人教版八年级数学下册尖子生培优必刷题期中模拟试卷01(能力提升卷)(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册尖子生培优必刷题期中模拟试卷01(能力提升卷)(原卷版+解析)，共26页。试卷主要包含了2千米，HB＝0等内容，欢迎下载使用。
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0B．x≥2C．x＞﹣2D．x≥﹣2
2．下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠BAC＝∠DCAB．∠BAC＝∠DACC．∠BAC＝∠ABDD．∠BAC＝∠ADB
4．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
5．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD＝150°．BD＝540m，∠D＝60°，那么开挖点E离点D（ ）米远时，正好使点A、C、E成一条直线．
A．270B．300C．270D．180
6．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知BC＝24，∠B＝30°，则DE的长是（ ）
A．12B．10C．8D．6
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，A（﹣3，0），B（1，b），则正方形ABCD的面积为（ ）
A．34B．25C．20D．16
8．下列四个命题：
①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；
②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形：
④正五边形是轴对称图形，其中真命题共有（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
9．下列各式中计算正确的是（ ）
A．＝×＝（﹣2）×（﹣4）＝8
B．＝4a（a＞0）
C．＝3+4＝7
D．＝
10．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点．点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：
①线段MN的长；
②△PMN的面积；
③△PAB的周长；
④∠APB的大小；
⑤直线MN，AB之间的距离．
其中会随点P的移动而不改变的是（ ）
A．①②③B．①②⑤C．②③④D．②④⑤
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．已知a，b都是实数，，则ab的值为 ．
12．如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理 ．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为CD边中点，OE＝2，则菱形ABCD的周长为 ．
14．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：＝ ．
15．如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝20，AH＝12，那么FG＝ ．
16．边长为a的菱形是由边长为a的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为h，则称为为这个菱形的“形变度”．
（1）一个“形变度”为2的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为 ．
（2）如图，A、B、C为菱形网格（每个小菱形的边长为1，“形变度”为）中的格点，则△ABC的面积为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）﹣22+﹣2×；
（2）．
18．如图，在一棵树BC的10m高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20 m的池塘A处，另一只爬到树顶C后直接一跃，跳到池塘的A处，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树有多高？
19．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E，F分别为边AC，BC的中点，连接DE，EF．
（1）若∠B＝40°，∠C＝55°，求∠DEF的度数；
（2）若AD＝6，BD＝8，CD＝4，求△DEF的周长．
20．如图，矩形ABCD中，延长BA到F，使AF＝CD，连接CF和DF，CF交AD于点E．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形．
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
21．先阅读下面的材料，再解答下列问题．
∵，
∴．
例如：∵，
∴．
这种变形叫做将分母有理化．
利用上述思路方法计算下列各式：
（1）．
（2）计算．
22．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF．
（1）求证：四边形EFGH是菱形；
（2）若EF＝6，∠HEF＝60°，求EG的长，
23．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2），也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
（3）在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝4，BC＝5，AB＝6，设AH＝x，求x的值．
24．【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．求证：AM＝AD+MC．
【探究展示】
（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断AM＝AD+MC是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）若（2）中矩形ABCD两边AB＝6，BC＝9，求AM的长．
【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
期中模拟试卷01（能力提升卷，八下人教）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0B．x≥2C．x＞﹣2D．x≥﹣2
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，即可得出答案．
【解答】解：式子有意义，则x+2≥0，
解得：x≥﹣2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式有意义的条件是解题关键．
2．下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的乘除法，可化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案．
【解答】解：A、，故A能与合并；
B、，故B能与合并；
C、，故C不能与合并；
D、，故D能与合并；
故选：C．
【点评】本题考查了同类二次根式，被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式．
3．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠BAC＝∠DCAB．∠BAC＝∠DACC．∠BAC＝∠ABDD．∠BAC＝∠ADB
【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．
【解答】解：A、∠BAC＝∠DCA，不能判断四边形ABCD是矩形；
B、∠BAC＝∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形；
C、∠BAC＝∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；
D、∠BAC＝∠ADB，不能判断四边形ABCD是矩形；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定；熟练掌握矩形的判定是解决问题的关键．
4．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】由矩形ABCD，得到OA＝OB，根据AE平分∠BAD，得到等边三角形OAB，推出AB＝OB，求出∠OAB、∠OBC的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到OB＝BE，根据三角形的内角和定理即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90°，
∴OA＝OB，∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∵∠CAE＝15°，
∴∠DAC＝45°﹣15°＝30°，
∠BAC＝60°，
∴△BAO是等边三角形，
∴AB＝OB，∠ABO＝60°，
∴∠OBC＝90°﹣60°＝30°，
∵AB＝OB＝BE，
∴∠BOE＝∠BEO＝（180°﹣30°）＝75°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是求出∠OBC的度数和求OB＝BE．
5．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD＝150°．BD＝540m，∠D＝60°，那么开挖点E离点D（ ）米远时，正好使点A、C、E成一条直线．
A．270B．300C．270D．180
【分析】根据邻补角的定义求出∠DBE＝30°，然后判断出△BDE是直角三角形，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
【解答】解：∵∠DBE＝180°﹣∠ABD＝180°﹣150°＝30°，
∴∠E＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴△BDE是直角三角形，
∴开挖点E离点D的距离DE＝BD＝×540＝270（米）．
故选：A．
【点评】本题考查了邻补角的定义，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记性质并判断出△BDE是直角三角形是解题的关键．
6．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知BC＝24，∠B＝30°，则DE的长是（ ）
A．12B．10C．8D．6
【分析】由轴对称的性质可以得出DE＝DC，∠AED＝∠C＝90°，就可以得出∠BED＝90°，根据直角三角形的性质就可以求出BD＝2DE，然后建立方程求出其解即可．
【解答】解：∵△ADE与△ADC关于AD对称，
∴△ADE≌△ADC，
∴DE＝DC，∠AED＝∠C＝90°，
∴∠BED＝90°．
∵∠B＝30°，
∴BD＝2DE．
∵BC＝BD+CD＝24，
∴24＝2DE+DE，
∴DE＝8．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称的性质的运用，直角三角形的性质的运用，一元一次方程的运用，解答时根据轴对称的性质求解是关键．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，A（﹣3，0），B（1，b），则正方形ABCD的面积为（ ）
A．34B．25C．20D．16
【分析】作BE⊥x轴于E，如图，证明△ADO≌△BAE得到OD＝AE＝4，然后利用勾股定理计算出AD2，从而得到正方形ABCD的面积．
【解答】解：作BE⊥x轴于E，如图，
∵A（﹣3，0），B（1，b），
∴AE＝4，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝90°，
∵∠DAO+∠BAE＝90°，∠DAO+∠ADO＝90°，
∴∠ADO＝∠BAE，
在△ADO和△BAE中，
∴△ADO≌△BAE，
∴OD＝AE＝4，
在Rt△AOD中，AD2＝32+42＝52＝25，
∴正方形ABCD的面积为25．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
8．下列四个命题：
①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；
②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形：
④正五边形是轴对称图形，其中真命题共有（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
【分析】根据平行四边形、正方形、菱形的判定定理、轴对称图形的概念判断．
【解答】解：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，本说法是真命题；
②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，本说法是假命题；
③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形，本说法是真命题；
④正五边形是轴对称图形，本说法是真命题；
故选：B．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
9．下列各式中计算正确的是（ ）
A．＝×＝（﹣2）×（﹣4）＝8
B．＝4a（a＞0）
C．＝3+4＝7
D．＝
【分析】根据二次根式的意义、性质逐一判断即可得．
【解答】解：A．、没有意义，此选项错误；
B．＝2a（a＞0），此选项错误；
C．＝＝5，此选项错误；
D．＝，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是二次根式的定义和性质．
10．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点．点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：
①线段MN的长；
②△PMN的面积；
③△PAB的周长；
④∠APB的大小；
⑤直线MN，AB之间的距离．
其中会随点P的移动而不改变的是（ ）
A．①②③B．①②⑤C．②③④D．②④⑤
【分析】利用三角形中位线的性质得MN＝AB，MN∥AB，则可判断①正确；利用平行线的距离得到l与AB的距离为定值，则可判断⑤正确；利用三角形面积公式可得到△PAB的面积为定值，所以△PMN的面积为定值，于是可对②进行判断．
【解答】解：∵点M，N分别为PA，PB的中点，
∴MN为△PAB的中位线，
∴MN＝AB，MN∥AB，所以①正确；
∵直线l∥AB，
∴l与AB的距离为定值，所以⑤正确；
∴△PAB的面积为定值，
∴△PMN的面积为定值，所以②正确．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
二．填空题（共6小题）
11．已知a，b都是实数，，则ab的值为 4 ．
【分析】利用二次根式有意义的条件得到得，解得a＝，则可得到对应b的值，然后利用负整数指数幂的意义计算．
【解答】解：根据题意得，解得a＝，
当a＝时，b＝﹣2，
所以ab＝（）﹣2＝4．
故答案为4．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．二次根式具有非负性． （a≥0）是一个非负数．
12．如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理 对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角 ．
【分析】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定．
【解答】解：这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形，
故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角．（“矩形的四个角都是直角”没写不扣分）
【点评】本题主要考查对矩形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用矩形的性质解决实际问题是解此题的关键．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为CD边中点，OE＝2，则菱形ABCD的周长为 16 ．
【分析】由菱形的性质得出AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再由直角三角形斜边上的中线性质得CD＝4，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，
∴∠COD＝90°，
∵OE＝2，且E为CD边中点，
∴CD＝2OE＝4，
∴菱形ABCD的周长＝4CD＝4×4＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
14．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：＝ 8 ．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：如图所示：6＜a＜12，
则
＝a﹣5+13﹣a
＝8．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．
15．如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝20，AH＝12，那么FG＝ 4 ．
【分析】在直角三角形AHB中，利用勾股定理进行解答即可．
【解答】解：∵△ABH≌△BCG，
∴BG＝AH＝12，
∵四边形EFGH都是正方形，
在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：BH＝．
∴FG＝GH＝BH﹣BG＝16﹣12＝4，
故答案为：4．
【点评】此题考查勾股定理的证明，解题的关键是得到直角三角形ABH的两直角边的长度．
16．边长为a的菱形是由边长为a的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为h，则称为为这个菱形的“形变度”．
（1）一个“形变度”为2的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为 1：2 ．
（2）如图，A、B、C为菱形网格（每个小菱形的边长为1，“形变度”为）中的格点，则△ABC的面积为 ．
【分析】（1）分别表示出正方形的面积和菱形的面积，再根据“形变度”为2，即可得到菱形与其“形变”前的正方形的面积之比；
（2）根据两面积之比＝菱形的“形变度”，即可解答．
【解答】解：（1）∵边长为a的正方形面积＝a2，边长为a的菱形面积＝ah，
∴菱形面积：正方形面积＝ah：a2＝h：a，
∵菱形的变形度为2，即＝2，
∴“形变度”为2的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比＝1：2，
故答案为：1：2；
（2）∵菱形的边长为1，“形变度”为，
∴菱形形变前的面积与形变后的面积之比为，
∴S△ABC＝（36﹣）×＝
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，根据题意得出菱形形变前的面积与形变后的面积之比是解题关键．
三．解答题（共8小题）
17．计算：
（1）﹣22+﹣2×；
（2）．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质、有理数的乘方运算法则化简，进而得出答案；
（2）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣4+4﹣2×3
＝﹣4+4﹣6
＝﹣6；
（2）原式＝+3+2﹣2﹣（+）
＝+3+2﹣2﹣﹣
＝5﹣3．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
18．如图，在一棵树BC的10m高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20 m的池塘A处，另一只爬到树顶C后直接一跃，跳到池塘的A处，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树有多高？
【分析】设树高为xm，则可用x分别表示出AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得到关于x的方程，求解即可得到棵树的高．
【解答】解：设树高为xm，则CD＝（x﹣10）m，
则题意可知BD+AB＝10+20＝30（m），
∴AC＝BD+AB﹣CD＝30﹣CD＝30﹣（x﹣10）＝（40﹣x）m，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，
∴（40﹣x）2＝202+x2，
解得x＝15，
答：树高有15m．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，用树的高度表示出AC，利用勾股定理得到方程是解题的关键．
19．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E，F分别为边AC，BC的中点，连接DE，EF．
（1）若∠B＝40°，∠C＝55°，求∠DEF的度数；
（2）若AD＝6，BD＝8，CD＝4，求△DEF的周长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据三角形中位线定理得到EF∥AB，根据平行线的性质得到∠CEF＝∠BAC＝85°，根据直角三角形的性质得到DE＝EC，进而得到∠EDC＝∠C＝55°，计算即可；
（2）根据勾股定理求出AB，根据三角形中位线定理求出EF，根据勾股定理求出AC，根据直角三角形的性质求出DE，结合图形计算即可．
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝85°，
∵E，F分别为边AC，BC的中点，
∴EF∥AB，
∴∠CEF＝∠BAC＝85°，
在Rt△ADC中，E为边AC的中点，
∴DE＝AC＝EC，
∴∠EDC＝∠C＝55°，
∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝70°，
∴∠DEF＝85°﹣70°＝15°；
（2）在Rt△ADB中，AD＝6，BD＝8，
由勾股定理得：AB＝＝＝10，
∵E，F分别为边AC，BC的中点，
∴EF＝AB＝5，
在Rt△ADC中，AD＝6，CD＝4，
由勾股定理得：AC＝＝＝2，
∴DE＝AC＝，
∵BD＝8，CD＝4，
∴BC＝12，
∵F为边BC的中点，
∴CF＝6，
∴DF＝6﹣4＝2，
∴△DEF的周长＝5+2+＝7+．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
20．如图，矩形ABCD中，延长BA到F，使AF＝CD，连接CF和DF，CF交AD于点E．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形．
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由矩形的性质可得AB∥CD，由平行四边形的判定可得结论；
（2）由平行线的性质和角平分线的性质可证DE＝CD，由平行四边形的性质可得AE＝DE，可得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，BC＝AD，
∴AF∥CD，
又∵AF＝CD，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）BC＝2CD，理由如下：
证明：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE＝45°，
∵∠CDE＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD＝DE，
∵四边形ACDF是平行四边形，
∴AE＝DE，
∴BC＝AD＝2DE＝2CD．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
21．先阅读下面的材料，再解答下列问题．
∵，
∴．
例如：∵，
∴．
这种变形叫做将分母有理化．
利用上述思路方法计算下列各式：
（1）．
（2）计算．
【分析】（1）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝（﹣1+﹣+﹣+﹣）×（+1）
＝（﹣1）×（+1）
＝2023﹣1
＝2022；
（2）原式＝+﹣
＝5﹣++2+4（2﹣3）
＝9+2+8﹣12
＝10﹣3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．也考查了分母有理化．
22．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF．
（1）求证：四边形EFGH是菱形；
（2）若EF＝6，∠HEF＝60°，求EG的长，
【分析】（1）由平行四边形的性质得∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，推出BE＝DG，BF＝DH，再证△AEH≌△CGF（SAS），得出EH＝FG，同理△BEF≌△DGH（SAS），得EF＝GH，则四边形EFGH是平行四边形，再证HE＝HG，即可得出结论；
（2）连接HF交EG于O，由菱形的性质得EG＝2OE，EG⊥FH，∠FEO＝30°，则OF＝EF＝3，再由勾股定理求出OE＝3，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，
∵AE＝CG，AH＝CF，
∴BE＝DG，BF＝DH，
在△AEH与△CGF中，
，
∴△AEH≌△CGF（SAS）；
∴EH＝FG
同理：△BEF≌△DGH（SAS），
∴EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴HG∥EF，
∴∠HGE＝∠FEG，
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG＝∠FEG，
∴∠HEG＝∠HGE，
∴HE＝HG，
∴平行四边形EFGH是菱形；
（2）解：连接HF交EG于点O，如图所示：
由（1）可知，四边形EFGH是菱形，
∴EG＝2OE，EG⊥FH，∠FEO＝∠HEF＝×60°＝30°，
∴OF＝EF＝×6＝3，
在Rt△EOF中，由勾股定理得：OE＝＝＝3，
∴EG＝2OE＝2×3＝6．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、含30°角直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
23．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2），也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
（3）在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝4，BC＝5，AB＝6，设AH＝x，求x的值．
【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）设CA＝x，则AH＝x﹣0.9，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果；
（3）在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得求出CH2＝CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，列出方程求解即可得到结果；
【解答】解：（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2，
也可以表示为ab+ab+c2，
∴ab+ab+c2＝a2+ab+b2，
即a2+b2＝c2；
（2）∵CA＝x，
∴AH＝x﹣0.9，
在Rt△ACH中，CA2＝CH2+AH2，
即x2＝1.22+（x﹣0.9）2，
解得x＝1.25，
即CA＝1.25，
CA﹣CH＝1.25﹣1.2＝0.05（千米），
答：新路CH比原路CA少0.05千米；
（3）设AH＝x，则BH＝6﹣x，
在Rt△ACH中，CH2＝CA2﹣AH2，
在Rt△BCH中，CH2＝CB2﹣BH2，
∴CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，
即42﹣x2＝52﹣（6﹣x）2，
解得：x＝．
【点评】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键．
24．【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．求证：AM＝AD+MC．
【探究展示】
（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断AM＝AD+MC是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）若（2）中矩形ABCD两边AB＝6，BC＝9，求AM的长．
【分析】（1）先构造出△ADE≌△NCE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法即可得出结论；
（3）设出MC＝x，利用（2）的结论得出AM＝9+x，再利用勾股定理建立方程求出CM即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，延长AE，BC相交于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠ENC，
∵AE平分∠DAE，
∴∠∠DAE＝∠MAE，
∴∠ENC＝∠MAE，在△ADE和△NCE中，，
∴△ADE≌△NCE，
∴AD＝CN，
∴AM＝MN＝NC+MC＝AD+MC；
（2）结论AM＝AD+CM仍然成立，
理由：如图2，
延长AE，BC相交于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠ENC，
∵AE平分∠DAE，
∴∠DAE＝∠MAE，
∴∠ENC＝∠MAE，
在△ADE和△NCE中，，
∴△ADE≌△NCE，
∴AD＝CN，
∴AM＝MN＝NC+MC＝AD+MC；
（3）设MC＝x，则BM＝BC﹣CN＝9﹣x，
由（2）知，AM＝AD+MC＝9+x，
在Rt△ABM中，AM2﹣BM2＝AB2，
（9+x）2﹣（9﹣x）2＝36，
∴x＝1，
∴AM＝AD+MC＝10．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是判断出△ADE≌△NCE和利用勾股定理建立方程，是一道基础题目．
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