专题4.5 导数与函数的零点问题（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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【核心素养】
1.函数零点问题．主要考查判断函数的零点个数，以及由函数零点或方程的根求参数的值（范围），或者证明与函数零点相关的不等式，凸显数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．
2.将函数、导数、方程与不等式相结合考查，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，也体现命题的创新性.
知识点一
解函数零点问题的一般思路
(1)对函数求导．
(2)分析函数的单调性，极值情况．
(3)结合函数性质画函数的草图．
(4)依据函数草图确定函数零点情况．
知识点二
利用函数零点的情况求参数范围的方法
(1)分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；
(2)利用零点的存在性定理构建不等式求解；
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.
常考题型剖析
题型一：函数零点个数的判断与证明
【典例分析】
例1-1.（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数在区间上的最小值；
(2)判断函数的零点个数，并证明.
例1-2.（2023·广东东莞·校联考模拟预测）已知函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：对任意的，；
(3)讨论函数在上零点的个数.
【规律方法】
1. 利用导数判断或证明函数零点个数的策略:借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负以及函数的单调性判断函数图象的走势，从而判断零点个数.
2.常用方法：
（1）直接法：直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题．
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）分离参数法：分离出参数，转化为a＝g(x)，根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是直线y＝a与函数y＝g(x)图象交点的个数问题．只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可．
【变式训练】
变式1-1.（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知函数，.
(1)当时，证明：在上恒成立；
(2)判断函数的零点个数.
变式1-2.（2023·广东广州·统考三模）已知函数，．
(1)求函数的单调区间；
(2)讨论函数的零点个数．
题型二：根据函数零点的情况求参数取值范围
例2-1.（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知且，函数.
(1)讨论的单调区间；
(2)若曲线与直线恰有一个交点，求取值范围.
例2-2.（2023春·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若在区间上有两个不同的零点，求的取值范围.
【规律方法】
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
【变式训练】
变式2-1.（2023春·山西·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程；
(2)若的图象与直线恰有两个不同的公共点，求实数的取值范围.
变式2-2.（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若关于的方程在内有解，求的取值范围.
题型三：与零点相关的不等式证明问题
【典例分析】
例3-1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数，给出以下三个结论：
①如果有两个不同的根，则；
②当时，恒成立；
③如果有两个根，，则.
其中正确的结论个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
例3-2.（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,若有两个实数根,且.求证:.
例3-3．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知函数（）有两个零点.
(1)求实数的取值范围；
(2)设函数的两个零点分别为，，证明：.
例3-4.（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数.
(1)判断的导函数在上零点的个数，并说明理由；
(2)证明：当时，.
注：.
【变式训练】
变式3-1.（2023·福建南平·统考模拟预测）已知函数满足，，则（ ）
A．
B．
C．若方程有5个解，则
D．若函数（且）有三个零点，则
变式3-2.（2023·吉林长春·统考模拟预测）函数．
(1)求证：；
(2)若方程恰有两个根，求证：．
变式3-3.（2022秋·海南·高三校联考期末）已知函数
(1)求的单调区间；
(2)若函数有两个不同的零点，，证明：．
变式3-4. （2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个零点，，且，求证:(其中是自然对数的底数).
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2.（2023·四川资阳·统考三模）已知函数，关于x的方程恰有4个零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2022秋·广东中山·高三华南师范大学中山附属中学校考开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．有两个不同零点
B．
C．在上单调递增
D．若函数在处取得最小值，则
4．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，，则（ ）
A．当没有零点时，实数的取值范围为
B．当恰有1个零点时，实数的取值范围为
C．当恰有2个零点时，实数的取值范围为
D．当恰有3个零点时，实数的取值范围为
三、填空题
5．（2023·山东聊城·统考三模）已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，恰有四个零点，则这四个零点的和为________．
6.（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知函数在区间上有两个零点，则实数a的取值范围是________．
7．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知函数有三个零点，则a的取值范围是______.
8．（2023·河南郑州·三模）已知是函数在其定义域上的导函数，且，，若函数在区间内存在零点，则实数m的取值范围是______．
四、解答题
9.（2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）已知函数和函数，且有最大值为．
(1)求实数a的值；
(2)直线y＝m与两曲线和恰好有三个不同的交点，其横坐标分别为，，，且，证明：．
10．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数，.
(1)求证：；
(2)若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围.
11．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数有三个零点.
(1)求的取值范围；
(2)设函数的三个零点由小到大依次是.证明：.
12.（2022·北京·校考模拟预测）设函数.
(1)k＝1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
(2)求f（x）的单调区间和极值；
(3)证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点.