人教版八年级数学下册尖子生培优必刷题专题17.2勾股定理的逆定理专项提升训练(重难点培优)(原卷版+解析)

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【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题17.2勾股定理的逆定理专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2023秋•章丘区期中）下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（　　）A．2，3，4 B．，， C．4，6，9 D．5，12，132．(2023秋•建邺区校级期中）若三角形的三边长为a，b，c，且b2﹣c2＝a2，则这个三角形是（　　）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形3．(2023秋•西安月考）如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了（　　）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm4．(2023秋•西安月考）下列各组数中，是勾股数的一组是（　　）A．13，14，15 B．40，9，41 C．3，4， D．1，，5．(2023春•武邑县校级期末）课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（　　）A．6 B．8 C．10 D．116．(2023春•延津县期末）如图，一棵树（树干与地面垂直）高3.6米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为2.4米，则这棵树断裂处点B离地面的高度AB的值为（　　）A．2.4米 B．2.6米 C．0.6米 D．1米7．(2023秋•乳山市期中）如图是由单位长度均为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D都是网格线的交点，由其中任意三个点连接而成的三角形是直角三角形的个数为（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．(2023秋•锦江区校级期中）如图所示，15只空油桶（每只油桶底面直径均为60cm）堆在一起，要给它盖一个遮雨棚，遮雨棚的高度至少为（　　）A．300． B． C． D．9．(2023春•海安市期中）《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　）A．x2−3＝（10−x）2 B．x2−32＝（10−x）2 C．x2+3＝（10−x）2 D．x2+32＝（10−x）210．(2023秋•海淀区校级期中）对于平面直角坐标系内的任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2），定义它们之间的一种“距离”为dPQ＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．已知不同三点A，B，C满足dAC＝dAB﹣dBC，下列四个结论中，不正确的结论是（　　）A．A，B，C三点可能构成锐角三角形 B．A，B，C三点可能构成直角三角形 C．A，B，C三点可能构成钝角三角形 D．A，B，C三点可能构成等腰三角形二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．(2023春•金乡县期末）观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，则第⑥组勾股数为 　 　．12．(2023春•南充期末）某校教学楼在校门的正北200m处，实验楼在教学楼正西100m处，若实验楼的坐标为（﹣100，0），则校门的坐标为 　 　．13．(2023春•大足区期末）如图，一架梯子AB长5米，底端离墙的距离BC为3米，当梯子下滑到DE时，AD＝1米，则BE＝　 　米．14．(2023秋•江阴市期中）木工师傅要做扇长方形纱窗，做好后量得长为6分米，宽为4分米，对角线为7分米，则这扇纱窗　 　（填“合格”或“不合格”）．15．(2023春•东莞市期中）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高5米，两树相距12米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行　 　．16．(2023春•长沙月考）如图，D为△ABC边BC上的一点，AB＝20，AC＝13，AD＝12，DC＝5，则S△ABC＝　 　．17．(2023秋•建邺区期末）如图，一根长为18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是 　 　．18．(2023•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是 　 　．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．(2023春•桂平市期末）已知△ABC的三边长a、b、c满足|a﹣4|+（2b﹣12）2+＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．20．(2023秋•淇县期末）如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求阴影部分的面积．21．(2023春•昭平县期末）如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A、B、C为格点（格子线的交点）（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求AB边上的高．22．(2023春•潼关县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的长；（2）求证：△BCD是直角三角形．23．(2023春•武安市期末）如图，在△ABC中，D是BC上的一点，AC＝4，CD＝3，AD＝5，AB＝4．（1）求证：∠C＝90°；（2）求BD的长．24．(2023秋•晋源区校级月考）如图，笔直的公路上A、B两点相距17km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝12km．CB＝5km，现在要在公路的AB段上建一个公交车站E，使得C，D两村到公交车站E的距离相等．则公交车站E应建在离A点多远处？【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题17.2勾股定理的逆定理专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2023秋•章丘区期中）下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（　　）A．2，3，4 B．，， C．4，6，9 D．5，12，13【分析】根据勾股定理逆定理逐一判断即可求解．【解答】解：∵22+32≠42，（），42+62≠92，52+122＝132，∴选项D中数据能作为直角三角形的三边长，故选：D．2．(2023秋•建邺区校级期中）若三角形的三边长为a，b，c，且b2﹣c2＝a2，则这个三角形是（　　）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形【分析】根据b2﹣c2＝a2，可以得到a2+c2＝b2，然后根据勾股定理的逆定理即可判断该三角形的形状．【解答】解：∵b2﹣c2＝a2，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形，故选：B．3．(2023秋•西安月考）如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了（　　）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．【解答】解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；根据勾股定理，得：AD＝＝5（cm）；∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；故橡皮筋被拉长了2cm．故选：A．4．(2023秋•西安月考）下列各组数中，是勾股数的一组是（　　）A．13，14，15 B．40，9，41 C．3，4， D．1，，【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、132+142≠152，故不是勾股数，故选项不符合题意；B、92+402＝412，能构成直角三角形，都是整数，是勾股数，故选项符合题意；C、3，4，，不都是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意；D、1，，，不都是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意．故选：B．5．(2023春•武邑县校级期末）课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（　　）A．6 B．8 C．10 D．11【分析】利用勾股定理求出AC，即可得出答案．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝＝＝15（米），∴AC+BC﹣AB＝15+8﹣17＝6（米），故选：A．6．(2023春•延津县期末）如图，一棵树（树干与地面垂直）高3.6米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为2.4米，则这棵树断裂处点B离地面的高度AB的值为（　　）A．2.4米 B．2.6米 C．0.6米 D．1米【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AB+BC＝3.6m，AC＝2.4m，∴BC2＝AB2+AC2，即（3.6﹣AB）2＝AB2+2.42，解得：AB＝1，故选：D．7．(2023秋•乳山市期中）如图是由单位长度均为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D都是网格线的交点，由其中任意三个点连接而成的三角形是直角三角形的个数为（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据勾股定理求出各个边的平方，再根据求出的结果得出AB2+AC2＝BC2，AD2+CD2＝AC2，AB2+AD2≠BD2，BD2+CD2≠BC2，再根据勾股定理的逆定理得出答案即可．【解答】解：连接AB，BD，AC，AD，由勾股定理得：AB2＝22+12＝5，AC2＝22+42＝20，BD2＝32+42＝25，AD2＝CD2＝12+32＝10，∵BC2＝52＝25，∴AB2+AC2＝BC2，AD2+CD2＝AC2，AB2+AD2≠BD2，BD2+CD2≠BC2，∴△ABC和△ADC是直角三角形，△ABD和△CBD不是直角三角形，即直角三角形有2个，故选：B．8．(2023秋•锦江区校级期中）如图所示，15只空油桶（每只油桶底面直径均为60cm）堆在一起，要给它盖一个遮雨棚，遮雨棚的高度至少为（　　）A．300． B． C． D．【分析】仔细观察上图，可以看出15只油桶堆成的底面刚好构成一等边三角形，取三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个等边三角形，它的边长是4×60＝240，雨棚起码的高度是该三角形的高加一只油桶的高．【解答】解：取三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个等边三角形，它的边长是4×60＝240cm，这个等边三角形的高是＝120cm，雨棚起码高是：（120+60）cm．故选：D．9．(2023春•海安市期中）《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　）A．x2−3＝（10−x）2 B．x2−32＝（10−x）2 C．x2+3＝（10−x）2 D．x2+32＝（10−x）2【分析】根据题意结合勾股定理列出方程即可．【解答】解：设折断处离地面x尺，根据题意可得：x2+32＝（10﹣x）2，故选：D．10．(2023秋•海淀区校级期中）对于平面直角坐标系内的任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2），定义它们之间的一种“距离”为dPQ＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．已知不同三点A，B，C满足dAC＝dAB﹣dBC，下列四个结论中，不正确的结论是（　　）A．A，B，C三点可能构成锐角三角形 B．A，B，C三点可能构成直角三角形 C．A，B，C三点可能构成钝角三角形 D．A，B，C三点可能构成等腰三角形【分析】不妨设C（0，0），A（1，0），B （x1，y1），则||AC||＝1，||CB||＝|x1|+|y1|，||AB||＝|x1﹣1|+|y1|，讨论x1，y1的值即可判定．【解答】解：不妨设C（0，0），A（1，0），B （x1，y1），则dAC＝1，dCB＝|x1|+|y1|，dAB＝|x1﹣1|+|y1|，由||AC||+||CB||＝||AB||，可知1+|x1|＝|x1﹣1|，当x1＝0，y1≠0时1+|x1|＝|x1﹣1|成立，此时△ABC为直角三角形，故B正确；当x1＝0，y1＝0时，此时△ABC为等腰三角形，故D正确；当x1＞0时，无解，故A错；当x1＜0时，此时∠BCA为钝角，且1+|x1|＝|x1﹣1|成立，故C正确．故答案为：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．(2023春•金乡县期末）观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，则第⑥组勾股数为 　18，80，82　．【分析】据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n组数，则这组数中的第一个数是2（n+2），第二个是：（n+1）（n+3），第三个数是：（n+2）2+1．根据这个规律即可解答．【解答】解：根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是2（n+2），第二个是：（n+1）（n+3），第三个数是：（n+2）2+1，故可得第⑦组勾股数是18，80，82．故答案为选：18，80，82．12．(2023春•南充期末）某校教学楼在校门的正北200m处，实验楼在教学楼正西100m处，若实验楼的坐标为（﹣100，0），则校门的坐标为 　（0，﹣200）　．【分析】根据已知条件实验楼的坐标，即可得到结论．【解答】解：如图，点A表示实验楼，点B表示校门，点O表示教学楼，∵实验楼的坐标为（﹣100，0），教学楼在校门的正北200m处，实验楼在教学楼正西100m处，∴校门的坐标为（0，﹣200），故答案为：（0，﹣200）．13．(2023春•大足区期末）如图，一架梯子AB长5米，底端离墙的距离BC为3米，当梯子下滑到DE时，AD＝1米，则BE＝　1　米．【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理得出AC，进而得出DC，利用勾股定理得出CE，进而解答即可．【解答】解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，可得：AC＝＝＝4（米），∴DC＝AC﹣AD＝4﹣1＝3（米），在Rt△DCE中，CE＝＝＝4（米），∴BE＝CE﹣BC＝4﹣3＝1（米），故答案为：1．14．(2023秋•江阴市期中）木工师傅要做扇长方形纱窗，做好后量得长为6分米，宽为4分米，对角线为7分米，则这扇纱窗　不合格　（填“合格”或“不合格”）．【分析】直接利用勾股定理逆定理分析得出答案．【解答】解：∵42+62＝52≠72＝49，∴这扇纱窗不是直角，故不合格．故答案为：不合格．15．(2023春•东莞市期中）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高5米，两树相距12米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行　13m　．【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【解答】解：建立数学模型，两棵树的高度差AC＝10﹣5＝5m，间距AB＝DE＝12m，根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离BC＝＝13（m）．故答案为：13m．16．(2023春•长沙月考）如图，D为△ABC边BC上的一点，AB＝20，AC＝13，AD＝12，DC＝5，则S△ABC＝　126　．【分析】在△ACD中，根据勾股定理逆定理判断出∠ADC＝90°，在△ABD中利用勾股定理求得BD＝16，再利用面积公式求解可得．【解答】解：在△ACD中，∵AD2+CD2＝122+52＝132＝AC2，∴△ACD为直角三角形，其中∠ADC＝90°，则△ABD是直角三角形，∵AB＝20，∴BD＝＝＝16，则S△ABC＝•BC•AD＝×（16+5）×12＝126，故答案为：126．17．(2023秋•建邺区期末）如图，一根长为18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是 　5≤h≤6　．【分析】根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．【解答】解：当牙刷与杯底垂直时h最大，h最大＝18﹣12＝6（cm）．当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图，此时，AB＝＝＝13（cm），则h＝18﹣13＝5（cm）．∴h的取值范围是5≤h≤6．故答案为：5≤h≤6．18．(2023•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是 　21　．【分析】如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．求出梯形的上下底以及高，可得结论．【解答】解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∴DE＝＝＝5，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，∴AB＝＝＝15，∵•DF•EF＝•DE•GF，∴FG＝，∴BG＝＝＝，∴GE＝BE﹣BG＝，AH＝GE＝，∴F′H＝FG＝，∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，∵BF∥AC，∴＝＝，∴BM＝AB＝，同法可证AN＝AB＝，∴MN＝15﹣﹣＝，∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积＝×（10+）×＝21，故答案为：21．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．(2023春•桂平市期末）已知△ABC的三边长a、b、c满足|a﹣4|+（2b﹣12）2+＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．【分析】根据非负数的性质解得各边的长，再根据勾股定理的逆定理判定是否直角三角形．【解答】解：△ABC为直角三角形，理由如下：由题意得a﹣4＝0，2b﹣12＝0，10﹣c＝0，所以a＝8，b＝6，c＝10，因为82+62＝102，所以a2+b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．20．(2023秋•淇县期末）如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求阴影部分的面积．【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理判断出△ACD是直角三角形，进而可得出结论．【解答】解：如图，连接AC．∵△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5．∵CD＝12，AD＝13，AC＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S阴影＝S△ACD﹣S△ABC＝×5×12﹣×3×4＝30﹣6＝24．21．(2023春•昭平县期末）如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A、B、C为格点（格子线的交点）（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求AB边上的高．【分析】（1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论；（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，理由：∵AB＝＝5，BC＝＝2，AC＝＝，∴BC2+AC2＝（2）2+（）2＝（5）2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（2）设AB边上的高为h，∵S△ABC＝BC×AC＝AB×h，∴h＝＝2．即AB边上的高为2．22．(2023春•潼关县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的长；（2）求证：△BCD是直角三角形．【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长；（2）利用勾股定理逆定理即可证明△BCD是直角三角形．【解答】（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，∴BC＝＝＝5；（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，∴△BCD是直角三角形．23．(2023春•武安市期末）如图，在△ABC中，D是BC上的一点，AC＝4，CD＝3，AD＝5，AB＝4．（1）求证：∠C＝90°；（2）求BD的长．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可证∠C＝90°；（2）在Rt△ACB中，先根据勾股定理得到BC的长，再根据线段的和差关系可求BD的长．【解答】（1）证明：∵AC2+CD2＝42+32＝25，AD2＝52＝25，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠C＝90°；（2）解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴BC＝＝＝8，∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5．24．(2023秋•晋源区校级月考）如图，笔直的公路上A、B两点相距17km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝12km．CB＝5km，现在要在公路的AB段上建一个公交车站E，使得C，D两村到公交车站E的距离相等．则公交车站E应建在离A点多远处？【分析】根据使得C，D两村到E站的距离相等，需要证明DE＝CE，再根据△DAE≌△EBC，得出AE＝BC．【解答】解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．∴DE＝CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，设AE＝xkm，则BE＝AB﹣AE＝（17﹣x）km．∵DA＝12km．CB＝5km，∴x2+122＝（17﹣x）2+52，解得x＝5，∴AE＝5km，答：收购站E应建在离A点5km处．