人教版八年级数学下册尖子生培优必刷题第18章平行四边形单元测试(培优压轴卷)(原卷版+解析)

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【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】第18章平行四边形单元测试（培优压轴卷，八下人教）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2023春•抚远市校级期末）下列说法中，正确的是（　　）A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．对角线相等的平行四边形是矩形2．(2023秋•泰山区期末）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　）A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AO＝CO C．AB＝CD，AD＝BC D．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD3．(2023秋•深圳期末）要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（　　）A．测量四边形画框的两个角是否为90° B．测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分 C．测量四边形画框的一组对边是否平行且相等 D．测量四边形画框的四边是否相等4．(2023秋•任城区期末）已知，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分BC成4cm和3cm两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（　　）cm．A．11 B．22 C．20 D．20或225．(2023秋•青羊区期末）如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则AH＝（　　）A．24 B．10 C． D．6．(2023•湘西州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（　　）A．4 B．4 C．8 D．87．(2023•苏州模拟）如图，已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF交于点P．则下列结论不成立的是（　　）A．AE＝DF B．PC＝PD C．AE⊥DF D．S△ADP＝S四边形PFBE8．(2023春•东平县校级月考）如图，在菱形ABCD中，AB＝8，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝AF，过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O，当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（　　）A．5.5 B．4 C．2 D．69．(2023春•新罗区校级月考）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上（E不与A、B重合），连接EF、CF，则下列结论中正确个数是（　　）①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＜2S△CEF；④∠DFE＝4∠AEFA．4 B．3 C．2 D．110．(2023秋•渠县校级期末）如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（　　）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．(2023秋•碑林区校级期末）如图，菱形ABCD的周长是40cm，对角线AC为10cm，则菱形相邻两内角的度数分别为 　 　．12．如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，2AM＝3MD，点E、F分别是BM、CM的中点，若EF＝5，则AM的长为 　 　．13．(2023秋•锦江区期末）小颖将能够活动的菱形学具活动成为图1所示形状，并测得AC＝5，∠B＝60°，接着，她又将这个学具活动成为图2所示正方形，此时A'C'的长为 　 　．14．(2023秋•朝阳区校级期末）如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 　 　．15．(2023秋•朝阳区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，．点D为边AB上一个动点，作DE⊥BC、DF⊥AC，垂足为E、F，连结EF．则EF长度的最小值为 　 　．16．(2023秋•平桂区 期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝8，GC＝，AE平分∠BAG交BC于点E，E是BC的中点，则AG的长为 　 　．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(2023秋•南关区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BE＝DF．（1）求证：AE＝CF；（2）若AD＝AE，∠DFC＝140°，求∠DAE的度数．18．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，点F在BC的延长线上，且BE＝EF．（1）求证：DE＝EF；（2）若BE＝3，求DF的长．19．(2023秋•平遥县期末）如图，已知平行四边形ABCD中，延长AB至点E，使BE＝AB，连接BD和CE．（1）求证：△DAB≌△CBE（2）请你给图中平行四边形ABCD补充适当的条件，使四边形DBEC成为菱形；请结合补充条件证明；20．（2023•黔江区一模）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长，交BC于点F．连接AF，CE，EF平分∠AEC．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若∠DAC＝60°，AC＝2，求四边形AFCE的面积．21．(2023•苏州模拟）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OA，OC的中点．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）①对角线AC，BD满足　 　时，四边形DEBF是矩形；②对角线AC，BD满足　 　时，四边形DEBF是菱形．22．(2023春•杭州期中）已知：如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，AE、BF相交于点P，并且AE＝BF．（1）如图1，判断AE和BF的位置关系？并说明理由；（2）若AB＝8，BE＝6，求BP的长度；（3）如图2，FM⊥DN，DN⊥AE，点F在线段CD上运动时（点F不与C、D重合），四边形FMNP是否能否成为正方形？请说明理由．23．(2023春•梅江区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，运动时间为t（0≤t≤5）秒．（1）若G、H分别是AB、DC的中点，且t≠2.5，求证：以E、G、F、H为顶点的四边形始终是平行四边形．（2）在（1）的条件下，当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形为矩形？（3）若G、H分别是折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A上的动点，分别从A、C开始，与E、F相同的速度同时出发，当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】第18章平行四边形单元测试（培优压轴卷，八下人教）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2023春•抚远市校级期末）下列说法中，正确的是（　　）A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．对角线相等的平行四边形是矩形【分析】根据正方形的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定进行逐一判断即可．【解答】解：A、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故A选项错误，不符合题意；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B选项错误，不符合题意；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故C选项错误，不符合题意；D、对角线相等的平行四边形是矩形，故D选项正确，符合题意；故选：D．2．(2023秋•泰山区期末）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　）A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AO＝CO C．AB＝CD，AD＝BC D．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；B、由AB＝CD，AO＝CO不能判断四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意；C、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；D、∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；故选：B．3．(2023秋•深圳期末）要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（　　）A．测量四边形画框的两个角是否为90° B．测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分 C．测量四边形画框的一组对边是否平行且相等 D．测量四边形画框的四边是否相等【分析】由平行四边形的判定与性质、菱形的判定，矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、测量四边形画框的两个角是否为90°，不能判定为矩形，故选项A不符合题意；B、测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分，能判定为矩形，故选项B符合题意；C、测量四边形画框的一组对边是否平行且相等，能判定为平行四边形，不能判定是否为矩形，故选项C不符合题意；D、测量四边形画框的四边是否相等，能判定为菱形，故选项D不符合题意；故选：B．4．(2023秋•任城区期末）已知，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分BC成4cm和3cm两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（　　）cm．A．11 B．22 C．20 D．20或22【分析】设∠A的平分线交BC于点E，可证明AB＝EB，再分两种情况讨论，一是EB＝4cm，EC＝3cm，则AB＝EB＝4cm，BC＝EB+EC＝7cm；二是EB＝3cm，EC＝4cm时，则AB＝EB＝3cm，BC＝EB+EC＝7cm，分别求出平行四边形ABCD的周长即可．【解答】解：设∠A的平分线交BC于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠DAE，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝EB，当EB＝4cm，EC＝3cm时，如图1，则AB＝EB＝4cm，BC＝EB+EC＝7cm，∴2AB+2BC＝2×4+2×7＝22（cm）；当EB＝3cm，EC＝4cm时，如图2，则AB＝EB＝3cm，BC＝EB+EC＝7cm，∴2AB+2BC＝2×3+2×7＝20（cm），∴平行四边形ABCD的周长为22cm或20cm，故选：D．5．(2023秋•青羊区期末）如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则AH＝（　　）A．24 B．10 C． D．【分析】由菱形面积＝对角线积的一半可求面积，由勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果．【解答】解：如图，对角线AC、BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∴BC＝＝＝5，∵菱形ABCD的面积＝×6×8＝24，∴AH＝，故选：C．6．(2023•湘西州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（　　）A．4 B．4 C．8 D．8【分析】在Rt△BDH中先求得BD的长，根据菱形面积公式求得AC长，再根据勾股定理求得CD长．【解答】解：∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，OC＝OA＝，AC⊥BD，∴OH＝OB＝OD＝（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），∴OD＝4，BD＝8，由得，＝32，∴AC＝8，∴OC＝＝4，∴CD＝＝8，故选C．7．(2023•苏州模拟）如图，已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF交于点P．则下列结论不成立的是（　　）A．AE＝DF B．PC＝PD C．AE⊥DF D．S△ADP＝S四边形PFBE【分析】先利用SAS证明△AFD≌△BEA即可得到AE＝DF，∠FDA＝∠EAB，S△AFD＝S△BEA进而推出∠EAB+∠AFD＝90°，S△ADP＝S四边形PFBE，即可判断A、C、D，而B无法证明即成立，由此即可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，∵F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，∴AF＝BE，∴△AFD≌△BEA（SAS），∴AE＝DF，选项A正确，不符合题意；∴∠FDA＝∠EAB，又∵∠FDA+∠AFD＝90°，∴∠EAB+∠AFD＝90°，∴∠APF＝90°，AE⊥DF，选项C正确，不符合题意：由△AFD≌△BEA得S△AFD＝S△BEA，∴S△AFD﹣S△APF＝S△BEA﹣S△APF，即S△ADP＝S四边形PFBE，选项D正确：只有选项B无法证明其成立，故选：B．8．(2023春•东平县校级月考）如图，在菱形ABCD中，AB＝8，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝AF，过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O，当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（　　）A．5.5 B．4 C．2 D．6【分析】由菱形的性质得AD∥BC，AB∥CD，推出平行四边形ABHF、AEGD、GCHO，得AF＝FO＝OE＝AE，OH＝CH＝GC＝GO，再证四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC＝AB＝CD，AD∥BC，AB∥CD，∵EG∥AD，FH∥AB，∴四边形AEOF与四边形CGOH是平行四边形，∴AF＝OE，AE＝OF，OH＝GC，CH＝OG，∵AE＝AF，∴OE＝OF＝AE＝AF，∵AE＝AF，∴BC﹣BH＝CD﹣DG，即OH＝HC＝CG＝OG，∴四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，∵四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12，∴4AE﹣4（8﹣AE）＝12，解得：AE＝5.5，故选：A．9．(2023春•新罗区校级月考）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上（E不与A、B重合），连接EF、CF，则下列结论中正确个数是（　　）①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＜2S△CEF；④∠DFE＝4∠AEFA．4 B．3 C．2 D．1【分析】延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF，得出对应线段之间关系进而得出答案．【解答】解：∵F是AD的中点，∴AF＝FD，∵在▱ABCD中，AD＝2AB，∴AF＝FD＝CD，∴∠DFC＝∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC＝∠FCB，∴∠DCF＝∠BCF，∴∠DCF＝∠BCD，故①正确；如图，延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠MDF，∵F为AD中点，∴AF＝FD，在△AEF和△DMF中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ECD＝90°，∵FM＝EF，∴FC＝EM＝FE，故②正确；∵EF＝FM，∴S△EFC＝S△CFM，即S△ECM＝2S△CEF，∵△AEF≌△DMF，∴S△AEF＝S△DMF，∴S△ECM＝S四边形AECD，∵S△ABC＜S四边形AECD，故S△ABC＜2S△CEF；，∵S△BEC＜S△ABC，∴S△BEC＜2S△CEF；故③成立；设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，∴∠EFC＝180°﹣2x，∴∠EFD＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，∵∠AEF＝90°﹣x，∴∠DFE＝3∠AEF，故④不正确．正确的有①②③，故选：B．10．(2023秋•渠县校级期末）如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（　　）A． B． C． D．【分析】连接AC，PB，AC交BD于O，根据S△BCE＝S△BPC+S△BPE，从而BE•OC＝BE•PR+，进一步得出结论．【解答】解：如图，连接AC，PB，AC交BD于O，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝BC＝，∴OC＝AC＝，∵S△BCE＝S△BPC+S△BPE，∴BE•OC＝BE•PR+，∵BC＝BE，∴BE•OC＝BE•PR+BE•PQ，∴PR+PQ＝OC＝，故选：A．二．填空题（共6小题）11．(2023秋•碑林区校级期末）如图，菱形ABCD的周长是40cm，对角线AC为10cm，则菱形相邻两内角的度数分别为 　60°，120°　．【分析】证明△ACD是等边三角形，则∠D＝60°，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝＝10（cm），AB∥CD，∴∠D+∠BAD＝180°，又∵AC＝10cm，∴AD＝CD＝AC，∴△ACD是等边三角形，∴∠D＝60°，∴∠DAB＝120°，故答案为：60°，120°．12．如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，2AM＝3MD，点E、F分别是BM、CM的中点，若EF＝5，则AM的长为 　6　．【分析】先证EF是△BCM的中位线，得出EF＝BC，则BC＝10，再由平行四边形的性质得AD＝BC＝10，然后由2AM＝3DM，推出AD＝AM，即可得出答案．【解答】解：∵点E、F分别是BM、CM中点，∴EF是△BCM的中位线，∴EF＝BC，∴BC＝2EF＝2×5＝10，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝10，∵2AM＝3DM，∴DM＝AM，∴AD＝AM+DM＝AM+AM＝AM，∴AM＝10，∴AM＝6，故答案为：6．13．(2023秋•锦江区期末）小颖将能够活动的菱形学具活动成为图1所示形状，并测得AC＝5，∠B＝60°，接着，她又将这个学具活动成为图2所示正方形，此时A'C'的长为 　5　．【分析】根据菱形的性质得出AB＝BC，求出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出AB＝BC＝AC＝5，根据旋转的性质得出A′B′＝B′C′＝AB＝5，再根据勾股定理求出A′C′即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AC＝5，∴AB＝BC＝5，∵四边形A′B′C′D′为正方形，∴∠A′B′C′＝90°，由旋转的性质得出A′B′＝B′C′＝AB＝5，∴A′C′＝＝5，故答案为：5．14．(2023秋•朝阳区校级期末）如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 　4.8　．【分析】直接利用菱形的性质得出AB＝AD＝10，S△ABD＝12.5，进而利用三角形面积求法得出答案．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为40，面积为24，∴AB＝AD＝5，S△ABD＝12，∵分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，∴×AB×PE+×PF×AD＝12，∴×5×（PE+PF）＝12，∴PE+PF＝4.8．故答案为：4.8．15．(2023秋•朝阳区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，．点D为边AB上一个动点，作DE⊥BC、DF⊥AC，垂足为E、F，连结EF．则EF长度的最小值为 　　．【分析】解直角三角形求出AC和AB，求出四边形CFDE是矩形，根据矩形的性质得出CD＝EF，当CD⊥AB时，CD有最小值，此时EF有最小值，根据三角形的面积公式求出CD长几颗．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，，∴AC＝＝2，AB＝2AC＝4，连接CD，∵DF⊥AC，∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴∠DFC＝∠FCE＝∠DEC＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF＝CD，当CD⊥AB时，CD长最小，此时EF有最小值，∵S△ACB＝＝，∴＝CD，∴CD＝，∴EF长度的最小值是，故答案为：．16．(2023秋•平桂区 期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝8，GC＝，AE平分∠BAG交BC于点E，E是BC的中点，则AG的长为 　　．【分析】过E作EH⊥AG于H，连接EG，根据矩形的性质，全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：过E作EH⊥AG于H，连接EG，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵AE平分∠BAG交BC于点E，∴BE＝EH，在Rt△ABE与Rt△AHE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL），∴AH＝AB＝8，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，∴EH＝CE，在Rt△EHG与Rt△ECG中，，∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL），∴GH＝CG＝，∴AG＝AH+GH＝8+＝，故答案为：．三．解答题（共7小题）17．(2023秋•南关区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BE＝DF．（1）求证：AE＝CF；（2）若AD＝AE，∠DFC＝140°，求∠DAE的度数．【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；（2）由（1）中全等三角形的对应角相等推知：∠AEB＝∠DFC＝140°，则∠DEA＝40°；然后根据等腰△ADE的性质和三角形内角和定理求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠ABE＝∠CDF，又∵BE＝DF，在△ABE与△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS）∴AE＝CF；（2）由（1）知，△ABE≌△CDF，则∠AEB＝∠DFC＝140°．∴∠DEA＝40°．∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠DEA＝40°．∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝100°．18．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，点F在BC的延长线上，且BE＝EF．（1）求证：DE＝EF；（2）若BE＝3，求DF的长．【分析】（1）由四边形ABCD是正方形证明AB＝CB＝AD＝CD，∠BCE＝∠DCE＝45°，即可证明△BCE≌△DCE，得BE＝DE，而BE＝EF，所以DE＝EF；（2）先证明∠DCF＝90°，∠CFE＝∠CDE＝∠CBE，则∠CDE+∠DGE＝∠CFE+∠FGC＝90°，得∠DEF＝90°，即可根据勾股定理求出DF的长．【解答】（1）证明：如图，设EF交CD于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝AD＝CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠BCE＝∠BAC＝45°，∠DCE＝∠DAC＝45°，在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△DCE（SAS），∴BE＝DE，∵BE＝EF，∴DE＝EF．（2）解：∵∠CBE＝∠CDE，∠CBE＝∠CFE，∴∠CDE＝∠CFE，∵∠DCF＝180°﹣∠BCD＝90°，∠DGE＝∠FGC，∴∠CDE+∠DGE＝∠CFE+∠FGC＝90°，∴∠DEF＝90°，∵BE＝EF＝DE＝3，∴DF＝＝＝3，∴DF的长是3．19．(2023秋•平遥县期末）如图，已知平行四边形ABCD中，延长AB至点E，使BE＝AB，连接BD和CE．（1）求证：△DAB≌△CBE（2）请你给图中平行四边形ABCD补充适当的条件，使四边形DBEC成为菱形；请结合补充条件证明；【分析】（1）由“SAS”可证△DAB≌△CBE；（2）先证四边形DBEC是平行四边形，通过证明△ABD是等边三角形，可得BD＝AB＝BE，可得结论．【解答】（1）证明：∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠CBE＝∠DAB，在△DAB和△CBE中，，∴△DAB≌△CBE（SAS）；（2）补充条件为：AB＝AD且∠A＝60°．证明：∵平行四边形ABCD，∴DC∥BE，DC＝AB＝BE，∴四边形DBEC是平行四边形，∵AB＝AD且∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD，又∵BE＝AB，∴BD＝BE，∴平行四边形DBEC是菱形．20．（2023•黔江区一模）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长，交BC于点F．连接AF，CE，EF平分∠AEC．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若∠DAC＝60°，AC＝2，求四边形AFCE的面积．【分析】（1）由“AAS”证△AOE≌△COF，得OF＝OE，证出四边形AFCE是平行四边形，再证CE＝CF，即可得出结论；（2）由含30°角的直角三角形的性质得出OE＝AO＝，则EF＝2OE＝2，由菱形面积公式即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠AEF＝∠CFE，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OF＝OE，∵AO＝CO，∴四边形AFCE是平行四边形；∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠CEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，∴四边形AFCE是菱形；（2）解：由（1）得：四边形AFCE是菱形，∴AC⊥EF，AO＝CO＝AC＝1，∴∠AOE＝90°，∵∠DAC＝60°，∴∠AEO＝30°，∴OE＝AO＝，∴EF＝2OE＝2，∴四边形AFCE的面积＝AC×EF＝×2×2＝2．21．(2023•苏州模拟）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OA，OC的中点．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）①对角线AC，BD满足　AC＝2BD　时，四边形DEBF是矩形；②对角线AC，BD满足　AC⊥BD　时，四边形DEBF是菱形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出OB＝OD，OA＝OC，证出OE＝OF，那么两组对角线互相平分，得出四边形DEBF是平行四边形；（2）①由平行四边形对角线相等即可证明四边形ABCD是矩形；②由对角线互相垂直且平分即可证明．【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC，∵点E、F分别为OA、OC的中点，∴，，∴OE＝OF，∴四边形DEBF是平行四边形．（2）解：①当AC＝2BD时，平行四边形DEBF是矩形；理由如下：∵AC＝2BD，四边形ABCD是平行四边形，∴，∴平行四边形DEBF是矩形；故答案为：AC＝2BD．②当AC⊥BD时，平行四边形DEBF是菱形；理由如下：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形，∴BD⊥EF，∴平行四边形DEBF是菱形，故答案为：AC⊥BD．22．(2023春•杭州期中）已知：如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，AE、BF相交于点P，并且AE＝BF．（1）如图1，判断AE和BF的位置关系？并说明理由；（2）若AB＝8，BE＝6，求BP的长度；（3）如图2，FM⊥DN，DN⊥AE，点F在线段CD上运动时（点F不与C、D重合），四边形FMNP是否能否成为正方形？请说明理由．【分析】（1）根据正方形的性质，得到∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝BC，结合AE＝BF，证明△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质即可解决问题；（2）根据勾股定理可得AE＝10，然后根据三角形的面积即可解决问题；（3）证明△BAP≌△ADN（ASA），可得AN＝BP，AP＝DN，由AE＝BF，可得EN＝PF，根据点F在线段CD上运动时（点F不与C、D重合），可得P、E不重合，所以PN≠PF，进而可以解决问题．【解答】解：（1）AE⊥BF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，在Rt△ABE和Rt△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴AE⊥BF；（2）在Rt△ABE中，AB＝8，BE＝6，根据勾股定理得：AE＝＝10，∵S△ABE＝AB•BE＝AE•BP，∴8×6＝10BP，∴BP＝4.8，∴BP的长度为4.8；（3）四边形FMNP不能成为正方形，理由如下：由（1）知：AE⊥BF，∴∠APF＝90°，∵FM⊥DN，DN⊥AE，∴∠FMN＝∠MNP＝90°，∴四边形FMNP是矩形，∵∠BAP+∠NAD＝∠NAD+∠ADN＝90°，∴∠BAP＝∠ADN，在△BAP和△ADN中，，∴△BAP≌△ADN（ASA），∴AN＝BP，AP＝DN，∵AE＝BF，∴AE﹣AN＝BF﹣BP，∴EN＝PF，∵点F在线段CD上运动时（点F不与C、D重合），∴P、E不重合，∴PN≠PF，∴四边形FMNP不能成为正方形．23．(2023春•梅江区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，运动时间为t（0≤t≤5）秒．（1）若G、H分别是AB、DC的中点，且t≠2.5，求证：以E、G、F、H为顶点的四边形始终是平行四边形．（2）在（1）的条件下，当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形为矩形？（3）若G、H分别是折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A上的动点，分别从A、C开始，与E、F相同的速度同时出发，当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．【分析】（1）根据勾股定理求出AC，证明△AFG≌△CEH，根据全等三角形的性质得到GF＝HE，利用内错角相等得GF∥HE，根据平行四边形的判定可得结论；（2）如图1，连接GH，分AC﹣AE﹣CF＝8、AE+CF﹣AC＝8两种情况，列方程计算即可；（3）连接AG、CH，判定四边形AGCH是菱形，得到AG＝CG，根据勾股定理求出BG，得到AB+BG的长，根据题意解答．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，∴∠BAC＝∠DCA，∵AB＝6cm，BC＝8cm，在Rt△ABC中，AC＝＝10cm，∵G、H分别是AB、DC的中点，∴AG＝AB，CH＝CD，∴AG＝CH，∵E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，∴AE＝CF，∴AF＝CE，∴△AGF≌△CHE（SAS），∴GF＝HE，∠AFG＝∠CEH（或得∠EFG＝∠FEH），∴GF∥HE，∴以E、G、F、H为顶点的四边形始终是平行四边形；（2）如图1，连接GH，由（1）可知四边形EGFH是平行四边形，∵G、H分别是AB、DC的中点，∴GH＝BC＝8cm，∴当EF＝GH＝8cm时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：①若AE＝CF＝2t，则EF＝10﹣4t＝8，解得：t＝0.5，②若AE＝CF＝2t，则EF＝2t+2t﹣10＝8，解得：t＝4.5，即当t为4.5秒或0.5秒时，四边形EGFH是矩形；（3）如图2，连接AG、CH，∵四边形GEHF是菱形，∴GH⊥EF，OG＝OH，OE＝OF，∵AF＝CE∴OA＝OC，∴四边形AGCH是菱形，∴AG＝CG，设AG＝CG＝x，则BG＝8﹣x，由勾股定理得：AB2+BG2＝AG2，即62+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴BG＝8﹣，∴AB+BG＝6+，t＝÷2＝，即t为秒时，四边形EGFH是菱形．