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人教版八年级数学下册尖子生培优必刷题期中必刷真题01(选择易错60道提升练)(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册尖子生培优必刷题期中必刷真题01(选择易错60道提升练)(原卷版+解析)，共66页。
1．(2023秋•洛宁县期中）计算式子（﹣2）2021（+2）2020的结果是（ ）
A．﹣1B．﹣2C．2﹣D．1
2．(2023春•饶平县校级期中）设x＝，y＝，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＞yB．x≥yC．x＜yD．x＝y
3．(2023秋•北碚区校级期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ）
A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定
4．(2023秋•上城区校级期中）实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣a+|b﹣a|+的结果是（ ）
A．﹣b﹣cB．c﹣bC．2a﹣2b+2cD．2a+b+c
5．(2023秋•武侯区校级期中）已知，则代数式x2﹣2x﹣6的值是（ ）
A．B．﹣10C．﹣2D．
6．(2023春•东平县期中）已知a满足|2018﹣a|+＝a，则a﹣20182＝（ ）
A．0B．1C．2018D．2019
7．(2023春•潍坊期中）如果ab＞0，a+b＜0，那么下列各式中正确的是（ ）
A．＝B．×＝1C．＝bD．（）2＝﹣ab
8．(2023秋•汝阳县期中）下列运算正确的是（ ）
A．4×2＝24B．﹣＝
C．＝3D．＝2﹣
9．(2023春•越秀区校级期中）当时，代数式x2+2x+2的值是（ ）
A．23B．24C．25D．26
10．(2023春•威海期中）化简二次根式的结果为（ ）
A．﹣2aB．2aC．2aD．﹣2a
11．(2023秋•南江县校级期中）若，则（ ）
A．b＞3B．b＜3C．b≥3D．b≤3
12．(2023春•芝罘区期中）如果ab＞0，a+b＜0，那么下列各式：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
13．(2023春•尧都区期中）若•＝，则a的取值范围是（ ）
A．a≥2B．a≥﹣2C．a≥24D．2≥a≥﹣2
14．(2023春•尧都区期中）已知是一个正整数，则正整数a的最小值为（ ）
A．0B．6C．3D．2
15．(2023春•高青县期中）如图、在一个长方形中无重叠的放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A．（4﹣2）cm2B．（8﹣4）cm2C．（8﹣12）cm2D．8cm2
16．(2023秋•锡山区期中）根据下列条件不能判定三角形是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝2：3：5B．a：b：c＝5：3：4
C．a＝，b＝，c＝D．∠A+∠B＝2∠C
17．(2023春•静海区校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB＝17，BD＝15，DC＝6，则AC的长为（ ）
A．11B．10C．9D．8
18．(2023秋•宝丰县期中）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线AB单向单排通过校门口，测温仪C与直线AB的距离为3m，已知测温仪的有效测温距离为5m，则学生沿直线AB行走时测温的区域长度为（ ）
A．4 mB．5mC．6mD．8m
19．(2023春•确山县期中）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（ ）米．
A．4B．4.5C．5D．5.5
20．(2023春•海淀区校级期中）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）
A．16B．25C．144D．169
21．(2023春•定远县期中）将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是（ ）
A．5B．C．10﹣D．15﹣
22．(2023秋•麻阳县校级期中）若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
23．(2023春•曲阜市期中）意大利著名画家达•芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2，则下列表示S1，S2的等式成立的是（ ）
A．S1＝a2+b2+2abB．S1＝a2+b2+ab
C．S2＝c2D．S2＝c2+ab
24．(2023秋•恩施市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，一条线段PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则AP的值为（ ）
A．6cmB．12cm
C．12cm或6cmD．以上答案都不对
25．(2023春•渝中区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的实数是（ ）
A．B．﹣1C．+1D．1﹣
26．(2023春•雄县期中）一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．若轮船速度为25km/h，轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间是（ ）
A．5hB．4hC．3.5hD．3h
27．(2023春•尧都区期中）元宵节是我国的传统文化节日，做花灯、赏花灯是传统节日中的重要活动内容．小明在完成综合实践活动做花灯的过程中，花灯底部需要做个对角线互相垂直的矩形铁丝网固定花灯的形状，该矩形铁丝网的面积为800cm22，则底部一条对角线所用的铁丝至少需（ ）
A．40cmB．40cmC．80cmD．80cm
28．(2023春•文登区期中）“绿水青山，就是金山银山”，党的十八大以来，生态文明建设，可持续发展理念深入人心，我们泰安的城市绿化率持续增加．△ABC是某小区一块三角形空地，已知∠B＝150°，AB＝30m，BC＝20m，如果在这块空地上种草皮，每平方米草皮费用按120元计算，则这块空地种植草皮需要资金（ ）元．
A．36000B．24000C．18000D．12000
29．(2023春•黔东南州期中）有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度与这根芦苇的长度分别是（ ）
A．12，13B．13，12
C．25，24D．以上答案都不对
30．(2023秋•电白区期中）在北京召开的国际数学家大会会标，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积为13，小正方形的面积是1，较长的直角边为a，较短的直角边为b，则（a+b）2的值为（ ）
A．13B．19C．25D．169
31．(2023春•嘉祥县期中）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．OA＝OC，OB＝ODB．AB＝CD，AO＝CO
C．AB＝CD，AD＝BCD．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
32．(2023春•隆阳区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，若OE＝10，则AB的长为（ ）
A．20B．22C．24D．26
33．(2023春•柘城县期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝12，BE＝ED＝5，AC＝26，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．100B．130C．60D．120
34．(2023春•兰溪市期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AB＝4，AD＝8，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（ ）
A．2B．C．D．
35．(2023春•丹江口市期中）如图，四边形ABCD中，AB＝6，CD＝8，E，F分别是AD，BC的中点，则EF长x的取值范围为（ ）
A．6＜x＜8B．2＜x＜14C．1＜x≤7D．3＜x＜4
36．(2023春•柘城县期中）如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是高，如果ED＝6cm，那么HF的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
37．(2023春•西平县期中）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，AC＝10，点F是DE上一点，DF＝1，连接AP，CF．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（ ）
A．18B．16C．14D．12
38．(2023春•琼海期中）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
39．(2023春•东光县期中）如图，在▱ABCD中，AD＞AB，以点A为圆心，AB长为半径画弧与AD交于点F，然后分别以B，F为圆心，大于之BF的长为半径画弧交于点G，连接AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝4，则AE的长为（ ）
A．B．2C．5D．10
40．(2023秋•长安区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AM⊥BC于点M，交BD于点E，过点C作CN⊥AD于点N，交BD于点F，连接CE，若EA＝EC，点M为BC的中点，，则AE的值为（ ）
A．B．1C．2D．3
41．(2023春•广汉市期中）如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（ ）
A．MB＝MOB．OM＝ACC．BD⊥ACD．∠AMB＝∠CND
42．(2023秋•碑林区校级期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB＝ADB．OA＝OBC．AB⊥ADD．∠ABO＝∠BAO
43．(2023秋•沙坪坝区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（ ）
A．4B．4.5C．5D．5.5
44．(2023秋•苍南县期中）如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交CD于点M．若AH＝GH，则CM的长为（ ）
A．B．C．1D．
45．(2023春•顺德区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．24B．48C．72D．96
46．(2023秋•北票市期中）如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：
①∠ABE＝∠DCE；
②AG⊥BE；
③S△BHE＝S△CHD；
④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（ ）
A．①③B．①②③④C．①②③D．①③④
47．(2023春•滨州期中）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE，EF⊥AE于点E，交DC于点F，连接AF，已知BC＝4，DE＝3，则△ADE的面积为（ ）
A．6B．5C．10D．
48．(2023春•铜山区期中）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一动点，且点P不与点B、C重合．作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连结EF，取EF的中点M，则PM的最小值为（ ）
A．2B．2.4C．3D．2.5
49．(2023春•岱岳区期中）如图，在边长为10的正方形ABCD中，点P为对角线AC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，则EF的最小值为（ ）
A．B．C．5D．
50．(2023春•隆阳区期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，点D是BC上的一动点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E，F，则EF的最小值为（ ）
A．5B．4.8C．3D．2.4
51．(2023春•巧家县期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝4，P为BC上一动点，过P点作PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，P在运动过程中EF的最小值为（ ）
A．3B．3.8C．4D．6
52．(2023春•灌南县期中）如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G则下列结论：①∠ABE＝∠DCE；②∠AHB＝∠EHD，③S△BHE＝S△CHD；④AG⊥BE．其中正确的是（ ）
A．①③B．①②③C．①③④D．①②③④
53．(2023春•兰山区期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，AC不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠EGF＝∠ADE；④FG的最小值为2，其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
54．(2023春•巴东县期中）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF； ②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF＝EF，⑤EF＝2CG，其中正确结论有（ ）个．
A．5B．4C．3D．2
55．(2023春•沿河县期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF，给出下列结论：①PD＝EC；②AP＝EF；③AP⊥EF；④EF的最小值为2；⑤△APD可能是等腰三角形．其中正确结论的序号为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
56．(2023春•抚远市期中）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DF．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝，下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为；④S△APD+S△APB＝1+．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③①D．①③④
57．(2023春•鹤城区校级期中）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，AE＝6，BE＝2，点M是DE的中点，若点P在正方形ABCD的边上，且PM＝5，则符合条件的点P的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
58．(2023春•镜湖区校级期中）如图，矩形ABCD中，，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是（ ）
A．12.5B．12C．10D．10.5
59．(2023春•濮阳期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，点D是BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）
A．B．13C．D．
60．(2023春•玉州区期中）在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠ADB的平分线交AB于点E，交AC于点G．过点E作EF⊥BD于点F，点M在OC上，连接DM，下列结论：
①AD＝（+1）AE：
②四边形AEFG是菱形；
③BE＝OG；
④若∠EDM＝45°，则GF＝CM．
其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
期中必刷真题01（选择易错60道提升练，八下人教）
一．选择题（共60小题）
1．(2023秋•洛宁县期中）计算式子（﹣2）2021（+2）2020的结果是（ ）
A．﹣1B．﹣2C．2﹣D．1
【分析】先根据积的乘方进行变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．
【解答】解：（﹣2）2021（+2）2020
＝[（﹣2）×（+2）]2020×（﹣2）
＝（﹣1）2020×（﹣2）
＝1×（﹣2）
＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式和积的乘方等知识点，能灵活运用平方差公式进行计算是解此题的关键，注意：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
2．(2023春•饶平县校级期中）设x＝，y＝，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＞yB．x≥yC．x＜yD．x＝y
【分析】把x的值分母有理化，再比较．
【解答】解：∵x＝＝3﹣＞0，y＝＜0．
∴x＞y，
故选：A．
【点评】化简，判断与两者互为相反数是解决本题的关键．
3．(2023秋•北碚区校级期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ）
A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定
【分析】先根据点a在数轴上的位置判断出a﹣4及a﹣11的符号，再把原式进行化简即可．
【解答】解：∵由图可知：4＜a＜10，
∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，
∴原式＝+
＝a﹣4+11﹣a＝7．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意得出a的取值范围是解答此题的关键．
4．(2023秋•上城区校级期中）实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣a+|b﹣a|+的结果是（ ）
A．﹣b﹣cB．c﹣bC．2a﹣2b+2cD．2a+b+c
【分析】根据数轴，确定a、b、c的正负，确定b﹣a的正负，然后再化简．
【解答】解：由数轴知：c＜0，b＜0＜a，
∴b﹣a＜0，
∴原式＝﹣a﹣（b﹣a）﹣c
＝﹣a﹣b+a﹣c
＝﹣b﹣c．
故选：A．
【点评】本题考查了数轴的相关知识，绝对值、二次根式的化简．两数相加，取决于绝对值较大的加数的符号，大数减小数为正，小数减大数为负．
5．(2023秋•武侯区校级期中）已知，则代数式x2﹣2x﹣6的值是（ ）
A．B．﹣10C．﹣2D．
【分析】求出x﹣1＝，再根据完全平方公式进行变形得出x2﹣2x﹣6＝（x﹣1）2﹣7，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵，
∴x﹣1＝，
∴x2﹣2x﹣6
＝（x﹣1）2﹣7
＝（）2﹣7
＝5﹣7
＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，能够整体代入是解此题的关键．
6．(2023春•东平县期中）已知a满足|2018﹣a|+＝a，则a﹣20182＝（ ）
A．0B．1C．2018D．2019
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出a的取值范围，化简绝对值即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：a﹣2019≥0，
∴a≥2019，
∴原式可变形为：a﹣2018+＝a，
∴＝2018，
∴a﹣2019＝20182，
∴a﹣20182＝2019．
故选：D．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
7．(2023春•潍坊期中）如果ab＞0，a+b＜0，那么下列各式中正确的是（ ）
A．＝B．×＝1C．＝bD．（）2＝﹣ab
【分析】利用二次根式的性质和实数的运算性质解答，对每个选项作出判断即可．
【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0，
∴a＜0，b＜0．
∴，无意义，
∴A的结论不正确；
∵＝＝1，
∴B的结论正确；
∵＝＝＝﹣b，
∴C的结论不正确；
∵＝ab，
∴D的结论不正确，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质和实数的运算性质，二次根式的乘除法，正确利用上述法则进行运算是解题的关键．
8．(2023秋•汝阳县期中）下列运算正确的是（ ）
A．4×2＝24B．﹣＝
C．＝3D．＝2﹣
【分析】分别利用二次根式的混合运算法则以及二次根式的性质化简求出即可．
【解答】解：A、4×＝24，故此选项正确，符合题意；
B、﹣无法计算，故此选项错误，不符合题意；
C、＝＝，故此选项错误，不符合题意；
D、＝﹣2，故此选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
9．(2023春•越秀区校级期中）当时，代数式x2+2x+2的值是（ ）
A．23B．24C．25D．26
【分析】将x的值代入原式＝x2+2x+1+1＝（x+1）2+1计算即可．
【解答】解：当x＝﹣1时，
原式＝x2+2x+1+1
＝（x+1）2+1
＝（）2+1
＝（）2+1
＝23+1
＝24，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的运算法则及完全平方公式．
10．(2023春•威海期中）化简二次根式的结果为（ ）
A．﹣2aB．2aC．2aD．﹣2a
【分析】先判断a的正负，再化简二次根式．
【解答】解：∵﹣8a3≥0，
∴a≤0
∴＝2|a|
＝﹣2a
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的化简，此题容易忘记判断a的正负而出错．
11．(2023秋•南江县校级期中）若，则（ ）
A．b＞3B．b＜3C．b≥3D．b≤3
【分析】等式左边为算术平方根，结果为非负数，即3﹣b≥0．
【解答】解：∵＝3﹣b，
∴3﹣b≥0，解得b≤3．
故选：D．
【点评】解答此题，要弄清以下问题：
1、定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时，表示a的算术平方根；当a＝0时，＝0；当a小于0时，二次根式无意义．2、性质：＝|a|．
12．(2023春•芝罘区期中）如果ab＞0，a+b＜0，那么下列各式：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】先根据ab＞0，a+b＜0得到a＜0，b＜0，然后利用二次根式的性质和二次根式的乘除运算法则逐个作出判断即可．
【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0，
∴a＜0，b＜0．
∴，无意义，①错误；
，②正确；
，③正确；
，④错误；
正确的有2个，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质和二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
13．(2023春•尧都区期中）若•＝，则a的取值范围是（ ）
A．a≥2B．a≥﹣2C．a≥24D．2≥a≥﹣2
【分析】根据二次根式的乘法的法则及二次根式有意义的条件进行分析即可．
【解答】解：∵•＝，
∴a+2≥0，a﹣2≥0，
解得：a≥﹣2，a≥2，
即a的范围为：a≥2．
故选：A．
【点评】本题主要考查二次根式的乘法，二次根式有意义的条件，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
14．(2023春•尧都区期中）已知是一个正整数，则正整数a的最小值为（ ）
A．0B．6C．3D．2
【分析】先分解质因数，再根据是一个正整数和a为正整数得出答案即可．
【解答】解：∵是一个正整数，
又∵72＝62×2，a为正整数，
∴正整数a的最小值为2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的定义，能正确分解质因数是解此题的关键．
15．(2023春•高青县期中）如图、在一个长方形中无重叠的放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A．（4﹣2）cm2B．（8﹣4）cm2C．（8﹣12）cm2D．8cm2
【分析】欲求S空白部分＝S矩形HLFG+S矩形MCEF，需求HC以及LM．由题意得S正方形ABCH＝HC2＝16cm2，S正方形LMEF＝LM2＝LF2＝12cm2，故HC＝4cm，LM＝LF＝2cm，进而解决此题．
【解答】解：如图．
由题意知：S正方形ABCH＝HC2＝16cm2，S正方形LMEF＝LM2＝LF2＝12cm2，
∴HC＝4cm，LM＝LF＝2cm．
∴S空白部分＝S矩形HLFG+S矩形MCDE
＝HL•LF+MC•ME
＝HL•LF+MC•LF
＝（HL+MC）•LF
＝（HC﹣LM）•LF
＝（4﹣2）×2
＝（8﹣12）（cm2）．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键．
16．(2023秋•锡山区期中）根据下列条件不能判定三角形是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝2：3：5B．a：b：c＝5：3：4
C．a＝，b＝，c＝D．∠A+∠B＝2∠C
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断选项B和选项C，根据三角形的内角和定理即可判断选项A和选项D．
【解答】解：A．∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C＝180＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵a：b：c＝5：3：4，
∴b2+c2＝a2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵a＝，b＝，c＝，
∴b2+c2＝a2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵∠A+∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3∠C＝180°，
∴∠C＝60°，
∴∠A+∠B＝120°，不能求出△ABC的一个角是直角，
即△ABC不一定是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，①三角形的内角和等于180°，②如果三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
17．(2023春•静海区校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB＝17，BD＝15，DC＝6，则AC的长为（ ）
A．11B．10C．9D．8
【分析】在△ABC中，AD⊥BC于点D，得出△ABD和△ADC是直角三角形；已知AB＝17，BD＝15，由勾股定理得到AD的长度，再结合DC＝6，利用勾股定理得到AC的长度．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°．
∵AB＝17，BD＝15，
∴AD＝＝8．
∵DC＝6，AD＝8，
∴AC＝＝10．
故选：B．
【点评】本题侧重考查知识点的理解、应用能力．本题是一道求三角形边的题目，需结合直角三角形的勾股定理进行求解．
18．(2023秋•宝丰县期中）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线AB单向单排通过校门口，测温仪C与直线AB的距离为3m，已知测温仪的有效测温距离为5m，则学生沿直线AB行走时测温的区域长度为（ ）
A．4 mB．5mC．6mD．8m
【分析】连接AC、BC，推理出AC＝BC＝5，过点C作CF⊥AB，易知CF＝3，然后在分别求出AF、CF的长，进而可得AB的长．
【解答】解：连接AC、BC，过点C作CF⊥AB于F，
因为测温仪的有效测温距离为5m，
所以AC＝BC＝5m，
又测温仪C与直线AB的距离为3m，
在Rt△ACF中，据勾股定理得：
AF＝＝＝4（m），
同理得BF＝4m，
所以AB＝8m，
即学生沿直线AB行走时测温的区域长度为8m．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
19．(2023春•确山县期中）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（ ）米．
A．4B．4.5C．5D．5.5
【分析】作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，根据AAS可证△AOF≌△OCG，根据全等三角形的性质可得OG＝4米，在Rt△AFO中，根据勾股定理可求AO，可求OB，再根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差CE．
【解答】解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，
∵∠AOC＝∠AOF+∠COG＝90°，
∠AOF+∠OAF＝90°，
∴∠COG＝∠OAF，
在△AOF与△OCG中，
，
∴△AOF≌△OCG（AAS），
∴OG＝AF＝BD＝4米，
设AO＝x米，
在Rt△AFO中，AF2+OF2＝AO2，即42+（x﹣1）2＝x2，
解得x＝8.5．
则CE＝GB＝OB﹣OG＝8.5﹣4＝4.5（米）．
故选：B．
【点评】考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
20．(2023春•海淀区校级期中）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）
A．16B．25C．144D．169
【分析】根据勾股定理解答即可．
【解答】解：
根据勾股定理得出：AB＝，
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是25，
故选：B．
【点评】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2解答．
21．(2023春•定远县期中）将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是（ ）
A．5B．C．10﹣D．15﹣
【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°，进而可得出答案．
【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10 ，
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin30°＝10 ×＝5 ，
CM＝BC×cs30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5 ，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5 ．
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．
22．(2023秋•麻阳县校级期中）若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【分析】首先根据题意由非负数的性质可得，进而得到a＝b，a2+b2＝c2，根据勾股定理逆定理可得△ABC的形状为等腰直角三角形．
【解答】解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，
∴a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0，
解得：a＝b，a2+b2＝c2，
∴△ABC的形状为等腰直角三角形；
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理以及非负数的性质，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
23．(2023春•曲阜市期中）意大利著名画家达•芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2，则下列表示S1，S2的等式成立的是（ ）
A．S1＝a2+b2+2abB．S1＝a2+b2+ab
C．S2＝c2D．S2＝c2+ab
【分析】根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题．
【解答】解：观察图象可知：S1＝S2＝a2+b2+ab＝c2+ab，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
24．(2023秋•恩施市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，一条线段PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则AP的值为（ ）
A．6cmB．12cm
C．12cm或6cmD．以上答案都不对
【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝6cm，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC＝12cm，P、C重合．
【解答】解：①当AP＝CB时，∠C＝∠QAP＝90°，
在Rt△APQ与Rt△CBA中，
，
∴Rt△APQ≌Rt△CBA（HL），
即AP＝BC＝6cm；
②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，
∠C＝∠QAP＝90°，
在Rt△QAP与Rt△BCA中，
，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），
即AP＝AC＝12cm．
综上所述，AP＝6cm或12cm．
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
25．(2023春•渝中区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的实数是（ ）
A．B．﹣1C．+1D．1﹣
【分析】利用勾股定理求出AC，在判断出OE的值即可解决问题
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，
∴AC＝＝＝，
∴AE＝AC＝，
∴OE＝﹣1，
∴点E表示的实数为﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理，实数与数轴等知识，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26．(2023春•雄县期中）一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．若轮船速度为25km/h，轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间是（ ）
A．5hB．4hC．3.5hD．3h
【分析】在Rt△ABD中，利用勾股定理求得BD的长度，则CD＝BC﹣BD；然后在Rt△ACD中，利用勾股定理来求AC的长度，则时间＝路程÷速度可求解．
【解答】解：由题意，得：AD＝60km，
在Rt△ABD中，AB＝100km，AD＝60km，
∴BD＝（km），
∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km），
∴在Rt△ACD中，AC＝＝75（km），
75÷25＝3（h）．
答：从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，属基础题目，比较简单．
27．(2023春•尧都区期中）元宵节是我国的传统文化节日，做花灯、赏花灯是传统节日中的重要活动内容．小明在完成综合实践活动做花灯的过程中，花灯底部需要做个对角线互相垂直的矩形铁丝网固定花灯的形状，该矩形铁丝网的面积为800cm22，则底部一条对角线所用的铁丝至少需（ ）
A．40cmB．40cmC．80cmD．80cm
【分析】设对角线的长是a，根据面积公式可求得对角线的长，从而可求得对角线所用的竹条至少需要多少．
【解答】解：∵对角线互相垂直的矩形是正方形，正方形的对角线相等，
设对角线的长是a，
根据正方形的面积等于对角线长乘积的一半，
则a2＝800，
解得a＝40（cm），
∴一条对角线所用的竹条至少需40cm．
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握角线互相垂直的矩形是正方形是解决问题的关键．
28．(2023春•文登区期中）“绿水青山，就是金山银山”，党的十八大以来，生态文明建设，可持续发展理念深入人心，我们泰安的城市绿化率持续增加．△ABC是某小区一块三角形空地，已知∠B＝150°，AB＝30m，BC＝20m，如果在这块空地上种草皮，每平方米草皮费用按120元计算，则这块空地种植草皮需要资金（ ）元．
A．36000B．24000C．18000D．12000
【分析】先作△ABC的高AD，求出∠ABD＝30°，再得出AD＝AB，再根据S△ABC＝•BC•AD求出三角形的面积，最后根据这种草皮每平方米120元，即可得出答案．
【解答】解：作△ABC的高AD，
∵∠ABC＝150°，
∴∠ABD＝180°﹣150°＝30°，
∴AD＝AB＝×30＝15（m），
∴S△ABC＝•BC•AD＝×20×15＝150（m2），
∵这种草皮每平方米120元，
∴购买这种草皮至少要150×120＝18000（元），
故选：C．
【点评】此题考查了含30度角的直角三角形，关键是作出辅助线，求出三角形的高和面积，熟练掌握30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
29．(2023春•黔东南州期中）有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度与这根芦苇的长度分别是（ ）
A．12，13B．13，12
C．25，24D．以上答案都不对
【分析】首先设这根芦苇的长度为x尺，水深为（x﹣1）尺，根据勾股定理可得方程，解方程即可．
【解答】解：设这根芦苇的长度为x尺，水深为（x﹣1）尺，
根据勾股定理得：
52+（x﹣1）2＝x2，
解得x＝13，
x﹣1＝12，
答：水的深度是12尺，这根芦苇的长度是13尺．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据勾股定理列出一元二次方程是解题的关键．
30．(2023秋•电白区期中）在北京召开的国际数学家大会会标，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积为13，小正方形的面积是1，较长的直角边为a，较短的直角边为b，则（a+b）2的值为（ ）
A．13B．19C．25D．169
【分析】根据大正方形的面积即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2＝c2，然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab即可求解．
【解答】解：设大正方形的边长为c，
∵大正方形的面积是13，
∴c2＝13，
∴a2+b2＝c2＝13，
∵直角三角形的面积是＝3，
又∵直角三角形的面积是ab＝3，
∴ab＝6，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+2×6＝13+12＝25．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．
31．(2023春•嘉祥县期中）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．OA＝OC，OB＝ODB．AB＝CD，AO＝CO
C．AB＝CD，AD＝BCD．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AB＝CD，AO＝CO不能判断四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意；
C、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
32．(2023春•隆阳区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，若OE＝10，则AB的长为（ ）
A．20B．22C．24D．26
【分析】先根据平行四边形的性质可得OB＝OD，再根据三角形中位线定理即可得．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，即点O是BD的中点，
又∵点E是AD的中点，
∴，
∵OE＝10，
∴AB＝2OE＝20，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．
33．(2023春•柘城县期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝12，BE＝ED＝5，AC＝26，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．100B．130C．60D．120
【分析】根据勾股定理求出CE＝13，得出AE＝13，再根据AE＝CE，BE＝DE，得出四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质，求出平行四边形的面积即可．
【解答】解：∵∠CBD＝90°，
∴△BEC为直角三角形，
∴，
∴AE＝AC﹣CE＝26﹣13＝13，
∴AE＝CE，
∵BE＝DE，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BD＝BE+ED＝5+5＝10，
∴S四边形ABCD＝BC×BD＝12×10＝120．
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理、平行四边形的判定，平行四边形面积的计算，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
34．(2023春•兰溪市期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AB＝4，AD＝8，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（ ）
A．2B．C．D．
【分析】如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先证明∠ACD＝90°，求出AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EF＝AG，求出AG的最大值以及最小值即可解决问题．
【解答】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，AD＝2AB＝8
∴∠D＝180°−∠BCD＝60°，AB＝CD＝4，
∵AM＝DM＝DC＝4，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC，
∴∠MAC＝∠MCA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴AC＝，
在Rt△ACN中，AC＝，∠ACN＝∠DAC＝30°，
∴AN＝AC＝，
∵AE＝EH，GF＝FH，
∴EF＝AG，
∵点G在BC上，
∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为，最小值为，
∴EF的最大值为，最小值为，
∴EF的最大值与最小值的差为：
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD＝90°，属于中考选择题中的压轴题．
35．(2023春•丹江口市期中）如图，四边形ABCD中，AB＝6，CD＝8，E，F分别是AD，BC的中点，则EF长x的取值范围为（ ）
A．6＜x＜8B．2＜x＜14C．1＜x≤7D．3＜x＜4
【分析】连接AF并延长至G，使得AF＝FG，连接CG、DG，证明△BAF≌△CGF，根据三角形三边关系，可得GD的范围，根据中位线的性质即可求解．
【解答】解：如图，连接AF并延长至G，使得AF＝FG，连接CG、DG，
∵F是BC的中点，
∴BF＝CF，
在△BAF与△CGF中，
，
∴△BAF≌△CGF（SAS），
∴AB＝CG，
∵AB＝6，CD＝8，
∴8﹣6＜DG＜8+6，
当∠ABC＝∠DCB＝90°时，G，D，C三点共线，
∴2＜DG≤14，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴，EF长x的取值范围为：1＜x≤7．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的中位线定理，准确作出辅助线并灵活运用三角形三边关系，全等三角形的性质与判定是解题的关键．
36．(2023春•柘城县期中）如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是高，如果ED＝6cm，那么HF的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【分析】根据D、E、F分别是AB，AC的中点，可知DE为△ABC的中位线，根据DE的长度可求得AC的长度，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得HF＝AC，即可求解．
【解答】解：∵D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∵ED＝6cm，
∴AC＝2DE＝2×6＝12（cm），
∵AH⊥CD，且F为AC的中点，
∴HF＝AC＝6cm．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理及直角三角形斜边中线的性质，解答本题关键是性质定理的掌握，难度一般．
37．(2023春•西平县期中）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，AC＝10，点F是DE上一点，DF＝1，连接AP，CF．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（ ）
A．18B．16C．14D．12
【分析】根据直角三角形的性质求出EF，进而求出DE，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【解答】解：∵∠AFC＝90°，点E是AC的中点，AC＝10，
∴EF＝AC＝×10＝5，
∵DF＝1，
∴DE＝DF+EF＝6，
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴BC＝2DE＝12，
故选：D．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
38．(2023春•琼海期中）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【分析】过A作AH⊥BC于H，通过解直角三角形，即可得到AH的长，进而得到平行四边形ABCD的面积，再根据全等三角形的性质，即可得到图中阴影部分的面积＝×S▱ABCD．
【解答】解：作AM⊥BC于M，如图所示：
则∠AMB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝×2＝1，
在Rt△ABM中，AB2＝AM2+BM2，
∴AM＝＝＝，
∴S平行四边形ABCD＝BC•AM＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BO＝DO，
∴∠OBE＝∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴S△BOE＝S△DOF，
∴图中阴影部分的面积＝▱ABCD的面积＝，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形与四边形的面积关系，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
39．(2023春•东光县期中）如图，在▱ABCD中，AD＞AB，以点A为圆心，AB长为半径画弧与AD交于点F，然后分别以B，F为圆心，大于之BF的长为半径画弧交于点G，连接AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝4，则AE的长为（ ）
A．B．2C．5D．10
【分析】设AE交BF于点O，证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出OA即可解决问题．
【解答】解：设AE交BF于点O，连接EF，如图所示：
由题意可知：AB＝AF，AE⊥BF，
∴OB＝OF，∠BAE＝∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝AF，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴OA＝OE，OB＝OF＝BF＝3，
在Rt△AOB中，OA＝，
∴AE＝2OA＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是判定四边形ABEF是菱形．
40．(2023秋•长安区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AM⊥BC于点M，交BD于点E，过点C作CN⊥AD于点N，交BD于点F，连接CE，若EA＝EC，点M为BC的中点，，则AE的值为（ ）
A．B．1C．2D．3
【分析】根据平行四边形的性质、垂直的定义、平行线的判定定理可以推知AE∥CF；然后由全等三角形的判定定理ASA推知△ADE≌△CBF；最后根据全等三角形的对应边相等知AE＝CF，所以对边平行且相等的四边形是平行四边形；连接AC交BF于点O，根据EA＝EC推知平行四边形ABCD是菱形，根据菱形的邻边相等知AB＝BC；然后结合已知条件证得△ADE≌△CBF（ASA），所以AE＝CF，从而证得△ABC是正三角形；最后在Rt△BCF中，求得，利用等量代换求解即可．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD；
∴∠ADE＝∠CBD，
∵AD＝BC，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE＝CF，
又∵AM⊥BC，
∴AM⊥AD；
∵CN⊥AD，
∴AM∥CN，
∴AE∥CF；
∴四边形AECF为平行四边形，
∵EA＝EC，
∴平行四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵M是BC的中点，AM⊥BC，
∴AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，∠CBD＝30°；
在Rt△BCF中，，
又∵AE＝CF，，
∴AE＝2．
故选：C．
【点评】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识点，证得▱ABCD是菱形是解题的难点．
41．(2023春•广汉市期中）如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（ ）
A．MB＝MOB．OM＝ACC．BD⊥ACD．∠AMB＝∠CND
【分析】由平行四边形的性质可知，OA＝OC，OB＝OD，再证OM＝ON，则四边形AMCN是平行四边形，然后证MN＝AC，即可得出结论．
【解答】解：添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是OM＝AC，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，
即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵OM＝AC，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
42．(2023秋•碑林区校级期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB＝ADB．OA＝OBC．AB⊥ADD．∠ABO＝∠BAO
【分析】根据矩形的定义及其判定对各选项逐一判断即可得．
【解答】解：∵四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝AD时，可判定四边形ABCD是菱形；
当AB⊥AD时，可判定四边形ABCD是矩形；
当OA＝OB时，AC＝BD，可判定四边形ABCD是矩形；
当∠BAO＝∠ABO时，
∴OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
43．(2023秋•沙坪坝区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（ ）
A．4B．4.5C．5D．5.5
【分析】由菱形的性质得出BD＝12，由菱形的面积得出AC＝9，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD＝BD，BD⊥AC，
∴BD＝2OB＝12，
∵S菱形ABCD＝AC•BD＝54，
∴AC＝9，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝4.5，
故选：B．
【点评】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
44．(2023秋•苍南县期中）如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交CD于点M．若AH＝GH，则CM的长为（ ）
A．B．C．1D．
【分析】过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交于点K，L利用已知条件和正方形的性质得到△ABF为等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一性质，平行线的性质，对顶角相等和等量代换得到△MCF为等腰三角形，再利用等腰三角形的三线合一的性质和勾股定理解答即可得出结论．
【解答】解：过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交于点K，如图，
∵四边形EFGH是正方形，
∴HE＝HG＝GF＝EF，AH∥GF，
∵AH＝GH，
∴AH＝HE＝GF＝EF．
由题意得：Rt△ABE≌Rt△BCF≌Rt△ADH≌Rt△CDG，
∴BE＝CF＝AH＝DG，∠BAE＝∠DCG．
∴BE＝EF＝GF＝FC．
∵AE⊥BF，
∴AB＝AF，
∴∠BAE＝∠FAE，
∴∠DCG＝∠FAE，
∵AE∥GC，
∴∠FAE＝∠GFK．
∵∠GFK＝∠CFM，
∴∠CFM＝∠DCG，
∴MF＝MC，
∵MN⊥FC，
∴FN＝NC＝FC．
延长BF交CD于点P，如图，
∵PF∥MN，
∴MN为△CFP的中位线，
∴CM＝CP，
同理：PF为△CGD的中位线，
∴CP＝CD，
∴CM＝CD，
∴CM＝．
解法二：过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交于点K，如图，
∵四边形EFGH是正方形，
∴HE＝HG＝GF＝EF，AH∥GF，
∵AH＝GH，
∴AH＝HE＝GF＝EF．
由题意得：Rt△ABE≌Rt△BCF≌Rt△ADH≌Rt△CDG，
∴BE＝CF＝AH＝DG，∠BAE＝∠DCG．
∴BE＝EF＝GF＝FC．
∵AE⊥BF，
∴AB＝AF，
∴∠BAE＝∠FAE，
∴∠DCG＝∠FAE，
∵AE∥GC，
∴∠FAE＝∠GFK．
∵∠GFK＝∠CFM，
∴∠CFM＝∠DCG，
∴MF＝MC，
设MF＝MC＝x，则AM＝5+x，DM＝5﹣x，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：
52+（5﹣x）2＝（5+x）2，
解得：x＝．
∴CM＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，依据题意恰当的添加辅助线是解题的关键．
45．(2023春•顺德区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．24B．48C．72D．96
【分析】由菱形的性质得OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，则AC＝12，再由直角三角形斜边上的中线性质求出BD的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，
∴AC＝12，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴BD＝2OH＝2×4＝8，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×12×8＝48，
故选：B．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，求出BD的长是解题的关键．
46．(2023秋•北票市期中）如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：
①∠ABE＝∠DCE；
②AG⊥BE；
③S△BHE＝S△CHD；
④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（ ）
A．①③B．①②③④C．①②③D．①③④
【分析】根据正方形的性质证得△BAE≌△CDE，推出∠ABE＝∠DCE，可知①正确；利用正方形性质证△ADH≌△CDH，求得∠HAD＝∠HCD，推出∠ABE＝∠HAD；求出∠ABE+∠BAG＝90°；最后在△AGE中根据三角形的内角和是180°求得∠AGE＝90°即可得到②正确．根据AD∥BC，求出S△BDE＝S△CDE，推出S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE＝S△CHD，故③正确；由∠AHD＝∠CHD，得到邻补角和对顶角相等得到∠AHB＝∠EHD，故④正确；
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，
∴AE＝DE，AB＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，
∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴∠ABE＝∠DCE，
故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，DH＝DH，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴∠HAD＝∠HCD，
∵∠ABE＝∠DCE
∴∠ABE＝∠HAD，
∵∠BAD＝∠BAH+∠DAH＝90°，
∴∠ABE+∠BAH＝90°，
∴∠AGB＝180°﹣90°＝90°，
∴AG⊥BE，
故②正确；
∵AD∥BC，
∴S△BDE＝S△CDE，
∴S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，
即；S△BHE＝S△CHD，
故③正确；
∵△ADH≌△CDH，
∴∠AHD＝∠CHD，
∴∠AHB＝∠CHB，
∵∠BHC＝∠DHE，
∴∠AHB＝∠EHD，
故④正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，解答本题要充分利用正方形的特殊性质：①四边相等，两两垂直； ②四个内角相等，都是90度； ③对角线相等，相互垂直，且平分一组对角．
47．(2023春•滨州期中）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE，EF⊥AE于点E，交DC于点F，连接AF，已知BC＝4，DE＝3，则△ADE的面积为（ ）
A．6B．5C．10D．
【分析】由正方形的性质求得∠DAB＝90°，AD＝AB＝BC＝4，再求出△ABD的面积以及用勾股定理求得BD的长，进而求出△ADE的底边DE和△ABD的底边BD的关系即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，BC＝4，
∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝BC＝4，
∴，，
∵，
∴，
∴S△ADE＝S△ABD＝×8＝6，
故选：A．
【点评】本题主要考查了正方形性质的应用以及勾股定理的应用，熟练应用勾股定理求线段长是解题的关键．
48．(2023春•铜山区期中）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一动点，且点P不与点B、C重合．作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连结EF，取EF的中点M，则PM的最小值为（ ）
A．2B．2.4C．3D．2.5
【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，由勾股定理可求BC的长，可证四边形OEPF是矩形，可得EF＝OP且MP＝OP，OP⊥BC时，OP有最小值，由面积法可求解．
【解答】解：连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，
∴BC＝＝10，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴∠FOE＝∠PEO＝∠PFO＝90°
∴四边形OEPF是矩形，
∴FE＝OP，
∵当OP⊥BC时，OP有最小值，
此时S△OBC＝OB•OC＝BC•OP，
∴OP＝＝4.8，
∴EF的最小值为4.8，
∴MP的最小值＝×4.8＝2.4．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解本题的关键．
49．(2023春•岱岳区期中）如图，在边长为10的正方形ABCD中，点P为对角线AC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，则EF的最小值为（ ）
A．B．C．5D．
【分析】连接BP，根据PE⊥AB，PF⊥BC得到四边形PEBF为矩形，得EF＝BP，BP最短时即BP⊥AC，即可求解．
【解答】解：连接BP，如图，
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝10，
∴AC＝，△ABC是等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴四边形PEBF为矩形，
∴EF＝BP，
当BP⊥AC时，BP最短，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BP是AC边上的中线，
∴BP＝AC＝，
∴EF得最小值为．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及垂线段最短问题，解题的关键是利用矩形的对角线相等．
50．(2023春•隆阳区期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，点D是BC上的一动点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E，F，则EF的最小值为（ ）
A．5B．4.8C．3D．2.4
【分析】连接DA，由勾股定理求出BC＝10，再证四边形FDEA是矩形，得EF＝AD，然后由垂线段最短可得DA⊥BC时，线段EF的值最小，最后由三角形的面积公式求出DA的长，即可得出答案．
【解答】解：如图，连接CD，
∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，
∴BC＝，
∵DE⊥AB，DF⊥CA，
∴∠DEA＝∠DFA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形FDEA是矩形，
∴EF＝DA，
由垂线段最短可得：DA⊥BC时，线段DA的值最小，即线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝•AB•AC＝•BC•AD，
即×6×8＝×10×AD，
解得：DA＝＝4.8，
∴EF的最小值为4.8．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
51．(2023春•巧家县期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝4，P为BC上一动点，过P点作PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，P在运动过程中EF的最小值为（ ）
A．3B．3.8C．4D．6
【分析】证四边形AEPF是矩形，得EF＝AP，要使EF最小，只要AP最小即可，再根据垂线段最短和三角形面积求出AP的长即可．
【解答】解：如图，连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
当AP⊥BC时，AP最短，
∵∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴BC＝＝＝10，
∵△ABC的面积＝AC•AB＝BC•AP，
即×4×2＝×10×AP，
∴AP＝4，
即P在运动过程中EF的最小值为4，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键．
52．(2023春•灌南县期中）如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G则下列结论：①∠ABE＝∠DCE；②∠AHB＝∠EHD，③S△BHE＝S△CHD；④AG⊥BE．其中正确的是（ ）
A．①③B．①②③C．①③④D．①②③④
【分析】根据正方形的性质证得△BAE≌△CDE，推出∠ABE＝∠DCE，可知①正确；利用正方形性质证△ADH≌△CDH，求得∠HAD＝∠HCD，推出∠ABE＝∠HAD；求出∠ABE+∠BAG＝90°；最后在△AGE中根据三角形的内角和是180°求得∠AGE＝90°即可得到②正确．根据AD∥BC，求出S△BDE＝S△CDE，推出S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，即S△BHE＝S△CHD，故③正确；由∠AHD＝∠CHD，得到邻补角和对顶角相等得到∠AHB＝∠EHD，故④正确；
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，
∴AE＝DE，AB＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，
∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴∠ABE＝∠DCE，
故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，DH＝DH，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴∠HAD＝∠HCD，
∵∠ABE＝∠DCE
∴∠ABE＝∠HAD，
∵∠BAD＝∠BAH+∠DAH＝90°，
∴∠ABE+∠BAH＝90°，
∴∠AGB＝180°﹣90°＝90°，
∴AG⊥BE，
故④正确；
∵AD∥BC，
∴S△BDE＝S△CDE，
∴S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，
即S△BHE＝S△CHD，
故③正确；
∵△ADH≌△CDH，
∴∠AHD＝∠CHD，
∴∠AHB＝∠CHB，
∵∠BHC＝∠DHE，
∴∠AHB＝∠EHD，
故②正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，解答本题要充分利用正方形的特殊性质：①四边相等，两两垂直； ②四个内角相等，都是90度； ③对角线相等，相互垂直，且平分一组对角．
53．(2023春•兰山区期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，AC不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠EGF＝∠ADE；④FG的最小值为2，其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①连接BE，易知四边形EFBG为矩形，可得BE＝FG；由△AEB≌△AED可得DE＝BE，所以DE＝FG；
②延长DE，交FG于M，交FB于点H，由矩形EFBG可得OF＝OB，则∠OBF＝∠OFB；由∠OBF＝∠ADE，则∠OFB＝∠ADE；由四边形ABCD为正方形可得∠BAD＝90°，即∠AHD+∠ADH＝90°，所以∠AHD+∠OFH＝90°，即∠FMH＝90°，可得DE⊥FG；
③由②中的结论可得∠BFG＝∠ADE；
④由于点E为AC上一动点，当DE⊥AC时，根据垂线段最短可得此时DE最小，最小值为，由①知FG＝DE，所以FG的最小值为2；
【解答】解：①连接BE，交FG于点O，如图，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB＝∠EGB＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EFBG为矩形．
∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°．
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS）．
∴BE＝DE．
∴DE＝FG．
∴①正确；
②延长DE，交FG于M，交FB于点H，
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE．
由①知：OB＝OF，
∴∠OFB＝∠ABE．
∴∠OFB＝∠ADE．
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADE+∠AHD＝90°．
∴∠OFB+∠AHD＝90°．
即：∠FMH＝90°，
∴DE⊥FG．
∴②正确；
③由②知：∠OFB＝∠ADE．
即：∠BFG＝∠ADE．
∴③正确；
④∵点E为AC上一动点，
∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小．
∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
∴AC＝．
∴DE＝AC＝2．
由①知：FG＝DE，
∴FG的最小值为2，
∴④错误．
综上，正确的结论为：①②③．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，垂线段最短，三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，垂直的定义．根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法．
54．(2023春•巴东县期中）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF； ②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF＝EF，⑤EF＝2CG，其中正确结论有（ ）个．
A．5B．4C．3D．2
【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE＝∠DAF，BE＝DF，由正方形的性质就可以得出EC＝FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC＝x，BE＝y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，即可以得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°．
∴∠BAE+∠DAF＝30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
故①正确；
∠BAE＝∠DAF，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝60°，
∴∠DAF+∠DAF＝30°，
即∠DAF＝15°
故②正确；
∵BC＝CD，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF，
∵AE＝AF，
∴AC垂直平分EF，
故③正确；
∵AC垂直平分EF，
∴G为EF的中点，
∴GE＝GF，
∵△ECF为等腰直角三角形，
∴CG＝EG＝FG，
∴EF＝2GC，
故⑤正确；
∴AC＝，
∴AB＝，
∴BE＝﹣x＝，
∴BE+DF＝x﹣x≠x，
故④错误，
综上所述，正确的有4个，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，掌握运用勾股定理的性质是解题的关键．
55．(2023春•沿河县期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF，给出下列结论：①PD＝EC；②AP＝EF；③AP⊥EF；④EF的最小值为2；⑤△APD可能是等腰三角形．其中正确结论的序号为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据垂直的定义得到∠PEF＝∠PFC＝90°，推出四边形PECF是矩形，根据矩形的性质得到EC＝PF．根据正方形的性质得到∠PDF＝45°，求得△PDF是等腰直角三角形，得到PD＝PF＝EC，①正确；延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M．推出四边形BNPE是正方形，∠ANP＝∠EPF，根据全等三角形的性质得到AP＝EF；故②正确；根据垂直的定义得到AP⊥EF，故③正确；当CP⊥BD时，CP最小，即EF最小，此时△BPC是等腰直角三角形，斜边为BC＝4，于是得到EF的最小值为2，故④正确；当∠PAD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等腰三角形，故⑤错误．
【解答】解：∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEF＝∠PFC＝90°，
又∠C＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EC＝PF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PDF＝45°，
∴△PDF是等腰直角三角形，
∴PD＝PF＝EC，①正确；
延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M．
∵四边形ABCD是正方形．
∴∠ABP＝∠CBD
又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴四边形BNPE是正方形，∠ANP＝∠EPF，
∴NP＝EP，
∴AN＝PF，
在△ANP与△FPE中，
，
∴△ANP≌△FPE（SAS），
∴AP＝EF；故②正确；
∠PFE＝∠BAP，
△APN与△FPM中，∠APN＝∠FPM，∠NAP＝∠PFM，
∴∠PMF＝∠ANP＝90°，
∴AP⊥EF，故③正确；
∵矩形PECF中，EF＝CP，
∴当CP⊥BD时，CP最小，即EF最小，
此时△BPC是等腰直角三角形，斜边为BC＝4，
则CP＝BC＝2，
∴EF的最小值为2，故④正确；
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°，
∴当∠PAD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，故⑤正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、垂线段最短、矩形的判定和性质，解决线段间的数量关系，可以借助特殊三角形的性质求解，转化线段是解决本题的关键．
56．(2023春•抚远市期中）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DF．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝，下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为；④S△APD+S△APB＝1+．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③①D．①③④
【分析】①利用同角的余角相等，易得∠EAB＝∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；
②利用①中的全等，可得∠APD＝∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP＝90°，即可证；
③过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP＝90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；
④连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可；
【解答】解：①∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，
∴∠EAB＝∠PAD，
又∵AE＝AP，AB＝AD，
∵在△APD和△AEB中，
，
∴△APD≌△AEB（SAS）；
故此选项正确；
②∵△APD≌△AEB，
∴∠APD＝∠AEB，
∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP＝∠PAE＝90°，
∴EB⊥ED；
故此选项正确；
③过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE＝AP，∠EAP＝90°，
∴∠AEP＝∠APE＝45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB＝∠FBE＝45°，
又∵BE＝＝＝，
∴BF＝EF＝，
∴点B到直线AE的距离为．
故此选项正确；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE＝AP＝1，
∴EP＝，
又∵PB＝，
∴BE＝，
∵△APD≌△AEB，
∴PD＝BE＝，
∴S△ABP+S△ADP＝S△ABD﹣S△BDP＝S正方形ABCD﹣×DP×BE＝×（4+ ）﹣××＝+．
故此选项不正确．
∴正确的有①②③，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识．
57．(2023春•鹤城区校级期中）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，AE＝6，BE＝2，点M是DE的中点，若点P在正方形ABCD的边上，且PM＝5，则符合条件的点P的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据正方形性质分情况解答即可．
【解答】解：∵点E在正方形ABCD的边AB上，AE＝6，BE＝2，
∴AD＝AB＝AE+BE＝8，
由勾股定理得：，
因为点M是DE的中点，则点D、E是符合条件的点；
连接AM，则，则点A符合条件；
过点E作EF⊥CD于点F，
则四边形AEFD是矩形，可得MF＝5，则点F符合条件；
取AD的中点为G，连接GM并延长交BC于点H，
由三角形中位线定理，可得，GH∥AB，则GH＝8，MH＝5，则点H也符合条件，
综上所述，符合条件的点共有5个，
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段的长度得出．
58．(2023春•镜湖区校级期中）如图，矩形ABCD中，，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是（ ）
A．12.5B．12C．10D．10.5
【分析】根据线段中点的定义可得CG＝DG，然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝CF，EG＝FG，设DE＝x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF＝EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC＝AD．
【解答】解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB＝，
∴CG＝DG＝CD＝AB＝×＝，
在△DEG和△CFG中，
，
∴△DEG≌△CFG（ASA），
∴DE＝CF，EG＝FG，
设DE＝x，
则BF＝BC+CF＝AD+CF＝AE+DE+DE＝6+x+x＝6+2x，
在Rt△DEG中，，
∴，
∵FH垂直平分BE，
∴BF＝EF，
∴6+2x＝，
解得x＝4，
经检验：x＝4是方程的解，
∴AD＝AE+DE＝6+4＝10，
∴BC＝AD＝10．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
59．(2023春•濮阳期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，点D是BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）
A．B．13C．D．
【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12，
∴BC＝＝13，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝＝，
∴MN的最小值为；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
60．(2023春•玉州区期中）在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠ADB的平分线交AB于点E，交AC于点G．过点E作EF⊥BD于点F，点M在OC上，连接DM，下列结论：
①AD＝（+1）AE：
②四边形AEFG是菱形；
③BE＝OG；
④若∠EDM＝45°，则GF＝CM．
其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】设AE＝x，则BE＝x，可算出AD＝（+1）x＝（+1）AE，故①正确；先证明△AEG≌△FEG，再由AG∥EF得∠AGE＝∠AEG，即AE＝AG，四边形AEFG是菱形，故②正确；由AG＝x，AB＝（+1）x得AO＝＝（+1）x，可求出OG＝x＝BE，故③错误；由四边形AEFG是菱形证明△GDF≌△MDC，即可得GF＝CM，故④正确．
【解答】解：∵DE平分∠ADB，EF⊥BD，AE⊥AD，
∴AE＝EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，
∴EF＝BF，
设AE＝x，则BE＝x，
∴AD＝AB＝AE+BE＝（+1）x＝（+1）AE，故①正确；
在△AEG和△FEG中，
，
∴△AEG≌△FEG（SAS），
∴AG＝FG，∠AEG＝∠FEG，
∵AG∥EF，
∴∠FEG＝∠AGE，
∴∠AGE＝∠AEG，
∴AE＝AG，
∴四边形AEFG是菱形，故②正确；
由①②知，AG＝x，AB＝（+1）x，
∴AO＝＝（+1）x，
∴OG＝AO﹣AG＝x＝BE，
∴BE＝2OG，故③错误；
∵BD＝AC＝2OA＝（+2）x，EF＝BF＝AE＝x，
∴DF＝（+1）x＝CD，
∵四边形AEFG是菱形，
∴∠EFG＝∠BAC＝45°，
∴∠DFG＝45°＝∠DCM，
∵∠EDM＝45°＝∠ODC，
∴∠GDF＝∠MDC，
∴△GDF≌△MDC（ASA），
∴GF＝CM，故④正确．
故选：C．
【点评】此题考查了正方形的性质、角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质．此题综合性较强，难度较大．设出未知数、利用好正方形的性质是解决此题的关键．
1．(2023秋•洛宁县期中）计算式子（﹣2）2021（+2）2020的结果是（ ）
A．﹣1B．﹣2C．2﹣D．1
2．(2023春•饶平县校级期中）设x＝，y＝，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＞yB．x≥yC．x＜yD．x＝y
3．(2023秋•北碚区校级期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ）
A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定
4．(2023秋•上城区校级期中）实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣a+|b﹣a|+的结果是（ ）
A．﹣b﹣cB．c﹣bC．2a﹣2b+2cD．2a+b+c
5．(2023秋•武侯区校级期中）已知，则代数式x2﹣2x﹣6的值是（ ）
A．B．﹣10C．﹣2D．
6．(2023春•东平县期中）已知a满足|2018﹣a|+＝a，则a﹣20182＝（ ）
A．0B．1C．2018D．2019
7．(2023春•潍坊期中）如果ab＞0，a+b＜0，那么下列各式中正确的是（ ）
A．＝B．×＝1C．＝bD．（）2＝﹣ab
8．(2023秋•汝阳县期中）下列运算正确的是（ ）
A．4×2＝24B．﹣＝
C．＝3D．＝2﹣
9．(2023春•越秀区校级期中）当时，代数式x2+2x+2的值是（ ）
A．23B．24C．25D．26
10．(2023春•威海期中）化简二次根式的结果为（ ）
A．﹣2aB．2aC．2aD．﹣2a
11．(2023秋•南江县校级期中）若，则（ ）
A．b＞3B．b＜3C．b≥3D．b≤3
12．(2023春•芝罘区期中）如果ab＞0，a+b＜0，那么下列各式：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
13．(2023春•尧都区期中）若•＝，则a的取值范围是（ ）
A．a≥2B．a≥﹣2C．a≥24D．2≥a≥﹣2
14．(2023春•尧都区期中）已知是一个正整数，则正整数a的最小值为（ ）
A．0B．6C．3D．2
15．(2023春•高青县期中）如图、在一个长方形中无重叠的放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A．（4﹣2）cm2B．（8﹣4）cm2C．（8﹣12）cm2D．8cm2
16．(2023秋•锡山区期中）根据下列条件不能判定三角形是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝2：3：5B．a：b：c＝5：3：4
C．a＝，b＝，c＝D．∠A+∠B＝2∠C
17．(2023春•静海区校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB＝17，BD＝15，DC＝6，则AC的长为（ ）
A．11B．10C．9D．8
18．(2023秋•宝丰县期中）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线AB单向单排通过校门口，测温仪C与直线AB的距离为3m，已知测温仪的有效测温距离为5m，则学生沿直线AB行走时测温的区域长度为（ ）
A．4 mB．5mC．6mD．8m
19．(2023春•确山县期中）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（ ）米．
A．4B．4.5C．5D．5.5
20．(2023春•海淀区校级期中）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）
A．16B．25C．144D．169
21．(2023春•定远县期中）将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是（ ）
A．5B．C．10﹣D．15﹣
22．(2023秋•麻阳县校级期中）若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
23．(2023春•曲阜市期中）意大利著名画家达•芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2，则下列表示S1，S2的等式成立的是（ ）
A．S1＝a2+b2+2abB．S1＝a2+b2+ab
C．S2＝c2D．S2＝c2+ab
24．(2023秋•恩施市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，一条线段PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则AP的值为（ ）
A．6cmB．12cm
C．12cm或6cmD．以上答案都不对
25．(2023春•渝中区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的实数是（ ）
A．B．﹣1C．+1D．1﹣
26．(2023春•雄县期中）一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．若轮船速度为25km/h，轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间是（ ）
A．5hB．4hC．3.5hD．3h
27．(2023春•尧都区期中）元宵节是我国的传统文化节日，做花灯、赏花灯是传统节日中的重要活动内容．小明在完成综合实践活动做花灯的过程中，花灯底部需要做个对角线互相垂直的矩形铁丝网固定花灯的形状，该矩形铁丝网的面积为800cm22，则底部一条对角线所用的铁丝至少需（ ）
A．40cmB．40cmC．80cmD．80cm
28．(2023春•文登区期中）“绿水青山，就是金山银山”，党的十八大以来，生态文明建设，可持续发展理念深入人心，我们泰安的城市绿化率持续增加．△ABC是某小区一块三角形空地，已知∠B＝150°，AB＝30m，BC＝20m，如果在这块空地上种草皮，每平方米草皮费用按120元计算，则这块空地种植草皮需要资金（ ）元．
A．36000B．24000C．18000D．12000
29．(2023春•黔东南州期中）有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度与这根芦苇的长度分别是（ ）
A．12，13B．13，12
C．25，24D．以上答案都不对
30．(2023秋•电白区期中）在北京召开的国际数学家大会会标，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积为13，小正方形的面积是1，较长的直角边为a，较短的直角边为b，则（a+b）2的值为（ ）
A．13B．19C．25D．169
31．(2023春•嘉祥县期中）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．OA＝OC，OB＝ODB．AB＝CD，AO＝CO
C．AB＝CD，AD＝BCD．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
32．(2023春•隆阳区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，若OE＝10，则AB的长为（ ）
A．20B．22C．24D．26
33．(2023春•柘城县期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝12，BE＝ED＝5，AC＝26，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．100B．130C．60D．120
34．(2023春•兰溪市期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AB＝4，AD＝8，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（ ）
A．2B．C．D．
35．(2023春•丹江口市期中）如图，四边形ABCD中，AB＝6，CD＝8，E，F分别是AD，BC的中点，则EF长x的取值范围为（ ）
A．6＜x＜8B．2＜x＜14C．1＜x≤7D．3＜x＜4
36．(2023春•柘城县期中）如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是高，如果ED＝6cm，那么HF的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
37．(2023春•西平县期中）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，AC＝10，点F是DE上一点，DF＝1，连接AP，CF．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（ ）
A．18B．16C．14D．12
38．(2023春•琼海期中）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
39．(2023春•东光县期中）如图，在▱ABCD中，AD＞AB，以点A为圆心，AB长为半径画弧与AD交于点F，然后分别以B，F为圆心，大于之BF的长为半径画弧交于点G，连接AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝4，则AE的长为（ ）
A．B．2C．5D．10
40．(2023秋•长安区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AM⊥BC于点M，交BD于点E，过点C作CN⊥AD于点N，交BD于点F，连接CE，若EA＝EC，点M为BC的中点，，则AE的值为（ ）
A．B．1C．2D．3
41．(2023春•广汉市期中）如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（ ）
A．MB＝MOB．OM＝ACC．BD⊥ACD．∠AMB＝∠CND
42．(2023秋•碑林区校级期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB＝ADB．OA＝OBC．AB⊥ADD．∠ABO＝∠BAO
43．(2023秋•沙坪坝区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（ ）
A．4B．4.5C．5D．5.5
44．(2023秋•苍南县期中）如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交CD于点M．若AH＝GH，则CM的长为（ ）
A．B．C．1D．
45．(2023春•顺德区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．24B．48C．72D．96
46．(2023秋•北票市期中）如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：
①∠ABE＝∠DCE；
②AG⊥BE；
③S△BHE＝S△CHD；
④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（ ）
A．①③B．①②③④C．①②③D．①③④
47．(2023春•滨州期中）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE，EF⊥AE于点E，交DC于点F，连接AF，已知BC＝4，DE＝3，则△ADE的面积为（ ）
A．6B．5C．10D．
48．(2023春•铜山区期中）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一动点，且点P不与点B、C重合．作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连结EF，取EF的中点M，则PM的最小值为（ ）
A．2B．2.4C．3D．2.5
49．(2023春•岱岳区期中）如图，在边长为10的正方形ABCD中，点P为对角线AC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，则EF的最小值为（ ）
A．B．C．5D．
50．(2023春•隆阳区期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，点D是BC上的一动点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E，F，则EF的最小值为（ ）
A．5B．4.8C．3D．2.4
51．(2023春•巧家县期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝4，P为BC上一动点，过P点作PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，P在运动过程中EF的最小值为（ ）
A．3B．3.8C．4D．6
52．(2023春•灌南县期中）如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G则下列结论：①∠ABE＝∠DCE；②∠AHB＝∠EHD，③S△BHE＝S△CHD；④AG⊥BE．其中正确的是（ ）
A．①③B．①②③C．①③④D．①②③④
53．(2023春•兰山区期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，AC不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠EGF＝∠ADE；④FG的最小值为2，其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
54．(2023春•巴东县期中）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF； ②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF＝EF，⑤EF＝2CG，其中正确结论有（ ）个．
A．5B．4C．3D．2
55．(2023春•沿河县期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF，给出下列结论：①PD＝EC；②AP＝EF；③AP⊥EF；④EF的最小值为2；⑤△APD可能是等腰三角形．其中正确结论的序号为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
56．(2023春•抚远市期中）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DF．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝，下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为；④S△APD+S△APB＝1+．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③①D．①③④
57．(2023春•鹤城区校级期中）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，AE＝6，BE＝2，点M是DE的中点，若点P在正方形ABCD的边上，且PM＝5，则符合条件的点P的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
58．(2023春•镜湖区校级期中）如图，矩形ABCD中，，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是（ ）
A．12.5B．12C．10D．10.5
59．(2023春•濮阳期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，点D是BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）
A．B．13C．D．
60．(2023春•玉州区期中）在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠ADB的平分线交AB于点E，交AC于点G．过点E作EF⊥BD于点F，点M在OC上，连接DM，下列结论：
①AD＝（+1）AE：
②四边形AEFG是菱形；
③BE＝OG；
④若∠EDM＝45°，则GF＝CM．
其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
期中必刷真题01（选择易错60道提升练，八下人教）
一．选择题（共60小题）
1．(2023秋•洛宁县期中）计算式子（﹣2）2021（+2）2020的结果是（ ）
A．﹣1B．﹣2C．2﹣D．1
【分析】先根据积的乘方进行变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．
【解答】解：（﹣2）2021（+2）2020
＝[（﹣2）×（+2）]2020×（﹣2）
＝（﹣1）2020×（﹣2）
＝1×（﹣2）
＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式和积的乘方等知识点，能灵活运用平方差公式进行计算是解此题的关键，注意：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
2．(2023春•饶平县校级期中）设x＝，y＝，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＞yB．x≥yC．x＜yD．x＝y
【分析】把x的值分母有理化，再比较．
【解答】解：∵x＝＝3﹣＞0，y＝＜0．
∴x＞y，
故选：A．
【点评】化简，判断与两者互为相反数是解决本题的关键．
3．(2023秋•北碚区校级期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ）
A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定
【分析】先根据点a在数轴上的位置判断出a﹣4及a﹣11的符号，再把原式进行化简即可．
【解答】解：∵由图可知：4＜a＜10，
∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，
∴原式＝+
＝a﹣4+11﹣a＝7．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意得出a的取值范围是解答此题的关键．
4．(2023秋•上城区校级期中）实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣a+|b﹣a|+的结果是（ ）
A．﹣b﹣cB．c﹣bC．2a﹣2b+2cD．2a+b+c
【分析】根据数轴，确定a、b、c的正负，确定b﹣a的正负，然后再化简．
【解答】解：由数轴知：c＜0，b＜0＜a，
∴b﹣a＜0，
∴原式＝﹣a﹣（b﹣a）﹣c
＝﹣a﹣b+a﹣c
＝﹣b﹣c．
故选：A．
【点评】本题考查了数轴的相关知识，绝对值、二次根式的化简．两数相加，取决于绝对值较大的加数的符号，大数减小数为正，小数减大数为负．
5．(2023秋•武侯区校级期中）已知，则代数式x2﹣2x﹣6的值是（ ）
A．B．﹣10C．﹣2D．
【分析】求出x﹣1＝，再根据完全平方公式进行变形得出x2﹣2x﹣6＝（x﹣1）2﹣7，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵，
∴x﹣1＝，
∴x2﹣2x﹣6
＝（x﹣1）2﹣7
＝（）2﹣7
＝5﹣7
＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，能够整体代入是解此题的关键．
6．(2023春•东平县期中）已知a满足|2018﹣a|+＝a，则a﹣20182＝（ ）
A．0B．1C．2018D．2019
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出a的取值范围，化简绝对值即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：a﹣2019≥0，
∴a≥2019，
∴原式可变形为：a﹣2018+＝a，
∴＝2018，
∴a﹣2019＝20182，
∴a﹣20182＝2019．
故选：D．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
7．(2023春•潍坊期中）如果ab＞0，a+b＜0，那么下列各式中正确的是（ ）
A．＝B．×＝1C．＝bD．（）2＝﹣ab
【分析】利用二次根式的性质和实数的运算性质解答，对每个选项作出判断即可．
【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0，
∴a＜0，b＜0．
∴，无意义，
∴A的结论不正确；
∵＝＝1，
∴B的结论正确；
∵＝＝＝﹣b，
∴C的结论不正确；
∵＝ab，
∴D的结论不正确，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质和实数的运算性质，二次根式的乘除法，正确利用上述法则进行运算是解题的关键．
8．(2023秋•汝阳县期中）下列运算正确的是（ ）
A．4×2＝24B．﹣＝
C．＝3D．＝2﹣
【分析】分别利用二次根式的混合运算法则以及二次根式的性质化简求出即可．
【解答】解：A、4×＝24，故此选项正确，符合题意；
B、﹣无法计算，故此选项错误，不符合题意；
C、＝＝，故此选项错误，不符合题意；
D、＝﹣2，故此选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
9．(2023春•越秀区校级期中）当时，代数式x2+2x+2的值是（ ）
A．23B．24C．25D．26
【分析】将x的值代入原式＝x2+2x+1+1＝（x+1）2+1计算即可．
【解答】解：当x＝﹣1时，
原式＝x2+2x+1+1
＝（x+1）2+1
＝（）2+1
＝（）2+1
＝23+1
＝24，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的运算法则及完全平方公式．
10．(2023春•威海期中）化简二次根式的结果为（ ）
A．﹣2aB．2aC．2aD．﹣2a
【分析】先判断a的正负，再化简二次根式．
【解答】解：∵﹣8a3≥0，
∴a≤0
∴＝2|a|
＝﹣2a
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的化简，此题容易忘记判断a的正负而出错．
11．(2023秋•南江县校级期中）若，则（ ）
A．b＞3B．b＜3C．b≥3D．b≤3
【分析】等式左边为算术平方根，结果为非负数，即3﹣b≥0．
【解答】解：∵＝3﹣b，
∴3﹣b≥0，解得b≤3．
故选：D．
【点评】解答此题，要弄清以下问题：
1、定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时，表示a的算术平方根；当a＝0时，＝0；当a小于0时，二次根式无意义．2、性质：＝|a|．
12．(2023春•芝罘区期中）如果ab＞0，a+b＜0，那么下列各式：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】先根据ab＞0，a+b＜0得到a＜0，b＜0，然后利用二次根式的性质和二次根式的乘除运算法则逐个作出判断即可．
【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0，
∴a＜0，b＜0．
∴，无意义，①错误；
，②正确；
，③正确；
，④错误；
正确的有2个，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质和二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
13．(2023春•尧都区期中）若•＝，则a的取值范围是（ ）
A．a≥2B．a≥﹣2C．a≥24D．2≥a≥﹣2
【分析】根据二次根式的乘法的法则及二次根式有意义的条件进行分析即可．
【解答】解：∵•＝，
∴a+2≥0，a﹣2≥0，
解得：a≥﹣2，a≥2，
即a的范围为：a≥2．
故选：A．
【点评】本题主要考查二次根式的乘法，二次根式有意义的条件，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
14．(2023春•尧都区期中）已知是一个正整数，则正整数a的最小值为（ ）
A．0B．6C．3D．2
【分析】先分解质因数，再根据是一个正整数和a为正整数得出答案即可．
【解答】解：∵是一个正整数，
又∵72＝62×2，a为正整数，
∴正整数a的最小值为2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的定义，能正确分解质因数是解此题的关键．
15．(2023春•高青县期中）如图、在一个长方形中无重叠的放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A．（4﹣2）cm2B．（8﹣4）cm2C．（8﹣12）cm2D．8cm2
【分析】欲求S空白部分＝S矩形HLFG+S矩形MCEF，需求HC以及LM．由题意得S正方形ABCH＝HC2＝16cm2，S正方形LMEF＝LM2＝LF2＝12cm2，故HC＝4cm，LM＝LF＝2cm，进而解决此题．
【解答】解：如图．
由题意知：S正方形ABCH＝HC2＝16cm2，S正方形LMEF＝LM2＝LF2＝12cm2，
∴HC＝4cm，LM＝LF＝2cm．
∴S空白部分＝S矩形HLFG+S矩形MCDE
＝HL•LF+MC•ME
＝HL•LF+MC•LF
＝（HL+MC）•LF
＝（HC﹣LM）•LF
＝（4﹣2）×2
＝（8﹣12）（cm2）．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键．
16．(2023秋•锡山区期中）根据下列条件不能判定三角形是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝2：3：5B．a：b：c＝5：3：4
C．a＝，b＝，c＝D．∠A+∠B＝2∠C
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断选项B和选项C，根据三角形的内角和定理即可判断选项A和选项D．
【解答】解：A．∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C＝180＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵a：b：c＝5：3：4，
∴b2+c2＝a2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵a＝，b＝，c＝，
∴b2+c2＝a2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵∠A+∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3∠C＝180°，
∴∠C＝60°，
∴∠A+∠B＝120°，不能求出△ABC的一个角是直角，
即△ABC不一定是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，①三角形的内角和等于180°，②如果三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
17．(2023春•静海区校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB＝17，BD＝15，DC＝6，则AC的长为（ ）
A．11B．10C．9D．8
【分析】在△ABC中，AD⊥BC于点D，得出△ABD和△ADC是直角三角形；已知AB＝17，BD＝15，由勾股定理得到AD的长度，再结合DC＝6，利用勾股定理得到AC的长度．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°．
∵AB＝17，BD＝15，
∴AD＝＝8．
∵DC＝6，AD＝8，
∴AC＝＝10．
故选：B．
【点评】本题侧重考查知识点的理解、应用能力．本题是一道求三角形边的题目，需结合直角三角形的勾股定理进行求解．
18．(2023秋•宝丰县期中）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线AB单向单排通过校门口，测温仪C与直线AB的距离为3m，已知测温仪的有效测温距离为5m，则学生沿直线AB行走时测温的区域长度为（ ）
A．4 mB．5mC．6mD．8m
【分析】连接AC、BC，推理出AC＝BC＝5，过点C作CF⊥AB，易知CF＝3，然后在分别求出AF、CF的长，进而可得AB的长．
【解答】解：连接AC、BC，过点C作CF⊥AB于F，
因为测温仪的有效测温距离为5m，
所以AC＝BC＝5m，
又测温仪C与直线AB的距离为3m，
在Rt△ACF中，据勾股定理得：
AF＝＝＝4（m），
同理得BF＝4m，
所以AB＝8m，
即学生沿直线AB行走时测温的区域长度为8m．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
19．(2023春•确山县期中）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（ ）米．
A．4B．4.5C．5D．5.5
【分析】作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，根据AAS可证△AOF≌△OCG，根据全等三角形的性质可得OG＝4米，在Rt△AFO中，根据勾股定理可求AO，可求OB，再根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差CE．
【解答】解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，
∵∠AOC＝∠AOF+∠COG＝90°，
∠AOF+∠OAF＝90°，
∴∠COG＝∠OAF，
在△AOF与△OCG中，
，
∴△AOF≌△OCG（AAS），
∴OG＝AF＝BD＝4米，
设AO＝x米，
在Rt△AFO中，AF2+OF2＝AO2，即42+（x﹣1）2＝x2，
解得x＝8.5．
则CE＝GB＝OB﹣OG＝8.5﹣4＝4.5（米）．
故选：B．
【点评】考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
20．(2023春•海淀区校级期中）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）
A．16B．25C．144D．169
【分析】根据勾股定理解答即可．
【解答】解：
根据勾股定理得出：AB＝，
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是25，
故选：B．
【点评】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2解答．
21．(2023春•定远县期中）将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是（ ）
A．5B．C．10﹣D．15﹣
【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°，进而可得出答案．
【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10 ，
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin30°＝10 ×＝5 ，
CM＝BC×cs30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5 ，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5 ．
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．
22．(2023秋•麻阳县校级期中）若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【分析】首先根据题意由非负数的性质可得，进而得到a＝b，a2+b2＝c2，根据勾股定理逆定理可得△ABC的形状为等腰直角三角形．
【解答】解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，
∴a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0，
解得：a＝b，a2+b2＝c2，
∴△ABC的形状为等腰直角三角形；
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理以及非负数的性质，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
23．(2023春•曲阜市期中）意大利著名画家达•芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2，则下列表示S1，S2的等式成立的是（ ）
A．S1＝a2+b2+2abB．S1＝a2+b2+ab
C．S2＝c2D．S2＝c2+ab
【分析】根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题．
【解答】解：观察图象可知：S1＝S2＝a2+b2+ab＝c2+ab，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
24．(2023秋•恩施市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，一条线段PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则AP的值为（ ）
A．6cmB．12cm
C．12cm或6cmD．以上答案都不对
【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝6cm，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC＝12cm，P、C重合．
【解答】解：①当AP＝CB时，∠C＝∠QAP＝90°，
在Rt△APQ与Rt△CBA中，
，
∴Rt△APQ≌Rt△CBA（HL），
即AP＝BC＝6cm；
②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，
∠C＝∠QAP＝90°，
在Rt△QAP与Rt△BCA中，
，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），
即AP＝AC＝12cm．
综上所述，AP＝6cm或12cm．
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
25．(2023春•渝中区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的实数是（ ）
A．B．﹣1C．+1D．1﹣
【分析】利用勾股定理求出AC，在判断出OE的值即可解决问题
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，
∴AC＝＝＝，
∴AE＝AC＝，
∴OE＝﹣1，
∴点E表示的实数为﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理，实数与数轴等知识，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26．(2023春•雄县期中）一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．若轮船速度为25km/h，轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间是（ ）
A．5hB．4hC．3.5hD．3h
【分析】在Rt△ABD中，利用勾股定理求得BD的长度，则CD＝BC﹣BD；然后在Rt△ACD中，利用勾股定理来求AC的长度，则时间＝路程÷速度可求解．
【解答】解：由题意，得：AD＝60km，
在Rt△ABD中，AB＝100km，AD＝60km，
∴BD＝（km），
∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km），
∴在Rt△ACD中，AC＝＝75（km），
75÷25＝3（h）．
答：从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，属基础题目，比较简单．
27．(2023春•尧都区期中）元宵节是我国的传统文化节日，做花灯、赏花灯是传统节日中的重要活动内容．小明在完成综合实践活动做花灯的过程中，花灯底部需要做个对角线互相垂直的矩形铁丝网固定花灯的形状，该矩形铁丝网的面积为800cm22，则底部一条对角线所用的铁丝至少需（ ）
A．40cmB．40cmC．80cmD．80cm
【分析】设对角线的长是a，根据面积公式可求得对角线的长，从而可求得对角线所用的竹条至少需要多少．
【解答】解：∵对角线互相垂直的矩形是正方形，正方形的对角线相等，
设对角线的长是a，
根据正方形的面积等于对角线长乘积的一半，
则a2＝800，
解得a＝40（cm），
∴一条对角线所用的竹条至少需40cm．
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握角线互相垂直的矩形是正方形是解决问题的关键．
28．(2023春•文登区期中）“绿水青山，就是金山银山”，党的十八大以来，生态文明建设，可持续发展理念深入人心，我们泰安的城市绿化率持续增加．△ABC是某小区一块三角形空地，已知∠B＝150°，AB＝30m，BC＝20m，如果在这块空地上种草皮，每平方米草皮费用按120元计算，则这块空地种植草皮需要资金（ ）元．
A．36000B．24000C．18000D．12000
【分析】先作△ABC的高AD，求出∠ABD＝30°，再得出AD＝AB，再根据S△ABC＝•BC•AD求出三角形的面积，最后根据这种草皮每平方米120元，即可得出答案．
【解答】解：作△ABC的高AD，
∵∠ABC＝150°，
∴∠ABD＝180°﹣150°＝30°，
∴AD＝AB＝×30＝15（m），
∴S△ABC＝•BC•AD＝×20×15＝150（m2），
∵这种草皮每平方米120元，
∴购买这种草皮至少要150×120＝18000（元），
故选：C．
【点评】此题考查了含30度角的直角三角形，关键是作出辅助线，求出三角形的高和面积，熟练掌握30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
29．(2023春•黔东南州期中）有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度与这根芦苇的长度分别是（ ）
A．12，13B．13，12
C．25，24D．以上答案都不对
【分析】首先设这根芦苇的长度为x尺，水深为（x﹣1）尺，根据勾股定理可得方程，解方程即可．
【解答】解：设这根芦苇的长度为x尺，水深为（x﹣1）尺，
根据勾股定理得：
52+（x﹣1）2＝x2，
解得x＝13，
x﹣1＝12，
答：水的深度是12尺，这根芦苇的长度是13尺．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据勾股定理列出一元二次方程是解题的关键．
30．(2023秋•电白区期中）在北京召开的国际数学家大会会标，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积为13，小正方形的面积是1，较长的直角边为a，较短的直角边为b，则（a+b）2的值为（ ）
A．13B．19C．25D．169
【分析】根据大正方形的面积即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2＝c2，然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab即可求解．
【解答】解：设大正方形的边长为c，
∵大正方形的面积是13，
∴c2＝13，
∴a2+b2＝c2＝13，
∵直角三角形的面积是＝3，
又∵直角三角形的面积是ab＝3，
∴ab＝6，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+2×6＝13+12＝25．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．
31．(2023春•嘉祥县期中）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．OA＝OC，OB＝ODB．AB＝CD，AO＝CO
C．AB＝CD，AD＝BCD．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AB＝CD，AO＝CO不能判断四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意；
C、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
32．(2023春•隆阳区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，若OE＝10，则AB的长为（ ）
A．20B．22C．24D．26
【分析】先根据平行四边形的性质可得OB＝OD，再根据三角形中位线定理即可得．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，即点O是BD的中点，
又∵点E是AD的中点，
∴，
∵OE＝10，
∴AB＝2OE＝20，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．
33．(2023春•柘城县期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝12，BE＝ED＝5，AC＝26，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．100B．130C．60D．120
【分析】根据勾股定理求出CE＝13，得出AE＝13，再根据AE＝CE，BE＝DE，得出四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质，求出平行四边形的面积即可．
【解答】解：∵∠CBD＝90°，
∴△BEC为直角三角形，
∴，
∴AE＝AC﹣CE＝26﹣13＝13，
∴AE＝CE，
∵BE＝DE，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BD＝BE+ED＝5+5＝10，
∴S四边形ABCD＝BC×BD＝12×10＝120．
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理、平行四边形的判定，平行四边形面积的计算，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
34．(2023春•兰溪市期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AB＝4，AD＝8，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（ ）
A．2B．C．D．
【分析】如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先证明∠ACD＝90°，求出AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EF＝AG，求出AG的最大值以及最小值即可解决问题．
【解答】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，AD＝2AB＝8
∴∠D＝180°−∠BCD＝60°，AB＝CD＝4，
∵AM＝DM＝DC＝4，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC，
∴∠MAC＝∠MCA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴AC＝，
在Rt△ACN中，AC＝，∠ACN＝∠DAC＝30°，
∴AN＝AC＝，
∵AE＝EH，GF＝FH，
∴EF＝AG，
∵点G在BC上，
∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为，最小值为，
∴EF的最大值为，最小值为，
∴EF的最大值与最小值的差为：
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD＝90°，属于中考选择题中的压轴题．
35．(2023春•丹江口市期中）如图，四边形ABCD中，AB＝6，CD＝8，E，F分别是AD，BC的中点，则EF长x的取值范围为（ ）
A．6＜x＜8B．2＜x＜14C．1＜x≤7D．3＜x＜4
【分析】连接AF并延长至G，使得AF＝FG，连接CG、DG，证明△BAF≌△CGF，根据三角形三边关系，可得GD的范围，根据中位线的性质即可求解．
【解答】解：如图，连接AF并延长至G，使得AF＝FG，连接CG、DG，
∵F是BC的中点，
∴BF＝CF，
在△BAF与△CGF中，
，
∴△BAF≌△CGF（SAS），
∴AB＝CG，
∵AB＝6，CD＝8，
∴8﹣6＜DG＜8+6，
当∠ABC＝∠DCB＝90°时，G，D，C三点共线，
∴2＜DG≤14，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴，EF长x的取值范围为：1＜x≤7．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的中位线定理，准确作出辅助线并灵活运用三角形三边关系，全等三角形的性质与判定是解题的关键．
36．(2023春•柘城县期中）如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是高，如果ED＝6cm，那么HF的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【分析】根据D、E、F分别是AB，AC的中点，可知DE为△ABC的中位线，根据DE的长度可求得AC的长度，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得HF＝AC，即可求解．
【解答】解：∵D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∵ED＝6cm，
∴AC＝2DE＝2×6＝12（cm），
∵AH⊥CD，且F为AC的中点，
∴HF＝AC＝6cm．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理及直角三角形斜边中线的性质，解答本题关键是性质定理的掌握，难度一般．
37．(2023春•西平县期中）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，AC＝10，点F是DE上一点，DF＝1，连接AP，CF．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（ ）
A．18B．16C．14D．12
【分析】根据直角三角形的性质求出EF，进而求出DE，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【解答】解：∵∠AFC＝90°，点E是AC的中点，AC＝10，
∴EF＝AC＝×10＝5，
∵DF＝1，
∴DE＝DF+EF＝6，
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴BC＝2DE＝12，
故选：D．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
38．(2023春•琼海期中）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【分析】过A作AH⊥BC于H，通过解直角三角形，即可得到AH的长，进而得到平行四边形ABCD的面积，再根据全等三角形的性质，即可得到图中阴影部分的面积＝×S▱ABCD．
【解答】解：作AM⊥BC于M，如图所示：
则∠AMB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝×2＝1，
在Rt△ABM中，AB2＝AM2+BM2，
∴AM＝＝＝，
∴S平行四边形ABCD＝BC•AM＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BO＝DO，
∴∠OBE＝∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴S△BOE＝S△DOF，
∴图中阴影部分的面积＝▱ABCD的面积＝，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形与四边形的面积关系，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
39．(2023春•东光县期中）如图，在▱ABCD中，AD＞AB，以点A为圆心，AB长为半径画弧与AD交于点F，然后分别以B，F为圆心，大于之BF的长为半径画弧交于点G，连接AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝4，则AE的长为（ ）
A．B．2C．5D．10
【分析】设AE交BF于点O，证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出OA即可解决问题．
【解答】解：设AE交BF于点O，连接EF，如图所示：
由题意可知：AB＝AF，AE⊥BF，
∴OB＝OF，∠BAE＝∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝AF，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴OA＝OE，OB＝OF＝BF＝3，
在Rt△AOB中，OA＝，
∴AE＝2OA＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是判定四边形ABEF是菱形．
40．(2023秋•长安区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AM⊥BC于点M，交BD于点E，过点C作CN⊥AD于点N，交BD于点F，连接CE，若EA＝EC，点M为BC的中点，，则AE的值为（ ）
A．B．1C．2D．3
【分析】根据平行四边形的性质、垂直的定义、平行线的判定定理可以推知AE∥CF；然后由全等三角形的判定定理ASA推知△ADE≌△CBF；最后根据全等三角形的对应边相等知AE＝CF，所以对边平行且相等的四边形是平行四边形；连接AC交BF于点O，根据EA＝EC推知平行四边形ABCD是菱形，根据菱形的邻边相等知AB＝BC；然后结合已知条件证得△ADE≌△CBF（ASA），所以AE＝CF，从而证得△ABC是正三角形；最后在Rt△BCF中，求得，利用等量代换求解即可．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD；
∴∠ADE＝∠CBD，
∵AD＝BC，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE＝CF，
又∵AM⊥BC，
∴AM⊥AD；
∵CN⊥AD，
∴AM∥CN，
∴AE∥CF；
∴四边形AECF为平行四边形，
∵EA＝EC，
∴平行四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵M是BC的中点，AM⊥BC，
∴AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，∠CBD＝30°；
在Rt△BCF中，，
又∵AE＝CF，，
∴AE＝2．
故选：C．
【点评】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识点，证得▱ABCD是菱形是解题的难点．
41．(2023春•广汉市期中）如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（ ）
A．MB＝MOB．OM＝ACC．BD⊥ACD．∠AMB＝∠CND
【分析】由平行四边形的性质可知，OA＝OC，OB＝OD，再证OM＝ON，则四边形AMCN是平行四边形，然后证MN＝AC，即可得出结论．
【解答】解：添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是OM＝AC，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，
即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵OM＝AC，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
42．(2023秋•碑林区校级期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB＝ADB．OA＝OBC．AB⊥ADD．∠ABO＝∠BAO
【分析】根据矩形的定义及其判定对各选项逐一判断即可得．
【解答】解：∵四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝AD时，可判定四边形ABCD是菱形；
当AB⊥AD时，可判定四边形ABCD是矩形；
当OA＝OB时，AC＝BD，可判定四边形ABCD是矩形；
当∠BAO＝∠ABO时，
∴OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
43．(2023秋•沙坪坝区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（ ）
A．4B．4.5C．5D．5.5
【分析】由菱形的性质得出BD＝12，由菱形的面积得出AC＝9，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD＝BD，BD⊥AC，
∴BD＝2OB＝12，
∵S菱形ABCD＝AC•BD＝54，
∴AC＝9，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝4.5，
故选：B．
【点评】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
44．(2023秋•苍南县期中）如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交CD于点M．若AH＝GH，则CM的长为（ ）
A．B．C．1D．
【分析】过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交于点K，L利用已知条件和正方形的性质得到△ABF为等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一性质，平行线的性质，对顶角相等和等量代换得到△MCF为等腰三角形，再利用等腰三角形的三线合一的性质和勾股定理解答即可得出结论．
【解答】解：过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交于点K，如图，
∵四边形EFGH是正方形，
∴HE＝HG＝GF＝EF，AH∥GF，
∵AH＝GH，
∴AH＝HE＝GF＝EF．
由题意得：Rt△ABE≌Rt△BCF≌Rt△ADH≌Rt△CDG，
∴BE＝CF＝AH＝DG，∠BAE＝∠DCG．
∴BE＝EF＝GF＝FC．
∵AE⊥BF，
∴AB＝AF，
∴∠BAE＝∠FAE，
∴∠DCG＝∠FAE，
∵AE∥GC，
∴∠FAE＝∠GFK．
∵∠GFK＝∠CFM，
∴∠CFM＝∠DCG，
∴MF＝MC，
∵MN⊥FC，
∴FN＝NC＝FC．
延长BF交CD于点P，如图，
∵PF∥MN，
∴MN为△CFP的中位线，
∴CM＝CP，
同理：PF为△CGD的中位线，
∴CP＝CD，
∴CM＝CD，
∴CM＝．
解法二：过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交于点K，如图，
∵四边形EFGH是正方形，
∴HE＝HG＝GF＝EF，AH∥GF，
∵AH＝GH，
∴AH＝HE＝GF＝EF．
由题意得：Rt△ABE≌Rt△BCF≌Rt△ADH≌Rt△CDG，
∴BE＝CF＝AH＝DG，∠BAE＝∠DCG．
∴BE＝EF＝GF＝FC．
∵AE⊥BF，
∴AB＝AF，
∴∠BAE＝∠FAE，
∴∠DCG＝∠FAE，
∵AE∥GC，
∴∠FAE＝∠GFK．
∵∠GFK＝∠CFM，
∴∠CFM＝∠DCG，
∴MF＝MC，
设MF＝MC＝x，则AM＝5+x，DM＝5﹣x，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：
52+（5﹣x）2＝（5+x）2，
解得：x＝．
∴CM＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，依据题意恰当的添加辅助线是解题的关键．
45．(2023春•顺德区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．24B．48C．72D．96
【分析】由菱形的性质得OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，则AC＝12，再由直角三角形斜边上的中线性质求出BD的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，
∴AC＝12，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴BD＝2OH＝2×4＝8，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×12×8＝48，
故选：B．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，求出BD的长是解题的关键．
46．(2023秋•北票市期中）如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：
①∠ABE＝∠DCE；
②AG⊥BE；
③S△BHE＝S△CHD；
④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（ ）
A．①③B．①②③④C．①②③D．①③④
【分析】根据正方形的性质证得△BAE≌△CDE，推出∠ABE＝∠DCE，可知①正确；利用正方形性质证△ADH≌△CDH，求得∠HAD＝∠HCD，推出∠ABE＝∠HAD；求出∠ABE+∠BAG＝90°；最后在△AGE中根据三角形的内角和是180°求得∠AGE＝90°即可得到②正确．根据AD∥BC，求出S△BDE＝S△CDE，推出S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE＝S△CHD，故③正确；由∠AHD＝∠CHD，得到邻补角和对顶角相等得到∠AHB＝∠EHD，故④正确；
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，
∴AE＝DE，AB＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，
∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴∠ABE＝∠DCE，
故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，DH＝DH，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴∠HAD＝∠HCD，
∵∠ABE＝∠DCE
∴∠ABE＝∠HAD，
∵∠BAD＝∠BAH+∠DAH＝90°，
∴∠ABE+∠BAH＝90°，
∴∠AGB＝180°﹣90°＝90°，
∴AG⊥BE，
故②正确；
∵AD∥BC，
∴S△BDE＝S△CDE，
∴S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，
即；S△BHE＝S△CHD，
故③正确；
∵△ADH≌△CDH，
∴∠AHD＝∠CHD，
∴∠AHB＝∠CHB，
∵∠BHC＝∠DHE，
∴∠AHB＝∠EHD，
故④正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，解答本题要充分利用正方形的特殊性质：①四边相等，两两垂直； ②四个内角相等，都是90度； ③对角线相等，相互垂直，且平分一组对角．
47．(2023春•滨州期中）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE，EF⊥AE于点E，交DC于点F，连接AF，已知BC＝4，DE＝3，则△ADE的面积为（ ）
A．6B．5C．10D．
【分析】由正方形的性质求得∠DAB＝90°，AD＝AB＝BC＝4，再求出△ABD的面积以及用勾股定理求得BD的长，进而求出△ADE的底边DE和△ABD的底边BD的关系即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，BC＝4，
∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝BC＝4，
∴，，
∵，
∴，
∴S△ADE＝S△ABD＝×8＝6，
故选：A．
【点评】本题主要考查了正方形性质的应用以及勾股定理的应用，熟练应用勾股定理求线段长是解题的关键．
48．(2023春•铜山区期中）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一动点，且点P不与点B、C重合．作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连结EF，取EF的中点M，则PM的最小值为（ ）
A．2B．2.4C．3D．2.5
【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，由勾股定理可求BC的长，可证四边形OEPF是矩形，可得EF＝OP且MP＝OP，OP⊥BC时，OP有最小值，由面积法可求解．
【解答】解：连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，
∴BC＝＝10，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴∠FOE＝∠PEO＝∠PFO＝90°
∴四边形OEPF是矩形，
∴FE＝OP，
∵当OP⊥BC时，OP有最小值，
此时S△OBC＝OB•OC＝BC•OP，
∴OP＝＝4.8，
∴EF的最小值为4.8，
∴MP的最小值＝×4.8＝2.4．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解本题的关键．
49．(2023春•岱岳区期中）如图，在边长为10的正方形ABCD中，点P为对角线AC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，则EF的最小值为（ ）
A．B．C．5D．
【分析】连接BP，根据PE⊥AB，PF⊥BC得到四边形PEBF为矩形，得EF＝BP，BP最短时即BP⊥AC，即可求解．
【解答】解：连接BP，如图，
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝10，
∴AC＝，△ABC是等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴四边形PEBF为矩形，
∴EF＝BP，
当BP⊥AC时，BP最短，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BP是AC边上的中线，
∴BP＝AC＝，
∴EF得最小值为．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及垂线段最短问题，解题的关键是利用矩形的对角线相等．
50．(2023春•隆阳区期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，点D是BC上的一动点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E，F，则EF的最小值为（ ）
A．5B．4.8C．3D．2.4
【分析】连接DA，由勾股定理求出BC＝10，再证四边形FDEA是矩形，得EF＝AD，然后由垂线段最短可得DA⊥BC时，线段EF的值最小，最后由三角形的面积公式求出DA的长，即可得出答案．
【解答】解：如图，连接CD，
∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，
∴BC＝，
∵DE⊥AB，DF⊥CA，
∴∠DEA＝∠DFA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形FDEA是矩形，
∴EF＝DA，
由垂线段最短可得：DA⊥BC时，线段DA的值最小，即线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝•AB•AC＝•BC•AD，
即×6×8＝×10×AD，
解得：DA＝＝4.8，
∴EF的最小值为4.8．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
51．(2023春•巧家县期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝4，P为BC上一动点，过P点作PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，P在运动过程中EF的最小值为（ ）
A．3B．3.8C．4D．6
【分析】证四边形AEPF是矩形，得EF＝AP，要使EF最小，只要AP最小即可，再根据垂线段最短和三角形面积求出AP的长即可．
【解答】解：如图，连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
当AP⊥BC时，AP最短，
∵∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴BC＝＝＝10，
∵△ABC的面积＝AC•AB＝BC•AP，
即×4×2＝×10×AP，
∴AP＝4，
即P在运动过程中EF的最小值为4，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键．
52．(2023春•灌南县期中）如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G则下列结论：①∠ABE＝∠DCE；②∠AHB＝∠EHD，③S△BHE＝S△CHD；④AG⊥BE．其中正确的是（ ）
A．①③B．①②③C．①③④D．①②③④
【分析】根据正方形的性质证得△BAE≌△CDE，推出∠ABE＝∠DCE，可知①正确；利用正方形性质证△ADH≌△CDH，求得∠HAD＝∠HCD，推出∠ABE＝∠HAD；求出∠ABE+∠BAG＝90°；最后在△AGE中根据三角形的内角和是180°求得∠AGE＝90°即可得到②正确．根据AD∥BC，求出S△BDE＝S△CDE，推出S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，即S△BHE＝S△CHD，故③正确；由∠AHD＝∠CHD，得到邻补角和对顶角相等得到∠AHB＝∠EHD，故④正确；
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，
∴AE＝DE，AB＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，
∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴∠ABE＝∠DCE，
故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，DH＝DH，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴∠HAD＝∠HCD，
∵∠ABE＝∠DCE
∴∠ABE＝∠HAD，
∵∠BAD＝∠BAH+∠DAH＝90°，
∴∠ABE+∠BAH＝90°，
∴∠AGB＝180°﹣90°＝90°，
∴AG⊥BE，
故④正确；
∵AD∥BC，
∴S△BDE＝S△CDE，
∴S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，
即S△BHE＝S△CHD，
故③正确；
∵△ADH≌△CDH，
∴∠AHD＝∠CHD，
∴∠AHB＝∠CHB，
∵∠BHC＝∠DHE，
∴∠AHB＝∠EHD，
故②正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，解答本题要充分利用正方形的特殊性质：①四边相等，两两垂直； ②四个内角相等，都是90度； ③对角线相等，相互垂直，且平分一组对角．
53．(2023春•兰山区期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，AC不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠EGF＝∠ADE；④FG的最小值为2，其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①连接BE，易知四边形EFBG为矩形，可得BE＝FG；由△AEB≌△AED可得DE＝BE，所以DE＝FG；
②延长DE，交FG于M，交FB于点H，由矩形EFBG可得OF＝OB，则∠OBF＝∠OFB；由∠OBF＝∠ADE，则∠OFB＝∠ADE；由四边形ABCD为正方形可得∠BAD＝90°，即∠AHD+∠ADH＝90°，所以∠AHD+∠OFH＝90°，即∠FMH＝90°，可得DE⊥FG；
③由②中的结论可得∠BFG＝∠ADE；
④由于点E为AC上一动点，当DE⊥AC时，根据垂线段最短可得此时DE最小，最小值为，由①知FG＝DE，所以FG的最小值为2；
【解答】解：①连接BE，交FG于点O，如图，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB＝∠EGB＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EFBG为矩形．
∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°．
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS）．
∴BE＝DE．
∴DE＝FG．
∴①正确；
②延长DE，交FG于M，交FB于点H，
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE．
由①知：OB＝OF，
∴∠OFB＝∠ABE．
∴∠OFB＝∠ADE．
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADE+∠AHD＝90°．
∴∠OFB+∠AHD＝90°．
即：∠FMH＝90°，
∴DE⊥FG．
∴②正确；
③由②知：∠OFB＝∠ADE．
即：∠BFG＝∠ADE．
∴③正确；
④∵点E为AC上一动点，
∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小．
∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
∴AC＝．
∴DE＝AC＝2．
由①知：FG＝DE，
∴FG的最小值为2，
∴④错误．
综上，正确的结论为：①②③．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，垂线段最短，三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，垂直的定义．根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法．
54．(2023春•巴东县期中）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF； ②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF＝EF，⑤EF＝2CG，其中正确结论有（ ）个．
A．5B．4C．3D．2
【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE＝∠DAF，BE＝DF，由正方形的性质就可以得出EC＝FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC＝x，BE＝y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，即可以得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°．
∴∠BAE+∠DAF＝30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
故①正确；
∠BAE＝∠DAF，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝60°，
∴∠DAF+∠DAF＝30°，
即∠DAF＝15°
故②正确；
∵BC＝CD，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF，
∵AE＝AF，
∴AC垂直平分EF，
故③正确；
∵AC垂直平分EF，
∴G为EF的中点，
∴GE＝GF，
∵△ECF为等腰直角三角形，
∴CG＝EG＝FG，
∴EF＝2GC，
故⑤正确；
∴AC＝，
∴AB＝，
∴BE＝﹣x＝，
∴BE+DF＝x﹣x≠x，
故④错误，
综上所述，正确的有4个，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，掌握运用勾股定理的性质是解题的关键．
55．(2023春•沿河县期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF，给出下列结论：①PD＝EC；②AP＝EF；③AP⊥EF；④EF的最小值为2；⑤△APD可能是等腰三角形．其中正确结论的序号为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据垂直的定义得到∠PEF＝∠PFC＝90°，推出四边形PECF是矩形，根据矩形的性质得到EC＝PF．根据正方形的性质得到∠PDF＝45°，求得△PDF是等腰直角三角形，得到PD＝PF＝EC，①正确；延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M．推出四边形BNPE是正方形，∠ANP＝∠EPF，根据全等三角形的性质得到AP＝EF；故②正确；根据垂直的定义得到AP⊥EF，故③正确；当CP⊥BD时，CP最小，即EF最小，此时△BPC是等腰直角三角形，斜边为BC＝4，于是得到EF的最小值为2，故④正确；当∠PAD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等腰三角形，故⑤错误．
【解答】解：∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEF＝∠PFC＝90°，
又∠C＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EC＝PF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PDF＝45°，
∴△PDF是等腰直角三角形，
∴PD＝PF＝EC，①正确；
延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M．
∵四边形ABCD是正方形．
∴∠ABP＝∠CBD
又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴四边形BNPE是正方形，∠ANP＝∠EPF，
∴NP＝EP，
∴AN＝PF，
在△ANP与△FPE中，
，
∴△ANP≌△FPE（SAS），
∴AP＝EF；故②正确；
∠PFE＝∠BAP，
△APN与△FPM中，∠APN＝∠FPM，∠NAP＝∠PFM，
∴∠PMF＝∠ANP＝90°，
∴AP⊥EF，故③正确；
∵矩形PECF中，EF＝CP，
∴当CP⊥BD时，CP最小，即EF最小，
此时△BPC是等腰直角三角形，斜边为BC＝4，
则CP＝BC＝2，
∴EF的最小值为2，故④正确；
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°，
∴当∠PAD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，故⑤正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、垂线段最短、矩形的判定和性质，解决线段间的数量关系，可以借助特殊三角形的性质求解，转化线段是解决本题的关键．
56．(2023春•抚远市期中）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DF．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝，下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为；④S△APD+S△APB＝1+．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③①D．①③④
【分析】①利用同角的余角相等，易得∠EAB＝∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；
②利用①中的全等，可得∠APD＝∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP＝90°，即可证；
③过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP＝90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；
④连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可；
【解答】解：①∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，
∴∠EAB＝∠PAD，
又∵AE＝AP，AB＝AD，
∵在△APD和△AEB中，
，
∴△APD≌△AEB（SAS）；
故此选项正确；
②∵△APD≌△AEB，
∴∠APD＝∠AEB，
∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP＝∠PAE＝90°，
∴EB⊥ED；
故此选项正确；
③过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE＝AP，∠EAP＝90°，
∴∠AEP＝∠APE＝45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB＝∠FBE＝45°，
又∵BE＝＝＝，
∴BF＝EF＝，
∴点B到直线AE的距离为．
故此选项正确；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE＝AP＝1，
∴EP＝，
又∵PB＝，
∴BE＝，
∵△APD≌△AEB，
∴PD＝BE＝，
∴S△ABP+S△ADP＝S△ABD﹣S△BDP＝S正方形ABCD﹣×DP×BE＝×（4+ ）﹣××＝+．
故此选项不正确．
∴正确的有①②③，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识．
57．(2023春•鹤城区校级期中）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，AE＝6，BE＝2，点M是DE的中点，若点P在正方形ABCD的边上，且PM＝5，则符合条件的点P的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据正方形性质分情况解答即可．
【解答】解：∵点E在正方形ABCD的边AB上，AE＝6，BE＝2，
∴AD＝AB＝AE+BE＝8，
由勾股定理得：，
因为点M是DE的中点，则点D、E是符合条件的点；
连接AM，则，则点A符合条件；
过点E作EF⊥CD于点F，
则四边形AEFD是矩形，可得MF＝5，则点F符合条件；
取AD的中点为G，连接GM并延长交BC于点H，
由三角形中位线定理，可得，GH∥AB，则GH＝8，MH＝5，则点H也符合条件，
综上所述，符合条件的点共有5个，
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段的长度得出．
58．(2023春•镜湖区校级期中）如图，矩形ABCD中，，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是（ ）
A．12.5B．12C．10D．10.5
【分析】根据线段中点的定义可得CG＝DG，然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝CF，EG＝FG，设DE＝x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF＝EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC＝AD．
【解答】解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB＝，
∴CG＝DG＝CD＝AB＝×＝，
在△DEG和△CFG中，
，
∴△DEG≌△CFG（ASA），
∴DE＝CF，EG＝FG，
设DE＝x，
则BF＝BC+CF＝AD+CF＝AE+DE+DE＝6+x+x＝6+2x，
在Rt△DEG中，，
∴，
∵FH垂直平分BE，
∴BF＝EF，
∴6+2x＝，
解得x＝4，
经检验：x＝4是方程的解，
∴AD＝AE+DE＝6+4＝10，
∴BC＝AD＝10．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
59．(2023春•濮阳期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，点D是BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）
A．B．13C．D．
【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12，
∴BC＝＝13，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝＝，
∴MN的最小值为；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
60．(2023春•玉州区期中）在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠ADB的平分线交AB于点E，交AC于点G．过点E作EF⊥BD于点F，点M在OC上，连接DM，下列结论：
①AD＝（+1）AE：
②四边形AEFG是菱形；
③BE＝OG；
④若∠EDM＝45°，则GF＝CM．
其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】设AE＝x，则BE＝x，可算出AD＝（+1）x＝（+1）AE，故①正确；先证明△AEG≌△FEG，再由AG∥EF得∠AGE＝∠AEG，即AE＝AG，四边形AEFG是菱形，故②正确；由AG＝x，AB＝（+1）x得AO＝＝（+1）x，可求出OG＝x＝BE，故③错误；由四边形AEFG是菱形证明△GDF≌△MDC，即可得GF＝CM，故④正确．
【解答】解：∵DE平分∠ADB，EF⊥BD，AE⊥AD，
∴AE＝EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，
∴EF＝BF，
设AE＝x，则BE＝x，
∴AD＝AB＝AE+BE＝（+1）x＝（+1）AE，故①正确；
在△AEG和△FEG中，
，
∴△AEG≌△FEG（SAS），
∴AG＝FG，∠AEG＝∠FEG，
∵AG∥EF，
∴∠FEG＝∠AGE，
∴∠AGE＝∠AEG，
∴AE＝AG，
∴四边形AEFG是菱形，故②正确；
由①②知，AG＝x，AB＝（+1）x，
∴AO＝＝（+1）x，
∴OG＝AO﹣AG＝x＝BE，
∴BE＝2OG，故③错误；
∵BD＝AC＝2OA＝（+2）x，EF＝BF＝AE＝x，
∴DF＝（+1）x＝CD，
∵四边形AEFG是菱形，
∴∠EFG＝∠BAC＝45°，
∴∠DFG＝45°＝∠DCM，
∵∠EDM＝45°＝∠ODC，
∴∠GDF＝∠MDC，
∴△GDF≌△MDC（ASA），
∴GF＝CM，故④正确．
故选：C．
【点评】此题考查了正方形的性质、角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质．此题综合性较强，难度较大．设出未知数、利用好正方形的性质是解决此题的关键．
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