专题4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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【核心素养】
1.与基本初等函数相结合考查导数的概念及导数的计算，凸显数学抽象、数学运算的核心素养．
2.与曲线方程相结合考查导数的几何意义，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
知识点一
导数的概念
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即.
2．函数f(x)的导函数
称函数为f(x)的导函数．
知识点二
基本初等函数的导数公式
1. 基本初等函数的导数公式
2．导数的运算法则
（1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
（2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
（3）(g(x)≠0)．
(4) 复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
知识点三
函数在处的导数几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
常考题型剖析
题型一：导数的计算
【典例分析】
例1-1.（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）定义在R上的函数，的导函数为，，是偶函数.已知，，则（ ）
A．是奇函数B．图象的对称轴是直线
C．D．
例1-2.（2020·全国·统考高考真题）设函数．若，则a=_________．
【规律方法】
1.求函数导数的一般原则如下：
(1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导；
(2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导；
(3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导.
2.复合函数的求导方法
求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决.
①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；
②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；
③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；
④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程.
3.解决解析式中含有导数值问题的策略
解决解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数问题的关键是恰当赋值，然后活用方程思想求解，即先求导数f′(x)，然后令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，最后求得所求导数值．
【变式训练】
变式1-1.（2022秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数，则_____________．
变式1-2.（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）定义在上的函数，其导函数分别为，若，，则（ ）
A．是奇函数
B．关于对称
C．周期为4
D．
题型二：求曲线的切线方程
例2-1.（2023·全国·统考高考真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
例2-2.（2022·全国·统考高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【规律方法】
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
曲线切线方程的求法：
(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．
【变式训练】
变式2-1.（2020·全国·统考高考真题）函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
变式2-2.（2020·全国·统考高考真题）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+
题型三：求切点坐标
【典例分析】
例3-1．（2023春·安徽·高二校联考期末）若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（ ）
A．1B．C．D．
例3-2．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.
【方法技巧】
已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
【易错提醒】
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
【变式训练】
变式3-1.（2021·重庆高三其他模拟）曲线在点处的切线恰好经过坐标原点，则___________.
变式3-2. 设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线上点P处的切线垂直，则点P的坐标为 ．
题型四：求参数的值(范围)
【典例分析】
例4-1.（2021·全国·统考高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
例4-2．（2022·全国·统考高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【总结提升】
1.利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．
2.特别提醒：
（1）注意曲线上横坐标的取值范围；
（2）谨记切点既在切线上又在曲线上．
【变式训练】
变式4-1.（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）若曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
变式4-2.（2023·山东泰安·校考模拟预测）若直线与曲线相切，则的最大值为（ ）
A．0B．1C．2D．
题型五：切线的斜率与倾斜角
【典例分析】
例5-1.（2023春·上海浦东新·高二统考期末）在区间上，若，则下列四个图中，能表示函数的图像的是（ ）
A． B．
C． D．
例5-2.（2023秋·黑龙江七台河·高三校考期中）已知函数，则函数的图象在点处的切线斜率为（ ）
A．B．C．D．
【总结提升】
1.注意直线的斜率与直线倾斜角的关系.
2.切线斜率的变化对函数图象的影响：函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，|f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越陡，f′(x)＞0，曲线上升；f′(x)＜0，曲线下降．
【变式训练】
变式5-1．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知函数的图象在点处的切线斜率为1，则（ ）
A．B．1C．D．2
变式5-2. （2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为___________.
题型六：导数的概念
【典例分析】
例6-1．（2023·全国·高三专题练习）设函数在处存在导数为，则（ ）
A．B．C．D．
例6-2.（2023春·北京海淀·高二人大附中期末）函数在附近的平均变化率是（ ）
A．B．
C．D．
【总结提升】
1.根据导数的定义求函数在点处导数的方法：
①求函数的增量；
②求平均变化率；
③得导数，简记作：一差、二比、三极限.
2.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数
【变式训练】
变式6-1. （2023春·河南洛阳·高二统考期末）若，则（ ）
A．2B．1C．D．-1
变式6-2.（河北省石家庄市2022-2023学年高二下学期期末数学试题）某物体做直线运动，其运动规律是，则它在第4秒末的瞬时速度为（ ）
A．米/秒B．米/秒C．8米/秒D．米/秒
题型七：其它综合问题
【典例分析】
例7-1．（2023·全国·高三专题练习）直线分别与曲线，交于，，则的最小值为_______.
例7-2.（2021·全国·统考高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．
【总结提升】
与曲线、切线相关的题目综合性较强，涉及知识内容较为广泛，在处理相关问题时，应注意灵活应用所学知识与方法，如两例涉及两点间的距离，练习1则应用到均值不等式.
【变式训练】
变式7-1.（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）若函数在点处的切线斜率为，其中，，则最大值为（ ）
A．B．C．D．
变式7-2.（2023春·江苏苏州·高二统考期末）曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．1D．2
一、单选题
1．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）在曲线的所有切线中，与直线
平行的共有（ ）
A．4条B．3条C．2条D．1条
2．（2023·福建漳州·统考模拟预测）函数 的导函数为，则（ ）
A．0B．1C．D．
二、多选题
3．（2023春·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期中）已知曲线在点处的切线与曲线有且只有一个公共点，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．0D．2
三、填空题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则________.
5.（2023·全国·高三专题练习）设函数的导函数为，则______.
6．（2020秋·北京·高三北京市第五中学校考阶段练习）已知函数的导函数为，且是偶函数，，.写出一个满足条件的函数______.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆方程为，则其在点处的切线方程为______.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则________.
9．（2024秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）函数的图象在处的切线方程为________．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，（），若经过点存在一条直线l与的图象和的图象都相切，则实数a的值为______.
11．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知抛物线的焦点为，过作抛物线的切线，切点为，，则抛物线上的动点到直线的距离与到轴的距离之和的最小值为________．
四、解答题
12．（2022·高二校考课时练习）（1）求对数曲线在点处的切线方程，并画出对数曲线和所求切线的图象；
（2）再观察（1）中的图象，你可以发现___________，即_________.
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝csx
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sinx
f(x)＝ax
f′(x)＝axlna
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)