专题8.7 空间向量及其运算和空间位置关系（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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【核心素养】
1．考查空间向量的概念及运算，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．
2．考查空间向量的应用，凸显逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．
知识点一
平行(共线)向量与共面向量
知识点二
数量积的性质
设a，b都是非零向量，〈a，b〉＝θ，
①a∥b时，θ＝0或π，θ＝0时，a与b同向；
θ＝π时，a与b反向．
②a⊥b⇔θ＝eq \f(π,2)⇔a·b＝0．
③θ为锐角时，a·b>0，但a·b>0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b<0，但a·b<0时，θ可能为π．
④|a·b|≤|a|·|b|，特别地，当θ＝0时，a·b＝|a|·|b|，当θ＝π时，a·b＝－|a|·|b|．
⑤对于实数a、b、c，若ab＝ac，a≠0，则b＝c；对于向量a、b、c，若a·b＝a·c，a≠0，却推不出b＝c，只能得出a⊥(b－c)．
⑥a·b＝0 eq \(⇒,/) a＝0或b＝0，a＝0时，一定有a·b＝0．
⑦不为零的三个实数a、b、c，有(ab)c＝a(bc)成立，但对于三个向量a、b、c，(a·b)c≠a(b·c)，因为a·b是一个实数，(a·b)c是与c共线的向量，而a(b·c)是与a共线的向量，a与c却不一定共线．
知识点三
空间向量基本定理
(1)如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc．
(2)如果三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作是由向量a、b、c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量，空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，同一(相等)向量在不同基底下的坐标不同，在同一基底下的坐标相同．
知识点四
空间向量的正交分解及其坐标表示
设e1、e2、e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)．
以e1、e2、e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O－xyz．
对于空间任意一个向量p一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量eq \(OP,\s\up6(→))＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3．
我们把x、y、z称作向量p在单位正交基底e1、e2、e3下的坐标，记作p＝ (x，y，z)．
知识点五
用向量描述空间平行关系
设空间两条直线l、m的方向向量分别为a＝(a1，a2，a3)、b＝(b1，b2，b3)，两个平面α，β的法向量分别为u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，则有如下结论：
知识点六
用向量证明空间中的垂直关系
①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.
②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.
③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.
知识点七
共线与垂直的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．
常考题型剖析
题型一：空间向量的运算
【典例分析】
例1-1．（2001·全国·高考真题）在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可.
【详解】因为在平行六面体中，，
所以.
故选：A.
例1-2.（2023秋·广东广州·高二广州市第一中学校考阶段练习）如图，空间四边形OABC中，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.
【详解】由于N为BC的中点，，所以，,，
故选：D
【方法技巧】
用基向量表示指定向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形．
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．
【变式训练】
变式1-1.（安徽·高考真题）在四面体中，，，，为的中点，为的中点，则 ．（用、、表示）
【答案】
【分析】利用空间向量的基本定理可得出向量关于、、的表达式.
【详解】连接，如下图所示：
，
.
故答案为：.
变式1-2.（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥O­ABC中，点P，Q分别是OA，BC的中点，点D为线段PQ上一点，且，若记，，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，由空间向量的线性运算，即可得到结果.
【详解】因为
.
故选：A
题型二：共线(共面)向量定理的应用
例2-1.【多选题】（2023秋·河北沧州·高二校联考阶段练习）已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（ ）
A．对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得
B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
C．若，，则
D．若所在直线两两共面，则共面
【答案】ACD
【分析】根据空间向量基本定理分别判断.
【详解】由空间向量基本定理.可知只有当不共面时. 才能作为基底，
才能得到，故A错误：
若是空间的一个基底，则不共面. 也不共面，
所以也是空间的一个基底，故B正确；
若，，则不一定平行，故C错误；
若所在直线两两共面，则不一定共面，故D错误.
故选：ACD.
例2-2.（2023秋·四川成都·高三成都七中校考开学考试）在四棱柱中，，．

(1)当时，试用表示；
(2)证明：四点共面；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据空间向量线性运算进行求解；
（2）设（不为0），推导出，进而证明出四点共面.
【详解】（1）四棱柱中，，
因为，
所以
；
（2）设（不为0），
，
则共面且有公共点，则四点共面；
【总结提升】
证明三点共线和空间四点共面的方法比较
【变式训练】
变式2-1.（2022·全国·高三专题练习）下列关于空间向量的命题中，正确的有 ．
①若向量、与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基底，则；
②若非零向量、、满足，，则有；
③若、、是空间向量的一组基底，且，则、、、四点共面；
④若向量、、是空间向量的一组基底，则、、也是空间向量的一组基底．
【答案】①③④
【分析】利用反证法可判断①④；利用空间向量的位置关系可判断②；利用共面向量的基本定理可判断可判断③.
【详解】对于①，假设、不共线，则存在空间向量，使得当与、不共线，
此时，、、能构成空间向量的一组基底，与题设矛盾，假设不成立，
所以，若向量、与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基，则，①对；
对于②，若非零向量、、满足，，则与不一定共线，②错；
对于③，若、、是空间向量的一组基，且，
则，
即，
所以，、、、四点共面，③对；
对于④，因为向量、、是空间向量的一组基底，
假设、、共面，若，不妨设，设存在、，使得，，
所以，，，，
此时，向量、、共线，与题设矛盾；
若、、共面，且、不共线，则存在、，使得，
则，，
所以，、、共面，与题设矛盾，故、、也是空间向量的一组基底，④对.
故答案为：①③④.
变式2-2.（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线．
【答案】证明见解析
【分析】将三点共线问题转化为求证向量共线问题求证即可.
【详解】因为，，，
所以，
，
所以，
所以，又为公共点，
所以B，C，D三点共线．
题型三：空间向量数量积及其应用
【典例分析】
例3-1.【多选题】（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知空间单位向量，，两两夹角均为，，，则下列说法中正确的是（ ）
A．、、、四点可以共面
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据向量共面即可判断点共面，进而可判断A，根据数量积的运算律即可求解B，根据模长的计算公式即可判断C，根据夹角公式即可求解D.
【详解】由于单位向量，，两两夹角均为，
所以，
假设、、、四点可以共面，则共面，
所以存在，使得，分别用，，与点乘，
则，由于该方程组无解，所以不存在，使得共面，
故、、、四点不共面，故A错误，
对于B，,故B正确，
对于C，由得，
由得,
所以,则
,故C正确；
对于D，
，
故，故D错误，
故选：BC.
例3-2.（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，.
（1）试用，，表示向量；
（2）求BM的长.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将，代入中化简即可得到答案；
（2）利用，结合向量数量积运算律计算即可.
【详解】
（1）是PC的中点，.，，
，
结合，，，得.
（2），， ，.
，， ，.
由（1）知，
，，即BM的长等于.
【规律方法】
空间向量数量积的应用
【变式训练】
变式3-1.（2023·江苏淮安·统考模拟预测）在四面体中，，，，，则的值为（ ）
A．7B．9C．11D．13
【答案】B
【分析】根据空间数量积的运算律计算可得.
【详解】因为，，
所以
，
又，所以，
即，
即，
所以，
所以.

故选：B
变式3-2.【多选题】（2023秋·福建莆田·高三莆田八中校考阶段练习）设、为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】利用空间数量积的定义、运算性质逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，向量不能作除法，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C错；
对于D选项，，D对.
故选：BD.
题型四：空间向量的坐标运算
例4-1.【多选题】（2021·全国·高考真题）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
【答案】BD
【解析】
【分析】
对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；
对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；
对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数；
对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数．
【详解】
易知，点在矩形内部（含边界）．
对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；
对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．
对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；
对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确．
故选：BD．
例4-2.（江苏·高考真题）记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围．
【答案】
【解析】
建构如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则相关点的坐标分别为：､､､，则.
由，得，
而；
又.
由，
化简得，解得.
【变式训练】
变式4-1.（宁夏·高考真题（理））已知向量，且，则____________．
【答案】3
【解析】
【分析】
利用向量的坐标运算求得求出，根据空间向量模的公式列方程求解即可.
【详解】
因为，
所以，
可得，
因为，解得，故答案为3.
变式4-2.（2017·全国·高考真题）如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________
【答案】
【解析】
【详解】
如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，
过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
因为的坐标为，所以,
所以.

题型五：利用空间向量证明平行
【典例分析】
例5-1.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，、分别为线段、的中点，为线段上的动点（不含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．对任意点，则有、、、四点共面
B．存在点，使得、、、四点共面
C．对任意点，则有平面
D．存在点，使得平面
【答案】BD
【解析】
【分析】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可判断各选项的正误.
【详解】
因为底面，四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、、、，
设，其中，则，
，，设，
则，解得，故存在点，使得、、、四点共面，B对；
，，，
设，所以，，解得，不合乎题意，A错；
，，
若平面，平面，则，解得，C错；
设平面的法向量为，，，
则，取，则，
，
若平面，则，解得，
故当点与点重合时，平面，D对.
故选：BD.
例5-2.（2022·全国·高三专题练习）如图，已知为空间的9个点，且， ，求证：
（1）四点共面，四点共面；
（2）；
（3）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用共面向量定理证明四点共面；
（2）利用向量加减及数运算找到的关系，证明；
（3）利用向量加减及数运算可得.
【详解】
证明：（1），∴A、B、C、D四点共面．
，∴E、F、G、H四点共面．
（2）.
（3）.
【规律方法】
利用空间向量证明平行的方法
1.线线平行:证明两直线的方向向量共线
2.线面平行:①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行
3.面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题
【变式训练】
变式5-1.已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线．
【答案】证明见解析.
【解析】以点D为原点，分别以、与的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系．
则、、、、、、、，
由题意知、、、，
∴，．
∴，又，不共线，
∴.
变式5-2.（2020·全国·高三专题练习（理））如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：
（1）PB//平面EFG；
（2）平面EFG//平面PBC.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，构建空间直角坐标系A-xyz，并确定A，B，C，D，P，E，F，G的坐标，法一：求得，即可确定平面EFG的一个法向量，又有，则 PB//平面EFG得证； 法二：由，，，可知，根据向量共面定理即有，与共面，进而可证PB//平面EFG；
（2）由（1）有即，可得BC//EF，根据线面平行的判定有EF//平面PBC，GF//平面PBC，结合面面平行的判定即可证平面EFG//平面PBC.
【详解】
（1）因为平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，所以AB，AP，AD两两垂直.
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0).
法一：
设平面EFG的法向量为，
则,即,令z＝1，则为平面EFG的一个法向量，
∵，
∴，所以，
∵PB⊄平面EFG，
∴PB//平面EFG.
法二：，，.
设，
即(2,0,－2)＝s(0,－1,0)＋t(1,1,－1)，
所以解得s＝t＝2.
∴，又与不共线，所以，与共面.
∵PB⊄平面EFG，
∴PB∥平面EFG.
（2）由（1）知：，
∴，所以BC//EF.
又EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF//平面PBC，
同理可证GF//PC，从而得出GF//平面PBC.
又EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG，
∴平面EFG//平面PBC.
题型六：利用空间向量证明垂直
【典例分析】
例6-1.（2022·全国·统考高考真题）在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
【答案】A
【分析】证明平面，即可判断A；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面，，的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.
【详解】解：在正方体中，
且平面，
又平面，所以，
因为分别为的中点，
所以，所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故A正确；
选项BCD解法一：
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，
则，
，
则，，
设平面的法向量为，
则有，可取，
同理可得平面的法向量为，
平面的法向量为，
平面的法向量为，
则，
所以平面与平面不垂直，故B错误；
因为与不平行，
所以平面与平面不平行，故C错误；
因为与不平行，
所以平面与平面不平行，故D错误，
故选：A.
选项BCD解法二：
解：对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线，
在内，作于点，在内，作，交于点，连结，
则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角，
由勾股定理可知：，，
底面正方形中，为中点，则，
由勾股定理可得，
从而有：，
据此可得，即，
据此可得平面平面不成立，选项B错误；
对于选项C，取的中点，则，
由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误；
对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则，
由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误；
故选：A.
例6-2.（河南省部分地区联考2023-2024学年高二上学期阶段性测试（一）数学试题）已知点，，，则下列向量是平面的法向量的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】表示出向量，根据法向量定义，依次验证各选项中的向量与是否都垂直即可.
【详解】由题意知：，，
对于A，，，
与均垂直，是平面的一个法向量，A正确；
对于B，，与不垂直，
不是平面的一个法向量，B错误；
对于C，，与不垂直，
不是平面的一个法向量，C错误；
对于D，，与不垂直，
不是平面的一个法向量，D错误.
故选：A.
【规律方法】
利用空间向量证明垂直的方法
1.线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零
2.线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示
3.面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示
【变式训练】
变式6-1.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．//
B．
C．//平面
D．平面
【答案】B
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.
【详解】
在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
令，是底面的中心，分别是的中点，
则，，，
对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；
对于B，因，则，即，B正确；
对于C，设平面的法向量为，则，令，得，
，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；
对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确.
故选：B
变式6-2．（2023·全国·高二随堂练习）在空间四边形ABCD中，已知，，求证：．
【答案】证明详见解析
【分析】通过向量法求得从而证得结论成立.
【详解】
，
所以.

题型七：空间距离、角的简单计算
【典例分析】
例7-1.（2001·全国·高考真题）正三棱柱中，若，则与所成的角的大小为（ ）
A．60°B．90°C．45°D．120°
【答案】B
【解析】选出向量的基底，选，，为基底，将、用基底表示，求出两个向量的数量积，利用向量垂直的充要条件求出两个向量的夹角．
【详解】设，，，，
则，，
，
∴，∴与所成的角的大小是，
故选：B
例7-2.（2023秋·江苏常州·高三江苏省前黄高级中学校考阶段练习）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为 .
【答案】/
【分析】利用向量的模、单位方向向量、数量积运算、距离公式运算即可得解.
【详解】解：由题意，，，
则
∴的单位方向向量，
又∵，∴，
∴点到直线的距离为
.
故答案为：.
【变式训练】
变式7-1.（2023秋·福建莆田·高三校考阶段练习）如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由，转化为向量的模长，然后结合空间向量数量积运算，即可得到结果.
【详解】由，可得，
因为底面为矩形，，，，
所以，，
又
，
所以，则.
故选：B
变式7-2．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则以为邻边的平行四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】将平行四边形分成两个三角形，利用三角形的面积公式结合向量的夹角公式进行求解.
【详解】设的夹角为，则，故，根据夹角公式，，于是，
不妨设，，以为邻边的平行四边形为，
连接，则，而根据三角形的面积公式，，
故.
故答案为：

一、单选题
1.（2023秋·福建莆田·高三校考开学考试）设，向量，，且，则（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】C
【分析】根据空间向量平行与垂直的坐标表示，求得的值，结合向量模的计算公式，即可求解.
【详解】由向量且，
可得，解得，所以，，
则，所以.
故选：C.
2（2022·全国·高三专题练习）正方体分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值.
【详解】设正方体棱长为2，以的原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
，，
，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）已知为直线的方向向量，、分别为平面、的法向量（、不重合），那么下列说法中：①；②；③；④.其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据线面位置关系的空间向量表示分别判断各个小题即可.
【详解】①，判断正确；
②，判断正确；
③，判断错误；
④或，判断错误.
故选：B
4．（2023秋·辽宁沈阳·高三东北育才学校校考阶段练习）已知空间向量两两夹角均为，且.若向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．0D．
【答案】C
【分析】根据题意，取一个三棱锥，用其棱表示对应的向量，结合题中所给的条件，将相应的边长求出，之后应用空间向量运算法则，表示出对应的结果，从而判断出取最值时对应的情况，求值即可.
【详解】
取一三棱锥，，
且，，所以，
，
设，
因为，所以，即，
所以在以为直径的球上，球半径为，设球心为，
又由同理可知在以为直径的球上，球半径为，设球心为，
球心距，所以两球相交，即点与点可以重合，
又，
所以.
故选：C.
二、多选题
5．（2023秋·四川眉山·高二仁寿一中校考阶段练习）下面四个结论正确的是（ ）
A．向量，若，则．
B．若空间四个点，，则三点共线．
C．已知向量，，若，则为钝角．
D．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底；
【答案】ABD
【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断AC，由空间向量的基本定理与共线定理以及向量基底可判断BD.
【详解】对于A：因为，，则，故A正确；
对于B：因为，则，
即，又与有公共点，所以三点共线，故B正确；
对于C：若为钝角：则，且与不共线，
由得，
当时与平行时， ，
由与不共线得，于是得当且时，为钝角，故C错误；
对于D：是空间的一组基底，则向量不共面，
由，所以也不共面，
故也是空间的一组基底，故D正确，
故选：ABD.
6.（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）如图，在平行六面体中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是，下列说法中不正确的是（ ）

A．
B．
C．向量与夹角是
D．向量与所成角的余弦值为
【答案】CD
【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题进行分析判断，能求出结果.
【详解】在平行六面体中，其中以顶点为端点的三条棱长均为6 ，且彼此夹角都是，
.
对于A，
，， A正确；
对于B，
，
，即，B正确；
对于C，连接，由题意可知是等边三角形，则，
，且向量与的夹角是，
向量与夹角是，C错误；
对于D，，
，
，
，D错误.
故选：CD

三、填空题
7.（广东·高考真题）若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)满足条件，则x＝ ．
【答案】
【分析】利用空间向量的坐标运算和数量积表示求解.
【详解】解：
，解得
故答案为：
8．（2023秋·江西赣州·高三江西省全南中学校考开学考试）已知空间向量，且与垂直，则等于 .
【答案】4
【分析】由与垂直，得到，由此能求出的值.
【详解】因为，且与垂直，
所以，解得，
故答案为：4
9．（2023秋·贵州黔西·高二校考阶段练习）已知三点点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标 ．
【答案】
【分析】设，由点在直线上求出，表示出和，，利用二次函数求出最小值，得到点的坐标.
【详解】设，∵，
则由点在直线OP上可得存在实数λ使得 ，
所以，则，
所以，，
所以，
根据二次函数的性质可得当时，取得最小值，此时点的坐标为：.
故答案为：
10．（2023·全国·高三专题练习）在空间直角坐标系中，经过且法向量的平面方程为，经过且方向向量的直线方程为．阅读上面材料，并解决下列问题：给出平面的方程，经过点的直线l的方程为，则直线l的一个方向向量是 ，直线l与平面所成角的余弦值为 ．
【答案】 /
【分析】根据题意，结合已知条件求得平面的法向量，以及直线的方向向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】因为平面的方程，不妨令，可得，
所以过点，设其法向量为，
根据题意得，即，
由平面的方程为，则，
不妨取，可得，则平面的一个法向量为，
经过点的直线的方程为，
不妨取，则，则该直线的一个方向向量为，
则直线与平面所成的角为，则，
由，所以.
故答案为：；.
四、解答题
11．（2023秋·全国·高二阶段练习）如图，已知正方体，分别是上底面和侧面的中心，求下列各式中的值：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
【分析】（1）（2）（3）根据空间向量线性运算法则，利用基底表示出所求向量，由此可得结果.
【详解】（1），故；
（2），故；
（3），故.
12．（2023秋·湖北武汉·高二校考阶段练习）设，.
(1)若，求；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出向量、的坐标，利用空间向量共线的坐标表示可求得实数的值；
（2）分析可知，利用空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.
【详解】（1）解：因为，，
则，
，
若，则，解得.
（2）解：若，
则，解得.
平行(共线)向量
共面向量
定
义
位置
关系
表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合
平行于同一个平面的向量
特征
方向相同或相反
特例
零向量与任意向量共线
充要条件
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb
向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb
推论
对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋ta，向量a为直线l的方向向量或在直线l上取向量eq \(AB,\s\up6(→))＝a，则eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))
点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))或对空间任意一点O，有eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))
位置关系
向量关系
向量运算关系
坐标关系
l∥m
a∥b
a＝kb，k∈R
a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3
l∥α
a⊥u
a·u＝0
a1u1＋a2u2＋a3u3＝0u∥v
α∥β
u∥v
u＝kv，k∈R
u1＝kv1，u2＝kv2，u3＝kv3
三点(P，A，B)共线
空间四点(M，P，A，B)共面
eq \(PA,\s\up7(→))＝λeq \(PB,\s\up7(→))且同过点P
eq \(MP,\s\up7(→))＝xeq \(MA,\s\up7(→))＋yeq \(MB,\s\up7(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))＋teq \(AB,\s\up7(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up7(→))＝eq \(OM,\s\up7(→))＋xeq \(MA,\s\up7(→))＋yeq \(MB,\s\up7(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up7(→))＝xeq \(OA,\s\up7(→))＋(1－x)eq \(OB,\s\up7(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up7(→))＝xeq \(OM,\s\up7(→))＋yeq \(OA,\s\up7(→))＋(1－x－y)eq \(OB,\s\up7(→))