墙面和600平方米的展览墙需要粉刷，现有5名一级技工的甲工程队，4名二级技工的乙工程队，要来粉刷墙面．十七中学有两个选择方案，方案一：全部由甲工程队粉刷；方案二：全部由乙工程队粉刷；若使得总费用最少，十七中学应如何选择方案，请通过计算说明．
【答案】(1)30平方米
(2)选择方案一：全部由甲工程队粉刷，计算过程见解析
【分析】（1）设每个办公室需要粉刷的墙面面积为x平方米，再根据一天5名一级技工去粉刷了8个办公室外还多粉刷了60平方米的展示厅墙面；同样时间内4名二级技工粉刷了7个办公室，结果有10平方米的墙面未来得及粉刷完，已知每名一级技工比二级技工一天多粉刷10平方米的墙面列出方程求解即可；
（2）分别求出两个方案需要的花费即可得到答案．
【详解】（1）解：设每个办公室需要粉刷的墙面面积为x平方米，
由题意得，
解得，
∴每个办公室需要粉刷的墙面面积为30平方米；
（2）解：方案一的化花费：元，
方案二花费：元，
∵，
∴选择方案一：全部由甲工程队粉刷．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合计算的应用，正确理解题意列出对应的方程和式子是解题的关键．
6．(2023·吉林·农安县第一中学七年级阶段练习）某乳制品厂有鲜牛奶10吨，若直接销售，每吨可获利500元；若制成酸奶销售，每吨可获利1200元；若制成奶粉销售，每吨可获利2000元，该工厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工鲜牛奶3吨；若制成奶粉，每天可加工鲜牛奶1吨（两种加工方式不能同时进行）．受气温条件限制，这批鲜牛奶必须在4天内全部销售或加工完成．为此该厂设计了以下两种可行方案：
方案一：4天时间全部用来生产奶粉，剩余鲜牛奶直接销售；
方案二：将一部分鲜牛奶制成奶粉，剩余的制成酸奶，并恰好4天完成．
你认为哪种方案获利较多，为什么？
【答案】第二种方案获利较多，理由见详解
【分析】方案一：根据制成奶粉每天可加工1吨，求出4天加工的吨数，剩下的直接销售鲜牛奶，求出利润；方案二：设生产x天奶粉，（4-x）天酸奶，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，进而求出利润，比较即可得到结果．
【详解】解：第二种方案获利较多，理由如下：
方案一：最多生产4吨奶粉，其余的鲜奶直接销售，
则其利润为：4×2000+(10-4)×500=11000（元）；
方案二：设生产x天奶粉，则生产（4-x）天酸奶，
根据题意得：x+3(4-x)=10，
解得：x=1，
∴3天生产酸奶，加工的鲜奶3×3=9吨，设生产1天奶粉，加工鲜奶1吨，
则利润为：1×2000+3×3×1200=2000+10800=12800（元），
∴12800-11000=1800．
得到第二种方案可以多得1800元的利润．
即第二种方案获利较多．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
7．(2023·广东惠州·七年级期末）下表中有两种移动电话计费方式：
（月使用费固定收；主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费）
(1)若张聪某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需____元，按方式二计费需____元；李华某月按方式二计费需110元，则李华该月主叫通话时间为_____分钟；
(2)是否存在某主叫通话时间t（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
(3)直接写出当月主叫通话时间t（分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱．
【答案】(1)73，100，420
(2)存在，或分钟
(3)每月通话时间小于335分钟或大于560分钟时，选择方式一省钱
【分析】（1）根据“方式一”的计费方式，可求得通话时间200分钟时的计费，“方式二”的计费方式，可求得通话时间200分钟时的计费，主叫通话时间为分钟，根据按方式二计费需110元列出方程，解方程即可；
（2）根据题中所给出的条件，分三种情况进行讨论：①；②；③；
（3）根据（2）所求即可得出结论．
（1）
解：若张聪某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需：（元，
设按方式二计费需100元，
设主叫通话时间为分钟，根据题意得
，
解得．
答：主叫通话时间为420分钟．
故答案为73，100；420；
（2）
解：①当时，不存在；
②当时，设每月通话时间为分钟时，两种计费方式收费一样多，
，
解得，符合题意；
③当时，设每月通话时间为分钟时，两种计费方式收费一样多，
，
解得，
故存在某主叫通话时间或560分钟，按方式一和方式二的计费相等；
（3）
解：结合（2）知，当通话时间或560分钟，按方式一和方式二的计费相等；
当每月通话时间少于335分钟时，，故选择方式一省钱；
当每月通话时间大于560分钟时，，故选择方式一省钱；
当每月通话时间多于335分钟且小于560分钟时，故选择方式二省钱．
综上所述：当每月通话时间少于335分钟或大于560分钟时，选择方式一省钱．
【点睛】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
【过关检测】
1．（2023秋·广东揭阳·七年级统考期末）一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以的速度前进，突然，1号队员以的速度独自行进，行进后掉转车头，仍以的速度往回骑，直到与其他队员会合．1号队员从离队开始到与其他队员重新会合，经过了多长时间？
【答案】1号队员从离队开始到与其他队员重新会合，经过0.5小时．
【分析】整个运动过程可看成二者相对运动了，根据路程速度时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设经过x小时与其他队员重新会合，
依题意得：，
解得．
答：1号队员从离队开始到与其他队员重新会合，经过0.5小时．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，要求每天生产的螺柱和螺母刚好配套．
(1)若1个螺柱需要配2个螺母，应安排生产螺柱的工人有多少名？
(2)若3个螺柱需要配5个螺母，则安排生产螺柱的工人有多少名？
【答案】(1)10名
(2)11名
【分析】（1）设安排生产螺柱的工人有x名，则生产螺母名，由1个螺柱需要配2个螺母列出方程求解即可；
（2）设安排生产螺柱的工人有y名，则生产螺母名，由3个螺柱需要配5个螺母列出方程求解即可；
【详解】（1）解：设安排生产螺柱的工人有x名，
，
解得：，
答：安排生产螺柱的工人有10名．
（2）设安排生产螺柱的工人有y名，
，
解得：，
答：安排生产螺柱的工人有11名．
【点睛】此题考查一元一次方程的应用，掌握配套问题中的倍数关系是解题的关键．
3．(2023秋·河北保定·七年级校联考阶段练习）已知，某工地施工队，其中一部分工人挑土，一部分工人抬土，共有60根扁担和80个筐（已知挑土的是一个工人挑一根扁担，挂两个筐，抬土的是两个工人抬一根扁担，中间挂一个筐）．
(1)施工队中挑土工人有多少人？
(2)若挑土工人一天的工资为90元，抬土工人一天的工资为50元，则施工队一天该付工资多少钱？
(3)由于人工成本较高，而且施工队欲提高工作效率，故将抬土工人全部转为挑土，请问后勤部门要多购进多少根扁担、多少个筐？
【答案】(1)20人
(2)元
(3)40根扁担，120个筐
【分析】（1）设根扁担挑土，根扁担抬土，根据一根扁担挑土用两个筐，一根扁担抬土用一个筐，挑土的总的筐数+抬土的总的筐数=80列方程进行求解即可；
（2）由（1）中的挑土工人数抬土工人数即可得；
（3）根据总的工人数确定出需要多少根扁担以及多少个筐，然后减去已有的即可得．
【详解】（1）解：设根扁担挑土，根扁担抬土，由题意得：
，
解得∶，
所以，20根扁担挑土，40根扁担抬土，所以20人挑土，80人抬土；
答：施工队中有20人挑土；
（2）工资费用：元；
（3）一共有工人：人，共需要根扁担，
个筐，
，，
所以还需根扁担，个筐．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是掌握题意列出相应的方程．
4．（2023秋·江西宜春·七年级统考期末）为争创文明城市，某学校举行创文知识竞赛，学校打印室有A、B两台机器可以印刷试卷，单独用A机器需要45分钟能印刷完，单独用B机器需要30分钟能印刷完，为保密起见不能过早印刷试卷，为学生按时开始竞赛，需要监考教师提前5分钟领取到试卷，学校决定在考试前由两台机器同时印刷．
(1)两台机器同时印刷，共需多少分钟才能印刷完；
(2)两台机器同时印刷，10分钟后，A机器发生故障暂时不能印刷，经过抢修2分钟后恢复正常印刷，此时离开始竞赛只剩下13分钟（老师领卷的时间忽略不计），试问这次竞赛能否正常开始？请说明理由．
【答案】(1)两台复印机同时复印，共需18分钟才能印完；
(2)这次竞赛能正常开始，理由见解析．
【分析】（1）设共需x分钟才能印完，依题意得，解方程即可；
（2）当A机恢复使用时，两机又共同复印了m分钟印完试卷，依题意得，求解后加5再与13进行比较即可得解．
【详解】（1）解∶设两台机器同时印刷，共需x分钟才能印刷完，则
，
解得
答∶两台复印机同时复印，共需18分钟才能印完；
（2）解：当A机恢复使用时，两机又共同复印了m分钟印完试卷，则
，
解得，
则有，
∴这次竞赛能正常开始，
答：这次竞赛能正常开始．
【点睛】此题考查一元一次方程的应用，关键是要掌握工作量的有关公式∶工作总量工作时间工作效率
5．（2023秋·广东深圳·七年级统考期末）某小区便利店老板到厂家购进、两种香油共100瓶，花去了680元．
其进价和售价如下表：
(1)该店购进、两种香油各多少瓶？
(2)将购进的100瓶香油全部销售完，可获利多少元？
【答案】(1)购进、两种香油分别为60瓶、40瓶
(2)340元
【分析】（1）设购进种香油瓶，则购进种香油瓶，根据已知条件可以列出方程，解方程就可以求出结果；
（2）利用（1）中的结果，和已知条件即可求解．
【详解】（1）设购进种香油瓶，则购进种香油瓶，
由题意可知：
解得：，
∴．
答：购进、两种香油分别为60瓶、40瓶．
（2）由题意可知：（元）
答：将购进的100瓶香油全部销售完，可获利340元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．
6．（2023秋·陕西西安·七年级校考期末）为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目．某公司计划建设一座小型光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，每周耗资8万元，若由乙工程队单独施工需要6周，每周耗资3万元．
(1)若甲、乙两工程队全程合作施工，需要几周完成？共需耗资多少万元？
(2)若由甲、乙两工程队先合作施工，剩下的由乙工程队单独完成，恰好用了4周完成建设任务，求甲工程队施工了几周？这样安排与两工程队全程合作相比，哪种方案更省钱？（时间按整周计算）
【答案】(1)甲、乙两工程队合作施工，需要2周完成，共耗资22万元；
(2)甲施工队施工了1周，由甲和乙两工程队合作施工1周，剩下的由乙单独施工3周更省钱．
【分析】（1）设甲、乙两工程队合作施工，需要x周完成，根据“甲工程队单独施工需要3周”、“由乙工程队单独施工需要6周”可列方程求解；
（2）设先由甲和乙两工程队合作施工y周，剩下的由乙单独完成，根据“甲的工作量乙的工作量1”列出方程并解答；然后计算总耗资即可求解．
【详解】（1）解：设甲、乙两工程队合作施工，需要x周完成．
根据题意，得．
解得．
∴（万元）．
答：甲、乙两工程队合作施工，需要2周完成，共耗资22万元；
（2）解：设先由甲和乙两工程队合作施工y周，剩下的由乙单独完成．
根据题意，得，
解得，
即甲施工队施工了1周，
（周）
∴（万元）．
∵，
所以由甲和乙两工程队合作施工1周，剩下的由乙单独施工3周更省钱．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键是根据工作量工作时间工作效率列方程求解．
7．（2023秋·广东广州·七年级统考期末）我校在科技节的系列活动中举行了“王中王”知识竞赛，共设道选择题，各题分值及得分标准相同，每题必答，未作答视为答错．下表记录了其中个参赛者的得分情况．
(1)参赛者答对一题得______分，答错一题得______分；
(2)参赛者小红得了分，她答对了几道题？
(3)参赛者小明说他得了分，你认为可能吗？为什么？
【答案】(1)，
(2)参赛者小红答对了道题
(3)参赛者小明不可能得分，详见解析
【分析】（1）设答对一道得分，根据的得分情况得，解得，根据的得分情况可得答错一道得分；
（2）设参赛者小红答对了道题，得：，可解得答案；
（3）设参赛者小明答对了道题，得：，解得，故参赛者小明不可能得分．
【详解】（1）解：设答对一道得分，
根据的得分情况可得：，
解得，
根据的得分情况可得答错一道得：(分)，
故答案为：，；
（2）解：设参赛者小红答对了道题，
根据题意得：，
解得，
参赛者小红答对了道题；
（3）解：参赛者小明不可能得分，理由如下：
设参赛者小明答对了道题，
根据题意得：，
解得，
为整数，
参赛者小明不可能得分．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元一次方程．
8．（2023秋·湖南长沙·七年级湖南师大附中校考期末）为了进一步加强学校文化建设，满足学生在不同场合着装的需求，培养孩子的社会规范性，积极发挥好校服育人的功能，在参考国内普遍做法的基础上，征求教师、家长、学生代表意见，结合学校的办学理念和文化，本着自愿征订原则，师大附中准备为学生量身设计个性化礼服.现从某服装公司了解到：西装外套300元/套，领带50元/条.有两种优惠方案：方案一：买一套西装外套，送一条领带；方案二：西装外套和领带都按定价的九折付款.
(1)因艺术节表演需要，七年级计划购买20套西装外套和30条领带，通过计算说明按哪种方案购买较为合算.
(2)某年级准备在该服装厂购买西装20套，领带条.当为多少时，两种优惠方案所付的钱数相同.
【答案】(1)方案一较为合算
(2)x为80
【分析】（1）根据方案一和方案二的优惠方式，分别求出这两种购买方案所需的费用，将费用进行比较即可；
（2）根据方案一和方案二的优惠方式，可以将这两种购买方案所需的费用分别用含x的代数式表示出来，再根据方案一和方案二一样优惠可列出方程，解方程即可得出x的值．
【详解】（1）解：方案一：七年级计划购买20套西装外套和30条领带，
所以商场赠送20条领带，需付款的领带条数为：（条），
所以共需付款：元，
方案二：依题意，共需付款：元，
因为，
所以选择方案一较为合算；
（2）购买西装20套，领带条.所以商场赠送20条领带，需付款的领带条数为：条，
所以方案一的付款金额为：，
依题意，方案二的付款金额为：，
依题意得：，
解得，
答：当购买的领带条x为80条时，两种优惠方案所付的钱数相同．
【点睛】本题考查了有理数的乘法的应用和一元一次方程的应用，解题的关键是弄懂题意、根据数量关系列出算式或者方程．
9．（2023秋·河北邢台·七年级金华中学校考期末）葡萄加工厂现收购10吨葡萄，该葡萄的出原汁率80%（原汁含皮带籽）．若在市场上直接销售原汁，每吨可获利润500元；制成葡萄汁（葡萄汁不含皮不带籽）销售，每加工1吨原汁可获利润1200元；制成葡萄饮料销售，每加工1吨原汁可获利润2000元．该厂的生产能力是：若制葡萄汁，每天可加工3吨原汁；若制葡萄饮料，每天可加工1吨原汁；受人员和设备限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批葡萄必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该厂设计了两种可行方案：（将葡萄榨成原汁时间忽略不计）
方案一：尽可能多的制成葡萄饮料，其余直接销售原汁；
方案二：将一部分制成葡萄饮料，其余制成葡萄汁销售，并恰好4天完成．
(1)请计算方案一的获利情况．
(2)方案二应如何安排原汁的使用．
(3)上述两种方案中哪一种方案获利较多，请计算说明．
【答案】(1)10000元
(2)2吨做制葡萄饮料，6吨做葡萄汁
(3)选择第二种方案
【分析】（1）方案一是尽可能多的葡萄饮料，也就是四天都制葡萄饮料，每天加工一吨，可加工4吨，剩下的4吨原汁直接销售；
（2）设x天制葡萄饮料，则天制成葡萄汁销售，由此列出方程解答即可；
（3）比较两种方案的利润得出答案即可．
【详解】（1）吨，
方案一获利（元）；
（2）设x天制葡萄饮料，则天制成葡萄汁销售，由题意得
，
解得：，
，
（吨），（吨）
答：2吨做制葡萄饮料，6吨做葡萄汁．
（3）方案二获利元，
所以选择第二种方案．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，方案的选择问题，理解方案的含义，找出题目蕴含的数量关系解决问题．
10．(2023秋·福建福州·七年级校考期中）某超市在国庆期间进行优惠大酬宾，具体方案如表．
(1)本期优惠活动期间，若小明一次性购物的货款是450元，则他实际需付款______元；
(2)本期优惠活动期间，若小亮在该超市一次性购物x元，当时，他实际付款（______）元（用含x的代数式表示）；
(3)本期优惠活动期间，陈先生在该超市购物两次，两次购物的货款共850元．若第一次购物的货款超过200元，但小于300元，已知陈先生这两次购物的总优惠金额为97元，求第一次购物的货款．
【答案】(1)
(2)
(3)第一次购物的货款为
【分析】（1）直接根据“超过200元，但不超过500元”的优惠方法计算即可；
（2）直接根据“超过500元”的优惠方法计算即可；
（3）设陈先生第一次购物的货款为y元，由两次购物的货款共850元，第一次购物的货款小于300元可知第二次购物的货款必定大于500元，然后根据优惠方法列方程求解即可．
【详解】（1）∵小明一次性购物的货款是450元，超过200元，但不超过500元享九折优惠，
∴他实际需付款元，
故答案为；
（2）根据其中不超过500元的部分享受九折优惠超过500元的部分享受八折优惠可得：
小亮实际付款元，
故答案为；
（3）设陈先生第一次购物的货款为y元，则第二次购物的货款为元，
由两次购物的货款共850元，第一次购物的货款小于300元可知第二次购物的货款必定大于500元，
∵陈先生这两次购物的总优惠金额为97元，
∴，
解得，
故第一次购物的货款为．
【点睛】本题考查了一次方程的实际应用，掌握分类讨论的数学思想及分段收费是解题的关键．
11．（2023秋·江西宜春·七年级统考期末）如图1，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，O为原点，且a，b满足．
(1)则A、B两点的距离是______；
(2)点P是数轴上一个动点，其表示的数是x，当时，求x；
(3)如图2，E，F为线段OB上两点，且满足，，动点M从点A，动点N从点F同时出发，分别以3个单位/秒，1个单位/秒的速度沿直线AB向右运动，是否存在某个时刻，点M和点N相距一个单位？若存在，求此时点M表示的数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)当时，或；
(3)当秒或秒时，点和点相距一个单位，秒时，点表示的数为，秒时，点M表示的数为13．
【分析】（1）读懂题意，根据非负数的性质列等式，求出a、b的值即可得解；
（2）根据题意分情况列方程求出解即可；
（3）先求出，的长，由点和点相距一个单位，列出方程可求解．．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴A、B两点的距离为
故答案为：；
（2）解：当点P在A、B两点之间时，此时
∵，，，
∴，
解得，
当P点在B点右边时，
∵，，，
∴，
解得，
∴当时，或；
（3）解：存在，
∵，，，
∴，，
∴，
设秒时，点和点相距一个单位，
如图，当点在点的左侧时，
由得
解得，
∴点表示的数为，
如图，当点在点的右侧时，
由得
解得，
∴点表示的数为，
综上所述∶当秒或秒时，点和点相距一个单位，秒时，点表示的数为，秒时，点表示的数为．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，数轴知识，解题的关键是读懂题意，根据题意列方程求解．
工效（个/天）
天数（天）
数量（个）
甲种零件
450
x
②
乙种零件
300
①
③
类别/单价
成本价
销售价（元/箱）
甲
24
36
乙
33
48
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过380元
不优惠
超过380元，但不超过500元
售价打九折
超过500元
售价打八折
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过450元
不优惠
超过450元，但不超过600元
售价打九折
超过600元
其中600元部分打8.2折优惠超过600元部分3折优惠
打折前一次性购物总金额
优惠措施
少于等于450元
不优惠
超过450元但不超过600元
按售价打九折
超过600元
其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠
全球通
神州行
月租费
50元
0
本地通话费
0.40元/分
0.60元/分
月使用费
主叫限定时间（分钟）
主叫超时费（元／分钟）
被叫
方式一
65
160
0.20
免费
方式二
100
380
0.25
免费
进价（元/瓶）
售价（元/瓶）
A种香油
6
9
B种香油
8
12
参赛者
答对题数
答错题数
得分
一次性购物的贷款
优惠方案
不超过200元
不享受优惠
超过200元，但不超过500元
享九折优惠
超过500元
其中不超过500元的部分享受九折优惠
超过500元的部分享受八折优惠