人教版八年级数学上册教案：第十一章 三角形

这是一份人教版八年级数学上册教案：第十一章 三角形，共49页。

第十一章 三角形11．1　与三角形有关的线段11．1.1　三角形的边本节课是在小学学习的三角形的基础上，进一步对三角形的相关概念给出严格的定义，并探索三角形的三边关系，为后面研究三角形的性质做好准备．本课时主要对三角形的定义及三边关系进行研究，教学时要注意强调组成三角形的三条线段是“首尾顺次相接”的，以及等腰三角形与等边三角形的区别与联系，同时要加强学生对三角形三边关系的应用能力．【复习导入】在小学，我们学习了关于三角形的哪些知识？你能把这些知识归纳一下吗？如果学生回答困难，教师可以细化问题，提示学生：1．画图并用语言说明怎样的图形是三角形．2．在画出的图形中标注顶点字母，指出三角形各部分的名称．3．三角形按边分类，有哪几种？4．我们学过哪些特殊的三角形？画图说明它们有什么典型特征．5．三角形的三边之间有什么关系？6．三角形的面积怎么求？画图说明．【说明与建议】　说明：初中数学教师了解小学阶段所学的知识内容与学习程度很重要．小学四年级下册已经学习了三角形的一些初步知识，主要包括三角形的概念、图形、三种基本要素、表示方法、按边分类、三边关系、面积公式等，直角三角形、等腰三角形与等边三角形等特殊三角形的识别，这些知识为学习本课奠定了基础．建议：1.不要把本节课的所有内容完全当成新知识来学习，对已经学过的知识在导入阶段就充分发挥学生主体性，鼓励学生大胆发言.2.对于学生散乱、不成系统的答案要进行分析梳理，从三角形的概念、图形、表示方法、分类、性质等方面总结归纳，让学生明白几何知识学习的大致框架．命题角度1　三角形计数问题1．(娄底中考)如图所示，图中三角形的个数共有(C)A．1个　　　　　　　B．2个　　　 　 C．3个　 　　　 D．4个命题角度2　利用三角形三边关系判断三条线段能否构成三角形2．(徐州中考)下列长度的三条线段，能组成三角形的是(D)A．2，2，4 B．5，6，12 C．5，7，2 D．6，8，10命题角度3　三角形三边关系的综合运用3．三角形的两边长分别是10和8，则第三边的取值范围是2＜x＜18．4．△ABC的三边分别为a，b，c且(a＋b－c)(a－c)＝0，那么△ABC为(C)A．不等边三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形5．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为(D)A．2a＋2b－2c B．2a＋2b C．2c D．0详见电子资源11.1.2　三角形的高、中线与角平分线11．1.3　三角形的稳定性本节课是在学习三角形的边之后，进一步研究三角形的高、中线与角平分线，为后面学习三角形的相关计算奠定基础．本节课通过画图研究三角形的高、中线及角平分线，并对三角形的重心及三角形的稳定性有初步认识，教学时要注意对三角形的三条重要线段进行强调区分，并注意培养学生的符号语言表达能力．【置疑导入】如图所示，在△ABC中，有一条线段，一端点在顶点A处，另一端点从点B沿着BC边移动到点C，观察移动过程中形成的无数条线段(AD，AE，…)中，有没有特殊位置的线段？你认为有哪些特殊位置？(1)在这些线段中，有一条线段垂直于边BC；(2)有一条线段经过边BC的中点；(3)还有一条线段平分∠BAC.同学们通过观察、思考，找到了具有特殊位置的线段：三角形的高、中线和角平分线．这三条线段是三角形的重要线段．【说明与建议】　说明：从学生已有的知识出发，通过多媒体动画操作，培养学生从一般到特殊的转化思想，激发学生的好奇心和求知欲．建议：教学中要鼓励学生动手实践，探究新知．【复习导入】1．过直线外一点，画已知直线的垂线，能画几条？怎样画？2．已知在△ABC中，BC＝5 cm，高AD＝4 cm，求△ABC的面积．3．请自学三角形的高、中线、角平分线的概念，你能将它们画出来吗？学生自主学习课本的内容，弄清下面的问题：(1)什么叫三角形的高？三角形的高与垂线有何区别与联系？(2)什么叫三角形的中线？连接两点的线段与过两点的直线有何区别与联系？(3)什么叫三角形的角平分线？三角形的角平分线与角的平分线有何区别与联系？(4)三角形的高、中线和角平分线分别是线段、射线、直线中的哪一种？师生共同完成(做一做)：(1)画三角形，并在这个三角形中画出它的三条高(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高分别在哪里)，观察这三条高所在的直线的位置有何关系；(2)画三角形，并在这个三角形中画出它的三条中线(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线分别在哪里)，观察这三条中线的位置有何关系；(3)画三角形，并在这个三角形中画出它的三条角平分线(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线分别在哪里)，观察这三条角平分线的位置有何关系．【说明与建议】　说明：通过学生的动手操作、交流、讨论，掌握三角形的高、中线、角平分线的画法．建议：教学中教师要充分利用置疑导入中的表格，让学生自学完成概念、表示方法、数学语言的教学．学生画出后，教师可进一步让学生观察，归纳得到三角形的高、中线、角平分线的相关性质，以此培养学生的观察与概括能力．命题角度1　利用三角形的中线解决问题1．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12 cm和21 cm两部分，求这个等腰三角形的底边长．解：如图所示，设AD＝DC＝x，BC＝y，由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2x＝12，,y＋x＝21))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2x＝21，,y＋x＝12，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝17))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝5.))当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝17))时，等腰三角形的三边为8，8，17，∵8＋8<17，∴不符合三角形的三边关系；当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝5))时，等腰三角形的三边为14，14，5，符合三角形的三边关系．综上所述，这个等腰三角形的底边长是5.命题角度2　利用三角形的高解决问题2．如图，在△ABC中，BC边上的高是AB；在△AEC中，AE边上的高是CD；在△AEC中，EC边上的高是AB；若AB＝CD＝2，AE＝3，则△AEC的面积S＝3，CE＝3．命题角度3　三角形的高、中线、角平分线的综合应用3．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF⊥AD于H.下列说法：①AD是在△ABC的角平分线；②BE是△ABD的AD边上的中线；③CH为△ACD边AD上的中线；④AH是△ACF的角平分线和高线．其中正确的有①④．4．已知AD，AE分别是△ABC的中线和高，△ABD的周长比△ACD大3 cm，且AB＝7 cm.(1)求AC的长；(2)求△ABD与△ACD的面积关系．解：(1)∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.∵△ABD的周长比△ACD大3 cm，∴AB＋BD＋AD－(AD＋AC＋DC)＝3 cm，即AB－AC＝3 cm.∵AB＝7cm，∴AC＝4 cm.(2)∵S△ABD＝eq \f(1,2)BD·AE，S△ACD＝eq \f(1,2)CD·AE，BD＝CD，∴S△ABD＝S△ACD.命题角度4　利用三角形的稳定性解决实际问题5．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？(B)A．0根　　　 B．1根 C．2根　　　　　　　　 D．3根详见电子资源11.2　与三角形有关的角11．2.1　三角形的内角第1课时　三角形的内角和本课时是在小学学习三角形内角和等于180°的基础上进一步探索和证明三角形的内角和，并应用三角形的内角和解决问题，为后面学习多边形的内角和奠定基础．本课时通过先实验后利用平行线的理论知识来证明三角形的内角和，让学生实现从小学阶段的直观思维到初中阶段的逻辑思维的转变，教学时应注意强调逻辑证明的重要性．【复习导入】如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝44°，∠C＝85°.(1)求∠DAB的度数；(2)求∠EAC的度数；(3)求∠BAC的度数；(4)通过这道题你能说明为什么三角形的内角和是180°吗？解：(1)∵DE∥BC，∴∠DAB＝∠B＝44°.(2)∵DE∥BC，∴∠EAC＝∠C＝85°.(3)∵直线DE过点A，∴∠DAE＝180°.∴∠DAB＋∠EAC＋∠BAC＝180°.∴∠BAC＝180°－44°－85°＝51°.(4)∵DE∥BC，∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC.∵∠DAB＋∠EAC＋∠BAC＝180°，∴∠B＋∠C＋∠BAC＝180°.即三角形内角和为180°.【说明与建议】　说明：通过复习相交线与平行线的相关知识，为本节课顺利学习三角形内角和定理及证明做好准备．建议：本题证明三角形内角和定理时，要引导学生明白此题的解题思路是通过利用平行线的性质将三角形的三个内角之和转移为平角证得．命题角度1　利用三角形内角和定理进行角度计算1．(大庆中考)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2∶3∶4，则∠B的度数为(C)A．120°　　　　　　B．80°　　　　　　　　C．60°　　　　　　　D．40°2．(仙桃中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝160°，则∠B的度数为(D)A．40° B．50° C．60° D．70°命题角度2　根据三角形各角之间的关系求角的度数或判定三角形的形状3．(巴中中考)若一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形是(D)A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形命题角度3　三角形内角和定理的证明4．(淄博中考)已知：如图，△ABC是任意一个三角形．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.证明：过点A作EF∥BC，∵EF∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C.∵∠1＋∠2＋∠BAC＝180°，∴∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，即∠A＋∠B＋∠C＝180°.详见电子资源第2课时　直角三角形的两个锐角互余本课时是在学习三角形内角和定理的基础上进一步研究直角三角形的角度关系，是三角形内角和定理应用的一个体现，同时方便学生更加熟练掌握角度计算，为研究及判定直角三角形提供理论支撑．本节课通过由一般到特殊的过程得到直角三角形的两锐角互余，并通过逆向思维得到直角三角形的判定方法，教学时应注重学生推理能力的培养． 【情景导入】如图，将一根旗杆MN竖直固定在地面上，为了安全起见，在旗杆的点A处安装拉线，使拉线AB与旗杆的夹角∠BAN＝58°，为了保证角度准确，在地面固定拉线端点B时，应使拉线与地面的夹角∠ABN的度数是多少？∠CAN与∠ACN又满足什么样的数量关系？ 【说明与建议】　说明：直角三角形在日常生活中很常见，此问题情景的设置既体现了几何知识在实际生活中的应用，又能激发学生的学习兴趣，并引出本节课所学知识．建议：1.对问题情景进行抽象概括，得到直角三角形的基本图形，由“旗杆MN竖直固定在地面上”可知∠ANB＝90°，即△ABN是一个直角三角形，则问题转化为：在这个直角三角形中，当∠ABN等于多少度时，可使∠BAN＝58°？在直角三角形ANC中，两个锐角的度数有什么关系？命题角度1　利用直角三角形的两个锐角互余计算1．(海南中考)在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(D)A．120°　　　　　　　B．90°　　　　　　 C．60°　　 D．30°2．若直角三角形中的两个锐角之差为22°，则较小的一个锐角的度数是(B)A．24° B．34° C．44° D．46°命题角度2　直角三角形的判定3．在下列条件中：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有(B)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B，△ACD是直角三角形吗？为什么？解：△ACD是直角三角形，理由如下：∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝180°－∠ACB＝90°.又∵∠ACD＝∠B，∴∠A＋∠ACD＝90°.∴∠ADC＝180°－(∠A＋∠ACD)＝90°.∴△ACD是直角三角形．一个火柴游戏你能只用六根火柴摆出12个直角三角形来吗？看到这个问题，可能很多同学都是随口就回答，不可能！但真的是这样吗？请大家不妨看下面的图：通过清点发现，确实有12个直角三角形，你也可以用一张纸片进行验证，想一想怎么说明这12个三角形都是直角三角形．详见电子资源11.2.2　三角形的外角本节课是在学习完三角形的内角和定理以后对三角形的外角进一步进行研究，为后面学习多边形的外角和做好铺垫，本课时通过反向延长三角形的各边得到三角形的外角，然后结合三角形内角和定理并通过邻补角之间的关系对三角形内角和定理的推论进行论证，教学时注意外角的识别，并强调三角形有6个外角，其中有3个与另外3个互为对顶角，大小相等．【置疑导入】如图，A，B是两块较长钢板搭建的人字架，资料表明，当∠1＝70°，∠3＝110°时，人字架最稳定，由于客观原因，∠3不可能度量，那么∠2为多少度时，人字架最稳定？【说明与建议】　说明：利用具体问题情景，通过设疑导入新课，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣．建议：三角形外角的性质是在三角形内角和定理的基础上得出的，根据教材第15页的“思考”，学生能够发现三角形内外角之间的关系，让学生按照自己的理解总结定理的内容，最后教师进行规范总结，使学生体验自主学习的成就感．命题角度1　利用三角形的外角的性质求角度1．(河池中考)如图，∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠CBD＝120°，则∠C的大小是(B)A．90°　　　　　　B．80°　　　　　　　　C．60°　　　 D．40°2．如图，∠A＝20°，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠ADB的度数是110°．命题角度2　利用三角形的外角的性质解决实际问题3．(达州中考)某机器零件的横截面如图所示，按要求线段AB和DC的延长线相交成直角才算合格，一工人测得∠A＝23°，∠D＝31°，∠AED＝143°，请你帮他判断该零件是否合格不合格(填“合格”或“不合格”)．详见电子资源11.3　多边形及其内角和11．3.1　多边形本节课是在学习了三角形的基础上进一步认识新的几何图形—多边形，为后面学习多边形的角度做好准备．本节课以三角形的研究为基础，通过类比得到多边形的有关概念，体现了类比思想，由于初中阶段的几何图形的研究限于平面图形，教学时注意强调“在同一平面内”这个条件． 【情景导入】观察下面的图片，其中的房屋结构、蜂巢结构、足球的外皮，其中都有由一些线段围成的图形的形象，你能从下图中抽象出几个由一些线段围成的图形吗？【说明与建议】　说明：以生活中学生十分熟悉的风景画面引入，然后教师引导学生从原有的对多边形的认知体验出发，通过对比学习新知识，并通过让学生列举生活中的多边形实例，使学生体会到生活中处处有数学．建议：教学中教师要充分利用多媒体，从学生已有的知识出发，激发学生强烈的好奇心和求知欲．重要的是通过此例使学生经历了将实际问题转化为数学问题的建模过程．命题角度1　多边形及正多边形的识别1．如图所示的图形中，属于多边形的有(A)A．3个　　　　　　　　B．4个　　　　 C．5个　　　　　　 D．6个2．(河北中考)下列图形为正多边形的是(D) A B C D命题角度2　多边形的对角线3．下列多边形中，对角线是5条的多边形是(B)A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形4．如图，此多边形应记作什么？AB边的邻边是什么？过顶点A画这个多边形的对角线有几条？它们把多边形分成了几个三角形？这个多边形共有多少条对角线？解：如图，此多边形应记作正五边形ABCDE，AB边的邻边是BC和AE，过顶点A画这个多边形的对角线有2条，它们把多边形分成了3个三角形，这个多边形共有eq \f(5×（5－3）,2)＝5条对角线．故答案为：正五边形ABCDE；BC和AE；2条；3个；5条．详见电子资源11.3.2　多边形的内角和本节课是在学习了三角形内角和及多边形的基本概念以后对多边形的内角和进行探究，为平面几何图形在生活中的实际应用提供帮助．本课时通过类比多边形对角线条数的研究方法来探究多边形的内角和，同时对多边形的外角和进行推导计算，教学时注意灌输学生方程思想进行求解．【情景导入】清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，从A点出发，按顺时针方向跑步．问题：1．小明每从一条小路转到下一条小路，身体转过的角是哪些角？2．他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？3．在右图中，你能求出∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数吗？【说明与建议】　说明：通过生活中常见的数学问题引入，从而调动学生学习的积极性．建议：教学过程中注意引导学生理解问题含义并结合图形，把问题转化为数学问题．【置疑导入】用四块大小、形状完全相同的四边形可拼成一块无空隙的纸板，你能解释为什么会产生这样的效果吗？通过今天的学习，我们就能明白其中的道理，从而引出课题．【说明与建议】　说明：用四块大小、形状完全相同的四边形可拼成一块无空隙的纸板，为什么会产生这种效果呢？从而调动学生的学习兴趣和注意力，创设出恰当的教学情境．建议：教师要充分调动学生学习的积极性，激发学生的求知欲望，使他们自觉地参与到多边形内角和探索的活动中．命题角度1　利用多边形的内角和公式进行计算1．(连云港中考)正五边形的内角和是(B)A．360°　　　　 B．540°　　　　 C．720°　　 D．900°2．(常德中考)一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的边数为(D)A．9 B．10 C．11 D．12命题角度2　利用多边形的外角和进行计算3．(无锡中考)正十边形的每一个外角的度数为(A)A．36° B．30° C．144° D．150°4．(盐城中考)若一个多边形的每个外角均为40°，则这个多边形的边数为9．命题角度3　多边形的内角和、外角和的应用5．(扬州中考)如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为(B)A．100米 B．80米 C．60米 D．40米6．(山西中考)图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360度．命题角度4　多边形的内角和与外角和的综合运用7．(毕节中考)若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为(D)A．540° B．720° C．900° D．1080°8．(湘西州中考)若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是6．命题角度5　常见的星形角度的求和问题9．(湖州中考)为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星(A，B，C，D，E是正五角星的五个顶点)，则图中∠A的度数是36度．详见电子资源课题11.1.1　三角形的边授课人素养目标1.结合具体的实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素．2．会用符号、字母表示三角形，并能按边的相等关系对三角形进行分类．3．理解三角形两边之和大于第三边与两边之差小于第三边的性质，并会初步运用这些性质解决问题.4．会用数学的语言描述三角形的三边关系.教学重点三角形的三边关系.教学难点三角形的三边关系的应用.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.说说你对三角形的了解．2．你还想了解哪些有关三角形的知识？通过回顾旧知引出新知，通过设问的方式提高学生学习的积极性.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】情景导入：如图所示的实物中，有你熟悉的图形吗？教师出示问题：问题1：观察这些图片，你能找到其中含有的三角形吗？问题2：什么样的图形叫做三角形呢？与同伴交流你找到的三角形．问题3：你能指出三角形的基本要素——边、角、顶点吗？通过几幅生活中常见的图形或图片，使学生经历从现实生活中抽象出数学问题的过程，激发学生的好奇心和求知欲，进而引入本节课要研究的内容.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】1．观察上述图形，然后阅读课本内容，并回答下列问题：(1)什么叫三角形？(2)三角形有几条边？有几个内角？有几个顶点？(3)三角形ABC用符号表示为________．(4)三角形ABC的边AB，AC，BC可用小写字母分别表示为________．归纳：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．三角形有三条边、三个内角、三个顶点．组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点是三角形的顶点．三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的三边，有时也用a，b，c来表示，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示．2．三角形按角分可以分成几类？按边分呢？(1)三角形按角分类如下：三角形eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(直角三角形,锐角三角形,钝角三角形))(2)三角形按边分类如下：三角形eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(三边都不相等的三角形,等腰三角形\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(底边和腰不相等的等腰三角形,等边三角形))))3．思考下列问题：(1)在一个三角形中，任意两边之和与第三边有着怎样的关系？说明你的理由；(2)在一个三角形中，任意两边之差与第三边有着怎样的关系？说明你的理由．学生活动：学生分组合作，小组讨论，通过动手试验，可以发现：三角形任意两边之差小于第三边；任意两边之和大于第三边．关键是寻找上述结论成立的理论依据，经过观察讨论(或经过教师的引导)可以发现：“两点之间线段最短”是上述结论成立的依据．板书：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．即如图，AB＋BC>AC，AB＋AC>BC，BC＋AC>AB，AC－ABBD＋CD.证明：延长BD交AC于E，在△ABE中，AB＋AE＞BE，在△EDC中，ED＋EC＞CD，∴AB＋AE＋ED＋EC＞BE＋CD.∵AE＋EC＝AC，BE＝BD＋DE，∴AB＋AC＋ED＞BD＋DE＋CD.∴AB＋AC＞BD＋CD.师生活动：学生先独立完成，教师巡堂给学习有困难的学生以指导和帮助，第2题给予学生讨论的时间，最后由教师进行讲解．1.典型例题向学生灌输方程思想和分类讨论思想，并对第(1)问侧重于方法的讲解总结，对第(2)问侧重知识点的讲解，让同学体会两种情况的存在．2．变式训练通过应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力．并对于难度较大的第2题，留给学生充足的时间和空间思考、讨论，必要时进行恰当引导，帮助学生解决难点，培养学有余力的学生进一步提高自己运用新知识解决实际问题的能力.活动四：课堂检测【课堂检测】1．下列说法正确的是(D)①等腰三角形是等边三角形　②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形　③等腰三角形至少有两条边相等A．①②③　　　 B．②③　　　 C．①③　　　　 D．③2．已知在△ABC中，AB＝4，BC＝7，则边AC的长可能是(C)A．2 B．3 C．4 D．113．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a＋b|＝－a＋b＋3c．4．已知，△ABC的三边长为4，9，x.(1)求△ABC的周长的取值范围；(2)当△ABC的周长为偶数时，求x.解：(1)∵三角形的三边长分别为4，9，x，∴9－4＜x＜9＋4，即5＜x＜13.∴9＋4＋5＜C△ABC＜9＋4＋13.即18＜C△ABC＜26.(2)∵△ABC的周长是偶数，由(1)，得△ABC的周长可以是20，22或24.∴x的值为7，9或11.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置课堂检测，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.课堂小结1.课堂小结：(1)本节课主要学习了哪些知识？(2)本节课还有哪些疑惑？教学说明：教师提问并引导学生总结归纳三角形的相关概念及三边关系．2．布置作业：教材第4页练习第1，2题．通过课堂小结的形式，使学生能够对本课时所学知识进行整理，同时明确学习重点.板书设计11.1.1　三角形的边1．定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．2．三角形按边分类：三角形eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(三边都不相等的三角形,等腰三角形\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(底边和腰不相等的等腰三角形,等边三角形))))3．三角形三边关系：(1)三角形两边的和大于第三边；(2)三角形两边的差小于第三边．提纲挈领，重点突出.教学反思反思，更进一步提升.课题11.1.2　三角形的高、中线与角平分线授课人素养目标1．掌握三角形的高、中线、角平分线、重心的定义，以及其中体现出来的性质．2．会画三角形的高、中线、角平分线．3．了解三角形的稳定性.4．会用一般到特殊的转化思想探索三角形的三条高、三条中线、三条角平分线交于一点．教学重点了解三角形的高、中线与角平分线的概念，会用工具画出三角形的高、中线与角平分线，了解三角形具有稳定性的性质.教学难点1.三角形的角平分线与角的平分线的区别．2．钝角三角形高的画法．3．不同的三角形三条高的位置关系.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.过直线外一点，画已知直线的垂线，能画几条？2．什么是角的平分线？任意画一个角，画出它的角平分线． 通过画图培养学生的动手能力，同时复习巩固旧知，为学习新知识做好准备.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】请同学们尝试解决下面的问题：1．你能通过测量计算，得到一张三角形纸片的面积吗？2．如果将一张三角形纸片只剪一刀，你能将其面积分成相等的两部分吗？ 下面我们研究完三角形中重要的线段，上面的问题便可迎刃而解．通过动手操作，激发学生强烈的好奇心和求知欲.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】1．三角形的高线(事先让学生准备三个三角形纸片)给出一个△ABC，请你画出△ABC的高．提问：(1)你用什么画出三角形的高？(2)高有几条？(3)能用折纸的方法找出你准备好的三角形的高吗？(4)你发现用折纸折出的高与用三角板画出的高一致吗？(4)你发现三角形的三条高有何特点？请同学们拿出已准备好的其中一个三角形纸片，回答以上问题．2. 三角形的中线再用类似于三角形的高线的研究方法来研究三角形的中线，三角形的中线是否也有类似的性质呢？学生动手画、折三角形的中线，观察、猜想、验证．并提问：(1)三角形有几条中线？(2)你发现三角形的三条中线有何特点？师生活动：以上探究活动学生自主探究，并与同学进行交流．教师点拨、及时鼓励．教师可适当提出重心的概念，并提醒学生重心的位置．3．三角形的角平分线通过几何画板画一个△ABC的平分线，并提问：(1)三角形有几条角平分线？(2)你发现三角形的三条角平分线有何特点？(3)三角形三条角平分线是否交于一点？4．探究三角形的三条高、三条中线、三条角平分线交于一点(1)分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察所作的图形，看看你有什么发现？(2)分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，并观察所作的图形，看看你有什么发现？(3)分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，并观察所作的图形，看看你有什么发现？师生共同归纳：三角形的三条高所在直线相交于一点，三条中线相交于一点，三条角平分线相交于一点．5．三角形的稳定性如图1，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？如图2，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？如图3，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后再扭动它，它的形状会改变吗？由上面的操作我们发现，三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变．这就是说，三角形是具有稳定性的图形，而四边形不具有稳定性． 1.探究活动的设计是为了引导学生理解并掌握三角形的高、中线及角平分线的定义及三角形的稳定性．动手实践，探究新知，培养学生的动手能力．2．通过动手操作，培养学生从一般到特殊的转化思想．3．经历思考、交流，归纳出三角形三条线段的画法及其性质.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1　下列说法正确的是②④ (只填序号)①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于一点；③三角形的三条高都在三角形内部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．例2　如图，在△ABC中，AD，AE，AF分别为△ABC的高线、角平分线和中线．(1)写出图中所有相等的角和相等的线段；(2)当BF＝8 cm，AD＝7 cm时，求△ABC的面积．解：(1)∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE＝∠CAE.∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∵AF是△ABC的中线，∴BF＝CF.图中所有相等的角和相等的线段分别为：∠BAE＝∠CAE，∠ADB＝∠ADC，BF＝CF.(2)∵BF＝CF，BF＝8 cm，AD＝7 cm，∴BC＝2BF＝2×8＝16 cm.∴S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AD＝eq \f(1,2)×16×7＝56(cm2)．答：△ABC的面积是56 cm2.例3　(1)下列图形中具有稳定性是①④⑥；(只填图形序号)(2)对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．解：如图所示．师生活动：学生先独立完成作答，教师对三角形的高、中线与角平分线进行强调．【变式训练】如图，△ABC中．AE⊥BC于E，AD为BC边上的中线．DF为△ABD中AB边上的中线．已知AB＝8 cm，AC＝5 cm，△ABC的面积为8 cm2，则(1)△ABD与△ACD的周长之差是3__cm；(2)△ABD的面积是4__cm2；(3)△ADF的面积是2__cm2．师生活动：学生独立完成作答，教师对学习有困难的学生给予及时指导和帮助．1.应用新知，体验成功，使学生熟练应用三角形的高、中线与角平分线及三角形的稳定性解决有关的数学问题．2．变式训练进一步巩固和应用所学的知识，提高学生分析问题、解决问题的能力.活动四：课堂检测【课堂检测】1．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是(D) A B C D2．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，BE＝2，AF＝3，填空：(1)BE＝CE＝eq \f(1,2)BC；(2)∠BAD＝∠DAC＝eq \f(1,2)∠BAC；(3)∠AFB＝∠AFC＝90°；(4)S△AEC＝3．3．如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE＝2 cm，S△ABD＝1.5 cm2，求BC和DC的长．解：∵AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE＝2 cm，S△ABD＝1.5 cm2，∴S△ADC＝S△ABD＝1.5 cm2.∴eq \f(1,2)CD·AE＝1.5.∴CD＝1.5 cm.∴BC＝2×1.5＝3(cm)．综上所述，BC和DC的长分别是3 cm，1.5 cm.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．学以致用，当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.课堂小结1.课堂小结：(1)本节课主要学习了哪些知识？(2)本节课还有哪些疑惑？教学说明：教师提问并引导学生总结归纳三角形的高、中线与角平分线的相关结论．2．布置作业：教材第5页练习第1，2题．通过课堂小结的形式，使学生能够对本课时所学知识进行整理，同时明确学习重点.板书设计11.1.2　三角形的高、中线与角平分线11．1.3　三角形的稳定性三角形中的主要线段eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(高,中线,角平分线))提纲挈领，重点突出.教学反思反思，更进一步提升.课题11.2.1　第1课时　三角形的内角和授课人素养目标1.理解三角形内角和定理的内容，能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题.2.会用平行线的性质推出三角形内角和定理.教学重点理解三角形内角和定理及证明.教学难点三角形内角和定理的推理过程.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.三角形内角和是多少？2．平行线的性质是什么？通过回顾旧知为学习新知做好准备.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】我们知道，任意一个三角形的内角和等于180°，怎样证明这个结论的正确性呢？小学中我们通过测量的方法进行过验证，但我们不可能对所有的三角形进行验证，有没有一种方法能证明任意三角形的内角和等于180°呢？教师提出问题，引发学生思考．通过问题引入，激发学生的学习兴趣，同时使学生认识到，测量的方法只能进行有限次验证，并不能对所有的三角形进行验证，所以必须寻找一种能说明所有三角形的内角和都等于180°的方法．为后面的证明作准备.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】1．在准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码，如图1.2．量一量：一每个角各是多少度？三个内角的和是多少？3．动动手：将一个三角形的两个角剪下来拼合在一起(如图2)会形成什么角？4．想一想：小组内观察比较，会得到什么结论？5．证一证：几种常见的验证方法的辅助线作法．经过师生的合作交流，归纳出如下的解题方法：6．定理 三角形三个内角的和等于180°.学生活动：将事先准备好的三角形的三个角拼合在一起，观察思考可以得出什么结论．分组交流与研讨，并抽一名学生说一说本组的方法．教师活动：指导拼合形成平角．深入参与活动，指导、倾听学生交流，引导多种方法说明．在测量、拼图等感性活动的基础上，引导学生利用添加辅助线的方法说明．1.进一步增强感性认识，通过动手操作、试验说明，以引起学生体会理论说明的过程．2．培养学生合作学习，降低知识学习难度，培养多元化思维，让学生体验数学活动充满探索．3．通过对三角形内角和定理的证明，培养学生的逻辑推理与解决问题的能力.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1　(教材第12页例1)如图所示，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线．求∠ADB的度数．解：由∠BAC＝40°，AD是△ABC的角平分线，得∠DAB＝eq \f(1,2)∠BAC＝20°.在△ABD中，∠ADB＝180°－∠B－∠DAB＝180°－20°－75°＝85°.例2　(教材第12页例2)如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？解：∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°.由AD∥EB，得∠BAD＋∠ABE＝180°.所以∠ABE＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°.∠ABC＝∠ABE－∠EBC＝100°－40°＝60°.∠DAC＋∠CAB＋∠CBA＋∠CBE＝180°，在△ABC中，∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB＝180°－60°－30°＝90°.答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.师生活动：学生独立思考并分小组讨论，教师注意引导学生在遇到方位角问题时在图中进行角度标记，方便求解．【变式训练】1．在△ABC中，∠A－∠B＝35°，∠C＝55°，则∠B等于(C)A．50°　　　　　B．55°　　　　　C．45°　　　　　D．40°2．如图，BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB，填空完成对∠A和∠P的数量关系的探索．解：∵BP平分∠ABC(已知)，∴∠PBC＝eq \f(1,2)∠ABC(角平分线的定义)．同理，得∠PCB＝eq \f(1,2)∠ACB.∵∠P＋∠PBC＋∠PCB＝180°，∴∠P＝180°－∠PBC－∠PCB(等式的性质)＝180°－eq \f(1,2)(∠ABC＋∠ACB)(等量代换)＝180°－eq \f(1,2)(180°－∠A)＝90°＋eq \f(1,2)∠A．师生活动：学生独立思考并作答，教师进行提问并及时给予回答正确的同学以肯定．1.典型例题进一步巩固新知，培养学生的思维习惯及逻辑论证能力．2．分小组讨论让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生充足的空间，激发学习的积极性，建立学好数学的自信心．3．变式训练结合前面所学利用三角形内角和解决问题，提高学生对方程思想、整体思想的认知.活动四：课堂检测【课堂检测】1．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠DAE的度数为(A)A．10°　　　　　　B．15°　　　　　　C．20°　　　　　　D．25°2．如图中的x的值为60．3．如图，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B＝52°，∠C＝78°，求∠BAE的度数．解：在△ABC中，∵∠B＝52°，∠C＝78°，∴∠BAC＝180°－52°－78°＝50°.∵AE是角平分线，∴∠BAE＝eq \f(1,2)∠BAC＝eq \f(1,2)×50°＝25°.故∠BAE的度数为25°.4．在△ABC中，已知∠B＝∠A＋10°，∠C＝∠B＋25°，求∠A的度数．解：∵∠B＝∠A＋10°，∠C＝∠B＋25°，∴∠C＝∠A＋10°＋25°＝∠A＋35°.由三角形内角和定理，得∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以，∠A＋∠A＋10°＋∠A＋35°＝180°.解得∠A＝45°.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成，了解课堂学习效果的目的.课堂小结1.课堂小结：(1)本节课主要学习了哪些知识？(2)本节课还有哪些疑惑？教学说明：教师提问并引导学生总结归纳三角形内角和的证明方法及计算常用的思想．2．布置作业：教材第13页练习第1，2题．通过课堂小结的形式，使学生能够对本课时所学知识进行整理，同时明确学习重点.板书设计11.2.1　三角形的内角第1课时　三角形的内角和1．三角形内角和定理的证明2．三角形内角和定理的应用提纲挈领，重点突出.教学反思反思，更进一步提升.课题11.2.1　第2课时　直角三角形的两个锐角互余授课人素养目标1.掌握直角三角形的两个锐角互余，能用“有两个角互余的三角形是直角三角形”对直角三角形进行判定.2.会通过观察、操作、证明等数学活动，研究直角三角形的特征.教学重点直角三角形中两锐角的关系.教学难点识别基本图形，正确应用直角三角形的性质与判定进行解题.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.三角形的内角和是多少？2．直角三角形的角度特点是什么？通过回顾旧知为学习新知做好准备.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】1．我们学习几何知识，通常先学习一般图形，再学习特殊图形，上节课我们学习了一般三角形的一个重要性质，就是三角形的内角和定理，它反映了三角形三个内角之间的关系，今天我们学习有一个特殊内角的三角形——直角三角形．直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如图所示的直角三角形ABC可以表示为“Rt△ABC”．2．直角三角形作为特殊的三角形，其内角之间还有什么独特的性质呢？(导出并板书)通过新旧知识的衔接，由一般到特殊的过程引出直角三角形的内角关系，并为研究直角三角形的锐角之间关系提供理论支撑.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】1．直角三角形的性质(1)测量角度：用量角器分别测量直角三角形两个锐角的度数，精确到度，看它们是否互余；(2)猜想结论：多次测量后，得到共同的结论“直角三角形的两个锐角互余”；(3)推理证明：已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A＋∠B＝90°.证明：∵∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°.∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＋90°＝180°.∴∠A＋∠B＝180°－90°＝90°.(4)结论表述：证明后的结论可以作为定理使用，这个结论“直角三角形的两个锐角互余”可以看作三角形内角和定理的一个推论．2．直角三角形的判定教师提问：把以上推论的条件和结论反过来，即得“有两个角互余的三角形是直角三角形”，这个结论成立吗？请证明你的结论．学生活动：独立画图，写出已知、求证，并证明．教师点拨：在没有证明三角形是直角三角形之前，不能默认它是直角三角形，比如：不能给三角形标注直角符号．1.类比三角形内角和定理的研究方法探究直角三角形的两个锐角之间的关系，体现了由一般到特殊的学习过程，并提供数学研究中常用的思想方法：类比思想，它对数学学习具有非常重要的指导意义．2．通过猜想证明归纳的过程加强学生的自主学习能力及逻辑推理能力．3．渗透逆向思维，让学生对互逆命题和互逆定理有一个初步的感性认识，暂不出现这两个概念.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1　(教材第14页例3) 如图所示，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？解：在Rt△ACE中，∠CAE＝90°－∠AEC.在△DBE中，∠DBE＝90°－∠BED.∵∠AEC＝∠BED，∴∠CAE＝∠DBE.例2　如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP平分∠AEF，FP平分∠EFC.(1)求证：△EPF是直角三角形；(2)若∠PEF＝30°，求∠PFC的度数．解：(1)∵AB∥CD，∴∠AEF＋∠CFE＝180°.又∵EP平分∠AEF，FP平分∠EFC，∴∠PEF＋∠PFE＝eq \f(1,2)(∠AEF＋∠CFE)＝eq \f(1,2)×180°＝90°.∴△EPF是直角三角形．(2)∵△EPF是直角三角形，∠EPF＝90°，∠PEF＝30°，∴∠PFE＝90°－30°＝60°.又∵PF平分∠CFE，∴∠PFC＝60°.师生活动：学生分小组讨论，教师巡堂并给予指导帮助，最后分小组进行提问，最后教师进行讲解并规范解答过程．1.典型例题进一步巩固提高应用直角三角形的性质解决具体问题的能力，培养学生推理的严谨性和书写的规范性．2．在小组讨论及合作过程中，培养学生的互助精神和团队意识.活动三：开放训练、体现应用【变式训练】1．如图所示，△ABC，△CDE均为直角三角形，且∠B＝45°，∠D＝30°，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.(1)求证：CF∥AB；(2)求∠DFC的度数．解：(1)证明：∵∠DCE＝90°，且CF平分∠DCE，∴∠FCE＝∠DCF＝eq \f(1,2)∠DCE＝45°.又∵∠B＝45°，∴∠FCE＝∠B.∴CF∥AB.(2)由(1)知，∠DCF＝45°.在△DCF中，∵∠D＝30°，∴∠DFC＝180°－∠D－∠DCF＝180°－45°－30°＝105°.2．(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？(2)如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判断△ADE的形状是什么？为什么？(3)如图3，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，点C，B，E在同一直线上，∠A与∠D有什么关系？为什么？解：(1)∠ACD＝∠B，理由如下：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD＋∠DCB＝∠B＋∠DCB＝90°.∴∠ACD＝∠B.(2)△ADE是直角三角形，理由如下：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.又∵∠ADE＝∠B，∴∠A＋∠ADE＝90°.∴∠AED＝90°.∴△ADE是直角三角形．(3)∠A＋∠D＝90°，理由如下：在Rt△ABC，∠C＝90°，∴∠ABC＋∠A＝90°.∵AB⊥BD，∴∠ABC＋∠DBE＝90°.∴∠A＝∠DBE.在Rt△DBE中，∠DBE＋∠D＝90°，∴∠A＋∠D＝90°.师生活动：学生独立思考及分小组讨论后，派学生代表进行讲解，最后师生共同订正完善．3.变式训练提高学生对新知识的综合应用能力，增强学生学习数学的信心.活动四：课堂检测【课堂检测】1．在下列条件中：①∠A＋∠B＝∠C，②∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，③∠A＝90°－∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③．(填序号)2．如图，BD⊥AC，∠1＝∠2，∠C＝66°，求∠ABC的度数．解：∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°.∴∠1＋∠2＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝eq \f(1,2)×90°＝45°.∵∠C＝66°，∴∠ABC＝180°－∠C－∠A＝69°.3．如图，已知D是线段BC的延长线上一点，∠ACD＝∠ACB，∠COD＝∠B，求证：△AOE是直角三角形．证明：∵∠ACD＋∠ACB＝180°，∠ACD＝∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB＝90°.∵∠AOE＝∠COD，∠COD＝∠B，∴∠AOE＝∠B.∵∠BAC＋∠B＝90°，∴∠BAC＋∠AOE＝90°.∴∠AEO＝90°，即△AOE是直角三角形．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置课堂检测，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.课堂小结1.课堂小结：(1)本节课主要学习了哪些知识？(2)本节课还有哪些疑惑？教学说明：教师提问并引导学生总结归纳直角三角形的性质及判定．2．布置作业：教材第14页练习第1，2题．通过课堂小结的形式，使学生能够对本课时所学知识进行整理，同时明确学习重点.板书设计11.2.1　三角形的内角第2课时　直角三角形的两个锐角互余1．回顾三角形内角和定理．2．直角三角形的两个锐角的关系：直角三角形的两个锐角互余．3．直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．提纲挈领，重点突出.教学反思反思，更进一步提升.课题11.2.2　三角形的外角授课人素养目标1.了解三角形的外角．2．会用数学的语言表达三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．3．会用简单的说理来计算三角形相关的角.教学重点三角形外角的性质.教学难点运用三角形外角的性质进行有关计算时能准确推理.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.三角形内角和定理是什么？2．邻补角的定义是什么？3．如图，把△ABC的一边BC延长到至D.则∠ACD是三角形的内角吗？这个角与△ABC的三个内角有什么关系？通过回顾旧知为学习新知做好准备.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】前面我们证明了三角形内角和定理，它的证明思路是通过作辅助线，把三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角，这样就可以证明三角形的内角和等于180°.在证明这个定理时，先把△ABC的一边BC延长，这时在△ABC外得到∠ACD，我们把∠ACD叫做△ABC的一个外角，如图．那么三角形的外角有什么性质呢？我们这节课就来研究三角形的外角及其应用．复习旧知识，引导学生用类比思想得到三角形外角的性质，进一步锻炼学生的动手操作能力和语言表达能力.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】1．三角形的外角的定义如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形的外角的特征：(1)顶点在三角形的一个顶点上；(2)一条边是三角形的一边；(3)另一条边是三角形某条边的延长线. 把三角形各边向两方延长，就可以画出一个三角形所有的外角．可以得到：一个三角形有6个外角，其中有3个与另外3个相等，所以研究时，只讨论不同顶点处的3个外角的性质．2．三角形内角和定理的推论如图所示，∠1是△ABC的一个外角，∠1与图中的其他角有什么关系呢？能证明你的结论吗？∵∠1＋∠4＝180°，∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠2＋∠3＝180°－∠4，∠1＝180°－∠4.∴∠1＝∠2＋∠3.师生共同归纳：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．在这里，我们通过三角形内角和定理直接推导出一个新定理，像这样，由基本事实或定理直接推导出的结论叫做这个基本事实或定理的推论．因此，这个结论称为三角形内角和定理的推论，它可以当作定理直接使用．1.通过动手操作，培养学生从一般到特殊转化的思想．2．通过思考、交流、论证最后归纳出三角形外角的性质，培养学生的自主探究能力及语言表达能力.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1　(教材第15页例4)如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE＝∠2＋∠3，∠CBF＝∠1＋∠3，∠ACD＝∠1＋∠2.所以∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2(∠1＋∠2＋∠3)．由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2×180°＝360°.例2　如图，已知CD是△ABC中∠ACB的外角平分线．(1)若∠ACE＝150°，∠BAC＝100°，求∠B的大小；(2)请说明∠BAC＞∠B.解：(1)∵∠ACE＝150°，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠ACE－∠BAC＝150°－100°＝50°.(2)∵CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，∴∠ACD＝∠ECD.∵∠BAC是△ACD的外角，∴∠BAC＞∠ACD.∴∠BAC＞∠ECD.∵∠ECD是△BCD的外角，∴∠ECD＞∠B.∴∠BAC＞∠B.师生活动：学生分小组讨论，派学生代表进行回答，在学生讨论过程中教师巡堂并给予学习有困难的学生指导和帮助，最后由教师完成讲解并给出详细解答过程．【变式训练】1．如图，∠ABD＝15°，∠ACD＝30°，∠A＝45°，则∠BDC的度数为90°．提示：延长BD交AC于一点，构造三角形外角进行求解．2．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E.(1)若∠B＝36°，∠E＝24°，求∠BAC的度数；(2)求证：∠BAC＝∠B＋2∠E.解：(1)∵∠B＝36°，∠E＝24°，∴∠ECD＝∠B＋∠E＝60°.∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠ECD＝60°.∴∠BAC＝∠ACE＋∠E＝84°.(2)证明：∵CE平分∠ACD，∴∠ECD＝∠ACE.∵∠BAC＝∠E＋∠ACE，∴∠BAC＝∠E＋∠ECD.∵∠ECD＝∠B＋∠E，∴∠BAC＝∠E＋∠B＋∠E.∴∠BAC＝2∠E＋∠B.师生活动：学生分小组交流并解答，教师提问并对采用不同的方法进行解答的同学给予及时肯定．1.典型例题巩固新知的同时体现了知识的延伸性，加强学生对三角形内、外角性质的综合运用能力．2．变式训练拓展学生思维，引导学生发现恰当使用三角形外角的性质在解题中的优势，从而进一步加深对三角形外角的印象.活动四：课堂检测【课堂检测】1．如图中∠1的度数为(B)A．60°　　　　　B．70°　　　 C．100°　 D．110°2．将一副三角板按如图所示的方式放置，则∠1的大小为105°．3．如图，点D在AB上，点E在AC上，BE，CD相交于点O，∠A＝40°，∠C＝30°，∠BOD＝100°.则∠B＝10°．4．求出下列图形中x的值．解：(1)x＝180－90－50＝40.(2)∵x＋x＋40＝180，∴x＝70.(3)∵x＋70＝x＋x＋10，∴x＝60.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．学以致用，当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.课堂小结1.课堂小结：(1)本节课主要学习了哪些知识？(2)本节课还有哪些疑惑？教学说明：教师提问并引导学生总结归纳三角形外角的性质及应用．2．布置作业：教材第15～16页练习，第17～18页习题11.2第6，11题．通过课堂小结的形式，使学生能够对本课时所学知识进行整理，同时明确学习重点.板书设计11.2.2　三角形的外角1．三角形外角的定义：像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．2．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．提纲挈领，重点突出.教学反思反思，更进一步提升.课题11.3.1　多边形授课人素养目标1.了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念.2.会用从特殊到一般的思想探究多边形的概念.3.会用多边形解决生活实际中的问题.教学重点多边形及有关概念.教学难点正多边形的正确理解.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.三角形的定义是什么？2．什么是三角形的边、内角、外角？通过回顾旧知为引入新知做准备.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】前面我们已经研究了三角形的有关概念和性质，那么由条数大于三的线段首尾相接组成的封闭图形的的概念和性质是什么呢？它们和三角形中的有关概念和性质是否有相似之处呢？你能仿照三角形的定义给多边形定义吗？在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形．(一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形)下面我们就探究一下多边形的一些性质. 复习旧知识，引导学生用类比思想得到多边形的定义.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】1．多边形的边、顶点、内角和外角多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．2．多边形的对角线连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．如图，AC，AD是五边形ABCDE的两条对角线．这里让学生画出五边形的所有对角线，并对五边形的对角线条数与点数之间的关系进行初步学习．3．凸多边形在图1中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图2中的四边形，因为我们画出边CD(或BC)所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧．今后我们在习题、练习中提到的多边形都是凸多边形．教学说明：教学时，让学生延长其他的边进行验证．4．正多边形由正方形的特征出发，得出正多边形的概念．我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等．像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．教学说明：教师在对正多边形概念进行讲解时，要注意引导学生正多边形有两个特征：“各边相等”与“各角相等”．这两个条件必须同时满足时，才可以判定一个多边形是不是正多边形．同时让学生自己举一些正多边形的实例，加深对正多边形概念的理解．1.运用类比方法学习新知识，便于发现新旧知识的异同点，同时培养学生的观察及总结能力，完善学生的认知结构．2．通过对比，学习凸多边形及正多边形的相关概念，同时为后面研究多边形的内角和作铺垫.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1　下列选项中的图形，不是凸边形的是(A) A B C D例2　下列说法正确的是(C)A．各边都相等的多边形是正多边形B．各角都相等的多边形是正多边形C．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形D．一个n边形(n>3)有n条边，n个内角，n条对角线例3　从一个七边形的某个项点出发，分别连接这个点与其余各项点，可以把一个七边形分割成5个三角形．师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，最后完成解答，教师帮助学生归纳出一般结论．【变式训练】三角形是最基本的图形，每个多边形都可以按不同的方式分割成若干个三角形，如下图，请按下列提示总结规律(1)如图1所示，从n边形一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各点(相邻顶点除外)，可把这个n边形分割成(n－2)三角形；(2)如图2，从n边形一边上任意一点(顶点除外)出发，分别连接这个点与其余各顶点(左右相邻顶点除外)，可把这个n边形分割成(n－1)个三角形；(3)如图3，从n边形内部任意一点出发，分别连接这个点与各顶点，可把这个n边形分割成n个三角形．师生活动：学生独立思考，教师引导学生利用公式进行对角线条数的表示，最终列出方程并求解．1.典型例题进一步巩固所学新知，加强学生对多边形相关概念的理解．2．变式训练使学生进一步体会通过连接对角线分割多边形的方法来研究多边形的性质.活动四：课堂检测【课堂检测】1．一个正方形木块，截去一个三角形后得到的多边形是(D)A．三角形　　 B．四边形　　 C．五边形　　 D．三角形或四边形或五边形2．八边形共有20条对角线．3．下列所给的图形中，是正多边形的是②③⑤(请直接填上序号即可)．4．四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？从五边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？六边形呢？七边形呢？…解：从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形；从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将五边形分成3个三角形；从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将六边形分成4个三角形；从七边形的一个顶点出发，可以引条4对角线，将七边形分成5个三角形；…从n边形的一个顶点出发，可以引条(n－3)对角线，将n边形分成(n－2)个三角形．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．针对本课时的主要问题，从多个角度，分层次进行检测，达到学有所成，了解课堂学习效果的目的.课堂小结1.课堂小结：(1)本节课主要学习了哪些知识？(2)本节课还有哪些疑惑？教学说明：教师提问并引导学生总结归纳多边形的边、角、对角线的相关概念及计算公式．2．布置作业：教材第21页练习第1，2题．通过课堂小结的形式，使学生能够对本课时所学知识进行整理，同时明确学习重点.板书设计11.3.1　多边形多边形eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(定义——内角、外角,对角线,正多边形——各角都相等，各边都相等))提纲挈领，重点突出.教学反思反思，更进一步提升.课题11.3.2　多边形的内角和授课人素养目标1.掌握多边形的内角和公式及外角和．2．通过把多边形转化为三角形，体会转化思想在几何中的运用，让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法.3．会从不同的角度探索多边形的内角和公式与外角和.教学重点探索多边形的内角和公式及外角和.教学难点把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和公式与外角和.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.三角形的内角和等于多少度？外角和等于多少度？2．长方形的内角和等于多少度？正方形的内角和等于多少度？回顾旧知为学习新知做好准备.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】我们知道正方形的内角和为360°，那么任意一个四边形的内角和是多少？今天我们就来进一步探讨多边形的相关知识——多边形的内角和与外角和. 利用学生的好奇心设疑，激发学生的求知欲望，使他们能自觉地参与到后面探索多边形内角和公式的活动中去.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】1．多边形的内角和问题1：任意一个四边形的内角和是多少？学生画一任意凸四边形，借助量角器测量四边形的各个内角，并求四边形的内角和；教师可借助几何画板课件演示测量结果．另外，在独立探究的基础上，学生分组交流与研讨，并汇总其它解决问题的方法．问题2：你知道五边形的内角和是多少度吗？六边形呢？七边形呢？你是怎么得到的？学生先独立思考每个问题，再分组讨论．教师深入小组，并参与小组讨论，及时了解学生的思维变化情况．本次活动教师应重点关注：(1)学生能否类比四边形的学习方法解决问题，得出正确的结论；(2)学生能否采用不同的方法解决问题，如图所示的两种分割方法．问题3：你知道任意n边形的内角和是多少度吗？本次活动教师应重点关注：(1)学生能否利用转化思想把多边形转化为三角形；(2)学生能否合情合理地推出n边形的内角和可以转化为(n－2)个三角形的内角和的和；(3)学生能否有条理地发现和概括出边数与内角和之间的关系；(4)学生能否对不同的观点进行质疑，感受数学结论的正确性，并进行验证．2．多边形的外角和问题1：小明家有一张六边形的地毯(如图)，小明绕各顶点走了一圈，回到起点A，面对他出发时的方向，他的身体旋转了多少度？问题2：n边形外角和等于多少度？1．学生思考作答，教师作适当点拨．通过课件演示，由学生发现：六边形的外角和等于360°.2．教师引导学生利用多边形内角和公式，进一步论证六边形外角和等于360°，即六个平角减去六边形内角和等于六边形外角和．3．进行类比推理并小结：n边形外角和等于n个平角减去n边形内角和，与边数无关．180°n－(n－2)×180＝360°.1.采用类比方法将多边形分割成三角形，从而借助三角形内角和来推导多边形的内角和计算公式，并通过分割方式的不同，拓展学生的思维能力．2．通过从特殊到一般的探索过程，让学生体会数与形之间的联系，感受其中的推理过程和思考方法．3．由现实情境问题引出六边形的外角和等于360°，从学生已有的生活经验出发，更能激发学生的学习兴趣.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1　(教材第22页例1)如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？解：如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°.∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝(4－2)×180°＝360°，∴∠B＋∠D＝360°－(∠A＋∠C)＝360°－180°＝180°.这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补．例2　(教材第22页例2)如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和，六边形的外角和等于多少？解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°.因此六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6×180°.这个总和就是六边形的外角和加上内角和，所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于6×180°－(6－2)×180°＝2×180°＝360°.师生活动：学生分小组讨论并完成作答，教师鼓励学生采用不同方法进行解答并给予肯定．【变式训练】1．如图所示，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝(B)A．180° B．360° C．270° D．540°2．一个多边形的内角和是外角和的2倍多180°，它是七边形．师生活动：学生独立思考，教师巡堂并适当给予指导和帮助，最后由学生完成作答．1.典型例题进一步巩固新知，提高学生对公式的应用能力．2．变式训练提高学生的综合应用能力，同时巩固学生对公式和方程思想的掌握.活动四：课堂检测【课堂检测】1．八边形的内角和为(C)A．180°　　　　 B．360°　　 C．1 080° D．1 440°2．已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是(C)A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形3．已知一个正多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形是(B)A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形4．已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数是4．5．一个多边形内角和的度数比外角和的度数的4倍多180°，求这个多边形的边数．解：设这个多边形的边数为n，则(n－2)×180°－4×360°＝180°，解得n＝11.∴这个多边形是十一边形．6．如图所示，已知△ABC为直角三角形，∠B＝90°.若沿图中虚线剪去∠B，则∠1＋∠2的度数是多少？解：∵∠B＝90°，∴∠A＋∠C＝90°.∵∠1＋∠2＋∠A＋∠C＝360°，∴∠1＋∠2＝270°.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置课堂检测，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.课堂小结1.课堂小结：(1)本节课主要学习了哪些知识？(2)本节课还有哪些疑惑？2．布置作业：教材第24页练习第1，2，3题．通过课堂小结的形式，使学生能够对本课时所学知识进行整理，同时明确学习重点.板书设计11.3.2　多边形的内角和多边形的内角和eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(内角和\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n边形内角和为（n－2）×180°,推导方法：将多边形内角和转化为三角形问题求解)),外角和——任意多边形的外角和都等于360°))提纲挈领，重点突出.教学反思反思，更进一步提升.