专题8.4 直线、平面平行的判定及性质（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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【核心素养】
以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．
知识点一
直线与平面平行的判定与性质
直线与平面平行的判定与性质
知识点二
空间两直线的位置关系
面面平行的判定与性质
知识点三
判断或证明线面平行的常用方法
判断或证明线面平行的常用方法：
利用线面平行的定义，一般用反证法；
利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)
利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；
利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
知识点四
平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
知识点五
几个唯一性定理
唯一性定理：
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
常考题型剖析
题型一：线面平行关系的判断与证明
【典例分析】
例1-1.【多选题】（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（ ）
A．B．
C．D．
例1-2.（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．
(1)求证：//平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
【规律方法】
1.直线、平面间平行的判定方法
(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件．
(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．
(3)利用实物进行空间想象，比较判断．
(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等．
2.证明直线与平面平行的方法
(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．
(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可．
【变式训练】
变式1-1.（2022·全国·高三专题练习）如图甲，在梯形ABCD中，，CD＝2AB，E、F分别为AD、CD的中点，以AF为折痕把△ADF折起，使点D不落在平面ABCF内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论的个数是（ ）
①AF平面BCD；②BE平面CDF；③CD平面BEF．
A．0B．1C．2D．3
变式1-2.（2022秋·新疆伊犁·高三校考阶段练习）如图，在四棱雉中，底面是正方形，，，点，分别为线段，的中点.

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.
题型二：补全线面平行的条件问题
例2-1.（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件： 时，平面.
例2-2.（2021秋·天津红桥·高三天津市复兴中学校考阶段练习）如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点.

(1)求证：；
(2)求证：平面；
(3)若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由.
【变式训练】
变式2-1.（2022秋·北京·高三北京市回民学校校考阶段练习）设a，b是两条不同的直线，是平面，，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
变式2-2.（2022秋·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）在三棱锥中，，，、分别是棱、的中点.
(1)证明：；
(2)线段上是否存在点，使得平面?若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．
题型三：面面平行的判断与证明
【典例分析】
例3-1.（2022秋·广西南宁·高三统考阶段练习）在如图所示的多面体中，平面，，，，点、分别为、的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求多面体的体积．
例3-2.（2022·全国·高三专题练习）如图：在正方体中，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)若为的中点，求证：平面平面.
【规律方法】
证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的定义．
(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．
(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
【变式训练】
变式3-1.（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，求证：
(1)平面；
(2)平面平面.
变式3-2.（陕西·高考真题（文））如图,四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, .
（1）证明: 平面A1BD // 平面CD1B1;
（2）求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.
题型四：补全面面平行的条件问题
例4-1.（2022秋·江苏泰州·高三江苏省泰兴中学校联考阶段练习）设是两个不重合的平面，下列选项中，是“”的充要条件的是（ ）
A．内存在无数条直线与平行B．存在直线与所成的角相等
C．存在平面，满足且D．内存在不共线的三个点到的距离相等
例4-2.（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，，，为的中点．
(1)求证：平面.
(2)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．
【变式训练】
变式4-1.（2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）设，为不重合的直线，，，为不重合的平面，下列是成立的充分条件的有 （只填序号）.
①，
②，，
③，
④，
变式4-2.（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点．
(1)求证：平面．
(2)在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由．
题型五：由线面平行的性质判断线线平行
【典例分析】
例5-1.（2023春·全国·高一专题练习）空间四边形中，点为边上的点，且，求证：.

例5-2. （2023春·全国·高一期中）如图所示，已知是平行四边形所在平面外一点，分别是的中点.

(1)求证：平面；
(2)设平面平面，求证：.
【规律方法】
思路方法：
(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识．
(2)利用线面平行性质必须先找出交线．
2.易错提醒
（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.
（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.
（3）解题中注意符号语言的规范应用.
【变式训练】
变式5-1.（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在三棱柱中，平面与棱交于点，求证：.
变式5-2.（2023春·北京平谷·高一统考期末）三棱锥中，面，、分别是、中点，过的一个平面交面于．
(1)证明：；
(2)证明：．
题型六：应用线面平行性质判断线段比例或点的位置
【典例分析】
例6-1.（2022·全国·高三专题练习）如图、三棱柱的侧棱垂直于底面，是边长为2的正三角形，，点在线段上且，点是线段上的动点．当为多少时，直线平面？
例6-2. （2022秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）如图，在正方体中，分别是的中点.
(1)证明：平面；
(2)棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【变式训练】
变式6-1.（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面底面，底面为平行四边形，.
(1)求证：；
(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.
变式6-2.（2022·全国·高三专题练习）如图1，菱形中，，，于E，将沿翻折到，使，如图2．
(1)求三棱锥的体积；
(2)在线段上是否存在一点F，使∥平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
题型七：应用线面平行性质求线段长度
【典例分析】
例7-1.（2022·全国·高三专题练习）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，N为BC的中点．当点M在平面DCC1D1内运动时，有MN//平面A1BD则线段MN的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
例7-2.（2022·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动．若平面AMN，则PA1的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
【变式训练】
变式7-1.（2023·全国·高三专题练习）如图，正方体的棱长为1，E，F是线段上的两个动点， 平面，则的长度为（ ）

A．B．C．D．2
变式7-2.（2022秋·江西赣州·高三校联考阶段练习）在棱长为4的正方体中，为的中点，点在四边形内（包括边界）运动，若平面，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型八：面面平行性质及其应用
【典例分析】
例8-1.（2022·全国·高三专题练习）如图，已知，，都是平面，且，两条直线l，m分别与平面，，相交于点A，B，C和点D，E，F.已知，，，求AB，BC，EF的长.
例8-2.（2022·全国·高三专题练习）在三棱柱中，
(1)若 分别是的中点，求证：平面平面.
(2)若点分别是上的点，且平面平面，试求的值．
【规律方法】
1.面面平行的应用
(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．
2.三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．
【变式训练】
变式8-1.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体中，，，，分别为棱和的中点，为长方体表面上任意一点．若平面，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．6
变式8-2.（2022·全国·高三专题练习）在三棱柱中，点、分别是、上的点，且平面平面，试求的值.
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）如图，正方体的一个截面经过顶点及棱上一点，截面将正方体分成体积比为的两部分，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·四川泸州·四川省泸县第四中学校考模拟预测）已知侧棱和底面垂直的三棱柱的所有棱长均为3，为侧棱的中点，为侧棱上一点，且，为上一点，且平面，则的长为（ ）
A．1B．2C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在多面体中，平面平面 ，且，则 ( )
A．平面B．平面
C．D．平面平面
二、多选题
4．（2022秋·黑龙江鸡西·高三鸡东县第二中学校考阶段练习）已知分别是三棱锥的棱上的点（不是端点），则下列说法正确的是（ ）
A．若直线相交，则交点一定在直线上
B．若直线异面，则直线中至少有一条与直线相交
C．若直线异面，则直线中至少有一条与直线平行
D．若直线平行，则直线与直线平行
5.（2022·全国·高三专题练习）如图，正方体的棱长为1，，，分别为线段，，上的动点（不含端点），则（ ）
A．异面直线与成角可以为
B．当为中点时，存在点，使直线与平面平行
C．当，为中点时，平面截正方体所得的截面面积为
D．存在点，使点与点到平面的距离相等
三、填空题
6．（2022·四川遂宁·统考一模）设和为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；
（2）若外一条直线与内一条直线平行，则和平行；
（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；
（4）若与内的两条直线垂直，则直线与垂直.
以上说法正确的是 .（㝍出序号）
7．（2022秋·北京·高三北京市八一中学校考阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是线段，的中点，是线段上的动点，过M，N，E的平面截正方体所得的截面面积记为.当为线段的中点时， ；当在线段（包括端点）上运动时，的取值范围是 .
四、解答题
8.(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．证明：MN∥平面C1DE.
9.（2022·全国·高三专题练习）在如图所示的圆柱中，为圆的直径，、是的两个三等分点，、、都是圆柱的母线．求证：平面；
10.（2023春·江苏连云港·高一校考阶段练习）如图，在五面体ABCDEF中，已知平面ABCD，，，，．
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积．
11.（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点.
(1)当为的中点时，求证：平面.
(2)当平面，求出点的位置，说明理由.
12.（2022·四川广安·统考一模）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面ABC，，，E，F分别为棱AB和的中点.
(1)在棱上是否存在一点D，使得平面EFC？若存在，确定点D的位置，并给出证明；若不存在，试说明理由；
(2)求三棱锥的体积.判定
性质
定义
定理
图形
条件
a∩α＝∅
a⊂α，b⊄α，a∥b
a∥α
a∥α，a⊂β，α∩β＝b
结论
a∥α
b∥α
a∩α＝∅
a∥b
判定
性质
定义
定理
图形
条件
α∩β＝∅
a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，
a∥α，b∥α
α∥β，α∩γ＝a，
β∩γ＝b
α∥β，a⊂β
结论
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α