2023-2024学年山东省淄博市高三（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省淄博市高三（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A={x|lg0.5(x−1)>0}，B={x|2x(n+1)Sn”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数f(x)，g(x)的定义域都为R，g′(x)为g(x)的导函数，g′(x)的定义域也为R，且f(x)+g′(x)=2，f(x)−g′(4−x)=2，若g(x)为偶函数，则下列结论中一定成立的个数为( )
①f(4)=2
②g′(2)=0
③f(1)=f(3)
④f(−1)+f(−3)=4
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.已知函数f(x)=sin(2πx)+1x−2，则直线y=x−2与f(x)的图象的所有交点的横坐标之和为( )
A. 0B. 8C. 12D. 16
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数f(x)=3sin(2x−π3+φ)+1，φ∈(0,π)，且f(x)为偶函数，则下列说法正确的是( )
A. φ=5π6
B. f(x)图象的对称中心为(π4+kπ2,1)，k∈Z
C. f(x)图象的对称轴为x=π2+kπ，k∈Z
D. f(x)的单调递减区间为[−π2+kπ,kπ]，k∈Z
10.已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为s12，平均数为x−1；去掉的两个数据的方差为s22，平均数为x−2；原样本数据的方差为s2，平均数为x−，若x−=x−2，则下列说法正确的是( )
A. x−=x−1
B. 15s2=14s12+s22
C. 剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数
D. 剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数
11.如图，多面体ABCDEF，底面ABCD为正方形，BF⊥底面ABCD，DE/​/BF，AB=DE=BF=1，动点G在线段AF上，则下列说法正确的是( )
A. 多面体ABCDEF的外接球的表面积为3π
B. △CGD的周长的最小值为 3− 6+1
C. 线段CG长度的取值范围为[ 62, 2]
D. CG与平面AEC所成的角的正弦值最大为2 23
12.已知函数f(x)=xex，g(x)=xlnx，则下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)与函数g(x)有相同的极小值
B. 若方程f(x)=a有唯一实根，则a的取值范围为a≥0
C. 若方程g(x)=a有两个不同的实根x1，x2，则x1x2>a2
D. 当x>0时，若f(x1)=g(x2)=t，则x1x2=t成立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.将序号分别为1，2，3，4，5，6的六张参观券全部分给甲、乙等5人，每人至少一张，如果分给甲的两张参观券是连号，则不同分法共有______种.
14.已知圆C1：x2+y2−2ax+4by+4=0，则直线ax−2by+2=0与圆C2：x2+y2=1的位置关系是______．
15.已知函数f(x)=3sin(π4x+φ)(φ∈R)的部分图象如图所示，A，B分别为图象的最低点和最高点，过A，B作x轴的垂线分别交x轴于点A′，B′.将画有该图象的纸片沿着x轴折成120°的二面角A−A′B′−B，此时|AB|= ______．
16.已知实数x，y满足x2−3lnx−y=0，则 x2+y2−mx+my+m22(m∈R)的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设函数f(x)=sin(ωx−π6)+sin(ωx−π2)，其中01时，ex(1+lnx)>ex2．
22.(本小题12分)
第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛.已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方.现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，根据以往甲、乙两名运动员对阵的比赛数据可知，若甲发球，甲得分的概率为35，乙得分的概率为25；若乙发球，乙得分的概率为45，甲得分的概率为15.规定第1回合是甲先发球．
(1)求第3回合由甲发球的概率；
(2)①设第i回合是甲发球的概率为pi，证明：{pi−13}是等比数列；
②已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi=1)=1−P(Xi=0)=qi，i=1，2，…，n，则E(i=1nXi)=i=1nqi.若第1回合是甲先发球，求甲、乙连续进行n个回合比赛后，甲的总得分的期望．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：不等式lg0.5(x−1)>0，即为lg0.5(x−1)>lg0.51，
根据对数函数的单调性知，0Snn，
可得(n+1)(a1+an+1)2n+1>n(a1+an)2n，解得an+1>an，所以d=an+1−an>0，
即数列{an}为递增数列，
例如：数列an=n−7为递增数列，可得a1=−6，a2=−5，
此时a2>|a1|不成立，即必要性不成立；
所以对∀n∈N*，an+1>|an|，是“nSn+1>(n+1)Sn”的充分不必要条件．
故选：A．
由an+1>|an|，推得数列{an}为递增数列，进而得到nSn+1>(n+1)Sn成立，得出充分性成立；反之：由nSn+1>(n+1)Sn，得到数列{an}为递增数列，举例说明必要性不成立，即可求解．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的前n项和公式进行化简是解决本题的关键，是中档题．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析4个命题：
对于①，g(x)为偶函数，即g(−x)=g(x)，
两边同时求导数可得：−g′(−x)=g′(x)，
则g′(x)是定义域为R的奇函数，则有g′(0)=0，
在f(x)−g′(4−x)=2中，令x=4可得：f(4)−g′(0)=2，必有f(4)=2，①正确；
对于②，又由f(x)+g′(x)=2，则有f(x)−g′(−x)=2，
同时，f(x)−g′(4−x)=2，
两式联立可得g′(4−x)=g′(−x)，变形可得g′(x+4)=g′(x)，g′(x)是周期为4的周期函数，
则有g′(2)=g′(−2)，
又由g′(x)为奇函数，则g′(2)=−g′(−2)，
必有g′(2)=g′(−2)=0，②正确；
对于③，在f(x)+g′(x)=2中，令x=1可得：f(1)+g′(1)=2，
在f(x)−g′(4−x)=2中，令x=3可得：f(3)−g′(1)=2，
有f(1)+f(3)=4，③错误；
对于④，在f(x)+g′(x)=2中，令x=−1可得：f(−1)+g′(−1)=2，
在f(x)−g′(4−x)=2中，令x=−3可得：f(−3)−g′(7)=2，
而g′(x)是周期为4的周期函数，则有g′(7)=g′(−1)，
必有f(−1)+f(−3)=4，④正确．
有3个命题正确．
故选：C．
根据题意，对于①，由于g(x)为偶函数，对其求导可得g′(x)是定义域为R的奇函数，则有g′(0)=0，利用特殊值法可得①正确，对于②，分析g′(x)的周期，结合奇函数的性质可得②正确，对于③，利用特殊值可得f(1)+g′(1)=2和f(3)−g′(1)=2，变形可得f(1)+f(3)=4，可得③错误；对于④，利用特殊值可得f(−1)+g′(−1)=2和f(−3)−g′(−1)=2，结合g′(x)的周期性，分析可得④正确，综合可得答案．
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性和对称性，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：由f(x)=x−2可得sin(2πx)=x−2−1x−2，
令g(x)=sin(2πx)，h(x)=x−2−1x−2，
则函数g(x)=sin(2πx)的定义域为R，其最小正周期为T=2π2π=1，
g(4−x)=sin[2π(4−x)]=sin(8π−2πx)=−sin(2πx)=−g(x)，
所以，函数g(x)的图象关于点(2,0)对称，
函数h(x)=x−2−1x−2的定义域为{x|x≠2}，
对任意的x∈{x|x≠2}，h(4−x)=(4−x)−2−1(4−x)−2=2−x−12−x=−h(x)，
所以，函数h(x)的图象也关于点(2,0)对称，
因为函数y=x−2、y=−1x−2在(2,+∞)上均为增函数，
则函数h(x)在(2,+∞)上也为增函数，如下图所示：
由图可知，函数g(x)、f(x)的图象共有六个交点，其中这六个点满足三对点关于点(2,0)对称，
因此，直线y=x−2与f(x)的图象的所有交点的横坐标之和为4×3=12．
故选：C．
由f(x)=x−2可得sin(2πx)=x−2−1x−2，令g(x)=sin(2πx)，h(x)=x−2−1x−2，分析可知，函数g(x)、h(x)的图象都关于点(2,0)对称，数形结合可得出结果．
本题主要考查函数与方程的综合应用，解题的关键在于利用函数的对称性，利用数形结合思想结合对称性求解，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：∵f(x)=3sin(2x−π3+φ)+1为偶函数，
∴φ−π3=kπ+π2(k∈Z)，
∴φ=kπ+5π6(k∈Z)，又φ∈(0,π)，
∴φ=5π6，A正确；
∴f(x)=3sin(2x+π2)+1=3cs2x+1，
令2x=kπ+π2(k∈Z)，得x=kπ2+π4(k∈Z)，
∴f(x)图象的对称中心为(π4+kπ2,1)(k∈Z)，B正确；
令2x=kπ(k∈Z)，得x=kπ2(k∈Z)，
∴f(x)图象的对称轴方程为x=kπ2(k∈Z)，C错误；
令2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z)，得kπ≤x≤kπ+π2(k∈Z)，
∴f(x)的单调递减区间为[kπ,kπ+π2](k∈Z)，D错误．
故选：AB．
由f(x)=3sin(2x−π3+φ)+1，φ∈(0,π)，且f(x)为偶函数，可求得φ，判断A；化简得到函数的解析式为f(x)=3cs2x+1，利用余弦函数的性质可判断BCD．
本题考查正弦函数的奇偶性、对称性和单调性的综合应用，属于中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：A.剩下的28个样本数据的和为28x1−，去掉的两个数据和为2x2−，原样本数据和为30x−，所以28x1−+2x2−=30x−，因为x−=x−2，所以x−=x−1，故A选项正确；
B.设x10，
令φ(m)=m−1m−2lnm(m>1)，则φ′(m)=1+1m2−2m=(m−1)2m2>0，
则φ(m)在(1,+∞)单调递增，当m>1时，φ(m)>φ(1)=0，得证．
所以x1−x2lnx1−lnx2=−1ax1x2> x1x2，则 x1x2>−a>0，即x1x2>a2，故C正确；
对于D，当x>0时，若f(x1)=g(x2)=t，则x1ex1=lnx2elnx2=t⇒f(x1)=f(lnx2)，
显然x1>0，lnx2>0，则x1=lnx2，则x1x2=x2lnx2=t，故D正确．
故选：ACD．
对于A，根据题目直接对两个函数求导判断极值即可；对于B，根据函数单调性和最值判断函数变化趋势，进而求出参数范围；对于C，利用对数均值不等式直接判断即可；对于D，利用同构方法进行转化即可．
本题考查了利用导数研究函数的极值，函数的极值点偏移，属于难题．
13.【答案】120
【解析】解：由题意得，如果分给甲的两张参观券是连号，则有C51=5种分法，
再将剩余的4张分给剩余4个人，有A44=24种分法，
所以一共有5×24=120种分法．
故答案为：120．
先分给甲，再分给剩余四个人，结合分步乘法计数原理得到答案．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
14.【答案】相交
【解析】解：因为(x−a)2+(y+2b)2=a2+4b2−4表示圆C1的方程，
所以a2+4b2−4>0，即a2+4b2>4．
因为圆C2的圆心到直线ax−2by+2=0的距离|2| a2+(2b)2=2 a2+4b20恒成立，分类讨论a≤12和a>12两种情况，结合导数与函数的关系以及零点存在性定理等知识求解即可；
(2)将原题转化为证明当x>1时，ex−1(1+lnx)x2−1>0，通过构造函数和二次求导的方法，结合导数与函数的关系即可得证．
本题主要考查了由不等式恒成立求解参数范围，还考查了导数与单调性关系在不等式证明中的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)设“第3回合由甲发球”为事件A，
则P(A)=35×35+25×15=1125，
所以第3回合由甲发球的概率为1125．
(2)①证明：第i(i≥2)回合是甲发球分两种情况：第一种情况为第i−1回合是甲发球且甲得分，
第二种情况为第i−1回合是乙发球且甲得分，
则pi=35pi−1+15(1−pi−1)，即pi=25pi−1+15，
所以pi−13=25(pi−1−13),i≥2，
又因为p1−13=1−13=23≠0，
所以pi−13≠0，
所以pi−13pi−1−13=25，i≥2，
即{pi−13}是首项为23，公比为25的等比数列．
②因为{pi−13}是首项为23，公比为25的等比数列，
所以pi−13=23×(25)i−1，即pi=23×(25)i−1+13，
记第i回合甲得分为Xi，显然Xi服从两点分布，
且事件Xi=1等价于第i+1回合是甲发球，故P(Xi=1)=pi+1，
又因为甲、乙连续进行n个回合比赛后，甲的得分为X=X1+X2+…+Xn，
所以E(X)=E(i=1nXi)=i=1npi+1=i=1n[23×(25)i+13]
=23×25[1−(25)n]1−25+n3=n3+49[1−(25)n]，
故甲的总得分的期望为n3+49[1−(25)n]．
【解析】(1)通过设出事件，结合事件独立的概率乘法公式计算即可；
(2)①通过题意得到pi=35pi−1+15(1−pi−1)，进而构造等比数列进行证明即可；
②根据题意得到记第i回合甲得分为Xi，显然Xi服从两点分布，结合题目中的期望公式计算即可．
本题主要考查概率的求法，离散型随机变量的期望，考查运算求解能力，属于难题．