专题3.8 函数与方程（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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【核心素养】
以基本初等函数为载体，结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，或利用函数零点确定参数的取值范围，研究两图象交点等．常常与不等式、导数结合考查，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
知识点一
函数的零点
1.函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
2.函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
知识点二
零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
特别提醒两个易错点：
(1)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的实根.
(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.
常考题型剖析
题型一：求函数的零点
【典例分析】
例1-1. （2022秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数的零点为（ ）
A．2，3B．2C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，解方程求出函数零点作答.
【详解】由，得，即或，解得或，
所以函数的零点为2，3.
故选：A
例1-2. （2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知定义域为R的偶函数满足，且当时，，若将方程实数解的个数记为，则______．
【答案】
【分析】由条件分析得函数的周期性，结合对称性作出草图，分析两函数的交点个数，得出数列通项，裂项相消求和即可.
【详解】因为定义域为R的偶函数满足，
所以，则，
所以函数是以为周期得周期函数，
方程的实数解个数，
即函数的交点个数，
不难发现也是偶函数，所以两函数的交点是关于纵轴对称的，
这里只分析的情况.
结合条件作出两函数简要图象如下：
当时，
此时有两个交点，即，
当时，
此时有4个交点，即，
当时，
此时有6个交点，即，以此类推，可知，
故，
所以，
故答案为：.
【规律方法】
函数零点的求法：
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
【变式训练】
变式1-1. （2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知方程有两个不同的解，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，将方程解问题转化为及的图像交点问题，再结合图像列出不等关系，即可得到结果.
【详解】
由于，即，在同一坐标系下做出函数及的图像，如图所示：
由图知在上是减函数，故，由图知，
所以，即，化简得，即，
故选：D.
变式1-2. （2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）关于函数，其中，给出下列四个结论：
甲：5是该函数的零点.
乙：4是该函数的零点.
丙：该函数的所有零点之积为0.
丁：方程有两个不等的实根.
若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【分析】结合命题的矛盾性，先判断丙、丁均正确，然后分情况讨论甲乙，进行判断解题；
【详解】当时，为减函数，故5和4只有一个是函数的零点.
即甲、乙中有一个结论错误，一个结论正确，故丙、丁均正确.
由所有零点之积为0，结合分段函数的性质，知必有一个零点为0，
则，可得.
①若甲正确，则，则，
可得
由，可得 或
解得或，方程有两个不等的实根，
故丁正确.，若甲正确，乙错误；
②若乙正确，则，即，则，
可得
由，可得或
解得，方程只有一个实根，故丁错误，不满足题意.
综上，甲正确，乙错误，
故选：B
题型二：判断函数零点所在区间
例2-1.（2021·宁夏高三其他模拟（文））函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
根据零点存在性定理，由为增函数，带入相关数值判断即可得解.
【详解】
由为增函数，为增函数，
故为增函数，
由，
，
根据零点存在性定理可得使得，
故选：B.
例2-2. 函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
【答案】 C
【解析】法一：利用零点存在性定理
因为函数f(x)是增函数，且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，所以由零点存在性定理得函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故选C.
法二：数形结合
函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在区间转化为g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋3的图象的交点横坐标所在范围．如图所示，可知f(x)的零点在(2,3)内．
【规律方法】
判断函数零点所在区间有三种方法：
①解方程，直接求出零点；②利用零点存在定理，判断零点所在区间；③图象法，观察交点所在区间.
特别提醒：在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理，要综合函数性质进行分析判断．
【特别提醒】
二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验．
【变式训练】
变式2-1.（2023·全国·高三专题练习）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】，判断函数单调性，求出区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得出答案.
【详解】令，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
，
所以函数在区间上有唯一零点，
所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是.
故选：B.
变式2-2. （2021·北京清华附中高三其他模拟）函数的零点一定位于区间（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
根据零点存在性定理，若在区间有零点，则，逐一检验选项，即可得答案.
【详解】
由题意得为连续函数，且在单调递增，
，，，
根据零点存在性定理，，
所以零点一定位于区间.
故选：C
题型三：判断函数零点的个数
【典例分析】
例3-1．（天津高考真题）已知函数,函数,则函数的零点的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【解析】
当x<0时2-x>2,所以f(x)=2-|x|=2+x,f(2-x)=x2,此时函数f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-3=x2+x-1的小于零的零点为x=-1+52;当0≤x≤2时f(x)=2-|x|=2-x,f(2-x)=2-|2-x|=x,函数f(x)-g(x)=2-x+x-3=-1无零点;当x>2时,f(x)=(x-2)2,f(2-x)=2-|2-x|=4-x,函数f(x)-g(x)=(x-2)2+4-x-3=x2-5x+5大于2的零点为x=5+52,综上可得函数y=f(x)-g(x)的零点的个数为2.故选A.
例3-2．（2024·四川成都·成都七中校考一模）函数零点个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出函数、的图象，观察两个函数图象的公共点个数，可得出结论.
【详解】令可得，作出函数、的图象如下图所示：
当时，，
又因为，所以，函数、在上的图象没有交点，
观察图象可知，函数、的图象有三个交点，
因此，函数的零点个数为.
故答案为：B.
例3-3．【多选题】（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在R上的奇函数，，成立，当且时，有，则下列命题中正确的是（ ）
A．
B．在上有5个零点
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．点是函数图象的一个对称中心
【答案】ABD
【分析】A选项，赋值法得到，结合函数奇偶性得到，从而求出；B选项，求出函数的周期，结合函数单调性，画出函数图象，数形结合判断BCD.
【详解】A选项，令中得，，
又函数是定义在R上的奇函数，所以，
所以，所以，故A正确；
B选项，由，得，所以是周期为2的周期函数，
所以，
又且时，有，
所以函数在区间上单调递减，可作函数的示意图如下：

由图知B，D也正确，C不正确．
故选：ABD.
【方法技巧】
判断函数零点个数的方法：
1.直接法：即直接求零点，令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点；
2.定理法：利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点
3.图象法：即利用图象交点的个数，画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根据f(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y＝h(x)和y＝g(x)的图象的交点个数.
4.性质法：即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.
【变式训练】
变式3-1. (2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】B
【分析】令f(x)＝0，得2sin x－sin 2x＝0，
即2sin x－2sin xcs x＝0，
∴2sin x(1－cs x)＝0，∴sin x＝0或cs x＝1.
又x∈[0,2π]，
∴由sin x＝0，得x＝0，π或2π，
由cs x＝1，得x＝0或2π.
故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．
变式3-2. （2020·山东省高三二模）已知图象连续不断的函数的定义域为R，是周期为2的奇函数，在区间上恰有5个零点，则在区间上的零点个数为（ ）
A．5050B．4041C．4040D．2020
【答案】B
【解析】
由函数的定义域为R上的奇函数，可得，
又由在区间上恰有5个零点，
可得函数在区间和内各有2个零点，
因为是周期为2，所以区间内有两个零点，且，
即函数在区间内有4个零点，
所以在区间上的零点个数为个零点.
故选：B.
变式3-3. （2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）若的值域为，则至多有_______个零点.
【答案】4
【分析】分别代入、、，求出的解，即可得出答案.
【详解】当时，，
由可得，；
当时，，
由可得，或；
当时，，
由可得，或.
综上所述，的零点可能是或或或.
所以，的零点至多有4个.
故答案为：4.
题型四：根据函数零点个数求参数
【典例分析】
例4-1. (2020·天津高考)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x3，x≥0，,－x，x<0.))若函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|(k∈R)恰有4个零点，则k的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪(2eq \r(2)，＋∞)
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2))) ∪(0,2eq \r(2))
C．(－∞，0)∪(0,2eq \r(2))
D．(－∞，0)∪(2eq \r(2)，＋∞)
【答案】D
【解析】令h(x)＝|kx2－2x|，函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|(k∈R)恰有4个零点，即y＝f(x)与y＝h(x)的图象恰有4个不同交点．
当k＝－eq \f(1,2)时，h(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x2－2x))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x2＋2x))，在同一直角坐标系中作出y＝f(x)，y＝h(x)的图象如图1.
由图可知y＝f(x)与y＝h(x)的图象恰有4个不同交点，即函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|恰有4个零点，排除A、B；
当k＝1时，h(x)＝|x2－2x|，作出y＝h(x)与y＝f(x)的图象如图2.
此时，函数y＝f(x)与y＝h(x)的图象仅有2个交点，不合题意，排除C，故选D.
[答案] D
例4-2．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知函数，，若有2个不同的零点，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】设，根据的范围，讨论求得的解析式.根据解析式得出函数的性质，作出的图象，根据函数图象，即可得出答案.
【详解】设，
当时，，；
当时，，；
当时，，.
综上可得，.
函数的定义域为，
由复合函数单调性可知函数单调递增.
又，
作出的图象如图所示

由图象可知，当时，曲线与恒有两个交点，
即有两个零点，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：根据函数的解析式（或导函数）得出函数的性质，然后作出函数的图象，结合函数的图象，即可得出参数的取值范围.
例4-3．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数有三个不同的零点，其中有两个正零点，则实数的取值范围为____.
【答案】
【分析】依题意可得，显然，两边取对数可得，令，，首先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，即可得到函数图象，再数形结合即可得解.
【详解】由，得，因为不是的零点，
等式两边同时取对数得，即，
令，，则，所以为奇函数，
当时，，所以
所以当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以当时函数取得极大值，即，
又因为，当时， ，当时，，
所以可得的图象如下所示，

又因为有两个正实根，所以.
故答案为：
【总结提升】
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:
（1）直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围;
（2）分离参数法:先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决;
（3）数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
【变式训练】
变式4-1. （2022秋·贵州黔南·高三统考阶段练习）已知函数，.若存在2个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】题目转化为函数的图象与直线有2个交点，画出图象，根据图象知，解得答案.
【详解】存在2个零点，令，
即，故函数的图象与直线有2个交点，
画出函数图象，如图，平移直线，可以看出当且仅当，
即时，直线与函数的图象有2个交点.

故选：C.
变式4-2.（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】作出函数与函数的图像，讨论曲线与曲线，相切以及过点的情况，求出对应的实数的值，利用数形结合思想可求得的取值范围.
【详解】作出与的图像，
如图所示，

由，
整理得，
当直线与圆相切时，
则，解得，对应图中分界线①的斜率；
再考虑直线与曲线相切，
设切点坐标为，对函数求导得，
则所求切线的斜率为，
所求切线即直线方程为，
直线过定点，
将代入切线方程得，解得，
所以切点坐标为，
所以，对应图中分界线③的斜率；
当直线过点时，则，
解得，对应图中分界线②的斜率.
由于函数有三个零点，
由图可知，实数的范围为.
故选：C
【点睛】方法点睛：利用函数的零点个数求参数的取值范围，主要从以下几个角度分析：
（1）函数零点个数与图像交点的转化；
（2）注意各段函数图像对应的定义域；
（3）导数即为切线斜率的几何应用；
（4）数形结合的思想的应用.
变式4-3. （2023·四川内江·校考模拟预测）已知是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，当时，．若有5个零点，则实数的取值范围为________.
【答案】
【分析】由为奇函数可得的图像关于点对称，由为偶函数可得的图像关于直线对称，从而可得4为的周期.再结合图象即可求解.
【详解】由为奇函数，得，
则，所以的图像关于点对称，
则.
由为偶函数，得，
则的图像关于直线对称，则.
因为，所以，
所以，则4为的周期.
由函数的周期性可知，的图像关于点对称，关于直线对称.
因为当时，，所以当时，，
对两边平方，整理可得，故该函数的图象为圆心，半径为1的圆，
若有5个零点，只需曲线与直线有5个交点，
在同一坐标系中作出函数的图像与直线，如图.
当直线与圆 相切时，，解得；
当直线与圆 相切时，，解得.
结合图形可知.
故答案为：

题型五：根据函数零点存在情况求参数
【典例分析】
例5-1. （2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）“”是“直线与曲线有交点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据必要不充分条件的定义求解可得答案.
【详解】∵直线与曲线有交点，∴方程在上有解，
∴，∴，
∴“”是“直线与曲线有交点”的必要不充分条件.
故选：B
例5-2. （2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.
【详解】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【总结提升】
由函数零点求参数范围的方法
直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围
分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域的问题再求解即可
数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解
【变式训练】
变式5-1．（2023·全国·高三对口高考）若关于的方程有实数根，实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据，结合指数函数的值域和不等式的性质可得到的范围，再根据方程有解，列出不等式，即可得解．
【详解】由题可知，，
因为，
所以，
所以，
所以，
因为关于的方程有实数根，
所以，即，
解得，
故选：B．
变式5-2.（2023·浙江·校联考模拟预测）若函数与函数的图象恰有三个不同的交点，其中交点的横坐标成等差数列，则的取值范围为__________.
【答案】
【分析】把两个函数图象有三个交点转化为三次方程有三个根的问题，设出三个根，利用恒等式建立关系并求解作答.
【详解】依题意，方程，即有三个不等实根，
设两个函数图象的三个交点的横坐标，即方程的三个根为，
于是，
整理得，
因此，则，即有，解得或，
所以的取值范围是..
故答案为：
题型六：根据零点的范围求参数
【典例分析】
例6-1．（2023·北京·统考模拟预测）已知函数，若方程的实根在区间上，则k的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据x的取值范围不同，分别解出根即可得出答案.
【详解】当时，，当时，解得；
当时，，其中，，
当时，解得，综上k的最大值是1.
故选：C.
例6-2.（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）设，函数与函数在区间内恰有3个零点，则a的取值范围是________．
【答案】，．
【分析】设，结合题意可知函数在区间，内恰有3个零点，分析时不符合题意，时，结合二次函数的正负及的正负即可求解．
【详解】由题意，函数与函数在区间，内恰有3个零点，
设，
即函数在区间，内恰有3个零点，
当时，函数在区间，内最多有2个零点，不符合题意；
当时，函数的对称轴为，
，
所以，函数在，上单调递减，在上单调递增，且，
当，即时，函数在区间，上无零点，
所以函数在，上有三个零点，不符合题意；
当，即时，函数在区间，上只有一个零点，
则当，时，，
令，解得或，符合题意；
当，即时，函数在区间，上有1个零点，
则函数在，上有2个零点，
则，即，所以；
当，即时，函数在区间，上有2个零点，
则函数在，上只有1个零点，
则或或，即无解．
综上所述，的取值范围是，．
故答案为：，．
【总结提升】
函数零点的应用主要体现在三类问题：一是函数中不含参数，零点又不易直接求出，考查各零点的和或范围问题；二是函数中含有参数，根据零点情况求函数中参数的范围；三是函数中有参数，但不求参数，仍是考查零点的范围问题．这三类问题最终都是通过数形结合转化为两函数图象的交点进行解决．
【变式训练】
变式6-1.（2023·全国·高三对口高考）方程在区间上有解，则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【分析】根据在区间端点的正负列式求解即可.
【详解】考查，因为，且开口向上，
故在区间上最多有一个零点，结合零点存在性定理可得，若方程在区间上有解，
则，即，解得.
故答案为：
变式6-2.（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知函数的定义域为，且，函数在区间内的所有零点为（i=1，2，3，…，n）．若，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【分析】函数的零点转化为函数的图象与函数的图象的交点的横坐标，作出它们的图象，观察图象可得结果.
【详解】函数的零点即为函数的图象与函数的图象的交点的横坐标，先作出函数在区间上的图象，
又当时，，所以当时，，
再作出函数的图象，如图所示：

由图象可得：，，，…，，则，
若，得，则实数a的取值范围是.
故答案为：
一、单选题
1．（2020秋·北京·高三北京市第五中学校考阶段练习）函数的零点个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】要研究函数的零点个数，只需研究函数，的图像交点个数即可，作出图像，根据赋值即可判断结论.
【详解】由题意可知：
要研究函数的零点个数，
只需研究函数，的图像交点个数即可.
画出函数，的图像，
因为时，，时，，
时，，
可知当和时，图像各有一个交点，
时，必有一个交点，
且交点为，及第二象限的点C.

故选：D
2．（2023秋·福建三明·高三统考期末）已知函数，，设为实数，若存在实数，使得成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求解函数的值域，根据存在实数，使得成立，即可求解实数的取值范围．
【详解】当时， ．
令 ，由于 且 ，所以 或，所以
的取值范围是；
当时， ，的取值范围是，；
综上可得的取值范围是，；
要存在实数，使得成立，则函数，
即，即，解得：．
故选：D
3．（2023·广东韶关·统考模拟预测）已知方程和的解分别是和，则函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用互为反函数的函数图象特征求出即可作答.
【详解】方程和依次化为：和，
因此和分别是直线与曲线和的交点横坐标，
而函数和互为反函数，它们的图象关于直线对称，
又直线垂直于直线，因此直线与曲线和的交点关于直线对称，
于是，函数，
所以函数的单调递减区间是.
故选：A
4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数恰好有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将问题转化为函数的图象与直线有两个交点，利用导数讨论的单调性，然后作出图象可解.
【详解】由题知，方程，即恰有2个解，
设，，∴，
当时，，当时，，
∴在区间上是减函数，在区间上是增函数，
当时，，当趋近于0时，趋近于0，当趋近于，趋近于，
在同一直角坐标系中作出函数图象与直线图象，则当时，恰好有2个解.
故选：C.

二、多选题
5．（2022秋·宁夏固原·高三隆德县中学校联考期中）下列说法错误的是（ ）
A．方程有两个解
B．函数在上为增函数
C．函数， 的图象关于对称
D．用二分法求方程在内的近似解的过程中得到， ，，则方程的根落在区间上
【答案】ACD
【分析】对A：结合图象分析判断；对B：取特值结合图象分析判断；对C：根据函数， 互为反函数，分析判断；对D：根据二分法理解分析.
【详解】对A：方程的根的个数，即为函数与的交点个数，
如图，函数与有两个交点，则方程有两个解，A正确；
对B：如图，例如，即，故函数在上不是增函数，B错误；
对C：函数， 互为反函数，其图象关于对称，C正确；
对D：根据二分法可知方程的根所在的区间需满足，
∵， ，，则方程的根落在区间内，D正确；
故选：ACD.
三、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点为________．
【答案】4
【分析】根据对数函数的定义及函数零点的定义计算即可.
【详解】依题意有，
所以.
故答案为：4.
7．（2003·上海·高考真题）方程的根___________．（结果精确到0.1）
【答案】2.6
【分析】首先确定根在之间，设，通过二分法结合计算器确定其答案.
【详解】设，函数单调递增，
且
，
，
结果保留到,则.
故答案为：.
8．（2023·全国·高三对口高考）函数的图象与函数的图象的交点个数为________个．
【答案】2
【分析】在同一坐标系中作出两个函数的图象，由图象观察其交点个数．
【详解】在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图，它们交点个数为2．

故答案为：2.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，方程的实根个数为__________．
【答案】2
【分析】分别作出和的图象，结合图象即可得到答案．
【详解】由，则，
则令，，
分别作出它们的图象如下图所示，

由图可知，有两个交点，所以方程的实根个数为2．
故答案为：2．
10．（2023·河北衡水·河北枣强中学校考模拟预测）已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足，若函数有唯一零点，则实数λ的值为__________．
【答案】或
【分析】由已知函数有唯一零点，结合偶函数的性质，证明函数为偶函数，根据条件列方程求λ的值.
【详解】因为函数有唯一零点，
所以函数有唯一零点，
因为函数是定义在上的偶函数，所以，
所以，
所以函数为偶函数，又函数有唯一零点，
所以函数的零点为，
所以，
因为函数是定义在上的奇函数，所以，
又由可得，所以，
所以
解得或．
故答案为：或．
11．（2023·天津河西·天津实验中学校考模拟预测）已知函数，则时，的最小值为______，设，若函数有6个零点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据各段函数的单调性分别求出各段的最小值，即可求出时，的最小值，令，则有两个解，则，且或有3个零点，即可求出实数的取值范围.
【详解】当时，，此时函数在上单调递增，
所以此时函数的最小值为，
当时，，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
因为，
所以函数的最小值为，
综上，当时，的最小值为，
函数的图象如图所示

令，则由，得，
因为函数有6个零点，
所以有两个解，
所以，且满足，
解得，
即实数的取值范围是，
故答案为：，
【点睛】关键点点睛：此题考查分段函数的最值的求法，以及根据函灵敏的零点个数求参数的范围，解题的关键是画出函数的图象，结合图形求解，考查学生的转化能力和数形结合的思想，属于较难题.
12．（2023·北京大兴·校考三模）已知函数，则的最小值是________，若关于的方程有且仅有四个不同的实数解，则整数的一个取值为________.
【答案】 1（答案不唯一，即可）
【分析】分段函数分别计算两段的最小值，得到函数的最小值；方程有且仅有四个不同的实数解,即函数的图像与函数的图像有四个不同的交点，作出函数图像，数形结合解决.
【详解】当时， ，
易知当时，有最小值；
当时，，
由，得，则，此时最小值为；
综上：函数的最小值为.
因为方程有且仅有四个不同的实数解,即函数的图像与函数的图像有四个不同的交点，
作出函数的图像，由于a为整数，如图所示，只有函数和的图像与函数的图像有四个不同的交点，
所以整数a的取值可以为中的一个.
故答案为：；1（答案不唯一，即可）