专题9.1 直线与直线方程（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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【核心素养】
1.通过考查直线的斜率与倾斜角、考查直线方程的几种形式，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养．
2.通过考查两直线的平行与垂直的判断、两直线的平行与垂直的条件的应用、考查与充要条件、基本不等式、导数的几何意义等相结合，以及考查直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系.凸显直观想象、数学运算、逻辑推理、数学应用的核心素养．
知识点一
直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
①定义．当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
②范围：倾斜角的范围为．
2．直线的斜率
①定义．一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线与x轴平行或重合时, , .
②过两点的直线的斜率公式．经过两点的直线的斜率公式为.
3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．
4.直线的倾斜角、斜率k之间的大小变化关系：
（1）当时，越大，斜率越大；
（2）当时，越大，斜率越大.
知识点二
直线的方程
1.直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为：
.这个方程就叫做直线点斜式方程.
特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线 的斜截式方程.
2.直线的两点式方程
直线过两点其中，则直线的方程为：
.这个方程叫做直线的两点式方程.
当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：.
特别地，若直线过两点，则直线的方程为：
，这个方程叫做直线的截距式方程.
3.直线的一般式方程
关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程.
由一般式方程可得，B不为0时，斜率，截距.
知识点三
两条直线平行与垂直
1．两直线的平行关系
(1) 对于两条不重合的直线，其斜率为，有.
(2)对于两条直线，有
.
2．两条直线的垂直关系
(1) 对于两条直线，其斜率为，有.
(2)对于两条直线，有.
知识点四
距离问题
1．两点间的距离公式
设两点，则.
2．点到直线的距离公式
设点，直线，则点到直线的距离
.
3．两平行线间的距离公式
设两条平行直线，则这两条平行线之间的距离
.
知识点五
两条直线的交点
1.两条直线相交：对于两条直线，若，则方程组有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标.
2.两条直线，联立方程组，
若方程组有无数组解，则重合．
知识点六
对称问题
1.中点坐标公式
2．两条直线的垂直关系
(1) 对于两条直线，其斜率为，有.
(2)对于两条直线，有.
3.中心对称：点A(x0，y0)关于点P(m，n)的对称点坐标为(2m－x0,2n－y0)；曲线(直线)f(x，y)＝0关于点P(m，n)对称的曲线(直线)方程为f(2m－x,2n－y)＝0；特别地，点P(x0，y0)关于原点的对称点为(－x0，－y0)．
4.轴对称：（1）点P(x，y)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点P0(x0，y0)，满足如下关系：
（2）特殊的轴对称：（i）点P(x0，y0)关于x轴、y轴，x＝m，y＝n，y＝x，y＝－x，y＝x＋m，y＝－x＋n的对称点的坐标依次为(x0，－y0)、(－x0，y0)、(2m－x0，y0)、(x0,2n－y0)、(y0，x0)、(－y0，－x0)、(y0－m，x0＋m)、(－y0＋n，－x0＋n)
（ii）曲线(直线)f(x，y)＝0关于x轴，y轴，x＝m、y＝n、y＝x、y＝－x、y＝x＋m、y＝－x＋n对称的曲线(直线)方程依次为：f(x，－y)＝0、f(－x，y)＝0、f(2m－x，y)＝0、f(x,2n－y)＝0、f(y，x)＝0、f(－y，－x)＝0、f(y－m，x＋m)＝0、f(－y＋n，－x＋n)＝0．
常考题型剖析
题型一： 直线的倾斜角与斜率
【典例分析】
例1-1．（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
例1-2.（2023秋·四川遂宁·高三校考阶段练习）直线的倾斜角是，则的值是（ ）
A．B．C．D．1
【规律方法】
1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标，则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线，则求出直线上的两点的坐标，然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角，则先求出直线的斜率，再利用求倾斜角.
2. 求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．
3.从高考题看，对直线斜率的考查，越侧重其应用.
【变式训练】
变式1-1.（2023·全国·高三专题练习）若直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角是 .
变式1-2.（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
题型二：直线的方程
例2-1.（2023·全国·高三专题练习）如果，，那么直线不通过（ ）．
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
例2-2.【多选题】（2023秋·山西大同·高三大同市第三中学校校考阶段练习）直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
【规律方法】
求直线方程的常用方法：
1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．
2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．
3.直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．
4.从高考命题看，侧重于直线与圆、直线与圆锥曲线位置关系的考查.
【变式训练】
变式2-1.（2020·山东·统考高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
变式2-2.（2022·全国·高三专题练习）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线l方程分别为（ ）
A．；B．；
C．；D．；
题型三：两条直线平行与垂直
【典例分析】
例3-1.（2022春·北京密云·高三校考开学考试）设直线的方向向量为，的法向量为，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
例3-2. （2023·全国·高三专题练习）已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【易错提醒】
当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
【变式训练】
变式3-1.（2023·全国·高三专题练习）已知直线，，若且，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
变式3-2.（2021·台州市书生中学高二期中）已知直线：，直线：，若，则_________若，则________
题型四： 距离问题
例4-1.（2023·全国·高三专题练习）曲线上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
例4-2.（2023秋·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，点到直线距离的取值范围是 .
【规律方法】
两种距离的求解思路
(1)点到直线的距离的求法
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．
(2)两平行线间的距离的求法
①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式)．
【变式训练】
变式4-1.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.
变式4-2.（2023·全国·高三专题练习）已知两条平行直线：，：间的距离为，则 ．
题型五： 两条直线的交点问题
例5-1.（2024·全国·高三专题练习）已知点P，Q的坐标分别为，，直线l：与线段PQ的延长线相交，则实数m的取值范围是 .
例5-2.（2024·全国·高三专题练习）已知在中，点，的角平分线为，边上的中线所在直线的为，求边所在直线l的一般式方程.
【规律方法】
1.两直线交点的求法
求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．
2.求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．
3.涉及两直线的交点问题，往往需借助于图形，应用数形结合思想，探索解题思路，这也是解析几何中分析问题、解决问题的重要特征.
【变式训练】
变式5-1.（2023·福建南平·统考模拟预测）对于任意实数，直线恒过定点A，且点，则直线的一个方向向量为 ．
变式5-2.（2020秋·河北衡水·高三河北武强中学校考阶段练习）已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为 .
题型六： 中心对称问题
例6-1.（2020·山东·统考高考真题）直线关于点对称的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
例6-2.（2023秋·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试）已知直线，点与点关于原点对称，若直线上存在点满足，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【总结提升】
1.以已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上
2.已知点与对称点的连线与对称轴垂直．
【变式训练】
变式6-1.（2023·全国·高三专题练习）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（ ）
A．B．C．D．
变式6-2.（2020·全国·高三专题练习）平面直角坐标系中直线y＝2x＋1关于点(1,1)对称的直线方程是 ．
题型七： 轴对称问题
例7-1.（浙江·高考真题（理））直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
例7-2.（2023·全国·高三对口高考）点关于直线的对称点的坐标为 ．
【总结提升】
1.若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．
2.若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解
【变式训练】
变式7-1.（安徽·高考真题）已知直线．若直线与关于l对称，则的方程是（ ）
A．B．C．D．
变式7-2.（2023·全国·高三专题练习）与圆关于直线对称的圆的标准方程是 .
题型八： 对称有关的最值问题
例8-1.（2023·全国·高三专题练习）以为一个顶点，试在x轴上找一点B，直线l：上找一点C，构成，则的最小周长为 .
例8-2.（2023·全国·高三对口高考）已知点，在直线和轴上各找一点和，使的周长最小，并求出和两点的坐标．
【概率方法】
对称有关的最值问题解法：
（1）在直线l上找一点P到直线两侧两定点A、B的距离之和最小，则点P必在线段AB上，所以要将l同侧的点利用对称转化为异侧的点．
（2）在直线l上找一点P到直线同侧两点A，B的距离之差最大，则点P必定在线段AB(或BA)的延长线上，所以要将l异侧的点利用对称转化为同侧的点．
简记为：异侧和最小，同侧差最大
【变式训练】
变式8-1.（2023春·江西·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（ ）
A．B．4C．5D．6
变式8-2.（2023·全国·高三专题练习）已知点，，点A关于直线的对称点为点B，在中，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
题型九： 光线的反射问题
例9-1.（2023·全国·高三专题练习）已知，，从点处射出的光线经x轴反射后，反射光线与平行，且点B到该反射光线的距离为，则实数 ．
例9-2.（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知直线，一束光线从原点射出，经反射．
(1)写出原点到反射光线距离的取值范围（只写结果即可，不需要写出求解过程）；
(2)若反射光线平分，求入射光线对应的直线方程．
【变式训练】
变式9-1.（湖南·高考真题）在等腰直角三角形中， 点 是边 上异于 的一点，光线从点 出发，经 发射后又回到原点 （如图）.若光线 经过 的重心，则 等于（ ）
A．B．
C．D．
变式9-2.（2022·全国·高三专题练习）1.已知，直线：
(1)直线关于点A的对称直线的方程；
(2)若光线沿直线照射到直线上后反射，求反射光线所在的直线的方程.
一、单选题
1．（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·安徽·高三校联考阶段练习）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成.如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距约为4m，拉索下端相邻两个锚的间距均为18m.最短拉索的锚，满足，，以所在直线为轴，所在直线为轴，则最长拉索所在直线的斜率为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
4．（2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）已知直线，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则
D．当时，不经过第一象限
5．（2023·全国·高三专题练习）已知直线，其中，则（ ）
A．当时，直线与直线垂直
B．若直线与直线平行，则
C．直线过定点
D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等
三、填空题
6．（2023·河南·校联考模拟预测）已知点，点是直线上任意一点，且，则实数的取值范围是 ．
7．（2023·福建龙岩·统考二模）已知抛物线，直线过点且与相交于，两点，若的平分线过点，则直线的斜率为 ．
8．（2023·全国·模拟预测）已知分别为圆与圆上的两个动点，为直线上一点，则的最小值为 ．
四、解答题
9．（2023秋·江西抚州·高三黎川县第二中学校考开学考试）设直线的方程为.
(1)已知直线在x轴上的截距为，求的值；
(2)已知直线的斜率为1，求的值．
10．（2022·全国·高三专题练习）1.已知，直线：
(1)直线关于点A的对称直线的方程；
(2)若光线沿直线照射到直线上后反射，求反射光线所在的直线的方程.
11．（2024·全国·高三专题练习）等腰直角三角形ABC的直角顶点B和顶点A都在直线上，顶点C的坐标是，直线AC的倾斜角是钝角.
(1)求直线BC，AC在x轴上的截距之和；
(2)平行于AC的直线l与边AB，BC分别交于点D，E，若的面积等于，求直线l与两坐标轴围成的三角形的周长.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知直线，一束光线从原点射出，经反射．
(1)写出原点到反射光线距离的取值范围（只写结果即可，不需要写出求解过程）；
(2)若反射光线平分，求入射光线对应的直线方程．