专题4.7 极值点偏移问题（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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【核心素养】
高考对导数的综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题.凸显数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养，也体现命题的创新性.
知识点一
极值点偏移问题
1.极值点偏移：对于某些涉及函数零点的不等式证明问题，有时可以根据极值点的情况，采取特定处理方式，老师们称为“极值点偏移问题”.所谓极值点偏移是指：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏．
2.常见解法：（1）证明（或）：
①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；
②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；
③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；
（2）证明（或）（、都为正数）：
①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；
②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；
③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；
（3）应用对数平均不等式证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
常考题型剖析
题型一：结论x1＋x2>2x0型不等式证明问题
【典例分析】
例1-1.（2023·全国·高三专题练习）已知关于的方程有两个不等的正根，且，则下列说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
例1-2.（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知函数，
(1)若，求的单调区间；
(2)若，，是方程的两个实数根，证明：．
【规律方法】
1.对称化构造法：对结论x1＋x2>2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)．
2.对称法解决极值点偏移的基本原理是利用函数的单调性，把要证明的 （ 是极值点）转化为证明 ，再转化为 ，又根据 ，可以转化为证明 ，而 是固定的， 是变量，这样就把一个双变量不等式转化为了单变量不等式，从而以 为未知量来构造函数证明不等式即可.
【变式训练】
变式1-1.．（2021春·四川成都·高二四川师范大学附属中学校考期中）已知函数有两个零点，，则下列说法：
①函数有极大值点，且；
②；
③；
④若对任意符合条件的实数，曲线与曲线最多只有一个公共点，则实数的最大值为.其中正确说法的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式1-2.（2022•汕头一模）已知函数有两个相异零点，．
（1）求的取值范围；
（2）求证：．
题型二：结论型不等式证明问题
例2-1.（2023春·四川成都·高二成都外国语学校校考期中）已知函数有两个零点、，且，则下列命题正确的个数是（ ）
①；②；③；④；
A．个B．个C．个D．个
例2-2.（2022·广东深圳·高二期末）设函数，已知直线是曲线的一条切线.
(1)求的值，并讨论函数的单调性；
(2)若，其中，证明：.
【规律方法】
对称化构造法：对结论型，构造函数，通过研究F(x)的单调性获得不等式.
【变式训练】
变式2-1.（北京·高三强基计划）已知且，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023春·湖南岳阳·高二湖南省岳阳县第一中学校考期末）设函数，下列四个结论中正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数有且只有两个零点
C．函数的值域是
D．对任意两个不相等正实数，若，则
三、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的极大值点为0，则实数m的值为 ；设，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围；
(2)设是两个不相等的实数，且．求证：
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中a，b为常数，为自然对数底数，．
(1)当时，若函数，求实数b的取值范围；
(2)当时，若函数有两个极值点，，现有如下三个命题：
①；②；③；
请从①②③中任选一个进行证明．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
9．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间与极值．
(2)若，求证：．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，直线与曲线相切．
(1)求实数的值；
(2)若曲线与直线有两个公共点，其横坐标分别为．
①求实数的取值范围；
②证明：．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个极值点，.
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：.
12．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知函数.
(1)讨论的零点个数；
(2)当有两个零点时，分别设为，，试判断与2的大小关系，并证明.