华东师大版七年级数学下册压轴题攻略专题04解题技巧专题：一元一次方程中有关的问题(原卷版+解析)

这是一份华东师大版七年级数学下册压轴题攻略专题04解题技巧专题：一元一次方程中有关的问题(原卷版+解析)，共22页。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc24386" 【典型例题】 PAGEREF _Tc24386 \h 1
\l "_Tc25281" 【考点一 对等式的性质理解不透彻】 PAGEREF _Tc25281 \h 1
\l "_Tc1280" 【考点二 对一元一次方程的概念理解出错】 PAGEREF _Tc1280 \h 3
\l "_Tc762" 【考点三 解一元一次方程去分母漏乘出错】 PAGEREF _Tc762 \h 5
\l "_Tc23066" 【考点四 解一元一次方程中错解复原问题】 PAGEREF _Tc23066 \h 7
\l "_Tc9216" 【考点五 新定义中解一元一次方程问题】 PAGEREF _Tc9216 \h 11
【典型例题】
【考点一 对等式的性质理解不透彻】
例题：(2023秋·河北·七年级校联考期末）下列等式变形错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【变式训练】
1．(2023秋·山西吕梁·七年级统考期末）运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
2．（2023秋·湖北襄阳·七年级统考期末）下列各式运用等式的性质变形，错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3．（2023秋·湖北孝感·七年级统考期末）下列等式变形中，结果不正确的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
4．（2023秋·广东深圳·七年级深圳市高级中学校考期末）下列等式变形错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【考点二 对一元一次方程的概念理解出错】
例题：（2023秋·湖北黄石·七年级统考期末）已知为关于的一元一次方程，则______．
【变式训练】
1．（2023秋·湖南郴州·七年级统考期末）已知是关于x的一元一次方程，则______．
2．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）若是关于的一元一次方程，则__________．
3．（2023秋·江西吉安·七年级统考期末）若关于的方程是一元一次方程，则的值为_____________．
4．(2023秋·湖北武汉·七年级武汉市卓刀泉中学校考阶段练习）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值为_____．
5．（2023秋·广东揭阳·七年级统考期末）已知关于的方程是一元一次方程．则_____________
【考点三 解一元一次方程去分母漏乘出错】
例题：（2023秋·江苏苏州·七年级苏州草桥中学校考期末）解方程：
【变式训练】
1．（2023秋·广东揭阳·七年级统考期末）解方程：．
2．（2023秋·陕西渭南·七年级统考期末）解方程：.
3．（2023秋·湖南郴州·七年级统考期末）解方程：．
4．（2023秋·广东佛山·七年级统考期末）解方程：．
5．(2023秋·广东河源·七年级校考期末）解方程：．
6．(2023秋·湖南长沙·七年级统考期末）解方程：．
【考点四 解一元一次方程中错解复原问题】
例题：（2023秋·河南郑州·七年级校考期末）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：
解：___________，得．第一步
去括号，得．第二步
移项，得．第三步
合并同类项，得．第四步
方程两边同除以2，得．第五步
(1)以上求解步骤中，第一步进行的是___________，这一步的依据是___________；
(2)以上求解步骤中，第___________步开始出现错误，具体的错误是___________；
(3)请写出正确解方程的过程．
【变式训练】
1．(2023秋·河北保定·七年级校联考阶段练习）某同学解方程空的过程如下，请仔细阅读，并解答所提出的问题：
，①
，②
，③
，④
．⑤
(1)以上步骤中，第_______步是移项，移项的依据是_______；
(2)该同学的解答过程从第____步开始出错，这一步的错误原因是_____；
(3)写出正确的解答过程．
2．（2023秋·山西·七年级校联考期末）下面是小王同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
任务一：①以上求解过程中，第______步进行的是去分母，去分母的依据是______；
②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
任务二：请直接写出该一元一次方程的解．
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
3．(2023秋·湖南株洲·七年级统考期末）下面是小贝同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：
解：．．．．．．第①步
．．．．．．第②步
．．．．．．第③步
．．．．．．第④步
．．．．．．第⑤步
任务一：填空：
(1)以上解题过程中，第①步是去分母，依据___________进行变形的；第②步是___________，依据___________（运算律）进行变形的；
(2)第___________步开始出现错误，原因是：___________．
任务二：
(3)请写出该方程的正确解题过程．
【考点五 新定义中解一元一次方程问题】
例题：（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考开学考试）对于有理数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的四则运算．例如：．
(1)计算：；
(2)解方程；
(3)若x，y均为整数，满足等式，且使得为整数，求满足条件的所有数对．
【变式训练】
1．(2023秋·山西朔州·七年级校考阶段练习）综合与实践
定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“互补方程”．例如：方程和为“互补方程”．
(1)方程与方程______“互补方程”．（请填入“是”或“不是”）
(2)若关于的方程与方程是“互补方程”，求的值．
(3)若关于的方程与是“互补方程”，求的值，及关于的方程的解．
2．（2023秋·湖南郴州·七年级统考期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程和为“集团方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“集团方程”，求m的值；
(2)若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个较大的解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程和是“集团方程”，求关于y的一元一次方程的解．
专题04 解题技巧专题：一元一次方程中的有关问题
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc24386" 【典型例题】 PAGEREF _Tc24386 \h 1
\l "_Tc25281" 【考点一 对等式的性质理解不透彻】 PAGEREF _Tc25281 \h 1
\l "_Tc1280" 【考点二 对一元一次方程的概念理解出错】 PAGEREF _Tc1280 \h 3
\l "_Tc762" 【考点三 解一元一次方程去分母漏乘出错】 PAGEREF _Tc762 \h 5
\l "_Tc23066" 【考点四 解一元一次方程中错解复原问题】 PAGEREF _Tc23066 \h 7
\l "_Tc9216" 【考点五 新定义中解一元一次方程问题】 PAGEREF _Tc9216 \h 11
【典型例题】
【考点一 对等式的性质理解不透彻】
例题：(2023秋·河北·七年级校联考期末）下列等式变形错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】根据等式的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、若，则，等式成立，不符合题意；
B、若，则，当时，等式不成立，选项错误，符合题意；
C、若，则，等式成立，不符合题意；
D、若，则，，等式成立，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查等式的性质．熟练掌握等式的性质，是解题的关键．
【变式训练】
1．(2023秋·山西吕梁·七年级统考期末）运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
【答案】D
【分析】根据等式的基本性质进行判断即可．
【详解】解：A．如果，那么，故选项错误，不符合题意；
B．如果，那么，故选项错误，不符合题意；
C．如果，当时，无意义，故选项错误，不符合题意；
D．如果，那么，故选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．
2．（2023秋·湖北襄阳·七年级统考期末）下列各式运用等式的性质变形，错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】根据等式的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、若，则，选项正确，不符合题意；
B、若，当时，，当时，没有意义，选项错误，符合题意；
C、若，则，选项正确，不符合题意；
D、若，则，选项正确，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查等式的性质．熟练掌握等式的性质，是解题的关键．
3．（2023秋·湖北孝感·七年级统考期末）下列等式变形中，结果不正确的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
【答案】A
【分析】根据等式性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：A．如果，那么等式两边同除以3得：，故A错误，符合题意；
B．如果，那么等式两边同减去m得：，故B正确，不符合题意；
C．如果，那么等式两边同乘以得：，故C正确，不符合题意；
D．如果，那么等式两边同加上得：，故D正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等式性质，解题的关键是熟练掌握等式的左右两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式的左右两边同时乘以一个数，等式仍然成立；等式的左右两边同时除以一个不为零的数，等式仍然成立．
4．（2023秋·广东深圳·七年级深圳市高级中学校考期末）下列等式变形错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】根据等式的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A．若，而，则，选项正确，不符合题意；
B．若，则，选项正确，不符合题意；
C．若，则，选项错误，符合题意；
D．若，则，选项正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了等式的性质．熟练掌握等式的性质是解决问题的关键．
【考点二 对一元一次方程的概念理解出错】
例题：（2023秋·湖北黄石·七年级统考期末）已知为关于的一元一次方程，则______．
【答案】0
【分析】依据一元一次方程的定义得到 且 ，从而可求得k的取值．
【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程，
∴且，
解得： ．
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·湖南郴州·七年级统考期末）已知是关于x的一元一次方程，则______．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义，可列方程，即可求m的值．
【详解】解：∵是关于x的一元一次方程，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟知一元一次方程的定义是解决问题的关键．
2．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）若是关于的一元一次方程，则__________．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义：含有一个未知数并且未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程，然后根据指数是1，系数不等于0列方程解答．
【详解】解：∵是关于x的一元一次方程，
∴且，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的概念，解题的关键在于能够熟知一元一次方程的定义．
3．（2023秋·江西吉安·七年级统考期末）若关于的方程是一元一次方程，则的值为_____________．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义可得，，即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得：，，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次方程的定义，掌握只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程是解题的关键．
4．(2023秋·湖北武汉·七年级武汉市卓刀泉中学校考阶段练习）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值为_____．
【答案】0
【分析】根据一元一次方程的定义得到未知数x的最高次数为1，一次项系数不为，解题即可．
【详解】解：依题意得
解得或
又，
，
综上所述，
故答案是：0．
【点睛】本题考查一元一次方程的概念，涉及绝对值的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．（2023秋·广东揭阳·七年级统考期末）已知关于的方程是一元一次方程．则_____________
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义求解即可．
【详解】解：根据题意的：，，
解得：，
故答案为：
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．
【考点三 解一元一次方程去分母漏乘出错】
例题：（2023秋·江苏苏州·七年级苏州草桥中学校考期末）解方程：
【答案】
【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤计算即可．
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
即该方程的解为．
【点睛】本题考查解一元一次方程，掌握解方程的基本步骤是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·广东揭阳·七年级统考期末）解方程：．
【答案】
【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，正确掌握解方程的方法是解题关键．去分母时注意方程各项都乘以各分母的最小公倍数．
2．（2023秋·陕西渭南·七年级统考期末）解方程：.
【答案】
【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解．
【详解】解：，
去分母，，
去括号，，
移项，，
合并同类项，，
化系数为1，．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
3．（2023秋·湖南郴州·七年级统考期末）解方程：．
【答案】
【分析】根据解一元一次方程的一般过程解方程即可求解．
【详解】解：
去分母，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟知解一元一次方程的一般过程是解题关键．
4．（2023秋·广东佛山·七年级统考期末）解方程：．
【答案】
【分析】根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行计算即可．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
原方程的解为： ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，是解题的关键．
5．(2023秋·广东河源·七年级校考期末）解方程：．
【答案】
【分析】先方程两边同时乘以6，再去括号，最后移项合并同类项．
【详解】方程两边同时乘以6得，
去括号得，
移项合并同类项得．
【点睛】本题考查了一元一次方程解得定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．解一元一次方程的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1．
6．(2023秋·湖南长沙·七年级统考期末）解方程：．
【答案】
【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解．
【详解】去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为得：．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
【考点四 解一元一次方程中错解复原问题】
例题：（2023秋·河南郑州·七年级校考期末）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：
解：___________，得．第一步
去括号，得．第二步
移项，得．第三步
合并同类项，得．第四步
方程两边同除以2，得．第五步
(1)以上求解步骤中，第一步进行的是___________，这一步的依据是___________；
(2)以上求解步骤中，第___________步开始出现错误，具体的错误是___________；
(3)请写出正确解方程的过程．
【答案】(1)去分母；等式的性质
(2)三，移项没有变号
(3)见解析
【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤先去括号，依据为等式的性质；
（2）根据移项要变号，即可得出结论；
（3）根据解一元一次方程的步骤解一元一次方程即可求解．
【详解】（1）以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式的性质，
故答案为：去分母；等式的性质；
（2）以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项没有变号，
故答案为：三，移项没有变号；
（3）解方程：
解：去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
方程两边同除以2，得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
【变式训练】
1．(2023秋·河北保定·七年级校联考阶段练习）某同学解方程空的过程如下，请仔细阅读，并解答所提出的问题：
，①
，②
，③
，④
．⑤
(1)以上步骤中，第_______步是移项，移项的依据是_______；
(2)该同学的解答过程从第____步开始出错，这一步的错误原因是_____；
(3)写出正确的解答过程．
【答案】(1)③，等式的基本性质1
(2)①，去分母时漏乘方程右边的常数项
(3)见解析
【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤移项和等式的基本性质进行回答即可；
（2）根据解一元一次方程的步骤去分母和出现的错误回答即可；
（3）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤写出正确过程即可．
【详解】（1）解：由题意可知，第③步是移项，移项的依据是等式的基本性质1；
故答案为：③，等式的基本性质1
（2）该同学的解答过程从第①步开始出错，这一步的错误原因是去分母时漏乘方程右边的常数项；
故答案为：①，去分母时漏乘方程右边的常数项
（3）正确解答过程如下：
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
2．（2023秋·山西·七年级校联考期末）下面是小王同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
任务一：①以上求解过程中，第______步进行的是去分母，去分母的依据是______；
②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
任务二：请直接写出该一元一次方程的解．
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
【答案】任务一：①一；等式的性质2或等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；②二；括号前面是“-”号，去掉括号后，等式左边括号里的第二项没有变号；任务二：；任务三：答案不唯一，合理即可．如去括号时，括号外的数要与括号里的每一项都相乘等
【分析】根据解一元一次方程的步骤解答即可；
【详解】解：任务一：①第一步进行的去分母，根据等式的性质2或等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；②二，括号前面是“-”号，去掉括号后，等式左边括号里的第二项没有变号
任务二：
．
任务三：答案不唯一，合理即可．如去括号时，括号外的数要与括号里的每一项都相乘等．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的步骤，等式的基本性质是解题的关键．
3．(2023秋·湖南株洲·七年级统考期末）下面是小贝同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：
解：．．．．．．第①步
．．．．．．第②步
．．．．．．第③步
．．．．．．第④步
．．．．．．第⑤步
任务一：填空：
(1)以上解题过程中，第①步是去分母，依据___________进行变形的；第②步是___________，依据___________（运算律）进行变形的；
(2)第___________步开始出现错误，原因是：___________．
任务二：
(3)请写出该方程的正确解题过程．
【答案】(1)等式的性质，去括号，乘法分配
(2)③，移项没变符号
(3)见解析
【分析】(1)找出第一步的依据，第二步运用的运算律即可；
(2)找出出错的步骤，分析其原因即可；
(3)解方程求出方程的正确解即可．
【详解】（1）解：以上解题过程中，第①步是去分母，依据等式的性质进行变形的；第②步是去括号，依据乘法分配律进行变形的；
故答案为：等式的性质，去括号，乘法分配；
（2）解：从第③步开始出现错误，原因是：移项没变符号，
故答案为：③，移项没变符号；
（3）解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
所以，原方程的解为．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并，把未知数系数化为1．
【考点五 新定义中解一元一次方程问题】
例题：（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考开学考试）对于有理数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的四则运算．例如：．
(1)计算：；
(2)解方程；
(3)若x，y均为整数，满足等式，且使得为整数，求满足条件的所有数对．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）根据新运算法则，进行计算即可；
（2）根据新运算法则，列出一元一次方程，求解即可；
（3）根据新运算法则，求出的关系式，再根据新运算法则求出的值，进而求出值，即可得解．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：由题意得：，
，
，
；
（3）解：∵x，y为整数且
∴，
∴
又∵为整数，
∴为整数，
∴或，
∴，
∴对应的
综上：所以满足条件的数对有．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程．理解并掌握新运算法则，是解题的关键．
【变式训练】
1．(2023秋·山西朔州·七年级校考阶段练习）综合与实践
定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“互补方程”．例如：方程和为“互补方程”．
(1)方程与方程______“互补方程”．（请填入“是”或“不是”）
(2)若关于的方程与方程是“互补方程”，求的值．
(3)若关于的方程与是“互补方程”，求的值，及关于的方程的解．
【答案】(1)是；
(2)；
(3)
【分析】（1）分别求得两个方程的解，再利用“互补方程”的定义进行判断即可；
（2）分别求得两个方程的解，利用“互补方程”的定义列出关于 的方程解答即可；
（3）分别求得两个方程的解，利用“互补方程”的定义列出关于的方程，求得的值，代入方
程，然后解关于的方程即可．
【详解】（1）由，解得；
由，解得．
，
方程与方程是“互补方程”．
故答案为：是；
（2）由，解得；
由解得．
关于的方程与方程是“互补方程”，
，
解得．
（3）由，解得；
由，解得；
关于的方程与是“互补方程”，
，
解得，
关于的方程为，
解得．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，利用互补方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键．
2．（2023秋·湖南郴州·七年级统考期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程和为“集团方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“集团方程”，求m的值；
(2)若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个较大的解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程和是“集团方程”，求关于y的一元一次方程的解．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先表示两个方程的解，再求值．
（2）根据条件建立关于n的方程，再求值．
（3）先求k，再解方程．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵关于x的方程与方程是“集团方程”，
∴，
∴；
（2）∵“集团方程”的两个解和为1，
∴另一个方程的解是，
∵两个解的差是6，且n为较大的解，
∴，
∴．
（3）∵，
∴．
∵关于x的一元一次方程和是“集团方程”，
∴关于x的一元一次方程的解为：．
∵关于y的一元一次方程可化为：，令，
∴．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是求解本题的关键．