专题5.4 三角恒等变换（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

这是一份专题5.4 三角恒等变换（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用），文件包含专题54三角恒等变换原卷版docx、专题54三角恒等变换解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。


【核心素养】
1.通过三角函数式的化简、求值或求角问题，结合拆角、凑角方法，综合考查和差倍半三角函数公式的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．应用三角恒等变换，首先化简三角函数式，进一步研究三角函数的图象和性质，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
知识点一
两角和与差的三角函数公式
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)：cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ；
C(α＋β)：cs(α＋β)＝csαcs_β－sin_αsinβ；
S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ；
S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcs_β－csαsinβ；
T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)；
T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β).
【特别提醒】在公式T(α±β)中α，β，α±β都不等于kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α±β)都有意义．
2.变形公式：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；
.
3.辅助角公式
一般地，函数f(α)＝asin α＋bcs α(a，b为常数)可以化为f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq \r(a2＋b2)cs(α－φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(a,b))).
知识点二
二倍角公式
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式：
S2α：sin 2α＝2sin_αcs_α；
C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
2.变形公式：
cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)
1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2,1－sin 2α＝(sin α－cs α)2
常考题型剖析
题型一：两角和与差的正弦、余弦公式的应用
【典例分析】
例1-1.（2023·全国·高三对口高考）如果，且，那么（ ）
A．B．C．D．
例1-2.（2022·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
例1-3.【多选题】（2023·云南·校联考模拟预测）在如图所示的平面直角坐标系中，锐角，的终边分别与单位圆交于，两点.则（ ）

A．若A点的横坐标为，点的纵坐标为，则
B．
C．
D．以，，为三边构成的三角形的外接圆的面积为
【规律方法】
1.解题规律：
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
2.三角公式化简求值的策略
(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
3.给值求角问题，解题的一般步骤是：
(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小；
(2)根据(1)所得范围来确定求tanα、sinα、csα中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；
(3)求α的一个三角函数值；(4)写出α的大小．
【变式训练】
变式1-1.（2020·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
变式1-2.（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知为锐角，且，则 .
变式1-3.（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知均为锐角，，则的最小值为 .
题型二：两角和与差的正切公式的应用
例2-1.（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）若，则 ．
例2-2.（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知，都是锐角，，则= .
例2-3.（2023·全国·高三对口高考）的值是 .
【规律方法】
1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．
提醒：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，可利用诱导公式化简．
3.常用技巧：（1）“1”的代换：在Tα±β中如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的．
（2）若α＋β＝eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z，则有(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2．
（3）若化简的式子里出现了“tanα±tanβ”及“tanαtanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
【变式训练】
变式2-1.（2020·全国·统考高考真题）已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2B．–1C．1D．2
变式2-2.（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）设， ．
变式2-3.（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知，则 .
题型三：二倍（半）角公式的应用
【典例分析】
例3-1．（2023·全国·统考高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A．B．C．D．
例3-2.（2023·全国·统考高考真题）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
例3-3.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）下列各式中值为1的是（ ）
A．B．
C．D．
【规律方法】
1.转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2)注意特殊角的应用，当式子中出现eq \f(1,2)，1，eq \f(\r(3),2)，eq \r(3)等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
2.已知θ的某个三角函数值，求eq \f(θ,2)的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算即可
3.【特别提醒】
（1）倍角的含义：
对于“二倍角”应该有广义的理解，如2α是α的二倍角，4α是2α的二倍角，8α是4α的二倍角，α是eq \f(α,2)的二倍角……这里的蓄含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．
（2）公式的适用条件：
在S2α，C2α中，α∈R，在T2α中，α≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)且α≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，当α＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，tanα不存在，求tan2α的值可采用诱导公式．
【变式训练】
变式3-1.（2021·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
变式3-2.（2021·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
变式3-3.（2023春·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）设，若，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
题型四：简单的三角恒等变换---化简与证明
【典例分析】
例4-1．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知为锐角，，，则（ ）
A．B．C．D．
例4-2.（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）若两个锐角，满足，则 .
例4-3.（2023·高一课时练习）三角比内容丰富，公式很多．若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘．请你完成以下问题：
(1)计算：______；______；______；（直接写答案）
(2)根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般性的结论．（用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程．）
例4-4（2019·高一课时练习）（1）求证.
（2）求值：.
（3）某同学在学习中发现，下列两个式子①；②的值与（2)中计算的结果相同.请你根据这三个式子的结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.
【总结提升】
1.三角函数式化简的方法
(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号．
2．三角函数式的化简遵循的三个原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．
(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．
(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．
3．三角恒等式的证明方法
(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．
(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．
(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．
提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．
【变式训练】
变式4-1.（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
变式4-2.（2023·河北·统考模拟预测）已知，则 .
变式4-3.（2023春·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期中）三角比内容丰富，公式很多．若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘．现有如下两个恒等式：
（1）；（2）．
根据以上恒等式，请你猜想出一个一般性的结论并证明．
变式4-4.（2021·上海·高一专题练习）证明：（1）求证：
（2）在中，，求证：
题型五：三角恒等变换与三角函数的图像和性质
【典例分析】
例5-1．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
例5-2.（2022·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知函数.
(1)求的最小正周期和值域；
(2)设，若函数为奇函数，求的最大值.
【总结提升】
将三角函数y＝f(x)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m的步骤
(1)将sinxcsx运用二倍角公式化为eq \f(1,2)sin2x，对sin2x，cs2x运用降幂公式，sin(x±α)，cs(x±α)运用两角和与差的公式展开．
(2)将(1)中得到的式子利用asinα＋bcsα＝eq \r(a2＋b2)·sin(α＋φ)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m的形式．
【变式训练】
变式5-1.（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）函数的最小值是 ．
变式5-2.（2023·全国·高三专题练习）设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
一、单选题
1．（2023秋·福建三明·高三统考期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
4．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）若，则（ ）
A．0B．C．3D．7
二、多选题
5.（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知函数，，则正确的是（ ）
A．B．是函数的零点
C．函数是非奇非偶函数D．为图象的一条对称轴
三、填空题
6．（2020·浙江·统考高考真题）已知，则 ； ．
7．（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测） ．
8．（2023·河南·襄城高中校联考三模）若，则 .
9．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知，则 ．
10．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知函数，则函数在区间上共有 个零点．
11.（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）若函数的最小值为，则常数的一个取值为 .（写出一个即可）
四、解答题
12.（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测） ，，，
(1)若，求的值；
(2)若函数的最小正周期为
①求的值；
②当时，对任意，不等式恒成立，求的取值范围